Ecuaciones Diferenciales I: Soluciones a las ecuaciones diferenciales

Introducción

En la entrada anterior aprendimos lo que es una ecuación diferencial (ED), en particular las ecuaciones diferenciales de una variable independiente (ordinarias) con las que trabajaremos a lo largo del curso, aprendimos también a clasificarlas por tipo, orden y linealidad. Mencionábamos que lo que nos interesa al tener una ecuación diferencial es hallar la función involucrada que depende de la variable independiente, hallar la función significa que hemos resuelto la ED y a la función hallada la llamamos función solución de la ED. Antes de estudiar como resolver una ecuación diferencial, en esta entrada vamos a estudiar las propiedades mismas de una solución.

Soluciones de ecuaciones diferenciales

Definición: Una solución a una ecuación diferencial es una función $f$ definida en un intervalo $\delta$ que tiene al menos $n$ derivadas continuas en $\delta$ y que al sustituirlas en la ecuación diferencial ordinaria de $n$-ésimo orden reducen la ecuación a la identidad.

Una función $f$ es solución si satisface que para una ecuación diferencial ordinaria de $n$-ésimo orden cumple que

\begin{equation*}
F(x, f(x), f^{\prime}(x), …, f^{(n)}(x)) = 0
\end{equation*}

Para toda $x \in \delta$. En este curso supondremos que una solución $f$ es una función con valores reales, es decir, $\delta \subset \mathbb{R}$.

El intervalo de solución $\delta$ también es conocido como intervalo de definición, intervalo de existencia, intervalo de validez o dominio de la solución y puede ser un intervalo abierto $(a, b)$, un intervalo cerrado $[a, b]$, un intervalo infinito $(a, \infty)$, etcétera.

Definición: Si la función $h(x) = 0$ es solución de una ecuación diferencial en un intervalo $\delta$, decimos que $h$ es la solución trivial.

Ejemplo: Verificar que la función $f(x) = y = \dfrac{1}{x}$ es solución a la ecuación diferencial $xy^{\prime} + y = 0$.

Solución: De acuerdo a la definición de solución de una ecuación diferencial lo que necesitamos es sustituir $y$ y $y^{\prime}$ en la ecuación diferencial y ver que se cumple la relación. Ya disponemos de $y = \dfrac{1}{x}$, derivando obtenemos $y^{\prime} = -\dfrac{1}{x^{2}}$, ahora sustituimos en la ecuación diferencial:

\begin{align*}
xy^{\prime} + y &= x \left( -\dfrac{1}{x^{2}} \right) + \dfrac{1}{x} \\
&= -\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} \\
&= 0
\end{align*}

Como recuperamos la EDO $xy^{\prime} + y = 0$ decimos que en efecto $y = \dfrac{1}{x}$ es solución a la EDO. Si ahora consideramos la función $y = 0$ y la derivada correspondiente $y^{\prime} = 0$ y sustituimos en la EDO vemos que también se cumple la relación, entonces la EDO también tiene solución trivial.

Por otro lado, la función $y = \dfrac{1}{x}$ no está definida para $x = 0$, sin embargo al ser solución significa que es una función definida en un intervalo $\delta$ en el que es derivable y satisface la ecuación, esto indica que $y = \dfrac{1}{x}$ es solución en cualquier intervalo que no contenga al $0$.

$\square$

Curva solución

Las soluciones a las ecuaciones diferenciales ordinarias de una variable dependiente son funciones de una variable independiente por lo tanto se pueden graficar en el plano $XY$. De acuerdo a la definición de solución de una ED, y al ejemplo anterior, es importante hacer una distinción entre el dominio de una función (los valores para los cuales la función está definida) y un intervalo de solución.

Definición: La gráfica de una solución $f(x)$ de una ecuación diferencial ordinaria se llama curva solución.

Si $f(x)$ es solución de una EDO entonces $f(x)$ es derivable lo que también significa que es continua en su intervalo de definición $\delta$, esto es necesario para ser solución y no siempre va a ocurrir para todo el dominio de una función, puede haber diferencia entre la gráfica de la función $f(x)$ y la gráfica de la solución $f(x)$. En el ejemplo anterior el dominio de la función $y = \dfrac{1}{x}$ es $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$ mientras que el intervalo de solución es cualquier intervalo que no contenga al $0$, por ejemplo $\delta = (-\infty, -1)$ o $\delta = (5, 100)$ o $\delta = (1, \infty)$, etcétera. El intervalo de solución no necesita ser igual al dominio de la función $f(x)$.

Gráfica de la función $\dfrac{1}{x}$
Curva solución de la EDO en el intervalo $(1, 100)$

Ejemplo: Comprobar que la función $f(x) = y = \dfrac{1}{4 -x^{2}}$ es solución a la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = 2xy^{2}$ y determinar al menos un intervalo de solución.

