Archivo del Autor: Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Acerca de Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Hola. Soy Leonardo Martínez. Soy Profesor de Tiempo Completo en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Hice un doctorado en Matemáticas en la UNAM, un postdoc en Israel y uno en Francia. Además, me gusta colaborar con proyectos de difusión de las matemáticas como la Olimpiada Mexicana de Matemáticas.

Álgebra Lineal II: Proceso de Gram-Schmidt en espacios euclideanos

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Deja un comentario

Introducción

En la entrada anterior recordamos algunas de las aplicaciones que pueden tener las bases ortogonales y ortonormales. Esto nos da la pista de que siempre es bueno intentar conseguir una base ortonormal. ¿Es esto siempre posible? En el primer curso de Álgebra Lineal vimos que si tenemos en espacio euclideano, entonces sí. Esto está explicado a detalle en la entrada del Proceso de Gram-Schmidt.

Esta entrada está escrita únicamente en formato de recordatorio. Enunciamos los resultados principales, pero las demostraciones y más ejemplos se encuentran en otras entradas.

Teorema de Gram-Schmidt

El teorema de Gram-Schmidt asegura que dado un conjunto de vectores linealmente independientes en un espacio vectorial real con un producto interior dado, podemos encontrar otros vectores que ahora sean ortonormales, que generen lo mismo y que además «apunten hacia un lado similar» a los vectores originales. Además, asegura que estos vectores son únicos. El resultado concreto es el siguiente.

Teorema. Sea $V$ un espacio vectorial real con producto interior $\langle \cdot, \cdot \rangle$. Sean $v_1,\ldots,v_d$ vectores linealmente independientes. Entonces, existen únicos vectores ortonormales $e_1,\ldots,e_d$ tales que para toda $k\in\{1,2,\ldots,d\}$ se tiene que $$\text{span}(e_1,\ldots,e_k)= \text{span}(v_1,\ldots,v_k)$$ y $\langle e_k, v_k \rangle >0$.

Muy a grandes rasgos, esta forma de escribir el teorema permite hacer inducción en $d$. Al pasar a un nuevo $d$, podemos usar hipótesis inductiva para construir $e_1,\ldots,e_{d-1}$. Así, sólo hay que ver cómo construir $e_d$ para que sea ortogonal a todos los anteriores y para que tenga norma $1$. Para encontrar a un buen candidato, se debe poner a $e_d$ en términos de los $e_1,\ldots,e_{d-1}$ y $v_d$, y se debe suponer que cumple lo deseado. Al hacer algunos productos interiores esto nos dice que $e_d$ forzosamente se construye definiendo

$$f_d=v_d-\sum_{i=1}^{d-1}\langle v_d, e_i\rangle e_i$$

y tomando $e_d=\frac{f_d}{\norm{f_d}}$.

En los detalles de la prueba se ve que este $e_d$ en efecto cumple todo lo deseado.

Si estamos en un espacio euclideano, entonces tenemos una base finita. Podemos usar esta en la hipótesis del teorema de Gram-Schmidt para concluir lo siguiente.

Corolario. Todo espacio euclideano tiene una base ortonormal.

Algoritmo de Gram-Schmidt

La demostración del teorema de Gram-Schmidt a su vez da un algoritmo para encontrar de manera explícita la base ortonormal buscada. Es un algoritmo que poco a poco va construyendo los vectores. Supongamos que nos dan los vectores $v_1,\ldots,v_n$.

Para empezar, normalizamos $v_1$ para obtener $e_1=\frac{v_1}{\norm{v_1}}$. De aquí en adelante procedemos recursivamente. Si ya construimos $e_1,\ldots,e_k$, entonces podemos construir $e_{k+1}$ a través de la fórmula que pusimos, es decir, primero definimos

$$f_{k+1}=v_{k+1}-\sum_{i=1}^{k}\langle v_{k+1}, e_i\rangle e_i,$$

para luego tomar $e_{k+1}$ como la normalización de $f_{k+1}$, es decir, como $\frac{f_{k+1}}{\norm{f_{k+1}}}.$ Seguimos de esta manera hasta terminar.

El siguiente diagrama da una idea un poco más visual de cómo vamos haciendo las operaciones. Comenzamos con los vectores $v_1,\ldots,v_d$ de la fila superior. Luego, vamos construyendo a los $e_i$ y $f_i$ en el orden indicado por las flechas: $e_1,f_2,e_2,\ldots,f_{d-1},e_{d-1},f_d,e_d$. Para construir un $f_i$ usamos la fórmula con productos interiores. Para construir el $e_i$ correspondiente, normalizamos.

Intuición geométrica

Ya tenemos el lenguaje para entender mucho mejor el proceso de Gram-Schmidt. Si te das cuenta, cuando tomamos $$f_{k+1}=v_{k+1}-\sum_{i=1}^{k}\langle v_{k+1}, e_i\rangle e_i$$ justamente estamos aprovechando la descomposición

$$v_{k+1}= \left(\sum_{i=1}^{k}\langle v_{k+1}\right)+ f_{k+1}$$

de $v_{k+1}$ como suma de un elemento en espacio generado por $e_1,\ldots, e_k$ y uno en su ortogonal. El elemento del espacio generado lo obtenemos a través de la fórmula que sale de la descomposición de Fourier que vimos en la entrada anterior. El hecho de que $f_{k+1}$ esté en el ortogonal es lo que hace que cada nuevo vector sea ortogonal a los anteriores. Al final hay que normalizar $f_{k+1}$ para que la base sea ortonormal y no sólo ortogonal. Habría dos formas de hacerlo. Una es tomar $\frac{f_{k+1}}{\norm{f_{k+1}}}$. La otra es tomar $-\frac{f_{k+1}}{\norm{f_{k+1}}}$. El producto escalar positivo que pedimos es lo que nos da la unicidad.

Ejemplo de aplicación del algoritmo de Gram-Schmidt

Hagamos un ejemplo muy sencillo. Será sólo de práctica y como recordatorio. Hay ejemplos más interesantes en la entrada Problemas de bases ortogonales, Fourier y proceso de Gram-Schmidt.

Es sencillo verificar que $\langle (a,b,c), (x,y,z)\rangle =4ax+3by+2cz$ es un producto interior en $\mathbb{R}^3$. Vamos a ortonormalizar la base $(1,1,1)$, $(0,1,1)$, $(0,0,1)$.

