Ecuaciones Diferenciales I: Ecuaciones diferenciales exactas

Introducción

Hemos comenzado con el estudio de las ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden, en la entrada anterior presentamos las ecuaciones de variables separables y las ecuaciones homogéneas, en esta entrada presentaremos las ecuaciones diferenciales exactas.

Ecuaciones diferenciales exactas

Definición: Si $z = f(x, y)$ es una función de dos variables con primeras derivadas parciales continuas en una región $U$ del plano $XY$, entonces su diferencial es

\begin{align}
dz = \dfrac{\partial f}{\partial x}dx + \dfrac{\partial f}{\partial y}dy \tag{1} \label{1}
\end{align}

Existe un caso especial en el que $f(x, y) = c$, donde $c$ es una constante, en este caso la diferencial, de acuerdo a la ecuación (\ref{1}), es

\begin{align}
\dfrac{\partial f}{\partial x}dx + \dfrac{\partial f}{\partial y}dy = 0 \tag{2} \label{2}
\end{align}

Esto significa que dada una familia de curvas $f(x, y) = c$ es posible generar una ecuación diferencial de primer orden si se calcula la diferencial de ambos lados de la igualdad.

Ejemplo: Sea $f(x, y) = 8x^{2}y -x^{3} + y^{2} = c$ una familia de curvas, calcular su diferencial.

Solución: De acuerdo a la definición de la diferencial de una función de dos variables (\ref{1}), necesitamos calcular $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ y $\dfrac{\partial f}{\partial y}$, por una lado

$$\dfrac{\partial f}{\partial x} = 16xy -3x^{2}$$

Y por otro lado

$$\dfrac{\partial f}{\partial y} = 8x^{2} + 2y$$

Por lo tanto, la diferencial de la función $f(x, y) = 8x^{2}y -x^{3} + y^{2} = c$ es

$$(16xy -3x^{2}) dx + (8x^{2} + 2y) dy = 0$$

$\square$

Definición: Una expresión diferencial $M(x, y) dx + N(x, y) dy$ es una diferencial exacta en una región $U$ del plano $XY$ si ésta corresponde a la diferencial de alguna función $f(x, y)$ definida en $U$.

En el ejemplo anterior vimos que $(16xy -3x^{2}) dx + (8x^{2} + 2y) dy$ corresponde a la diferencial de la función $f(x, y) = 8x^{2}y -x^{3} + y^{2}$, por lo tanto $(16xy -3x^{2}) dx + (8x^{2} + 2y) dy$ es una diferencial exacta.

No todas las ecuaciones de primer orden escritas en la forma $M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$ corresponden a una diferencial de alguna función $f(x, y) = c$, pero en el caso de serlo entonces la función $f(x, y) = c$ sería una solución implícita de la ecuación $M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$. Este tipo de ecuaciones tienen un nombre especial.

Definición: Una ecuación diferencial de primer orden de la forma

\begin{align}
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 \tag{3} \label{3}
\end{align}

se dice que es una ecuación exacta si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta.

Ejemplo: Sea la función $f(x, y) = e^{x} + xy + e^{y} = c$ una familia de curvas. Mostrar que la ecuación diferencial $(e^{x} + y)dx + (e^{y} + x)dy = 0$ es una ecuación exacta con respecto a la función $f(x, y)$.

Solución: Para verificar que es una ecuación exacta debemos verificar que el término $(e^{x} + y)dx + (e^{y} + x)dy$ sea una diferencial exacta.

Consideremos a la función $f(x, y) = e^{x} + xy + e^{y} = c$, por un lado

$$\dfrac{\partial f}{\partial x} = e^{x} + y$$

Y por otro lado

$$\dfrac{\partial f}{\partial y} = e^{y} + x$$

Por lo tanto, la diferencial de la función $f(x, y) = e^{x} + xy + e^{y} = c$ es

$$(e^{x} + y)dx + (e^{y} + x)dy = 0$$

esto nos indica que el término $(e^{x} + y)dx + (e^{y} + x)dy$ es una diferencial exacta ya que corresponde a la diferencial de la función $f(x, y) = e^{x} + xy + e^{y} = c$. Por lo tanto, la ecuación $(e^{x} + y)dx + (e^{y} + x)dy = 0$ es una ecuación exacta. No sólo hemos mostrado que es una ecuación exacta sino que incluso ahora podemos decir que la ecuación $e^{x} + xy + e^{y} = c$ es una solución implícita de la ecuación diferencial.

