Ecuaciones Diferenciales I: Soluciones a las ecuaciones diferenciales

Las matemáticas son la puerta y la llave a la ciencia.
Roger Bacon

Introducción

En la entrada anterior aprendimos lo que son las ecuaciones diferenciales (ED), en particular las ecuaciones diferenciales de una variable independiente (ordinarias) con las que trabajaremos a lo largo del curso. Aprendimos también a clasificarlas por tipo, orden y linealidad.

Mencionábamos que lo que nos interesa al momento de tener una ecuación diferencial es hallar la función involucrada que depende de la variable independiente, hallar dicha función significa que hemos resuelto la ecuación diferencial y a la función hallada la llamaremos función solución, o simplemente solución. Antes de aprender a resolver ecuaciones diferenciales, en esta entrada estudiaremos las propiedades mismas de una solución.

Soluciones de ecuaciones diferenciales

Definición: Una solución de una ecuación diferencial es una función $f$ definida en un intervalo $\delta$ que tiene al menos $n$ derivadas continuas en $\delta$ y que al sustituirlas en la ecuación diferencial ordinaria de $n$-ésimo orden reducen la ecuación a la identidad.

Una función $f$ es solución si para una ecuación diferencial ordinaria de $n$-ésimo orden cumple lo siguiente.

$$F(x, f(x), f^{\prime}(x), \cdots, f^{(n)}(x)) = 0 \tag{1} \label{1}$$

Para toda $x \in \delta$. En este curso supondremos que una solución $f$ es una función con valores reales, es decir, $\delta \in \mathbb{R}$.

El intervalo de solución $\delta$ también es conocido como intervalo de definición, intervalo de existencia, intervalo de validez o dominio de la solución y puede ser un intervalo abierto $(a, b)$, un intervalo cerrado $[a, b]$, un intervalo infinito $(a, \infty)$, etcétera.

Definición: Si la función $f(x) = 0$ es solución de una ecuación diferencial en un intervalo $\delta$, decimos que $f$ es la solución trivial.

Ejemplo: Verificar que la función

$$f(x) = y = \dfrac{1}{x}$$

es solución de la ecuación diferencial

$$x \dfrac{dy}{dx} + y = 0$$

Solución: Consideremos la función $y = \dfrac{1}{x}$. La derivada de esta función es

$$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{x^{2}}$$

Sustituyamos estas funciones en la ecuación diferencial y verifiquemos que se satisface la igualdad.

\begin{align*}
x \dfrac{dy}{dx} + y &= x \left( -\dfrac{1}{x^{2}} \right) + \dfrac{1}{x} \\
&= -\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} \\
&= 0
\end{align*}

Como hemos recuperado la ecuación diferencial decimos que en efecto $y = \dfrac{1}{x}$ es solución. Observemos que la solución no está definida para $x = 0$, sin embargo, al ser solución significa que es una función definida en un intervalo $\delta$ en el que es derivable y satisface la ecuación, esto indica que $y$ es solución en cualquier intervalo que no contenga al $0$.

Como observación notemos que la función $f(x) = y = 0$ y la derivada correspondiente $\dfrac{dy}{dx} = 0$, también satisfacen la misma ecuación diferencial, entonces decimos que dicha ecuación diferencial tiene solución trivial.

Como podemos notar, tanto la función $y = \dfrac{1}{x}$, como la función constante $y = 0$, son solución de la misma ecuación diferencial, ¡esto significa que una ecuación diferencial puede tener más de una solución!.

$\square$

Curva solución de una ecuación diferencial

Las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de una variable dependiente son funciones de una variable independiente, por lo tanto se pueden graficar en el plano $XY$. De acuerdo a la definición de solución, y al ejemplo anterior, es importante hacer una distinción entre el dominio de una función (los valores para los cuales la función está definida) y un intervalo de solución.

Definición: La gráfica de una solución $f(x)$ de una ecuación diferencial ordinaria se llama curva solución.