Solución: Tenemos la función $y = \dfrac{1}{4 -x^{2}}$, si la derivamos obtenemos la función $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2x}{(4 -x^{2})^{2}}$, esta ecuación se puede reescribir de la siguiente manera:

\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{2x}{(4 -x^{2})^{2}} \\
&= 2x \dfrac{1}{(4 -x^{2})^{2}} \\
&= 2x \left(\dfrac{1}{4 -x^{2}}\right) ^{2} \\
&= 2xy^{2}
\end{align*}

Se puede observar que conseguimos la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = 2xy^{2}$, por lo tanto la función $y = \dfrac{1}{4 -x^{2}}$ sí es solución de la EDO. Ahora debemos determinar un intervalo de solución, para hallarlo podemos comenzar por determinar el dominio de la función. La función $y = \dfrac{1}{4 -x^{2}}$ no está definida cuando $4 -x^{2} = 0$, es decir, cuando $x = 2$ o $x = -2$, por lo tanto el dominio de la función es $D = (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty)$, entonces el intervalo de solución es cualquiera que no contenga al $-2$ ni al $2$, el problema nos pide determinar al menos un intervalo de solución, podemos entonces considerar el intervalo $\delta = (2, \infty)$ como el intervalo de solución para la EDO.

Gráfica de la función $\dfrac{1}{4 -x^{2}}$
Curva solución de la EDO en el intervalo $(2, \infty)$

$\square$

Soluciones explícitas y soluciones implícitas

De tus cursos de cálculo recordarás que una función es explícita si se puede escribir como $y = f(x)$, es decir, si la variable dependiente se puede despejar, mientras que una función implícita esta dada por la forma $f(x, y) = 0$. Ya sabemos que las soluciones a las ecuaciones diferenciales son funciones por lo que estos conceptos se pueden extender a las soluciones de una ED.

Definición: Una solución en la cual la variable dependiente se expresa sólo en términos de la variable independiente y las constantes se dice que es una solución explícita.

Una solución explicita $y = f(x)$ la podemos manejar, evaluar y derivar usando las reglas usuales. Más adelante nos encontraremos con soluciones en las que no es factible obtener la forma explicita y tendremos que hallar al menos una forma implícita de la solución.

Definición: Una relación $G(x, y) = 0$ es una solución implícita de una ecuación diferencial ordinaria en un intervalo $\delta$, suponiendo que existe al menos una función $f$ que satisface la relación así como la ecuación diferencial en $\delta$.

Ejemplo: Verificar que la relación $x^{2} + y^{2} = 100$ es solución implícita de la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y}$ y encontrar las soluciones explícitas.

Solución: Primero es importante notar que, de acuerdo a la definición de solución implícita, la relación se puede escribir como $G(x, y) = x^{2} + y^{2} -100 = 0$. Ahora derivando la relación $x^{2} + y^{2} -100 = 0$ implícitamente obtenemos que:

\begin{align*}
\dfrac{d}{dx} x^{2} + \dfrac{d}{dx} y^{2} -\dfrac{d}{dx} 100 &= \dfrac{d}{dx}0 \\
2x + \dfrac{d}{dy}\dfrac{dy}{dx} y^{2} -0 &= 0 \\
2x + 2y \dfrac{dy}{dx} &= 0
\end{align*}

De la última relación despejamos $\dfrac{dy}{dx}$ obteniendo así la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y}$. Por lo tanto $x^{2} + y^{2} = 100$ es una solución implícita de la EDO. El intervalo de solución es $\delta = (-10, 10)$.

Gráfica de la solución implícita $x^{2} + y^{2} = 100$

A la relación $x^{2} + y^{2} = 100$ la llamamos solución implícita porque no esta despejada la variable dependiente $y$, sin embargo la podemos despejar para obtener la solución explícita, despejando obtenemos dos resultados posibles: $y = \pm \sqrt{100 -x^{2}}$. Las dos funciones $y = f_{1}(x) = \sqrt{100 -x^{2}}$ y $y = f_{2}(x) = -\sqrt{100 -x^{2}}$ satisfacen la relación $(x^{2} + f_{1}^{2} = 100$ y $x^{2} + f_{2}^{2} = 100)$ y la ecuación diferencial, por lo tanto ambas son soluciones explícitas de la EDO en el mismo intervalo $\delta = (-10, 10)$ . En las siguientes gráficas se muestran las curvas solución de las soluciones explícitas.

Solución explícita $y = \sqrt{100 -x^{2}}$
Solución explícita $y = -\sqrt{100 -x^{2}}$

Podemos observar que cada solución explícita corresponde a un tramo de la solución implícita y ambas soluciones forman la solución implícita.

$\square$

Con el ejemplo anterior vemos que es importante entender las circunstancias del problema para poder determinar la solución adecuada a la EDO, en este caso la solución implícita involucra a las dos soluciones explícitas y nos permite conocer más acerca del problema. Cabe mencionar que no siempre será necesario o posible obtener la solución explícita, en el ejemplo que vimos fue muy sencillo obtener la función $y$ en términos de $x$ y la constante $100$ pero no siempre será el caso así que obtener la solución implícita G(x, y) = 0 puede definir perfectamente bien a una función derivable que es una solución de una EDO. Otro punto importante a observar es que al derivar la constante $100$ se obtiene un cero, eso significa que, independientemente del valor de la constante, al derivar siempre vamos a obtener un cero, considerando esto, la forma más general de expresar la relación anterior es $x^{2} + y^{2} = c$ donde $c$ es una constante arbitraria, puedes comprobar que al derivar de nuevo implícitamente se recupera la EDO y debido a que hay una infinidad de valores que puede tomar $c$ (en el campo de los reales) entonces significa que la EDO ¡tiene infinitas soluciones!.