En la notación del algoritmo, tenemos entonces $v_1=(1,1,1)$, $v_2=(0,1,1)$ y $v_3=(0,0,1)$. El primer paso es tomar $e_1=\frac{v_1}{\norm{v_1}}$. La norma de $v_1$ con este producto interior es $\sqrt{4+3+2}=3$. De este modo, $e_1=\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3} , \frac{1}{3} \right)$.

Teniendo $e_1$, podemos definir $f_2$ con la fórmula dada:

\begin{align*}
f_2&=v_2-\langle v_2, e_1 \rangle e_1\\
&=(0,1,1)-\left(4\cdot 0\cdot \frac{1}{3}+3\cdot 1 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3} \right)\\
&=(0,1,1)-\frac{5}{3} \left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3} \right)\\
&=\left(-\frac{5}{9},\frac{4}{9},\frac{4}{9}\right).
\end{align*}

De aquí, debemos normalizar $f_2$. Su norma es $$\sqrt{ \frac{100}{81}+\frac{48}{81}+\frac{32}{81} } = \frac{\sqrt{180}}{9}=\frac{2\sqrt{5}}{3}=\frac{10}{3\sqrt{5}}.$$ De este modo, $$e_2=\left(-\frac{\sqrt{5}}{6},\frac{2\sqrt{5}}{15},\frac{2\sqrt{5}}{15}\right)$$

Teniendo $e_1$ y $e_2$, podemos definir $f_3$ con la fórmula dada:

\begin{align*}
f_3&=v_3-\langle v_3, e_1 \rangle e_1 – \langle v_3, e_2 \rangle e_2\\
&=(0,0,1)-\frac{2}{3} \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3} , \frac{1}{3} \right) – \frac{4\sqrt{5}}{15} \left(-\frac{\sqrt{5}}{6},\frac{2\sqrt{5}}{15},\frac{2\sqrt{5}}{15}\right)\\
&=(0,0,1)-\left(\frac{2}{9}, \frac{2}{9} , \frac{2}{9} \right)-\left(-\frac{2}{9},\frac{8}{45},\frac{8}{45}\right)\\
&=\left(0, -\frac{2}{5},\frac{3}{5}\right).
\end{align*}

De aquí, debemos normalizar $f_3$. Su norma es $$\sqrt{\frac{12}{25}+\frac{18}{25}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}=\frac{6}{\sqrt{30}}.$$ De este modo, $$e_3=\left( 0, -\frac{\sqrt{30}}{15}, \frac{\sqrt{30}}{10}\right).$$

Hemos encontrado la base ortonormal buscada $e_1,e_2,e_3$.

$\triangle$

Más adelante…

Con esta entrada-recordatorio terminamos la segunda unidad del curso. A partir de ahora es importante que recuerdes que todo espacio euclideano tiene una base ortonormal. También es útil que recuerdes cómo se obtiene, así que asegúrate de practicar el proceso de Gram-Schmidt.

Todo lo que hemos mencionado tiene su análogo en espacios vectoriales sobre los complejos con un producto interior hermitiano. Asegúrate de entender las diferencias y de realizar los ejercicios que te permitirán entender los resultados correspondientes.

En la siguiente unidad desarrollaremos la teoría necesaria para poder enunciar y demostrar tanto el teorema espectral real, como el teorema espectral complejo.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Haz la demostración del teorema de Gram-Schmidt a partir del esquema comentado en la entrada. En caso de que se te dificulte, revisa los detalles en la entrada de blog correspondiente.
  2. Para verificar que todo esté en orden, verifica que los vectores $e_1,e_2,e_3$ del ejemplo en efecto son una base ortonormal con el producto interior dado.
  3. En el teorema de Gram-Schmidt, ¿es importante el orden en el que elijamos $v_1$ hasta $v_n$? ¿Cambia el conjunto resultante si cambiamos el orden? ¿Es conveniente tomar algún otro orden para simplificar las cuentas?
  4. Aplica el proceso de Gram-Schmidt a los vectores \begin{align*}(1,1,1,1)\\ (0,1,1,1)\\ (0,0,1,1)\\ (0,0,0,1)\end{align*} en $\mathbb{R}^4$ con el producto interior canónico (el producto punto).
  5. Enuncia y demuestra un teorema de Gram-Schmidt para espacios vectoriales sobre $\mathbb{C}$ con un producto interior hermitiano. Obtén el corolario correspondiente para los espacios hermitianos. Aplica este proceso a los vectores $(1+i,1+i,1+i),(0,1+i,1+i),(0,0,1+i)$ de $\mathbb{C}^3$ con el producto hermitiano canónico para obtener una base ortonormal.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Lineal II: Ortogonalidad en espacios euclideanos

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

2 respuestas

Introducción

Anteriormente, cuando hablamos del espacio dual de un espacio vectorial, definimos qué quería decir que una forma lineal y un vector fueran ortogonales. Esa noción de ortogonalidad nos ayudó a definir qué era un hiperplano de un espacio vectorial y a demuestra que cualquier subespacio de dimensión $k$ de un espacio de dimensión $n$ podía ponerse como intersección de $n-k$ hiperplanos.

Hay otra noción de ortogonalidad en álgebra lineal que también ya discutimos en el primer curso: la ortogonalidad de parejas de vectores con respecto a un producto interior. En el primer curso vimos esta noción muy brevemente. Lo que haremos ahora es profundizar en esta noción de ortogonalidad. De hecho, gracias a las herramientas que hemos desarrollado podemos conectar ambas nociones de ortogonalidad.

Esta teoría la veremos de manera explícita en el caso real en la entrada. El caso en $\mathbb{C}$ queda esbozado en los ejercicios.

Definición de ortogonalidad

Comenzamos con las siguientes definiciones.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ y $b$ una forma bilineal de $V$. Diremos que dos vectores $x,y$ en $V$ son ortogonales (con respecto a $b$) si $b(x,y)=0$.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ y $b$ una forma bilineal de $V$. Sea $S$ un subconjunto de vectores de $V$. El conjunto ortogonal de $S$ (con respecto a $b$) consiste de todos aquellos vectores en $V$ que sean ortogonales a todos los vectores de $S$. En símbolos:

$$S^{\bot}:=\{v \in V : \forall s \in S, b(s,v)=0\}.$$

Es un buen ejercicio verificar que $S^\bot$ siempre es un subespacio de $V$. Finalmente, definimos la ortogonalidad de conjuntos.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ y $b$ una forma bilineal de $V$. Diremos que dos subconjuntos $S$ y $T$ son ortogonales (con respecto a $b$) si $S \subseteq T^{\bot}$.

