Introducción
Durante esta semana hemos introducido el concepto de bases ortogonales y ortonormales, así como algunas propiedades especiales. Para poder aplicar los resultados que hemos visto, es necesario insistir en que las bases sean de este tipo (ortonormales). Ahora veremos cómo encontrar bases ortonormales usando algo llamado el proceso de Gram-Schmidt.
Recordando todos los problemas anteriores de este curso, decíamos que una base es un conjunto de vectores linealmente independientes y que el número de vectores coincide con la dimensión del espacio. Pero hasta este momento no nos interesó determinar si las bases eran ortonormales o no. Si nos pusiéramos a ver si lo eran, es probable que muy pocas lo sean. Entonces surgen dos preguntas, ¿será difícil encontrar una base ortonormal de un espacio vectorial? y ¿habrá alguna manera de construir una base ortonormal?
Proceso de Gram-Schmidt
La respuesta a la primera pregunta es «no, no es difícil», y justo la respuesta de la segunda pregunta es la justificación. Dada una base cualquiera del espacio vectorial, podemos construir una base ortonormal de ese mismo espacio gracias al siguiente teorema.
Teorema (Gram-Schmidt). Sean vectores linealmente independientes en un espacio vectorial
sobre
(no necesariamente de dimensión finita), con producto interior
. Entonces existe una única familia de vectores ortonormales
en
con la propiedad de que para todo
, tenemos que
Demostración. Lo haremos por inducción sobre , la cantidad de vectores con la que empezamos.
La base inductiva es cuando . Tomamos un vector
, entonces podemos escribirlo como
para cierta
. Si queremos que
, entonces
. Además queremos que
tenga norma igual a 1, entonces





Hagamos ahora el paso inductivo. Tomemos un entero , y supongamos que el teorema es cierto para
. Sean
vectores en
linelmente independientes. Por hipótesis, sabemos que existe una única familia de vectores ortonormales
que satisfacen las condiciones del teorema respecto a la familia
. Es suficiente con probar que existe un único vector
tal que
satisface el teorema con respecto a
, esto es
y
ya que, por hipótesis, los casos de se cumplen.
La idea para construir es tomarlo de
, expresarlo como combinación lineal de estos y encontrar condiciones necesarias y suficientes sobre los coeficientes de
para que satisfaga las conclusiones del teorema. Hagamos esto.
Sea un vector tal que
. Por ser linealmente independientes y por hipótesis

para algunos . Si resulta que
, esto también implicará que
.
Ahora, dado que debe formar una familia ortonormal con el resto de los vectores, para todo
, tenemos que
entonces . Si logramos mostrar que hay un único
con el que se pueda satisfacer la conclusión del teorema, el argumento anterior muestra que también hay únicos
y por lo tanto que hay un único vector
que satisface el teorema.
Sustituyendo los coeficientes anteriores, obtenemos que
Notemos que si es cero,
estaría en


Ahora como queremos que , esto implica que
.
Como además queremos que y
se deduce que es único y está determinado por
Por lo tanto existe (y es único) el vector
que satisface el teorema.
Este proceso de construcción es mejor conocido como el proceso de Gram-Schmidt. La demostración da a la vez un algoritmo que nos permite encontrar bases ortogonales (y de hecho ortonormales). Veremos ejemplos de esto en la siguiente sección. Antes de eso, enunciaremos formalmente una de las conclusiones más importantes del teorema anterior.
Recuerda que un espacio Euclideano es un espacio vectorial de dimensión finita sobre y con un producto interior. Podemos aplicar el proceso de Gram-Schmidt a cualquier base
de un espacio Euclideano
y al final obtendremos una familia
de vectores ortonormales. Como sabemos que las familias de vectores ortonormales son linealmente independientes, y tenemos
vectores, concluimos que
es una base ortonormal. En resumen, tenemos el siguiente resultado.
Corolario. Todo espacio Euclideano tiene una base ortonormal.
Ejemplos de aplicación del proceso de Gram-Schmidt
A continuación veremos algunos ejemplos que nos ayuden a clarificar más este algoritmo.
Ejemplo 1. Sean vectores en
(con el producto interior estándar) definidos por
.
Es fácil ver que estos vectores son linealmente independientes. Entonces construyamos según el proceso de Gram-Schmidt la familia ortonormal de vectores . Tenemos que
.
Ahora, tomando , tenemos que
está definido como
, entonces
Esto implica que . Finalmente tomando
, sabemos que
. Entonces
Por lo tanto
Ejemplo 2. Sea el espacio de polinomios en
con coeficientes reales de grado a lo más 2, con el producto interior
Sean ,
,
vectores en
que claramente son linealmente independientes. Encontraremos los vectores que nos da el proceso de Gram-Schmidt.
Primero calculemos
,
entonces . Ahora calculemos
:
Haciendo la integral


