Ecuaciones Diferenciales I: Sistemas de ecuaciones diferenciales

El conocimiento de las matemáticas añade vigor a la mente,
la libera del prejuicio, credulidad y superstición.
– John Arbuthnot

Introducción

¡Bienvenidos a la tercera unidad del curso de Ecuaciones Diferenciales I!.

En esta unidad estudiaremos los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

En la unidad 1 de este curso estudiamos el sistema Depredador – Presa, en nuestro análisis el modelo matemático determinado fue el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales.

\begin{align*}
\dfrac{dC}{dt} &= aC(t) -bC(t)Z(t) \\
\dfrac{dZ}{dt} &= -cZ(t) + dC(t)Z(t)
\end{align*}

Puedes revisar la entrada correspondiente para recordar que representa cada una de las variables y constantes.

Este sistema fue nuestro primer ejemplo de un sistema de ecuaciones diferenciales y en esta unidad nuestro propósito será desarrollar distintos métodos que nos permitan resolver sistemas de hasta $n > 2$ ecuaciones diferenciales acopladas.

Es importante mencionar que a lo largo de esta unidad usaremos un enfoque matricial, por lo que es recomendable tener presente, al menos, la teoría básica sobre matrices y sus operaciones y propiedades vistas en el curso de Álgebra Lineal I.

En esta entrada comenzaremos por definir los que es un sistema de ecuaciones diferenciales, sus propiedades y veremos cómo es que la notación matricial nos puede ayudar.

¡Comencemos!

Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

En esta unidad, a menos que indiquemos lo contrario, la variable independiente se denotará por $t$, mientras que las variables dependientes de $t$ por

$$y_{1} = y_{1}(t), \hspace{0.5cm} y_{2} = y_{2}(t), \hspace{0.5cm} \cdots, \hspace{0.5cm} y_{n} = y_{n}(t)$$

y las funciones $F_{i}$, $i = 1, 2, 3, \cdots, n$ son funciones con valores reales que dependen de las $n + 1$ variables en un intervalo $\delta$.

Notación: Para mayor comodidad, en esta unidad usaremos la notación de prima para la derivada.

$$\dfrac{dy}{dt} = y^{\prime}(t) \label{2} \tag{2}$$

Con esta notación el sistema de ecuaciones (\ref{1}) se puede escribir de la siguiente manera.

\begin{align*}
y_{1}^{\prime}(t) &= F_{1}(t, y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}) \\
y_{2}^{\prime}(t) &= F_{2}(t, y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}) \\
&\vdots \\
y_{n}^{\prime}(t) &= F_{n}(t, y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}) \label{3} \tag{3}
\end{align*}

En el sistema lineal (\ref{5}) se supone que los coeficientes $a_{ij}(t)$, así como las funciones $g_{i}(t)$, $i, j = \{1, 2, 3, \cdots, n \}$ son continuas en un intervalo común $\delta$.

Ejemplo: El sistema de ecuaciones diferenciales

\begin{align*}
y_{1}^{\prime}(t) &= -3y_{1} + 4y_{2} -9y_{3} \\
y_{2}^{\prime}(t) &= 6y_{1} -y_{2} \\
y_{3}^{\prime}(t) &= 10y_{1} + 4y_{2} + 3y_{3}
\end{align*}

es un sistema lineal de primer orden compuesto por tres ecuaciones diferenciales lineales de primer orden cada una.

Notación: Si el sistema es de dos o tres ecuaciones diferenciales denotaremos por $x(t), y(t)$ o $x(t), y(t)$, $z(t)$ a las variables dependientes de $t$, respectivamente.

Considerando esta notación, el sistema del ejemplo anterior se puede escribir de la siguiente manera.

\begin{align*}
x^{\prime}(t) &= -3x + 4y -9z\\
y^{\prime}(t) &= 6x -y \\
z^{\prime}(t) &= 10x + 4y + 3z
\end{align*}

Problema de valores iniciales

Es posible demostrar la existencia y unicidad de soluciones de sistemas tanto lineales como no lineales (caso general) y de soluciones a sistemas lineales homogéneos y no homogéneos (casos particulares), sin embargo las demostraciones de estos teoremas suelen ser bastantes extensas y complejas para nosotros en estos momentos, ya que requieren de herramientas matemáticas que aún desconocemos. A continuación enunciamos el teorema de existencia y unicidad para el caso general y para el caso lineal homogéneo.