$\square$

En este ejemplo hemos dado a la función $f(x, y) = c$ pero, como puedes notar, dada una ecuación diferencial exacta resolverla implica hallar dicha función $f$. Entonces, ¿cómo podemos saber si una ecuación diferencial es exacta si previamente no se conoce la función $f(x, y) = c$? y en caso de que de alguna manera seamos capaces de mostrar que la ecuación diferencial es exacta, ¿cómo podemos hallar a la función $f(x, y) = c$?.

Antes de aprender a resolver las ecuaciones diferenciales exactas veamos un teorema que nos permite saber si la ecuación diferencial es exacta o no. Si la ecuación es exacta entonces tenemos garantizado la existencia de una función $f$ tal que $f(x, y) = c$, dicha función será la solución a la ecuación exacta.

Teorema (Criterio para una diferencial exacta): Sean $M(x, y)$ y $N(x, y)$ funciones continuas y con primeras derivadas parciales continuas en una región rectangular $U$ definida por $a < x <b$ y $c < y < d$. Entonces, una condición necesaria y suficiente para que $M(x, y) dx + N(x, y) dy$ sean una diferencial exacta es que

\begin{align}
\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x} \tag{4} \label{4}
\end{align}

Demostración: Supongamos que $M(x, y) dx + N(x, y) dy$ es exacta, entonces por definición existe alguna función $f$ tal que para toda $x$ en $U$ se satisface lo siguiente

$$M(x, y) dx + N(x, y) dy = \dfrac{\partial f}{\partial x} dx + \dfrac{\partial f}{\partial y} dy$$

para cumplir la igualdad se debe satisfacer que $M(x, y) = \dfrac{\partial f}{\partial x}$ y $N(x, y) = \dfrac{\partial f}{\partial y}$.

Si derivamos parcialmente la expresión $M(x, y) = \dfrac{\partial f}{\partial x}$ con respecto a $y$ en ambos lados obtenemos

\begin{align*}
\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial }{\partial y} \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)
= \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}
= \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}
= \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)
= \dfrac{\partial N}{\partial x}
\end{align*}

Donde $\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}$ se cumple debido a que las primeras derivadas parciales de $M(x, y)$ y $N(x, y)$ son continuas en $U$.

Si es posible encontrar una función $f$ para la que $M(x, y) = \dfrac{\partial f}{\partial x}$ y $N(x, y) = \dfrac{\partial f}{\partial y}$ entonces la condición $\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$ es necesaria y suficiente. Encontrar la función $f$ en realidad corresponde a un método de resolución de ecuaciones exactas y lo desarrollaremos a continuación.

$\square$

Solución a las ecuaciones exactas

La ecuación diferencial que queremos resolver es una ED de la forma

$$M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$$

Por el teorema anterior sabemos que siempre y cuando se cumpla que $\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$, entonces debe existir una función $f$ para la que

\begin{align*}
\dfrac{\partial f}{\partial x} = M(x, y) \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{\partial f}{\partial y} = N(x, y)
\end{align*}

Para obtener la función $f(x, y)$ debemos integrar la primer ecuación con respecto a $x$ manteniendo a $y$ constante o integrar la segunda ecuación con respecto a $y$ manteniendo a $x$ constante, vamos a hacer el primer caso y como tarea moral realiza el siguiente procedimiento tomando el segundo caso, notarás que el resultado es equivalente.