En otras palabras, estamos pidiendo que todo vector de $S$ sea ortogonal a todo vector de $T$.

Observación. Si tenemos un espacio vectorial con producto interior $\langle \cdot, \cdot \rangle$ de norma $\norm{\cdot}$, entonces tenemos la fórmula $$\norm{x+y}^2=\norm{x}^2+2\langle x,y\rangle +\norm{y}^2.$$

De esta forma, $x$ y $y$ son ortogonales si y sólo si $$\norm{x+y}^2= \norm{x}^2+\norm{y}^2.$$ Podemos pensar esto como una generalización del teorema de Pitágoras.

Descomposición en un subespacio y su ortogonal

Comenzamos esta sección con un resultado auxiliar.

Teorema. Sea $V$ un espacio euclideano y $W$ un subespacio de $V$. Entonces $$V=W\oplus W^\bot.$$

Demostración. Sea $\langle \cdot,\cdot \rangle$ el producto interior de $V$. Para demostrar la igualdad que queremos, debemos mostrar que $W$ y $W^\bot$ están en posición de suma directa y que $V=W+W^\bot$.

Para ver que $W$ y $W^\bot$ están en posición de suma directa, basta ver que el único elemento en la intersección es el $0$. Si $x$ está en dicha intersección, entonces $\langle x, x \rangle =0$, pues por estar en $W^\bot$ debe ser ortogonal a todos los de $W$, en particular a sí mismo. Pero como tenemos un producto interior, esto implica que $x=0$.

Tomemos ahora un vector $v\in V$ cualquiera. Definamos la forma lineal $f:W\to \mathbb{R}$ tal que $f(u)=\langle u, v \rangle$. Por el teorema de representación de Riesz aplicado al espacio vectorial $W$ y a su forma lineal $f$, tenemos que existe un (único) vector $x$ en $W$ tal que $f(u)=\langle u, x \rangle$ para cualquier $u$ en $W$.

Definamos $y=v-x$ y veamos que está en $W^\bot$. En efecto, para cualquier $u$ en $W$ tenemos:

\begin{align*}
\langle u, y\rangle &= \langle u, v-x \rangle\\
&=\langle u, v \rangle – \langle u , x \rangle\\
&=f(u)-f(u)\\
&=0.
\end{align*}

De esta manera, podemos escribir $v=x+y$ con $x\in W$ y $y\in W^\bot$.

$\square$

En particular, el teorema anterior nos dice que la unión disjunta de una base de $W$ y una base de $W^\bot$ es una base de $V$. Por ello, tenemos el siguiente corolario.

Corolario. Sea $V$ un espacio euclideano y $W$ un subespacio de $V$. Entonces $$\dim{W}+\dim{W^\bot}=\dim{V}.$$

Tenemos un corolario más.

Corolario. Sea $V$ un espacio euclideano y $W$ un subespacio de $V$. Entonces $$(W^\bot)^\bot=W.$$

Demostración. Tanto $W$ como $(W^\bot)^\bot$ son subespacios de $V$. Tenemos que $W\subseteq (W^\bot)^\bot$ pues cualquier elemento de $W$ es ortogonal a cualquier elemento de $W^\bot$. Además, por el corolario anterior tenemos:

\begin{align*}
\dim{W}+\dim{W^\bot}&=\dim{V}\\
\dim{W^\bot}+\dim{(W^\bot)^\bot}&=\dim{V}.
\end{align*}

De aquí se sigue que $\dim{W} = \dim{(W^\bot)^\bot}$. Así, la igualdad que queremos de subespacios se sigue si un subespacio está contenido en otro de la misma dimensión, entonces deben de ser iguales.

$\square$

Proyecciones ortogonales

Debido al teorema anterior, podemos dar la siguiente definición.

Definición. Sea $V$ un espacio euclideano y $W$ un subespacio de $V$. La proyección ortogonal hacia $W$ es la transformación lineal $p_W:V\to W$ tal que a cada $v$ en $V$ lo manda al único vector $p_W(v)$ tal que $x-p_W(v)$ está en $W^\bot$.

Dicho en otras palabras, para encontrar a la proyección de $v$ en $W$ debemos escribirlo de la forma $v=x+y$ con $x\in W$ y $y\in W^\bot$ y entonces $p_W(v)=x$.

Distancia a subespacios

Cuando definimos la distancia entre conjuntos que tienen más de un punto, una posible forma de hacerlo es considerando los puntos más cercanos en ambos conjuntos, o en caso de no existir, el ínfimo de las distancias entre ellos. Esto da buenas propiedades para la distancia. En particular, cuando queremos definir la distancia de un punto $x$ a un conjunto $S$ hacemos lo siguiente.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial real con producto interior $\langle \cdot, \cdot \rangle$ de norma $\norm{\cdot}$. Sea $S$ un subconjunto de $V$ y $v$ un vector de $V$. Definimos la distancia de $v$ a $S$ como la menor posible distancia de $v$ hacia algún punto de $S$. En símbolos:

$$d(v,S):=\inf_{s\in S} d(v,s).$$

En general, puede ser complicado encontrar el punto que minimiza la distancia de un punto a un conjunto. Sin embargo, esto es más sencillo de hacer si el conjunto es un subespacio de un espacio con producto interior: se hace a través de la proyección al subespacio. Esto queda reflejado en el siguiente resultado.

Proposición. Sea $V$ un espacio euclideano con producto interior $\langle \cdot, \cdot \rangle$ de norma $\norm{\cdot}$. Sea $W$ un subespacio de $V$ y sea $v$ un vector en $V$. Entonces $$d(v,W)=\norm{v-p_W(v)}.$$

Más aún, $p_W(v)$ es el único punto en $W$ para el cual se alcanza la distancia mínima.

Demostración. Por el teorema de descomposición en un subespacio y su ortogonal, sabemos que podemos escribir $v=x+y$ con $x$ en $W$ y con $y$ en $W^\bot$.

Tomemos cualquier elemento $w$ en $W$. Tenemos que $x-w$ está en $W$ y que $y$ está en $W^\bot$. Así, usando el teorema de Pitágoras tenemos que:

\begin{align*}
\norm{v-w}^2&=\norm{y+(x-w)}^2\\
&=\norm{y}^2+\norm{x-w}^2\\
&\geq \norm{y}^2\\
&=\norm{v-x}^2.
\end{align*}

Esto muestra que $\norm{v-w}\geq \norm{v-x}$. Como $x\in W$, esto muestra que la distancia de $v$ a $W$ en efecto se alcanza con $x=p_W(v)$, pues cualquier otra distancia es mayor o igual.