En este teorema la región $R$ se construye con el producto cartesiano de los intervalos abiertos en los que $t_{0} \in \delta$, $b_{1} \in \delta_{1}$, $b_{2} \in \delta_{2}$, $\cdots$, $b_{n} \in \delta_{n}$, así $(t_{0}, b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}) \in R$.

Para el caso particular de sistemas lineales homogéneos, el teorema de existencia y unicidad se puede enunciar de la siguiente forma.

Como mencionamos antes, es complejo demostrar estos teoremas, sin embargo más adelante en esta unidad los retomaremos y los justificaremos. Por ahora hay que tener en cuenta que para el caso general se requiere de volver a algunos de los conceptos vistos para demostrar el teorema de existencia y unicidad de Picard – Lindelöf de la primera unidad y para los casos particulares ¡la definición de exponencial de una matriz nos ayudará a demostrarlos!.

Ahora veamos la utilidad de la notación matricial.

Sistemas lineales de primer orden en forma matricial

Daremos por hecho que se conocen las operaciones y propiedades básicas de las matrices, así como algunas propiedades de espacios vectoriales vistas en el curso de Álgebra Lineal I.

Definamos las siguientes matrices de funciones.

$$\mathbf{Y}(t) = \begin{pmatrix}
y_{1}(t) \\ y_{2}(t) \\ \vdots \\ y_{n}(t)
\end{pmatrix} \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} \mathbf{Y^{\prime}}(t) = \begin{pmatrix}
y_{1}^{\prime}(t) \\ y_{2}^{\prime}(t) \\ \vdots \\ y_{n}^{\prime}(t)
\end{pmatrix} $$

y

$$\mathbf{A}(t) = \begin{pmatrix}
a_{11}(t) & a_{12}(t) & \cdots & a_{1n}(t) \\
a_{21}(t) & a_{22}(t) & \cdots & a_{2n}(t) \\
\vdots & & & \vdots \\
a_{n1}(t) & a_{n2}(t) & \cdots & a_{nn}(t)
\end{pmatrix}, \hspace{1cm}
\mathbf{G}(t) = \begin{pmatrix}
g_{1}(t) \\ g_{2}(t) \\ \vdots \\ g_{n}(t)
\end{pmatrix}$$

Usando estas matrices, el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (\ref{5}) se puede escribir de la siguiente manera.

$$\begin{pmatrix}
y_{1}^{\prime}(t) \\ y_{2}^{\prime}(t) \\ \vdots \\ y_{n}^{\prime}(t)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a_{11}(t) & a_{12}(t) & \cdots & a_{1n}(t) \\
a_{21}(t) & a_{22}(t) & \cdots & a_{2n}(t) \\
\vdots & & & \vdots \\
a_{n1}(t) & a_{n2}(t) & \cdots & a_{nn}(t)
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
y_{1}(t) \\ y_{2}(t) \\ \vdots \\ y_{n}(t)
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
g_{1}(t) \\ g_{2}(t) \\ \vdots \\ g_{n}(t)
\end{pmatrix} \label{8} \tag{8}$$

o bien,

$$\mathbf{Y^{\prime}} = \mathbf{AY} + \mathbf{G} \label{9} \tag{9}$$

Si el sistema es homogéneo, entonces escribimos

$$\mathbf{Y^{\prime}} = \mathbf{AY} \label{10} \tag{10}$$

La solución de un sistema lineal la podemos definir como sigue.

Usando la notación matricial, un PVI se puede escribir de la siguiente manera.

El teorema de existencia y unicidad para el caso lineal se puede enunciar de la siguiente forma.

Verifica que el sistema de ecuaciones diferenciales usado como ejemplo al inicio de la entrada se puede escribir en notación matricial de la siguiente forma.

$$\mathbf{Y}^{\prime} = \begin{pmatrix}
-3 & 4 & -9 \\ 6 & -1 & 0 \\ 10 & 4 & 3
\end{pmatrix} \mathbf{Y}$$

Veamos un ejemplo más.