Tomando el primer caso, vamos a integrar la primer ecuación con respecto a $x$

\begin{align*}
\int{\dfrac{\partial f}{\partial x} dx} &= \int{M(x, y) dx} \\
f(x, y) &= \int{M(x, y) dx} + g(y) \tag{5} \label{5} \\
\end{align*}

Donde usamos el teorema fundamental del cálculo y la función $g(y)$ corresponde a la constante de integración, es constante en $x$ pero sí puede variar en $y$ ya que en este caso la estamos considerando como una constante para hacer la integral. Ahora vamos a derivar este último resultado con respecto a $y$ y utilizar el hecho de que $\dfrac{df}{dy} = N(x, y)$.

\begin{align*}
\dfrac{\partial f}{\partial y} &= \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\int{M(x, y) dx} + g(y) \right) \\
&= \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\int{M(x, y) dx}\right) + \dfrac{dg}{dy} \\
&= N(x, y)
\end{align*}

De la última igualdad despejamos $\dfrac{dg}{dy} = g^{\prime}(y)$

\begin{align}
g^{\prime}(y) = N(x, y) -\dfrac{\partial}{\partial y} \left(\int{M(x, y) dx}\right) \tag{6} \label{6}
\end{align}

Lo que nos interesa en obtener la función $f(x, y)$, así que podemos integrar la ecuación (\ref{6}) con respecto a $y$ y sustituir $g(y)$ en la ecuación (\ref{5}). Como sabemos, la solución implícita es $f(x, y) = c$. Integremos la ecuación (\ref{6}).

\begin{align}
g(y) = \int{N(x, y) dy} -\int{ \left[ \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\int{M(x, y) dx}\right) \right] dy} \tag{7} \label{7}
\end{align}

Sustituimos la ecuación (\ref{7}) en la ecuación (\ref{5}) e igualamos el resultado a la constante $c$.

\begin{align}
f(x, y) = \int{M(x, y) dx} + \int{N(x, y) dy} -\int{ \left[ \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\int{M(x, y) dx}\right) \right] dy} = c \tag{8} \label{8}
\end{align}

De esta manera habremos encontrado una solución implícita de la ecuación diferencial exacta. Como siempre, no se recomienda memorizar esta expresiones sino seguir una serie de pasos para resolver las ecuaciones. Más adelante desarrollaremos estos pasos a seguir.

Una observación interesante es que la función $g^{\prime}(y)$ es independiente de $x$, la manera de comprobarlo es con el siguiente resultado

\begin{align*}
\dfrac{\partial g}{\partial x} &= \dfrac{\partial}{\partial x} \left[ N(x, y) -\dfrac{\partial}{\partial y} \left( \int{M(x, y) dx}\right) \right] \\
&= \dfrac{\partial N}{\partial x} -\dfrac{\partial}{\partial x} \left(\dfrac{\partial}{\partial y}\int{M(x, y) dx}\right) \\
&= \dfrac{\partial N}{\partial x} -\dfrac{\partial}{\partial y} \left(\dfrac{\partial}{\partial x}\int{M(x, y) dx}\right) \\
&= \dfrac{\partial N}{\partial x} -\dfrac{\partial M}{\partial y} \\
&= 0
\end{align*}

Las ecuaciones (\ref{5}), (\ref{7}) y (\ref{8}) son el resultado de tomar el primer caso, si realizas el segundo caso en el que a la ecuación $\dfrac{\partial f}{\partial y} = N(x, y)$ la integras con respecto a $y$ y al resultado lo derivas con respecto a $x$ obtendrás las expresiones análogas a (\ref{5}), (\ref{7}) y (\ref{8}), dichas expresiones son:

\begin{align}
f(x, y) &= \int{N(x, y) dy} + h(x) \tag{9} \label{9}
\end{align}

\begin{align}
h(x) = \int{M(x, y) dx} -\int{ \left[ \dfrac{\partial}{\partial x} \left(\int{N(x, y) dy}\right) \right] dx} \tag{10} \label{10}
\end{align}

y

\begin{align}
f(x, y) = \int{N(x, y) dy} + \int{M(x, y) dx} -\int{ \left[ \dfrac{\partial}{\partial x} \left(\int{N(x, y) dy}\right) \right] dx} = c \tag{11} \label{11}
\end{align}

Método de solución de ecuaciones diferenciales exactas

No se recomienda memorizar las formulas, en su lugar se propone realizar una serie de pasos que nos permitan resolver las ecuaciones diferenciales. En este caso presentamos la siguiente serie de pasos que se recomiendan seguir para resolver una ecuación diferencial exacta.