La igualdad en la cadena anterior de alcanza si y sólo si $\norm{x-w}^2=0$, lo cual sucede si y sólo si $x=w$, como queríamos.

$\square$

Más adelante…

En la siguiente entrada recordaremos varias de las ventajas que tiene contar con una base de un espacio vectorial en la que cualesquiera dos vectores sean ortogonales entre sí. Y en la entrada después de esa, recordaremos algunas hipótesis bajo las cuales podemos garantizar encontrar una de esas bases.

Tarea moral

  1. Resuelve los siguientes ejercicios:
    1. Sea $\mathbb{R}^3$ con el producto interno canónico y $W=\{(0,0,a_3) : a_3 \in \mathbb{R} \}$. Encuentra a $W^{\bot}$ y define la proyección ortogonal $p_W$ hacia $W$.
    2. Encuentra el vector en $\text{Span}((1,2,1), (-1,3,-4))$ que sea el más cercano (respecto a la norma euclidiana) al vector $(-1,1,1)$.
  2. Sea $V$ un espacio euclidiano y $T : V \to V $ una transformación lineal tal que $T^2=T$. Prueba que T es una proyección ortogonal si y solo si para cualesquiera $x$ y $y$ en $V$ se tiene que $$\langle T(x),y\rangle =\langle x,T(y)\rangle.$$
  3. Resuelve los siguientes ejercicios:
    1. Demuestra que una proyección ortogonal reduce la norma, es decir, que si $T$ es una proyección ortogonal, entonces $\norm{T(v)}\leq \norm{v}$.
    2. Prueba que una proyección ortogonal únicamente puede tener como eigenvalores a $0$ ó a $1$.
  4. Demuestra que la composición de dos proyecciones ortogonales no necesariamente es una proyección ortogonal.
  5. En el teorema de descomposición, ¿es necesaria la hipótesis de tener un producto interior? ¿Qué sucede si sólo tenemos una forma bilineal, simétrica y positiva?

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Lineal II: Problemas de formas bilineales, cuadráticas y teorema de Gauss

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

2 respuestas

Introducción

En las entradas anteriores nos dedicamos a recordar las definiciones y algunas propiedades de formas bilineales y cuadráticas en $\mathbb{R}^n$ con el fin de enunciar y demostrar el teorema de Gauss. La prueba da un método para representar cualquier forma cuadrática de este modo, pero es mucho más claro cómo se hace este método mediante ejemplos. En esta entrada veremos un par de problemas para seguir repasando formas bilineales y cuadráticas y luego veremos al teorema de Gauss en acción.

Ver que una función es una forma bilineal

Problema. Tomemos $V= \mathbb{R}^n$ y vectores $x,y$ en $V$ de coordenadas $x=(x_1, . . . , x_n)$ y $y =(y_1, . . . , y_n)$. Tomemos reales $a_1,\ldots, a_n$. Definamos a $b:V\times V\to \mathbb{R}$ como sigue:
\begin {align*} b(x,y)=a_1x_1y_1+ . . . + a_nx_ny_n.\end{align*}

Probemos que así definida, $b$ es una forma bilineal.

Solución. Para probar que $b$ es bilineal, probaremos que la función $b(x, \cdot)$ es lineal para cada $x \in \mathbb{R}^n$ fijo.

Sean $p,q \in \mathbb{R}^n$ y $\lambda \in \mathbb{R}$. Tenemos que:
\begin{align*} b(x,\lambda p+q)=\sum_{i=1}^n a_ix_i (\lambda p_i+q_i).\end{align*}

Como todos los miembros de esta operación son números reales, utilicemos las propiedades distributiva y conmutativa. Obtenemos:

\begin{align*} b(x,\lambda p+q)=&\sum_{i=1}^n a_ix_i \lambda p_i + \sum_{i=1}^n a_ix_iq_i\\
&=\lambda \sum_{i=1}^n a_ix_ip_i+ \sum_{i=1}^n a_ix_iq_i\\&=\lambda b(x,p) + b(x,q). \end{align*}

La demostración de que la función $b(\cdot,y)$ también es lineal para cada $y\in \mathbb{R}^n$ fijo es análoga.

$\square$

En particular, si tenemos que $a_1, \ldots, a_n =1$, obtenemos que $b$ es el producto interno canónico de $\mathbb{R}^n$, es decir el producto punto.

Ver que una función no es una forma cuadrática

Problema. Sea $q: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ dada como sigue

\begin{align*} q(x,y)=x^2+y^2-8x. \end{align*}

¿Es $q$ una forma cuadrática?

Solución. La respuesta es que no. Con el fin de encontrar una contradicción, supongamos que $q$ sí es una forma cuadrática. Entonces su forma polar $b$ debe cumplir:

\begin{align*} b((x,y),(x,y))=x^2+y^2-8x.\end{align*}

Aplicando lo anterior al par $(-x,-y)$ obtendríamos:

\begin{align*} b((-x,-y),(-x,-y))=x^2+y^2+8x.\end{align*}

Por otro lado, sacando escalares en ambas entradas:

\begin{align*} b((-x,-y),(-x,-y))&=(-1)(-1)b((x,y),(x,y))\\&=b((x,y),(x,y)).\end{align*}

Juntando las igualdades, concluimos que

\begin{align*} x^2+y^2-8x=x^2+y^2+8x \end{align*}

por lo que

\begin{align*} 16x=0. \end{align*}

Pero esto no es cierto en general pues falla, por ejemplo, para la pareja $(1,0)$. Este error nació de suponer que $q$ era una forma cuadrática. Por lo tanto $q$ no es forma cuadrática.

$\triangle$

El teorema de Gauss en acción

Para simplificar el lenguaje, si logramos escribir a una forma cuadrática $q$ como nos dice el teorema de Gauss, es decir, de la forma \begin{align*} q(x)= \sum_{i=1}^r \alpha _i (l_i(x))^2,\end{align*} entonces diremos que $q$ es combinación cuadrática de las $l_i$ con coeficientes $\alpha_i$.

Problema. Toma la forma cuadrática $q$ de $\mathbb{R}^3$ definida como sigue:

\begin{align*} q(x,y,z)= 4xy+yz+xz \end{align*}

Escribe a $q$ como combinación cuadrática de formas lineales linealmente independientes.