Ejemplo: Escribir el siguiente sistema lineal en forma matricial.

\begin{align*}
x^{\prime}(t) &= x -y + z + t + 1 \\
y^{\prime}(t) &= 2x + y -z -3t^{2} \\
z^{\prime}(t) &= x + y + z + t^{2} -t + 2
\end{align*}

Solución: Primero escribamos cada lado de las ecuaciones en una matriz.

$$\begin{pmatrix}
x^{\prime}(t) \\ y^{\prime}(t) \\ z^{\prime}(t)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
x -y + z + t -1 \\ 2x + y -z -3t^{2} \\ x + y + z + t^{2} -t + 2
\end{pmatrix}$$

La matriz derecha la separamos en dos, una que contenga a las variables dependientes y otra a la variable independiente.

$$\begin{pmatrix}
x^{\prime}(t) \\ y^{\prime}(t) \\ z^{\prime}(t)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
x -y + z \\ 2x + y -z \\ x + y + z
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
t -1 \\ -3t^{2} \\ t^{2} -t + 2
\end{pmatrix}$$

Finalmente podemos escribir

$$\begin{pmatrix}
x^{\prime}(t) \\ y^{\prime}(t) \\ z^{\prime}(t)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
t -1 \\ -3t^{2} \\ t^{2} -t + 2
\end{pmatrix}$$

O bien,

$$\mathbf{Y}^{\prime} = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1
\end{pmatrix} \mathbf{Y} + \begin{pmatrix}
t -1 \\ -3t^{2} \\ t^{2} -t + 2
\end{pmatrix}$$

Donde,

$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \mathbf{G}(t) = \begin{pmatrix} t -1 \\ -3t^{2} \\ t^{2} -t + 2 \end{pmatrix}$$

$\square$

Usando la notación matricial verifiquemos que un vector solución en efecto es solución de un sistema lineal.

Ejemplo: Probar que el vector

$$\mathbf{Y} = \begin{pmatrix}
5 \cos(t) \\ 3 \cos(t) -\sin(t)
\end{pmatrix}e^{t}$$

es solución del sistema lineal

$$\begin{pmatrix}
x^{\prime}(t) \\ y^{\prime}(t)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-2 & 5 \\ -2 & 4
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x(t) \\ y(t)
\end{pmatrix}$$

Solución: El vector dado es

$$\mathbf{Y} = \begin{pmatrix}
x(t) \\ y(t)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
5e^{t} \cos(t) \\ 3e^{t} \cos(t) -e^{t} \sin(t)
\end{pmatrix}$$

Por una lado, derivemos el vector

$$\mathbf{Y}^{\prime} = \begin{pmatrix}
x^{\prime}(t) \\ y^{\prime}(t)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
5e^{t} \cos(t) -5e^{t} \sin(t) \\ 3e^{t} \cos(t) -3e^{t} \sin(t) -e^{t} \sin(t) -e^{t} \cos(t)
\end{pmatrix}$$

Esto es,

$$\mathbf{Y}^{\prime} = \begin{pmatrix}
5 \cos(t) -5 \sin(t) \\ 2 \cos(t) -4 \sin(t)
\end{pmatrix} e^{t}$$

Por otro lado, sustituyamos los valores de $x(t)$ y $y(t)$ en el sistema y veamos si se obtiene el mismo resultado.

$$\mathbf{Y}^{\prime} = \begin{pmatrix}
-2 & 5 \\ -2 & 4
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
5e^{t} \cos(t) \\ 3e^{t} \cos(t) -e^{t} \sin(t)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-10e^{t} \cos(t) + 15e^{t} \cos(t) -5e^{t} \sin(t) \\ -10e^{t} \cos(t) + 12e^{t} \cos(t) -4e^{t} \sin(t)
\end{pmatrix}$$

Esto es,

$$\mathbf{Y}^{\prime} = \begin{pmatrix}
5 \cos(t) -5 \sin(t) \\ 2 \cos(t) -4 \sin(t)
\end{pmatrix} e^{t}$$

Como el resultado es el mismo concluimos que, en efecto, el vector $\mathbf{Y}$ es solución del sistema lineal dado.

$\square$

Para concluir con esta entrada veamos un resultado interesante que nos conecta con la unidad anterior.

¡Una ecuación diferencial de orden $n \geq 2$ lineal puede ser reescrita como un sistema lineal de $n$ ecuaciones de primer orden!.

Reducción de una ecuación de orden $n$ a un sistema de ecuaciones

Consideremos una ecuación diferencial lineal de orden $n$.

$$a_{n}(x) \dfrac{d^{n}y}{dx^{n}} + a_{n -1}(x) \dfrac{d^{n -1}y}{dx^{n -1}} + \cdots + a_{1}(x) \dfrac{dy}{dx} + a_{0}(x)y = g(x) \label{13} \tag{13}$$

Para adaptar este ejercicio a la notación que estamos usando en esta entrada tomemos a $x = x(t)$ como la variable dependiente de $t$ y dividamos toda la ecuación por $a_{n}(t) \neq 0$, tal que se obtenga la siguiente ecuación de orden $n$.