  1. El primer paso es verificar que la ecuación diferencial $M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$ sea exacta para garantizar la existencia de la función $f$, tal que $f(x, y) = c$. Para verificar este hecho usamos el criterio para una diferencial exacta que consiste en verificar que se cumple la relación

$$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$$

  1. Una vez que verificamos que la ecuación es exacta, tenemos garantizado que existe una función $f$ tal que $f(x, y) = c$ es una solución implícita de la ecuación diferencial. Para determinar dicha función definimos

\begin{align*}
\dfrac{\partial f}{\partial x} = M(x, y) \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{\partial f}{\partial y} = N(x, y)
\end{align*}

  1. El siguiente paso es integrar alguna de las ecuaciones anteriores en su respectiva variable, se recomienda integrar la que sea más sencilla de resolver, de esta manera tendremos

\begin{align*}
f(x, y) &= \int{M(x, y) dx} + g(y) \hspace{1cm} o \hspace{1cm} f(x, y) = \int{N(x, y) dy} + h(x)
\end{align*}

  1. Después derivamos parcialmente a la función $f(x, y)$ con respecto a la variable $y$ o $x$ según la elección hecha en el paso anterior de manera que obtengamos los siguientes resultados.

$$\dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\int{M(x, y) dx}\right) + \dfrac{dg}{dy} = N(x, y)$$

o bien

$$\dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left(\int{N(x, y) dy}\right) + \dfrac{dh}{dx} = M(x, y)$$

  1. De los resultados anteriores obtendremos una expresión para $\dfrac{dg}{dy}$ o para $\dfrac{dh}{dx}$, debemos integrar estas expresiones para obtener las funciones $g(y)$ o $h(x)$.
  1. El último paso es sustituir las funciones $g(y)$ o $h(x)$ en la ecuación $f(x, y) = c$ lo que nos devolverá en general una solución implícita de la ecuación diferencial exacta.

Veamos un ejemplo en el que apliquemos este método para que todo quede más claro.

Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial $(4 x^{3} -4xy^{2} + y) dx + (4y^{3} -4x^{2}y + x) dy = 0$

Solución: La ecuación que queremos resolver es de la forma $M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$, comparando ambas ecuaciones podemos establecer que

\begin{align*}
M(x, y) = 4 x^{3} -4xy^{2} + y \hspace{1cm} y \hspace{1cm} N(x, y) = 4y^{3} -4x^{2}y + x
\end{align*}

De acuerdo al método de resolución de ecuaciones diferenciales exactas, el primer paso es verificar que la ecuación es exacta, para ello veamos que se satisface la ecuación (\ref{4}).

\begin{align*}
\dfrac{\partial M}{\partial y} = -8xy + 1 \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{\partial N}{\partial x}= -8xy +1
\end{align*}

De ambos resultados verificamos que

$$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$$

Por lo tanto, la ecuación diferencial sí es exacta, esto nos garantiza la existencia de una función $f$ tal que $f(x, y) = c$ es solución, entonces podemos definir

\begin{align*}
\dfrac{\partial f}{\partial x} = M(x, y) = 4x^{3} -4xy^{2} + y \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{\partial f}{\partial y} = N(x, y) = 4y^{3} -4x^{2}y + x
\end{align*}

El tercer paso nos indica que debemos integrar una de las ecuaciones anteriores, en este caso elegiremos integrar la ecuación $\dfrac{\partial f}{\partial x} = 4x^{3} -4xy^{2} + y$ con respecto a la variable $x$.

\begin{align*}
\int{ \dfrac{\partial f}{\partial x} dx} &= \int{ ( 4x^{3} -4xy^{2} + y) dx}
\end{align*}

Del lado izquierdo aplicamos el teorema fundamental del cálculo y del lado derecho resolvemos la integrar, el resultado es

$$f(x,y) = x^{4} -2x^{2}y^{2} + xy + g(y)$$

Recuerda que la función $g(y)$ es la constante que engloba a todas las constantes que aparecen al integrar y decimos que es constante porque no depende de la variable $x$ pero es posible que pueda depender de la variable $y$.