Solución. Revisando la demostración dada en la entrada anterior, tenemos tres casos:

  • Que la forma cuadrática sea la forma cuadrática cero.
  • Que tenga «términos puros».
  • Que no tenga «términos puros», es decir, que tenga sólo «términos cruzados».

Como en este caso la forma $q$ no es la forma cero, ni aparecen términos $x^2$, $y^2$ o $z^2$, estamos en el tercer caso. La estrategia era tomar dos de las variables y separar los términos que sí las tengan de los que no. Luego, hay que usar las identidades:

\begin{align} AXY+BX+CY=A\left(X+\frac{C}{A}\right) \left(Y+\frac{B}{A}\right)-\frac{BC}{A},\end{align}

\begin{align} DE= \frac{1}{4}(D+E)^2 – \frac{1}{4} (D-E)^2.\end{align}

Tomemos por ejemplo $x$ y $y$. En la forma cuadrática todos los términos tienen $x$ ó $y$, así que podemos usar la identidad $(1)$ para escribir (nota que reordenamos algunos términos para hacer más cómodas las cuentas con las identidades):

\begin{align*}
4xy+zx+zy&= 4 \left(x+\frac{z}{4}\right) \left(y+\frac{z}{4}\right)-\frac{z^2}{4}
\end{align*}

Luego, continuamos mediante la identidad $(2)$:

\begin{align*}
= \left(x+y+\frac{z}{2}\right)^2 – (x-y)^2- \frac{1}{4} z^2.
\end{align*}

Esta expresión ya tiene la forma buscada. Tenemos que $q$ es combinación cuadrática de las formas lineales $x+y+\frac{z}{2}$, $x-y$ y $z$. Verifica que en efecto estas formas lineales son linealmente independientes.

$\triangle$

Cambiando el orden de los pasos

Problema. ¿Qué pasaría si en el ejemplo anterior en vez de hacer el paso inductivo con $x$ y $y$ hacemos el paso inductivo con $y$ y $z$?

Solución. Las cuentas cambian y obtenemos una nueva forma de escribir a $q$. En efecto, aplicando las identidades $(1)$ y $(2)$ pero ahora a $y$ y $z$ obtendríamos:

\begin{align*}
yz+4xy+xz&= (y+x) (z+4x)-4x^2\\
&=\frac{1}{4}(y+z+5x)^2-\frac{1}{4}(y-z-3x)^2-4x^2.
\end{align*}

Esta es otra forma válida de expresar a $q$ como combinación cuadrática de formas lineales linealmente independientes. Lo que nos dice es que la expresión para $q$ no necesariamente es única.

Sin embargo, un poco más adelante veremos que aunque haya muchas formas de expresar a $q$, en todas ellas permanece constante cuántos sumandos positivos y cuántos negativos hay.

$\triangle$

Cuidado con la independencia lineal

Problema. Toma la forma cuadrática $q$ de $\mathbb{R}^3$ definida como sigue:

\begin{align*} q(x,y,z)= (x – y)^2+(y – z)^2+ (z – x)^2 \end{align*}

Escribe a $q$ como combinación cuadrática de formas lineales linealmente independientes.

Solución. Sería fácil asumir que $q$ ya está de la forma deseada, sin embargo, una revisión rápida nos deja ver qué $x – y$, $y-z$ y $z-x$ no son linealmente independientes en $(\mathbb{R}^3)^*$.

Primero desarrollemos todo

\begin{align*} q(x,y,z)= 2x^2+2y^2+2z^2 -2xy-2xz-2yz \end{align*}

Ahora sí hay «términos puros» pues en particular el coeficiente de $x^2$ no es cero.

En este caso hay que pensar a $q$ como polinomio de segundo grado en $x$ para completar un cuadrado:

\begin{align*} 2x^2+&2y^2+2z^2 -2xy-2xz-2yz\\
&= 2 \left( x- \frac{y+z}{2}\right)^2 – \frac{(y+z)^2}{2} + 2y^2 +2z^2-2yz \end{align*}

La demostración asegura que inductivamente los términos sin $x$ (en este caso $ – \frac{(y+z)^2}{2} + 2y^2 +2z^2-2yz$)se pueden escribir como una combinación cuadrática de formas lineales linealmente independientes. Es decir, a ese término ahora podemos aplicar nuevamente el procedimiento hasta llegar a un caso pequeño.

Sin embargo, para nuestra suerte, una pequeña manipulación muestra que
\begin{align*} – \frac{(y+z)^2}{2} + 2y^2 +2z^2-2yz = \frac{3}{2}(y – z)^2.\end{align*}

También, afortunadamente, $y-z$ es linealmente independiente con $x- \frac{y+z}{2}$. De este modo, una posible combinación cuadrática es la siguiente:

\begin{align*} q(x,y,z)= 2 \left( x- \frac{y+z}{2}\right)^2 + \frac{3}{2}(y – z)^2 \end{align*}

$\triangle$

El algoritmo

Con esto visto, podemos describir un algoritmo para encontrar una combinación cuadrática en 4 pasos.

  1. Desarrollar todos los términos $q$ si es necesario.
  2. Revisar qué forma tiene $q$ con respecto a los 3 casos que se vieron en la demostración.
  3. Reproducir el caso elegido de la demostración, dependiendo de la forma de $q$.
  4. Dentro de este paso, puede ser necesario repetir desde el paso 1.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Lineal II: Introducción a forma canónica de Jordan

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

1 respuesta

Introducción

En esta última unidad usaremos las herramientas desarrolladas hasta ahora para enunciar y demostrar uno de los teoremas más hermosos y útiles en álgebra lineal: el teorema de la forma canónica de Jordan. A grandes rasgos, lo que nos dice este teorema es que cualquier matriz prácticamente se puede diagonalizar. En esta primera entrada hablaremos un poco de qué puedes esperar en el transcurso de la unidad, aunque en un orden algo distinto que te ayudará a entender mejor la motivación de presentar la teoría cómo vendrá en las siguientes notas.

Bloques de Jordan

Un bloque de Jordan de tamaño $k$ y eigenvalor $\lambda$ es una matriz en $M_k(F)$ que se obtiene de comenzar con $\lambda I_k$ y agregar encima de la diagonal principal puros unos. Queda algo así:

$$J_{\lambda,k}=\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & \ldots & 0 & 0 \\ & \vdots & & \ddots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & \lambda \end{pmatrix}.$$

Puedes notar que esto es prácticamente una matriz diagonal, a excepción de la diagonal de unos que queda por encima de la diagonal principal. Esto debería sugerirte que los bloques de Jordan son casi tan amigables como las matrices diagonales. Como veremos en las siguientes entradas, es muy fácil calcularles su traza, determinante, polinomio característico, polinomio mínimo, eigenvalores, eigenvectores, etc.