$$\dfrac{dx^{n}}{dt^{n}} + b_{1}(t) \dfrac{d^{n -1}x}{dt^{n -1}} + \cdots + b_{n -2}(t) \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} + b_{n -1}(t) \dfrac{dx}{dt} + b_{n}(t)x = g(t) \label{14} \tag{14}$$

Ahora realicemos las siguientes definiciones.

$$y_{1} = x, \hspace{1cm} y_{2} = \dfrac{dx}{dt}, \hspace{1cm} y_{3} = \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}, \hspace{1cm} \cdots, \hspace{1cm} y_{n} = \dfrac{d^{n -1}x}{dt^{n -1}} \label{15} \tag{15}$$

y notemos que

$$y^{\prime}_{1} = \dfrac{dx}{dt}, \hspace{1cm} y^{\prime}_{2} = \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}, \hspace{1cm} y^{\prime}_{3} = \dfrac{d^{3}x}{dt^{3}}, \hspace{1cm} \cdots, \hspace{1cm} y^{\prime}_{n -1} = \dfrac{d^{n -1}x}{dt^{n -1}} \label{16} \tag{16}$$

De los resultados (\ref{15}) y (\ref{16}) obtenemos que

$$y^{\prime}_{1} = y_{2}, \hspace{1cm} y^{\prime}_{2} = y_{3}, \hspace{1cm} y^{\prime}_{3} = y_{4}, \hspace{1cm} \cdots, \hspace{1cm} y^{\prime}_{n -1} = y_{n} \label{17} \tag{17}$$

Para obtener $y^{\prime}_{n}$ sólo despejamos de la ecuación diferencial (\ref{14}).

$$y^{\prime}_{n} = \dfrac{d^{n}x}{dt^{n}} = g(t) -b_{1}(t) \dfrac{d^{n -1}x}{dt^{n -1}} -\cdots -b_{n -2}(t) \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} -b_{n -1}(t) \dfrac{dx}{dt} -b_{n}(t)x$$

Si usamos (\ref{15}) podemos escribir

$$y^{\prime}_{n} = g(t) -b_{1}(t)y_{n} -\cdots -b_{n -2}(t)y_{3} -b_{n -1}(t)y_{2} -b_{n}(t)y_{1} \label{18} \tag{18}$$

Con estos resultados nos damos cuenta que hemos formado un sistema lineal de $n$ ecuaciones diferenciales.

\begin{align*}
y^{\prime}_{1} &= y_{2} \\
y^{\prime}_{2} &= y_{3} \\
y^{\prime}_{3} &= y_{4} \\
&\vdots \\
y^{\prime}_{n -1} &= y_{n} \\
y^{\prime}_{n} &= g(t) -b_{1}(t)y_{n} -\cdots -b_{n -2}(t)y_{3} -b_{n -1}(t)y_{2} -b_{n}(t)y_{1}
\end{align*}

Usando la notación matricial obtenemos finalmente que

$$\begin{pmatrix}
y^{\prime}_{1}(t) \\ y^{\prime}_{2}(t) \\ \vdots \\ y^{\prime}_{n -1}(t) \\ y^{\prime}_{n}(t)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -b_{n}(t) & -b_{n-1}(t) & -b_{n-2}(t) & \cdots & -b_{1}(t)
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
y_{1}(t) \\ y_{2}(t) \\ \vdots \\ y_{n -1}(t) \\ y_{n}(t)
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ g(t)
\end{pmatrix}$$

Esto por supuesto trae muchas ventajas, ya que en ocasiones será mucho más sencillo resolver un sistema de $n$ ecuaciones con los métodos que veremos más adelante que intentar resolver la ecuación de orden $n$ con los métodos desarrollados en la unidad anterior.

Para que quede más claro el procedimiento anterior realicemos un ejemplo.

Ejemplo: Escribir la ecuación diferencial de orden $n = 4$

$$\dfrac{d^{4}x}{dt^{4}} + 12 \dfrac{d^{3}x}{dt^{3}} -5 \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} + 8x = 2 \cos(t)$$

en un sistema lineal usando notación matricial.