El cuarto paso es derivar la última ecuación con respecto a la variable $y$ ya que deseamos conocer a $\dfrac{dg}{dy} = g^{\prime}(y)$.

$$\dfrac{\partial f}{\partial y} = -4x^{2}y + x + \frac{dg}{dy}$$

Y sabíamos que

$$\dfrac{\partial f}{\partial y} = 4y^{3} -4x^{2}y + x$$

Igualando ambas ecuaciones obtenemos lo siguiente

$$-4x^{2}y + x + \dfrac{dg}{dy} = 4y^{3} -4x^{2}y + x$$

Para que esta igualdad se cumpla es necesario que

$$\dfrac{dg}{dy} = 4y^{3}$$

Ahora que ya conocemos a $\dfrac{dg}{dy} = g^{\prime}(y)$, la integramos con respecto a $y$. Esto corresponde al penúltimo paso.

\begin{align*}
\int {\dfrac{dg}{dy} dy} &= {\int 4y^{3} dy} \\
g(y) &= y^{4}
\end{align*}

El último paso es sustituir el resultado $g(y)$ en la función $f(x, y) = c$. En la integración anterior omitimos a las constantes porque podemos englobarlas en la constante $c$.

$$f(x,y) = x^{4} -2x^{2}y^{2} + xy + y^{4} = c$$

de donde

$$(x^{2} -y^{2})^{2} + xy= c$$

Por lo tanto, la solución (implícita) de la ecuación diferencial exacta

$$(4 x^{3} -4xy^{2} + y) dx + (4y^{3} -4x^{2}y + x) dy = 0$$

es

$$(x^{2} -y^{2})^{2} + xy= c$$.

$\square$

¿Y que ocurre si la ecuación diferencial no cumple con el criterio de diferencial exacta?. Cundo una ecuación no es exacta es posible hallar una función, que al multiplicarla por la ecuación, ésta se vuelva exacta, si esto ocurre a dicha función la llamamos factor integrante. ¿Te resulta familiar este nombre?.

Factores integrantes

En entradas anteriores vimos que multiplicar la ecuación diferencial lineal

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$

por un factor integrante $\mu(x)$ hace que el lado izquierdo de la ecuación sea igual a la derivada del producto de $\mu(x)$ con $y(x)$ permitiendo resolver la ecuación con sólo integrar, esta idea de multiplicar por un factor integrante también nos será de ayuda al trabajar con ecuaciones diferenciales de la forma $M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$ que no son exactas. Lo que se espera es que multiplicando por un factor integrante $\mu (x, y)$ a la ecuación no exacta ésta se vuelva una ecuación exacta.

Consideremos la ecuación

$$M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$$

pero que no es exacta, esto significa que el lado izquierdo de la ecuación no corresponde a la diferencial de alguna función $f(x, y)$. Supongamos que existe una función $\mu (x, y)$ tal que al multiplicar la ecuación diferencial por esta función se convierta en una ecuación diferencial exacta. Es decir, la ecuación

$$\mu (x, y) M(x, y) dx + \mu (x, y) N(x, y) dy = 0$$

ahora es exacta y puede ser resuelta con el método anteriormente descrito. Lo que veremos ahora es un método para encontrar este factor integrante $\mu (x, y)$.

Supongamos que la ecuación diferencial exacta que queremos resolver es

\begin{align}
\mu (x, y) M(x, y) dx + \mu (x, y) N(x, y) dy = 0 \tag{12} \label{12}
\end{align}

Por el criterio de diferencial exacta, la ecuación (\ref{12}) es una ecuación exacta si

$$\dfrac{\partial (\mu M)}{\partial y} = \dfrac{\partial (\mu N)}{\partial x}$$

Usando la regla del producto, la ecuación anterior se puede escribir como

$$\mu \dfrac{\partial M}{\partial y} + \dfrac{\partial \mu}{\partial y} M = \mu \dfrac{\partial N}{\partial x} + \dfrac{\partial \mu}{\partial x} N$$

Reordenando los términos obtenemos la siguiente expresión

\begin{align}
\dfrac{\partial \mu}{\partial x} N -\dfrac{\partial \mu}{\partial y} M = \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right) \mu \label{13} \tag{13}
\end{align}