En efecto, una EDO puede tener una infinidad de soluciones así que dependerá del problema o las condiciones, la solución que debamos considerar. A pesar de que una EDO puede tener infinitas soluciones es posible encontrar un solución general que satisfaga la EDO.

Familias de soluciones

Al resolver una EDO de primer orden $F(x, y , y^{\prime}) = 0$ normalmente se obtiene una solución que contiene una sola constante arbitraria $c$

Definición: Una solución que contiene una constante arbitraria $G(x, y, c) = 0$ representa un conjunto de soluciones llamado familia de soluciones uniparamétrica.

Este concepto se puede extender a una EDO de orden $n$, $F(x, y, y^{\prime}, …, y^{(n)}) = 0$, en este caso la solución $G(x, y, c_{1}, c_{2}, …, c_{n}) = 0$ corresponde a una familia de soluciones $n$-paramétrica.

Definición: A la función que satisface una ecuación diferencial y que contiene una o más constantes arbitrarias se le llama solución general.

En el ejemplo que vimos, la relación $x^{2} + y^{2} = c$ corresponde a la solución general de la EDO $\dfrac{dy}{dx} = – \dfrac{x}{y}$, mientras que la relación $x^{2} + y^{2} = 100$ corresponde a una posible solución, en este caso decimos que es una solución particular.

Definición: A la función que satisface una ecuación diferencial y cuyas constantes toman un valor específico se le conoce como solución particular.

Ejemplo: Mostrar que la función $y = 3x^{2} + c_{1}x + c_{2}$ con $c_{1}$ y $c_{2}$ constantes arbitrarias, es solución general de la ecuación diferencial $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = 6$

Solución: Necesitamos conocer el valor de $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$, para ello derivemos dos veces la función $y = 3x^{2} + c_{1}x + c_{2}$. Derivando una vez obtenemos:

\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{d}{dx}(3x^{2}) + \dfrac{d}{dx}(c_{1}x) + \dfrac{d}{dx}(c_{2}) \\
&= 2(3x) + c_{1} + 0 \\
&= 6x + c_{1}
\end{align*}

Ahora tenemos la función $y^{\prime} = \dfrac{dy}{dx} = 6x + c_{1}$, derivando de nuevo obtenemos:

\begin{align*}
\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} &= \dfrac{d}{dx}(6x) + \dfrac{d}{dx}(c_{1}) \\
&= 6 + 0 \\
&= 6
\end{align*}

Obteniendo así que $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = 6$, por lo tanto, la función $y = 3x^{2} + c_{1}x + c_{2}$ es solución de la ecuación diferencial, sabemos que es una solución general porque satisface la EDO de segundo orden y contiene dos constantes arbitrarias. Una posible solución particular sería la función $y = 3x^{2} + 10x -5$ o $y = 3x^{2} -0.2x + 155$, etcétera. En este caso no hay restricciones de valores para $x$ por lo que el intervalo de solución puede ser cualquiera en $\mathbb{R}$ o bien $\delta = \mathbb{R}$

$\square$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Comprueba que las siguientes funciones $y = f(x)$ son solución de la correspondiente EDO y establece un intervalo de solución $\delta$ que te parezca adecuado.
  • $2 \dfrac{dy}{dx} + y = 0$; $\hspace{1cm}$ $y = e^{-\dfrac{x}{2}}$
  • $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -6\dfrac{dy}{dx} + 13y = 0$; $\hspace{1cm}$ $y = e^{3x} \cos{(2x)}$
  • $(y -x) \dfrac{dy}{dx} = y -x + 8$; $\hspace{1cm}$ $y = x + 4\sqrt{x + 2}$
  1. Comprobar que las siguientes familias de soluciones son solución a la correspondiente EDO y establece un intervalo de solución $\delta$ que te parezca adecuado.
  • $\dfrac{dy}{dx} = y(1 -y)$; $\hspace{1cm}$ $y = \dfrac{c_{1}e^{x}}{1 + c_{1}e^{x}}$
  • $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -4\dfrac{dy}{dx} + 4y = 0$; $\hspace{1cm}$ $y = c_{1}e^{2x} + c_{2}xe^{2x}$

Más adelante…

En esta entrada hemos aprendido algunas propiedades de las funciones solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Ahora sabemos que existen soluciones generales o familias de soluciones a una ecuación, sin embargo en algunas situaciones nos veremos en la necesidad de conocer una solución particular debido a condiciones prescritas según el problema que estemos estudiando, a estas condiciones prescritas las llamamos condiciones iniciales y serán las que establezcan una solución particular que nos sirva para modelar nuestro problema. En la siguiente entrada estudiaremos las soluciones a las EDO con condiciones iniciales y estudiaremos algunos problemas de la vida real que involucran ecuaciones diferenciales ordinarias.

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