Solución: Aplicamos las definiciones de (\ref{15}) y (\ref{16}).

$$y_{1} = x, \hspace{1cm} y_{2} = \dfrac{dx}{dt} = y^{\prime}_{1}, \hspace{1cm} y_{3} = \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} = y^{\prime}_{2} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} y_{4} = \dfrac{d^{3}x}{dt^{3}} = y^{\prime}_{3}$$

Y de la ecuación diferencial obtenemos que

$$\dfrac{d^{4}x}{dt^{4}} = 2 \cos(t) -12y_{4} + 5y_{3} -8y_{1} = y^{\prime}_{4}$$

El sistema que se forma, es

\begin{align*}
y^{\prime}_{1} &= y_{2} \\
y^{\prime}_{2} &= y_{3} \\
y^{\prime}_{3} &= y_{4} \\
y^{\prime}_{4} &= 2 \cos(t) -12y_{4} + 5y_{3} -8y_{1}
\end{align*}

Por lo tanto, la ecuación diferencial de orden $4$ es equivalente al sistema lineal de $4$ ecuaciones diferenciales

$$\begin{pmatrix}
y^{\prime}_{1}(t) \\ y^{\prime}_{2}(t) \\ y^{\prime}_{3}(t) \\ y^{\prime}_{4}(t)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -8 & 0 & 5 & -12
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ y_{4}
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \cos (t)
\end{pmatrix}$$

$\square$

Hemos concluido con esta entrada.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Escribir los siguientes sistemas lineales en forma matricial.
  • $\begin{align*}
    x^{\prime}(t) &= 3x -5y \\
    y^{\prime}(t) &= 4x + 8y
    \end{align*}$
  • $\begin{align*}
    x^{\prime}(t) &= -3x + 4y + e^{-t} \sin(2t) \\
    y^{\prime}(t) &= 5x + 9z + 4e^{-t} \cos(2t) \\
    z^{\prime}(t) &= y + 6z -e^{-t}
    \end{align*}$
  1. Reescribir los siguientes sistemas lineales sin el uso de matrices.
  • $\mathbf{Y}^{\prime} = \begin{pmatrix}
    7 & 5 & -9 \\ 4 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 3 \\
    \end{pmatrix} \mathbf{Y} + \begin{pmatrix}
    0 \\ 2 \\ 1
    \end{pmatrix} e^{5t} -\begin{pmatrix}
    8 \\ 0 \\ 3
    \end{pmatrix} e^{-2t}$
  • $\begin{pmatrix}
    x^{\prime}(t) \\ y^{\prime}(t) \\ z^{\prime}(t)
    \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
    1 & -1 & 2 \\ 3 & -4 & 1 \\ -2 & 5 & 6
    \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
    x \\ y \\ z
    \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
    1 \\ 2 \\ 2
    \end{pmatrix} e^{-t} -\begin{pmatrix}
    3 \\ -1 \\ 1
    \end{pmatrix} t$
  1. Probar que el vector dado $\mathbf{Y}$ es solución del sistema lineal correspondiente.
  • $\mathbf{Y}^{\prime} = \begin{pmatrix}
    2 & 1 \\ -1 & 0
    \end{pmatrix} \mathbf{Y}, \hspace{1cm} \mathbf{Y} = \begin{pmatrix}
    1 \\ 3
    \end{pmatrix} e^{t} + \begin{pmatrix}
    4 \\ -4
    \end{pmatrix} te^{t}$
  • $\mathbf{Y}^{\prime} = \begin{pmatrix}
    1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & -1
    \end{pmatrix} \mathbf{Y}, \hspace{1cm} \mathbf{Y} = \begin{pmatrix}
    \sin(t) \\ -\dfrac{1}{2} \sin(t) -\dfrac{1}{2} \cos(t) \\ -\sin(t) + \cos(t)
    \end{pmatrix}$
  1. Escribir las siguientes ecuaciones diferenciales de orden superior en un sistema lineal usando notación matricial.
  • $\dfrac{d^{4}x}{dt^{4}} -10 \dfrac{d^{3}x}{dt^{3}} + 35 \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} -50 \dfrac{dx}{dt} + 24x = 0$
  • $\dfrac{d^{4}x}{dt^{4}} -4 \dfrac{d^{3}x}{dt^{3}} + 8 \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} -8 \dfrac{dx}{dt} + 4x = 8 \sin (2t)$

Más adelante…

Nos hemos introducido en los sistemas lineales de primer orden, en la siguiente entrada estudiaremos las propiedades de las soluciones de estos sistemas de manera muy similar que en el caso de las ecuaciones diferenciales de orden superior.

Veremos que mucho de lo visto en la unidad anterior aparecerá nuevamente, pues conceptos como dependencia e independencia lineal, conjunto fundamental de soluciones, Wronskiano, principio de superposición, entre otros, volverán a aparecer, sólo habrá que adaptarlos a los sistemas lineales.

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