La dificultad al intentar determinar la incógnita $\mu (x, y)$ de la ecuación anterior es que debemos resolver una ecuación diferencial parcial lo cual en este momento no sabemos hacer, para simplificar el problema vamos a considerar la hipótesis de que la función $\mu$ es dependiente de sólo una variable, consideremos por ejemplo que $\mu$ depende sólo de $x$, así se cumple que $\dfrac{\partial \mu}{\partial x} = \dfrac{d \mu}{dx}$ y $\dfrac{\partial \mu}{\partial y} = 0$, con esto la ecuación (\ref{13}) se puede escribir como

\begin{align}
\dfrac{d \mu}{dx} = \dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right) \mu \label{14} \tag{14}
\end{align}

Seguimos en problemas si el cociente $\dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right)$ depende tanto de $x$ como de $y$. En el caso en el que dicho cociente sólo es dependiente de $x$, entonces la ecuación es separable así como lineal.

Supongamos que la ecuación (\ref{14}) sólo depende de la variable $x$, entonces dividimos toda la ecuación por $\mu$ para separar las variables

\begin{align*}
\dfrac{1}{\mu} \dfrac{d \mu}{dx} = \dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right)
\end{align*}

Ahora integremos ambos lados de la ecuación con respecto a la variable $x$

\begin{align*}
\int{ \dfrac{1}{\mu}\dfrac{d \mu}{dx} dx} &= \int \dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right) dx \\
\ln|\mu (x)| &= \int \dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right) dx
\end{align*}

Apliquemos la exponencial en ambos lados de la ecuación

\begin{align}
\mu (x) &= exp \left[ \int \dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right) dx \right] \label{15} \tag{15}
\end{align}

Por su puesto, es totalmente análogo el caso en el que el factor integrante es sólo función de la variable $y$, en este caso se cumple que $\dfrac{\partial \mu}{\partial x} = 0$ y $\dfrac{\partial \mu}{\partial y} = \dfrac{d \mu}{dy}$, de manera que la ecuación (\ref{13}) queda de la siguiente manera

\begin{align}
\dfrac{d \mu}{dy} = \dfrac{1}{M} \left( \dfrac{\partial N}{\partial x} -\dfrac{\partial M}{\partial y} \right) \mu \label{16} \tag{16}
\end{align}

En el caso en el que el coeficiente $\dfrac{1}{M} \left( \dfrac{\partial N}{\partial x} -\dfrac{\partial M}{\partial y} \right)$ sólo dependa de la variable $y$ entonces se puede resolver la ecuación (\ref{16}) obteniendo

\begin{align}
\mu (y) = exp \left[ \int{\dfrac{1}{M} \left( \dfrac{\partial N}{\partial x} -\dfrac{\partial M}{\partial y} \right) dy} \right] \label{17} \tag{17}
\end{align}

Resumiendo, para el caso en el que la ecuación diferencial $M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$ no es exacta probamos los siguientes dos casos:

  • Si $\dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right)$ es una función sólo de $x$, entonces un factor integrante para la ecuación (\ref{12}) es:

$$\mu (x) = exp \left[ \int{\dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right) dx} \right]$$

  • Si $\dfrac{1}{M} \left( \dfrac{\partial N}{\partial x} -\dfrac{\partial M}{\partial y} \right)$ es una función sólo de $y$, entonces un factor integrante para la ecuación (\ref{12}) es:

$$\mu (y) = exp \left[ \int{\dfrac{1}{M} \left( \dfrac{\partial N}{\partial x} -\dfrac{\partial M}{\partial y} \right) dy} \right]$$

Realicemos un ejemplo para aclarar dudas.