A partir de los bloques de Jordan podemos formar matrices de bloques de Jordan pegando varios bloques de Jordan en una diagonal para obtener una matriz del siguiente estilo:

\begin{equation}\label{eq:Jordan}\begin{pmatrix} J_{\lambda_1,k_1} & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & J_{\lambda_2,k_2} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & J_{\lambda_3,k_3} & \ldots & 0 \\ & \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & J_{\lambda_d,k_d}\end{pmatrix}.\end{equation}

Aquí pusimos muchos ceros, pero en el fondo cada uno de estos ceros son una matriz de ceros. Por ejemplo, si tenemos los tres bloques de Jordan $J_{3,2}$, $J_{-2,1}$ y $J_{5,3}$ y pegamos estos bloques, obtenemos la siguiente matriz de bloques:

$$\left( \begin{array}{cc|c|ccc} 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \hline 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 5 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}\right).$$

Recuerda que las líneas que dibujamos en una matriz de bloques son simplemente ayuda visual. Estas matrices también son prácticamente diagonales y, como te imaginarás, también es fácil encontrar muchas de sus propiedades.

Teorema de la forma canónica de Jordan

Si recuerdas, una de las motivaciones fuertes para que nos interesara diagonalizar una matriz $A$ es que la matriz diagonal $D$ semejante comparte muchas propiedades con $A$, pero $D$ es mucho más fácil de entender. A veces no podremos encontrar una matriz diagonal semejante a $A$, pero lo que nos dice el teorema de formas canónicas de Jordan es que prácticamente siempre podremos encontrar una matriz de bloques de Jordan semejante a $A$.

Teorema. Sea $A\in M_n(F)$ una matriz tal que su polinomio característico $\chi_A(X)$ se divide sobre $F$. Entonces, $A$ es similar a una matriz de bloques de Jordan, es decir, una matriz como en \refeq{eq:Jordan}.

En realidad, cuando enunciemos el teorema lo haremos de manera más formal, y hasta diremos en qué sentido la forma canónica de Jordan es única.

¿Por qué decimos que entonces prácticamente siempre podemos diagonalizar una matriz? En cursos más avanzados se muestra que sin importar en qué campo $F$ estemos trabajando, siempre podemos extender el campo $F$ lo suficiente como para que cualquier polinomio se divida sobre una extensión $G$ de $F$. En este campo extendido, cualquier matriz en $M_n(F)$ se puede diagonalizar.

Transformaciones y matrices nilpotentes

Para demostrar el teorema de Jordan, primero tendremos que enunciarlo y demostrarlo para una clase muy especial de matrices: las nilpotentes. Ya hemos hablado un poco de estas matrices en ejercicios particulares y algunos problemas de la tarea moral. Pero si se te pasó, una matriz $A$ en $M_n(F)$ es nilpotente cuando se puede encontrar un expontente $m$ tal que $A^m=O_n$. De manera similar, si $T$ es una transformación lineal, diremos que es nilpotente cuando $T^m=Z$ para algún exponente $m$, donde $Z$ es la transformación lineal trivial que manda todo elemento al $0$. Recuerda que aquí el exponente indica cuántas veces se compone $T$ consigo mismo. Como te imaginarás, $T$ será nilpotente si y sólo si alguna de sus formas matriciales lo es.

Las matrices nilpotentes servirán como nuestros cimientos para demostrar el teorema de la forma canónica de Jordán. Es sencillo ver que los bloques de Jordan de la forma $J_{0,k}$ son nilpotentes. También es sencillo ver que cualquier matriz de bloques de Jordan con puros eigenvalores iguales a cero es nilpotente. Nuestra primera versión del teorema de la forma canónica de Jordán nos dará algo así como un «regreso» de esta afirmación. El siguiente teorema es una versión «light» de lo que demostraremos.

Teorema. Sea $A\in M_n(F)$ una matriz nilpotente. Entonces, $A$ es similar a una matriz de bloques de Jordan, todos ellos con eigenvalor $0$.

La demostración será muy bonita, y hará uso de la teoría de dualidad de Álgebra Lineal I. Una vez que demostremos esta versión, la combinaremos con el teorema de Cayley-Hamilton de la Unidad 1 para obtener el teorema general.

Aplicaciones del teorema de Jordan

Si conocemos la forma canónica de Jordan de una matriz, podemos encontrar a partir de ella fácilmente muchas propiedades, como la traza, determinante, etc. Además de estas aplicaciones «de cálculo de propiedades», el teorema de la forma canónica de Jordán nos permitirá decir exactamente cuándo dos matrices son similares. En particular, veremos que cualquier matriz $A$ es similar a su transpuesta.

Tarea moral

En esta ocasión la tarea moral consistirá en un repaso de contenido anterior tanto de Álgebra Lineal I como Álgebra Lineal II, para que cuentes con todas las herramientas necesarias para aprovechar esta última unidad.

  1. Haz un repaso de la teoría de Matrices de bloques, para recordar a qué se refiere esta notación y cómo se pueden hacer operaciones cuando las matrices están escritas por bloques.
  2. Revisa la entrada de Matrices de cambio de base, para recordar por qué dos matrices similares en el fondo representan a la misma transformación lineal, pero en distintas bases.
  3. Repasa la teoría básica de dualidad en espacios vectoriales. Puedes comenzar con la entrada de Introducción a espacio dual. Concretamente, tendrás que recordar por lo menos hasta la teoría de Ortogonalidad y espacio ortogonal.
  4. Recuerda todo lo que podemos decir de las transformaciones triangularizables, revisando la entrada de Triangularizar y descomposición de Schur, y compara los resultados de ahí con lo que esperamos obtener sobre forma canónica de Jordan. ¿Cuál teorema dice algo más fuerte?
  5. Vuelve a leer todo el contenido relacionado con el teorema de Cayley-Hamilton para recordar no sólo qué dice, sino cómo está relacionado con los eigenespacios asociados a una transformación lineal. Puedes empezar con la entrada de Introducción al teorema de Cayley-Hamilton.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Superior II: Introducción a estructuras algebraicas

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

2 respuestas

Introducción

Finalmente terminamos de construir a los números naturales, sus operaciones y su orden. El siguiente conjunto que nos interesa construir es $\mathbb{Z}$, el conjunto de los números enteros. Haremos esto en breve. Sin embargo, primero haremos un paréntesis para hablar de estructuras algebraicas.

