Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Método de reducción de orden

Introducción

En la entrada anterior estudiamos las propiedades más importantes que cumple el conjunto de soluciones a una ecuación lineal homogénea de segundo orden $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+p(t)\frac{dy}{dt}+q(t)y=0$. Si encontramos dos soluciones $y_{1}(t)$, $y_{2}(t)$ tales que formen un conjunto fundamental en un mismo intervalo $I$, entonces $y(t)=c_{1}y_{1}(t)+c_{2}y_{2}(t)$ será la solución general a la ecuación diferencial en $I$.

En esta entrada vamos a suponer que conocemos una solución $y_{1}(t)$ a la ecuación, y desarrollaremos un método, conocido como reducción de orden, que nos permitirá encontrar una segunda solución $y_{2}(t)$ de tal manera que $\{y_{1}(t), y_{2}(t)\}$ formen un conjunto fundamental de soluciones.

Reducción de orden

En el video desarrollamos de manera general el método de reducción de orden, dada una solución $y_{1}(t)$, y suponiendo que la solución general es de la forma $u(t)y_{1}(t)$ para cierta función $u$, y posteriormente aplicamos este método para resolver un ejemplo en particular.

Tarea moral

  • Prueba que si $y_{1}(t)$ es solución a la ecuación $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+p(t)\frac{dy}{dt}+q(t)y=0$ entonces $$y_{1} \int \frac{1}{y_{1}^{2}} e^{-\int p(t) \, dt} \, dt $$ también es solución a la ecuación.
  • Prueba que $$\{y_{1}, y_{1} \int \frac{1}{y_{1}^{2}} e^{-\int p(t) \, dt} \, dt \}$$ es un conjunto fundamental de soluciones a la ecuación $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+p(t)\frac{dy}{dt}+q(t)y=0$.
  • Encuentra la solución general a la ecuación diferencial $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+2\frac{dy}{dt}+y=0$ por el método de reducción de orden, si $y_{1}(t)=e^{-t}$ es una solución a la ecuación.
  • Encuentra la solución general a la ecuación diferencial $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+16y=0$ por el método de reducción de orden, si $y_{1}(t)=\cos{4t}$ es una solución a la ecuación.

Más adelante

En la próxima entrada continuaremos estudiando ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden, en particular, estudiaremos el caso cuando las funciones $a_{i}(t)$, $i \in \{0,1,2\}$ en la ecuación $a_{0}(t)\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+a_{1}(t)\frac{dy}{dt}+a_{2}(t)y=0$ son todas constantes. A este tipo de ecuaciones les llamamos ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes.

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