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación diferencial no exacta.

$$\left( 1 -\dfrac{y}{x} e^{\frac{y}{x}} \right) dx + e^{\frac{y}{x}} dy = 0$$

Solución: Primero vamos a verificar que no es una ecuación exacta, definamos

\begin{align*}
M(x, y) = 1 -\dfrac{y}{x} e^{\frac{y}{x}} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} N(x, y) = e^{\frac{y}{x}}
\end{align*}

Calculando las derivadas parciales correspondientes tenemos

\begin{align*}
\dfrac{\partial M}{\partial y} = -\dfrac{1}{x} e^{\frac{y}{x}} -\dfrac{y}{x^{2}} e^{\frac{y}{x}} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{\partial N}{\partial x} = -\dfrac{y}{x^{2}} e^{\frac{y}{x}}
\end{align*}

Vemos que no son iguales, por lo tanto la ecuación diferencial no es exacta. Para hacerla exacta debemos encontrar un factor integrante que dependa de $x$ o de $y$, para ello primero debemos ver si el cociente $\dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right)$ es una función sólo de $x$ o si el cociente $\dfrac{1}{M} \left( \dfrac{\partial N}{\partial x} -\dfrac{\partial M}{\partial y} \right)$ es una función sólo de $y$. Calculemos ambos cocientes usando los resultados anteriores.

$$\dfrac{1}{M} \left( \dfrac{\partial N}{\partial x} -\dfrac{\partial M}{\partial y} \right) = \left( 1 -\dfrac{y}{x} e^{\frac{y}{x}} \right)^{-1} \left( -\dfrac{y}{x^{2}} e^{\frac{y}{x}} + \dfrac{1}{x} e^{\frac{y}{x}} + \dfrac{y}{x^{2}} e^{\frac{y}{x}} \right) = \dfrac{\dfrac{1}{x} e^{\frac{y}{x}}}{1 -\dfrac{y}{x} e^{\frac{y}{x}}}$$

y

$$\dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right) = e^{-\frac{y}{x}} \left( -\dfrac{1}{x} e^{\frac{y}{x}} -\dfrac{y}{x^{2}} e^{\frac{y}{x}} + \dfrac{y}{x^{2}} e^{\frac{y}{x}} \right) = -\dfrac{1}{x}$$

Es claro que el cociente que nos sirve es $\dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right)$ ya que éste es el cociente que sólo depende de la variable $x$. Ahora calculemos el factor integrante

\begin{align*}
\mu (x) &= exp \left[ \int{\dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right) dx} \right] \\
&= exp \left[\int{-\dfrac{1}{x}} dx \right] \\
&= -e^{\ln |x|} \\
&= x^{-1}
\end{align*}

Por lo tanto, el factor integrante es $\mu (x)= \dfrac{1}{x}$. Multipliquemos ambos lados de la ecuación original por el factor integrante

\begin{align*}
\dfrac{1}{x} \left( 1 -\dfrac{y}{x} e^{\frac{y}{x}} \right) dx + \dfrac{1}{x} e^{\frac{y}{x}} dy &= 0 \\
\left( \dfrac{1}{x} -\dfrac{y}{x^{2}} e^{\frac{y}{x}} \right) dx +\dfrac{1}{x} e^{\frac{y}{x}} dy &= 0
\end{align*}

Veamos que en efecto la última expresión corresponde a una ecuación diferencial exacta, para ello establecemos

\begin{align*}
M_{1}(x, y) = \dfrac{1}{x} -\dfrac{y}{x^{2}} e^{\frac{y}{x}} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} N_{1}(x, y) = \dfrac{1}{x} e^{\frac{y}{x}}
\end{align*}

Calculando las derivadas parciales correspondientes tenemos

\begin{align*}
\dfrac{\partial M_{1}}{\partial y} = -\dfrac{1}{x^{2}} e^{\frac{y}{x}} -\dfrac{y}{x^{3}} e^{\frac{y}{x}} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{\partial N_{1}}{\partial x} = -\dfrac{1}{x^{2}} e^{\frac{y}{x}} -\dfrac{y}{x^{3}} e^{\frac{y}{x}}
\end{align*}

En efecto

$$\dfrac{\partial M_{1}}{\partial y} = \dfrac{\partial N_{1}}{\partial x}$$

Entonces ahora la ecuación sí es exacta, esto nos garantiza que existe una función $f$ tal que $f(x, y) = c$ es solución a la ecuación, dicha función debe satisfacer que

\begin{align*}
\dfrac{\partial f}{\partial x} = M_{1}(x, y) = \dfrac{1}{x} -\dfrac{y}{x^{2}} e^{\frac{y}{x}} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{\partial f}{\partial y} = N_{1}(x,y) = \dfrac{1}{x} e^{\frac{y}{x}}
\end{align*}