Quizás hayas escuchado hablar de varias de ellas. En cálculo y geometría analítica se habla de los números reales y se comenta que es muy importante que sea un campo. En geometría moderna se habla de transformaciones geométricas y cómo algunas de ellas forman un grupo. También es común escuchar de los anillos de enteros o de polinomios (que estudiaremos más adelante). Y por supuesto, también están los espacios vectoriales, que están fuertemente conectados con resolver sistemas de ecuaciones lineales y hacer cálculo y geometría en altas dimensiones.

Todos estos conceptos (campos, grupos, anillos, espacios vectoriales, etc.) son ejemplos de estructuras algebraicas. Cada tipo de estructura algebraica es muy especial por sí misma y sus propiedades se estudian por separado en distintas materias, notablemente aquellas relacionadas con el álgebra moderna. La idea de esta entrada es dar una muy breve introducción al tema, para que te vayas acostumbrando al uso del lenguaje. Esto te servirá más adelante en tu formación matemática.

Intuición de estructuras algebraicas

De manera intuitiva, una estructura algebraica consiste de tomar un conjunto, algunas operaciones en ese conjunto, y ciertas propiedades que tienen que cumplir las operaciones. Eso suena mucho a lo que hemos trabajado con $\mathbb{N}$: es un conjunto, con las operaciones de suma y producto. Y ya demostramos que estas operaciones tienen propiedades especiales como la conmutatividad, la distributividad y la existencia de neutros.

En realidad podríamos tomar cualquier conjunto y cualquier operación y eso nos daría una cierta estructura.

Ejemplo. Consideremos el conjunto $\mathbb{N}$ con la operación binaria $\star$ tal que $$a\star b=ab+a+b.$$ Tendríamos entonces que $$3\star 1=3\cdot 1+3+1= 7,$$ y que $$10\star 10=10\cdot 10 + 10 + 10 = 120.$$

Es posible que la operación $\star$ tenga ciertas propiedades especiales, y entonces algunas proposiciones matemáticas interesantes consistirían en enunciar las propiedades de $\star$.

$\triangle$

Aunque tenemos mucha libertad en decidir cuál es el conjunto, cuáles son las operaciones que le ponemos y qué propiedades vamos a pedir, hay algunos ejemplos que se aparecen muy frecuentemente en las matemáticas. Aparecen de manera tan frecuente, que ameritan nombres especiales. Comencemos a formalizar esto.

Operaciones binarias y magmas

Dado un conjunto $S$, una operación binaria toma parejas de elementos de $S$ y los lleva a otro elemento de $S$. En símbolos, es una función $\star: S\times S\to S$. Cuando usamos la notación de función, tendríamos que escribir todo el tiempo $\times(a,b)$ para referirnos a lo que esta operación le hace a cada pareja de elementos $a$ y $b$ en $S$. Sin embargo, esto resulta poco práctico, y es por esta razón que se usa mucho más la notación $a\times b:=\times (a,b)$.

Ejemplo. En $\mathbb{N}$ ya definimos la operación binaria $+$, que toma dos enteros $a$ y $b$ y los manda a $s_a(b)$, donde $s_a:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ es la función que construimos usando el teorema de recursión estableciendo que $s_a(0)=a$ y $s_a(\sigma(n))=\sigma(s_a(n))$.

$\triangle$

Aquí lo único que nos importa es establecer una operación binaria. No nos importa si tiene otras propiedades adicionales.

Definición. Un magma consiste de un conjunto $S$ con una operación binaria $\ast$.

Otros ejemplos de magma son $\mathbb{N}$ con la operación que dimos en la parte de intuición, o bien $\mathbb{N}$ con el producto que ya definimos. También podemos tener magmas en conjuntos que no sea el de los enteros. Por ejemplo, si $P$ es el conjunto de subconjuntos de $\{0,1,2,3,4\}$, y le damos la operación que manda $A$ y $B$ a $A\cup B\cup \{0\}$, entonces también obtenemos un magma.

Conmutatividad

Cuando tenemos un conjunto $S$ y una operación binaria $\star$ en $S$, puede suceder que de lo mismo hacer $a\star b$ que $b\star a$. Esto ya es una propiedad especial que pueden cumplir las operaciones binarias, y tiene un nombre.

Definición. Decimos que una operación binaria $\star$ en un conjunto $S$ es conmutativa si para cualesquiera dos elementos $a$ y $b$ de $S$ se cumple que $a\star b=b\star a$.

Observa que la igualdad debe suceder para cualesquiera dos elementos. Basta con que falle para una pareja para que la operación ya no sea conmutativa.

Ejemplo. Una de las propiedades que demostramos de la operación de suma en $\mathbb{N}$ es que $s_a(b)=s_b(a)$, es decir, que $a+b=b+a$. En otras palabras, la operación binaria $+$ en $\mathbb{N}$ es conmutativa. Así mismo, vimos que el producto era conmutativo, es decir, que $p_a(b)=p_b(a)$, que en términos de la operación binaria $\cdot$ quiere decir que $a\cdot b=b\cdot a$.

$\triangle$

Más adelante veremos que otras funciones de suma y producto también son conmutativas, por ejemplo, las de los enteros, racionales, reales y complejos. Sin embargo, hay algunas operaciones binarias muy importantes en matemáticas que no son conmutativas. Un ejemplo de ello es el producto de matrices. Otro ejemplo es la diferencia de conjuntos.

Ejemplo. Si $P$ es el conjunto de subconjuntos de $\{0,1,2,3,4\}$ y le damos la operación binaria $\setminus$ tal que dados $A$ y $B$ en $P$ los manda a $A\setminus B$, entonces obtenemos un magma. Sin embargo, la operación $\setminus$ no es conmutativa pues, por ejemplo, $$\{1,2,3\}\setminus\{2,3,4\}=\{1\},$$ pero $$\{2,3,4\}\setminus\{1,2,3\}=\{4\}.$$

$\triangle$

En $\mathbb{N}$ no tenemos una operación de resta, como discutiremos en breve. Pero en el conjunto de los enteros sí, y ese sería otro ejemplo de una operación que no es conmutativa.

Asociatividad y semigrupos

Otra de las propiedades importantes que demostramos de la suma y producto de naturales es que son operaciones asociativas. En general, podemos definir la asociatividad para una operación binaria como sigue.