Si $f(x)$ es solución de una ecuación diferencial, entonces $f(x)$ es derivable, lo que también significa que es continua en su intervalo de definición $\delta$, esto es necesario para ser solución y no siempre va a ocurrir para todo el dominio de la función $f$. Puede haber diferencia entre la gráfica de la función $f(x)$ y la gráfica de la solución $f(x)$. En el ejemplo anterior el dominio de la función $y = \dfrac{1}{x}$ es $D = \mathbb{R} -\{0\}$, mientras que el intervalo de solución es cualquier intervalo que no contenga al $0$, por ejemplo $\delta = (-\infty, -1)$, $\delta = (5, 100)$ o $\delta = (1, \infty)$, etcétera. El intervalo de solución no necesita ser igual al dominio de la función $f(x)$.

Gráfica de la función $y = \dfrac{1}{x}$.
Curva solución definida por $y = \dfrac{1}{x}$ en el intervalo $\delta = (1, 100)$.

Ejemplo: Comprobar que la función

$$f(x) = y = \dfrac{1}{4 -x^{2}}$$

es solución de la ecuación diferencial

$$\dfrac{dy}{dx} = 2xy^{2}$$

y determinar al menos un intervalo de solución.

Solución: La función dada es

$$y = \dfrac{1}{4 -x^{2}}$$

La derivada de esta función es

$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2x}{(4 -x^{2})^{2}}$$

Esta ecuación se puede reescribir de la siguiente manera:

\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{2x}{(4 -x^{2})^{2}} \\
&= 2x \dfrac{1}{(4 -x^{2})^{2}} \\
&= 2x \left(\dfrac{1}{4 -x^{2}}\right) ^{2} \\
&= 2xy^{2}
\end{align*}

Esto es

$$\dfrac{dy}{dx} = 2xy^{2}$$

Efectivamente, la función dada es solución de la ecuación diferencial.

Ahora debemos determinar un intervalo de solución, para hacerlo podemos comenzar por determinar el dominio de la función. La función $y = \dfrac{1}{4 -x^{2}}$ no está definida cuando $4 -x^{2} = 0$, es decir, cuando $x = 2$ o $x = -2$, por lo tanto el dominio de la función es

$$D = (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty)$$

El intervalo de solución es cualquiera que no contenga al $-2$ ni al $2$, el ejercicio nos pide determinar al menos un intervalo de solución, podemos entonces considerar el intervalo abierto$\delta = (2, \infty)$ como el intervalo de solución.

Gráfica de la función $\dfrac{1}{4 -x^{2}}$.
Curva solución en el intervalo $ \delta = (2, \infty)$.

$\square$

Soluciones explícitas y soluciones implícitas

Recordemos que una función es explícita si se puede escribir como $y = f(x)$, es decir, si la variable dependiente se puede escribir en términos de la variable independiente, mientras que una función implícita esta dada por la forma $f(x, y) = 0$. Ya sabemos que las soluciones de las ecuaciones diferenciales son funciones por lo que estos conceptos se pueden extender a estas soluciones.

Definición: Una solución en la cual la variable dependiente se expresa sólo en términos de la variable independiente y las constantes se dice que es una solución explícita.

Definición: Una relación $G(x, y) = 0$ es una solución implícita de una ecuación diferencial ordinaria en un intervalo $\delta$, suponiendo que existe al menos una función $f$ que satisface la relación así como la ecuación diferencial en $\delta$.

Una solución explicita $y = f(x)$ la podemos manejar, evaluar y derivar usando las reglas usuales. Más adelante nos encontraremos con soluciones en las que no es factible obtener la forma explicita y tendremos que hallar al menos una forma implícita de la solución.

Ejemplo: Verificar que la relación

$$x^{2} + y^{2} = 100$$

es una solución implícita de la ecuación diferencial

$$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y}$$

y determinar las soluciones explícitas.