Es nuestra elección que ecuación integrar pero es claro que la función $N_{1} = \dfrac{1}{x} e^{\frac{y}{x}}$ es la más sencilla de integrar, así que integremos esta ecuación con respecto a $y$

\begin{align*}
\int{ \dfrac{\partial f}{\partial y} dy} &= \int{ \dfrac{1}{x} e^{\frac{y}{x}} dy} \\
f(x, y) &= e^{\frac{y}{x}} + h(x)
\end{align*}

Derivemos parcialmente este resultado con respecto a la variable $x$

$$\dfrac{\partial f}{\partial x} = -\dfrac{y}{x^{2}} e^{\frac{y}{x}} + \dfrac{dh}{dx}$$

Sabemos que $\dfrac{\partial f}{\partial x} = M_{1}(x, y) = \dfrac{1}{x} -\dfrac{y}{x^{2}} e^{\frac{y}{x}}$, igualemos ambas ecuaciones

$$\dfrac{1}{x} -\dfrac{y}{x^{2}} e^{\frac{y}{x}} = -\dfrac{y}{x^{2}} e^{\frac{y}{x}} + \dfrac{dh}{dx}$$

Para que se cumpla la igualdad es necesario que

$$\dfrac{dh}{dx} = \dfrac{1}{x}$$

Integremos esta ecuación con respecto a $x$ omitiendo las constantes

\begin{align*}
\int{ \dfrac{dh}{dx} dx} &= \int {\dfrac{1}{x} dx} \\
h(x) &= \ln |x|
\end{align*}

Sustituimos la función $h(x)$ en la función $f(x, y)$ e igualamos a una constante $c$

$$f(x, y) = e^{\frac{y}{x}} + \ln |x|= c$$

Apliquemos la función exponencial

\begin{align*}
e^{\left( e^{\frac{y}{x}} + \ln (x) \right)} &= e^{c} \\
e^{e^{\frac{y}{x}}} e^{\ln (x)} &= k \\
e^{e^{\frac{y}{x}}} x &= k
\end{align*}

Donde $k = e^{c}$. Por lo tanto, la solución a la ecuación diferencial

$$\left( 1 -\dfrac{y}{x} e^{\frac{y}{x}} \right) dx + e^{\frac{y}{x}} dy = 0$$

es

$$x e^{e^{\frac{y}{x}}} = k$$

$\square$

Hasta aquí concluimos nuestro estudio sobre las ecuaciones diferenciales exactas.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales exactas (verifica que son exactas).
  • $(2x -5y + 2)dx + (1- 6y -5x)dy = 0$
  • $\left( y -\dfrac{y}{x^{2}}e^{\frac{y}{x}} \right) dx + \left( x + \dfrac{1}{x}e^{\frac{y}{x}} \right) dy = 0$
  • $\left( \sin{y} + \dfrac{y}{x^{2}} \sin{\dfrac{y}{x}} \right) dx + \left( x \cos{y} -\dfrac{1}{x} \sin{\dfrac{y}{x}} \right) dy = 0$
  1. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales no exactas.
  • $(e^{x} \cos{y}) dx + (-xe^{x} \sin{y}) dy = 0$
  • $(2x \sin{y} + ye^{xy}) dx + (x \cos{y} + e^{xy}) dy = 0$
  1. En el procedimiento realizado para resolver ecuaciones diferenciales exactas vimos que hay dos posibilidades para llegar a resultados equivalentes. Desarrolla el otro camino y deduce las expresiones (\ref{9}), (\ref{10}) y (\ref{11}).

Más adelante…

En nuestro estudio sobre la ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden hemos estudiado las ecuaciones separables, las ecuaciones homogéneas y las ecuaciones exactas, para finalizar este tema en la siguiente entrada presentaremos la ecuación de Bernoulli, la ecuación de Riccati y finalmente haremos un breve resumen sobre las ecuaciones que hemos estudiado y su correspondiente método de resolución.

Entradas relacionadas

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.