Por último, hay que calcular así como su norma. Primero,
y luego, con la integral


Aunque no es un proceso muy eficiente, nos garantiza que podemos encontrar una base ortonormal para cualquier espacio vectorial (con producto interior). Ya con una base ortonormal, podemos usar la descomposición de Fourier de la cual hablamos la entrada anterior y con ella todas las consecuencias que tiene.
Si quieres ver muchos más ejemplos del proceso en , puedes usar una herramienta en línea que te permite ver el proceso paso a paso en el conjunto de vectores que tu elijas. Una posible página es el Gram-Schmid Calculator de eMathHelp.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Verifica que con el valor
que se encontró en la demostración del teorema de Gram-Schmidt en efecto se obtiene un vector
que satisface todas las conclusiones que se desean.
- Revisa que los vectores que se obtuvieron en los ejemplos de aplicación del proceso de Gram-Schmidt en efecto son bases ortogonales de los espacios correspondientes.
- Aplica el proceso de Gram-Schmidt a los polinomios
,
,
en el espacio Euclideano de los polinomios reales de grado a lo más dos y producto interior
- Aplica el proceso de Gram-Schmidt a los vectores
con el producto interior canónico (el producto punto).
- Usa el Gram-Schmidt Calculator de eMathHelp para ver paso a paso cómo se aplica el proceso de Gram-Schmidt a los vectores
.
Más adelante…
En esta última entrada teórica de la unidad 3, vimos el método de Gram-Schmidt para construir una base ortonormal, que es un proceso algorítmico que parte de tener una base de un espacio y al final calcula una base ortonormal. También se vieron algunos ejemplos de la aplicación de este proceso para espacios vectoriales finitos como y el espacio de polinomios en [0,1] de grado a lo más 2. Aunque no es una manera muy eficaz para encontrar una base ortonormal, sí te garantiza que lo que construye es una.
En la próxima entrada veremos ejercicios resueltos de los temas que hemos estado estudiando a lo largo de esta semana.
Entradas relacionadas
- Ir a Álgebra Lineal I
- Entrada anterior del curso: Bases ortonormales y descomposición de Fourier
- Siguiente entrada del curso: Problemas de bases ortogonales, Fourier y proceso de Gram-Schmidt
hola,en el ultimo ejemplo, para sacar z3, ¿donde quedaron la raices de doce? tanto dentro de la integral como cuando se multiplica la integral
Hay una raiz de 12 en el e_2 que está adentro de la integral, y otra que está en el e_2 de afuera de la integral. Al multiplicarlas da el 12 que pusimos afuera.
Buen día.
Después de la demostración del teorema hacen una observación y en una parte dice lo siguiente: «La demostración da a la vez un algoritmo que nos permite encontrar bases ortogonales. […]» ¿No debería decir ortonormales en lugar de ortogonales?
Sé que si una base es ortonormal, entonces es ortogonal, pero creo que se busca enfatizar que con este proceso se puede encontrar una base ortonormal.
Sí, de acuerdo. Es un poco más específico así como lo planteas.