Solución: Primero notemos que, de acuerdo a la definición de solución implícita, la relación dada se puede escribir como

$$G(x, y) = x^{2} + y^{2} -100 = 0$$

Derivemos esta ecuación implícitamente.

\begin{align*}
\dfrac{d}{dx} \left( x^{2} + y^{2} -100 \right) &= \dfrac{d}{dx} (0) \\
\dfrac{d}{dx} (x^{2}) + \dfrac{d}{dx} (y^{2}) -\dfrac{d}{dx} (100) &= \dfrac{d}{dx} (0) \\
2x + \dfrac{d}{dy}y^{2}\dfrac{dy}{dx} -0 &= 0 \\
2x + 2y \dfrac{dy}{dx} &= 0
\end{align*}

De la última relación despejamos $\dfrac{dy}{dx}$ obteniendo así la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y}$. Por lo tanto $x^{2} + y^{2} = 100$ es una solución implícita. El intervalo de solución es $\delta = (-10, 10)$.

Gráfica de la solución implícita $x^{2} + y^{2} = 100$

La relación $x^{2} + y^{2} = 100$ es una solución implícita ya que no es de la forma $y = f(x)$, sin embargo se puede obtener la solución explícita con sólo despejar a $y$.

$$y = \pm \sqrt{100 -x^{2}}$$

Pero notemos que ahora tenemos dos soluciones.

$$y = f_{1}(x) = \sqrt{100 -x^{2}} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} y = f_{2}(x) = -\sqrt{100 -x^{2}}$$

Estas funciones satisfacen respectivamente $x^{2} + f_{1}^{2} = 100$ y $x^{2} + f_{2}^{2} = 100$, además de la ecuación diferencial. Por lo tanto, ambas son soluciones explícitas en el mismo intervalo $\delta = (-10, 10)$ .

En las siguientes gráficas se muestran las curvas solución de cada solución explícita.

Curva solución $y = \sqrt{100 -x^{2}}$.
Curva solución $y = -\sqrt{100 -x^{2}}$.

Observamos que cada solución explícita corresponde a un tramo de la solución implícita y ambas forman dicha solución.

$\square$

Con este ejemplo vemos que es importante entender las circunstancias del problema para poder determinar la solución adecuada de la ecuación diferencial. En este caso la solución implícita involucra a las dos soluciones explícitas y nos permite conocer más acerca del problema. Cabe mencionar que no siempre será necesario o posible obtener la solución explícita, en el ejemplo fue sencillo obtener la función $y$ en términos de $x$, pero no siempre será el caso y obtener la solución implícita $G(x, y) = 0$ será suficiente.

Otro punto importante a observar es que al derivar la constante $100$ se obtiene un cero, eso significa que, independientemente del valor de la constante, al derivar siempre vamos a obtener un cero, considerando esto, la forma más general de expresar la relación anterior es

$$x^{2} + y^{2} = c$$

donde $c$ es una constante arbitraria. Si derivamos obtendremos nuevamente la ecuación diferencial

$$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y}$$

Debido a que hay una infinidad de valores que puede tomar $c$ (en el campo de los reales), entonces significa que la ecuación diferencial ¡tiene infinitas soluciones!.

En efecto, una ecuación diferencial puede tener una infinidad de soluciones, así que dependerá del problema o de las condiciones, la solución que debamos considerar. A pesar de que una ecuación diferencial puede tener infinitas soluciones es posible encontrar un solución general que considere todas las posibilidades.

Familias de soluciones

Al resolver una ecuación diferencial de primer orden

$$F(x, y , y^{\prime}) = 0 \label{2} \tag{2}$$

normalmente se obtiene una solución que contiene una sola constante arbitraria $c$.

Definición: Una solución que contiene una constante arbitraria

$$G(x, y, c) = 0 \label{3} \tag{3}$$

representa un conjunto de soluciones llamado familia de soluciones uniparamétrica.

Este concepto se puede extender a una ecuación diferencial de orden $n$

$$F(x, y, y^{\prime}, \cdots, y^{(n)}) = 0 \label{4} \tag{4}$$

en este caso la solución

$$G(x, y, c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}) = 0 \label{5} \tag{5}$$

corresponde a una familia de soluciones $n$-paramétrica.