Definición. Sea $\star$ una operación binaria en un conjunto $S$. Decimos que $\star$ es asociativa si $a\star (b\star c)=(a\star b)\star c$ para cualesquiera tres elementos $a,b,c$ de $S$.

Tanto la suma como el producto de naturales dan una operación asociativa pues ya demostramos que si $a,b,c$ son naturales, entonces $a+(b+c)=(a+b)+c$ y $a(bc)=(ab)c$. Esta propiedad también la tendremos para la suma y producto de enteros, racionales, reales, complejos, polinomios, etc.

A partir de la asociatividad podemos definir la primer estructura algebraica que requiere un poco más de propiedades.

Definición. Un semigrupo es un conjunto $S$ con una operación asociativa $\star$.

Si además $\star$ es una operación conmutativa, entonces decimos que es un semigrupo conmutativo. En realidad, en cualquiera de las definiciones que daremos a continuación podemos agregar el adjetivo «conmutativo» y esto querrá decir que además de las propiedades requeridas, también se cumple que la operación es conmutativa.

En los semigrupos (y demás estructuras con asociatividad) tenemos la ventaja de que podemos «olvidarnos de los paréntesis» sin la preocupación de que haya ambigüedad. Por ejemplo, en los naturales la expresión $3+((2+4)+8)$ se puede escribir simplemente como $3+2+4+8$, pues cualquier otra forma de poner paréntesis, como $(3+2)+(4+8)$, debe dar exactamente el mismo resultado por asociatividad.

Ejemplo. Una operación que no es asociativa es la resta en los enteros. Aunque no hemos definido formalmente esta operación, es intuitivamente claro que $3-(2-1)$ no es lo mismo que $(3-2)-1$.

$\triangle$

Unidades y magmas unitales

A veces sucede que algunos elementos de un conjunto «no afectan a nadie» bajo una cierta operación binaria dada. Por ejemplo, en los naturales «sumar cero» no cambia a ningún entero.

Definición. Sea $\star$ una operación binaria en un conjunto $S$. Una unidad o neutro para $\star$ es un elemento $e$ en $S$ para el cual se cumple que para cualquier elemento $a$ de $S$ se tenga $a\star e = a$ y $e\star a = a$.

Observa que es muy importante pedir las dos igualdades de la definición. Si una se cumple, no necesariamente tiene que pasar la otra, pues no necesariamente la operación es conmutativa. Por supuesto, si ya se sabe que la operación es conmutativa, entonces basta con ver una de ellas.

En $\mathbb{Z}$ tenemos las operaciones de suma y producto. Para no confundir a sus neutros, a $0$ le llamamos el neutro aditivo para hacer énfasis que es el neutro de la suma. Y a $1$ le llamamos el neutro multiplicativo para hacer énfasis que es el neutro del producto. Entre las propiedades que probamos, en efecto vimos que $a+0=a=0+a$ y que $a\cdot 1 = a = 1\cdot a$ para cualquier entero $a$.

Definición. Un magma unital es un conjunto $S$ con una operación $\star$ que tiene un neutro.

El conjunto de naturales con la operación $\star$ que dimos en la sección de intuición también es un magma unital. ¿Puedes decir quién es su neutro?

Monoides

Se puede pedir más de una propiedad a una operación binaria y entonces obtenemos estructuras algebraicas más especiales.

Definición. Un monoide es un conjunto $S$ con una operación $\star$ que es asociativa y que tiene un neutro.

En otras palabras, un monoide es un magma unital con operación asociativa. O bien, un semigrupo cuya operación tiene unidad. Por supuesto, si la operación además es conmutativa entonces decimos que es un monoide conmutativo.

Ejemplo. Por todo lo que hemos visto en esta entrada, tenemos que $\mathbb{N}$ con la suma es un monoide conmutativo. Así mismo, $\mathbb{N}$ con el producto es un monoide conmutativo.

$\triangle$

Semianillos

La última idea importante para discutir en esta entrada es que una estructura algebraica puede tener más de una operación binaria, y además de pedir propiedades para cada operación, también se pueden pedir propiedades que satisfagan ambas operaciones en igualdades que las involucran a las dos.

Definición. Un seminanillo es un conjunto $S$ con dos operaciones binarias $\square$ y $\star$ que satisfacen las siguientes propiedades:

  • $\square$ es un monoide conmutativo
  • $\star$ es un monoide
  • Se cumple distributividad, es decir, que para cualesquiera tres elementos $a,b,c$ de $S$ se tiene $a\star(b\square c) = (a\star b)\square(a\star c)$ y $(a\square b)\star c = (a\star c)\square(b\star c)$.
  • El neutro $e$ de $\square$ aniquila a los elementos bajo $\star$, es decir, para cualquier elemento $a$ de $S$ se tiene que $a\star 0=0$ y $0\star a = 0$.

Un semianillo conmutativo es un semianillo en donde la operación $\star$ también es conmutativa. Las propiedades que hemos de los números naturales nos permiten enunciar el siguiente resultado.

Teorema. El conjunto $\mathbb{N}$ con las operaciones binarias de suma y producto es un semianillo conmutativo.

Más adelante…

Este sólo fue un pequeño paréntesis para comenzar a hablar de operaciones binarias y de estructuras algebraicas. Ahora regresaremos a seguir construyendo de manera formal los sistemas numéricos con los que se trabaja usualmente: los enteros, los racionales, los reales y los complejos.

Un poco más adelante haremos otro paréntesis de estructuras algebraicas, en el que hablaremos de otras propiedades más que puede tener una operación binaria. Una muy importante es la existencia de inversos para la operación binaria. Esto llevará a las definiciones de otras estructuras algebraicas como los grupos, los anillos, los semigrupos con inversos, los quasigrupos y los campos.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Encuentra el neutro de la operación $\star$ dada en la sección de intuición. Verifica que en efecto es un neutro.
  2. Demuestra que el conjunto de los naturales pares $\{0,2,4,6,\ldots\}$ sí tiene un neutro para la operación de suma, pero no para la operación de producto.
  3. Considera el conjunto $P(S)$ de subconjuntos de un conjunto $S$. Considera las operaciones binarias de unión e intersección de elementos de $P(S)$. Muestra que $P(S)$ con estas operaciones es un semianillo conmutativo.
  4. Da un ejemplo de un magma que no sea un magma unital. Da un ejemplo de un magma unital que no sea un monoide.
  5. Da o busca un ejemplo de un semianillo que no sea un semianillo conmutativo.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»