Definición: A la función que satisface una ecuación diferencial y que contiene una o más constantes arbitrarias se le llama solución general.

En el ejemplo que vimos, la relación

$$x^{2} + y^{2} = c$$

corresponde a la solución general de la ecuación diferencial

$$\dfrac{dy}{dx} = – \dfrac{x}{y}$$

mientras que la relación

$$x^{2} + y^{2} = 100$$

corresponde a una posible solución, en este caso decimos que es una solución particular.

Definición: A la función que satisface una ecuación diferencial y cuyas constantes toman un valor específico se le conoce como solución particular.

Concluyamos esta entrada con un último ejemplo.

Ejemplo: Mostrar que la función

$$y(x) = 3x^{2} + c_{1}x + c_{2}$$

con $c_{1}$ y $c_{2}$ constantes arbitrarias, es solución general de la ecuación diferencial

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = 6$$

Solución: Derivemos dos veces la función dada y veamos si obtenemos la ecuación diferencial. Derivando una vez obtenemos lo siguiente.

\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{d}{dx}(3x^{2}) + \dfrac{d}{dx}(c_{1}x) + \dfrac{d}{dx}(c_{2}) \\
&= 2(3x) + c_{1} + 0 \\
&= 6x + c_{1}
\end{align*}

La primer derivada es

$$ \dfrac{dy}{dx} = 6x + c_{1}$$

Derivemos nuevamente esta función.

\begin{align*}
\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} &= \dfrac{d}{dx}(6x) + \dfrac{d}{dx}(c_{1}) \\
&= 6 + 0 \\
&= 6
\end{align*}

Efectivamente

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = 6$$

Por lo tanto, la función

$$y(x) = 3x^{2} + c_{1}x + c_{2}$$

es solución de la ecuación diferencial. Sabemos que es la solución general porque satisface a la ecuación diferencial de segundo orden y contiene dos constantes arbitrarias. Una posible solución particular sería la función

$$y(x) = 3x^{2} + 10x -5$$

o

$$y(x) = 3x^{2} -0.2x + 155$$

etcétera. En este caso no hay restricciones de valores para $x$ por lo que el intervalo de solución puede ser cualquiera en $\mathbb{R}$ o bien $\delta = \mathbb{R}$

$\square$

Hemos concluido la entrada.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Comprobar que las siguientes funciones $y = f(x)$ son solución de la correspondiente ecuación diferencial y establecer un adecuado intervalo de solución $\delta$.
  • $2 \dfrac{dy}{dx} + y = 0$; $\hspace{1cm}$ $y = e^{-x/2}$
  • $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -6\dfrac{dy}{dx} + 13y = 0$; $\hspace{1cm}$ $y = e^{3x} \cos{(2x)}$
  • $(y -x) \dfrac{dy}{dx} = y -x + 8$; $\hspace{1cm}$ $y = x + 4\sqrt{x + 2}$
  1. Comprobar que las siguientes familias de soluciones son solución de la correspondiente ecuación diferencial y establecer un adecuado intervalo de solución $\delta$.
  • $\dfrac{dy}{dx} = y(1 -y)$; $\hspace{1cm}$ $y = \dfrac{c_{1}e^{x}}{1 + c_{1}e^{x}}$
  • $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -4\dfrac{dy}{dx} + 4y = 0$; $\hspace{1cm}$ $y = c_{1}e^{2x} + c_{2}xe^{2x}$

Más adelante…

Ahora ya conocemos algunas características de las funciones solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Sabemos que existen soluciones generales, o familias de soluciones, de una ecuación diferencial, sin embargo en algunas situaciones nos veremos en la necesidad de conocer una solución particular debido a condiciones prescritas según el problema que estemos estudiando, a estas condiciones prescritas las llamamos condiciones iniciales (o valores iniciales) y serán las que establezcan una solución particular que nos sirva para modelar nuestro problema. En la siguiente entrada estudiaremos soluciones con condiciones iniciales y revisaremos algunos problemas de la vida real que involucran ecuaciones diferenciales ordinarias.

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