Álgebra lineal II: Formas sesquilineales

Introducción

Como mencionamos anteriormente, las formas bilineales, aunque muy útiles, son muy restringidas en como las definimos, intentaremos extender un poco esta definición al menos a espacios vectoriales sobre los complejos, aunque esto aún es limitado, para fines de este curso esto bastará.

La forma de extenderla será mediante formas sesquilineales, veremos su definición, así como un par de propiedades y se verán un par de propiedades que darán paso al tema siguiente las formas hermitianas cuadráticas.

Formas sesquilineales

Vale la pena empezar entendiendo a que se refiere la palabra sesquilineal, como seguramente notaste, una forma bilineal era llamada así porque era «dos veces lineal», con esto nos referimos a que debía ser lineal en cada una de sus entradas.
Similarmente, las formas sesquilineales deben su nombre a la raíz latina sesqui que significa uno y medio, como esto no nos indica naturalmente a que se refiere sesquilineal, veamos la definición.

Definición
Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$. Una forma sesquilineal en $V$ es una función $\varphi: V \times V \rightarrow \mathbb{C} $ tal que

  • Para cualesquiera $x_1,x_2,y \in V$ y para cualquier $\lambda \in \mathbb{C}$ $\varphi (\lambda x_1+x_2, y) = \overline{\lambda} \varphi (x_1,y)+ \varphi(x_2 , y)$.
  • Para cualesquiera $y_1,y_2,x \in V$ y para cualquier $\lambda \in \mathbb{C}$ $\varphi (x,\lambda y_1+y_2) = \lambda\varphi (x,y_1)+ \varphi(x, y_2)$.


Sabiendo esto, la «media» linealidad se refiere a que en la primera entrada se pide que $\varphi$ sea lineal conjugada.

Además, una forma sesquilineal $\varphi$ se llamará conjugada simétrica o hermitiana si $\overline{ \varphi(y,x) }= \varphi(x,y)$ para cualesquiera $x, y \in V$.

Cabe aclarar que esto no es lo mismo que una forma cuadrática hermitiana, que empezaremos a ver en la siguiente entrada.

Propiedades de formas sesquilineales

A partir de esto, podemos definir el siguiente conjunto

\begin{align*} S(V) : = \{ \varphi: V \times V \rightarrow \mathbb{C} \; | \; \varphi \text{ es sesquilineal} \} \end{align*}
Y de manera análoga a lo que sucedía con las formas bilineales, $S(V)$ es un subespacio vectorial del $\mathbb{C}$-espacio de todas las funciones de $V \times V $ en $\mathbb{C}$.
También, podemos definir
\begin{align*} H(V) : = \{ \varphi \in S(V) \; | \; \overline{ \varphi(y,x) }= \varphi(x,y) \; \forall x , y \in V \} \end{align*}
el conjunto de formas hermitianas.

Algo que siempre hay que revisar después de la definición de algún conjunto es que este es no vacío, por suerte es generalmente sencillo comprobar esto, en nuestro caso es claro que la función $0$ es sesquilineal y hermitiana.

Con esto investiguemos un poco la relación existente entre $S(V)$ y $H(V)$
Proposición

$H(V)$ es un subespacio vectorial de $S(V)$ como espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$.

Demostración

Sabemos que $H(V) \subseteq S(Y)$ y que ambos son distintos del vacío, así empecemos probando que $H(V)$ es cerrado bajo la suma y multiplicación escalar.

Sean $\varphi_1, \varphi_2 \in H(V)$, $x,y \in V$ y $\lambda \in \mathbb{R}$.

Sabemos por cómo está definida la suma que
\begin{align*} (\varphi_1 + \varphi_2) (x,y)= \varphi_1(x,y) + \varphi_2 (x,y) \end{align*}
Además, como $\varphi_1, \varphi_2 \in H(V)$
\begin{align*} \varphi_1(x,y) = \overline{\varphi_1(y,x)} \qquad \text{y} \qquad \varphi_2(x,y) = \overline{\varphi_2(y,x)} \end{align*}
por lo que
\begin{align*} (\varphi_1 + \varphi_2) (x,y)= \overline{\varphi_1(y,x)} + \overline{\varphi_2(y,x)} \end{align*}
También, sabemos que $\overline{a+b}= \overline{a}+ \overline{b}$ para cualquier par de números complejos, en particular
\begin{align*} \overline{\varphi_1(y,x)} + \overline{\varphi_2(y,x)} = \overline{\varphi_1(y,x) + \varphi_2(y,x) } = \overline{ (\varphi_1+\varphi_2) (y,x) }\end{align*}
Así, finalmente
\begin{align*} (\varphi_1 + \varphi_2) (x,y)= \overline{ (\varphi_1+\varphi_2) (y,x) } \end{align*}
De donde se concluye que $\varphi_1 + \varphi_2 \in H(V)$

Procedamos análogamente para la multiplicación
\begin{align*} (\lambda \varphi_1) (x,y)= \lambda (\varphi_1(x,y))=\lambda (\overline{ \varphi_1(y,x)}) \end{align*}
Más aún, tenemos que $\overline{\lambda} = \lambda$ (¿Por qué?)
\begin{align*} (\lambda \varphi_1) (x,y)= \lambda (\overline{ \varphi_1(y,x)}) = \overline{ \lambda \varphi_1(y,x)}= \overline{ (\lambda \varphi_1)(y,x)}\end{align*}
De donde se termina concluyendo que $\lambda \varphi_1 \in H(V)$

Con estas dos, basta para afirmar que $H(V)$ es un subespacio vectorial de $S(V)$ como espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$.

$\square$

Proposición

Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$, $S(V)$ el subespacio de formas sesquilineales y $H(V)$ el subespacio de formas hermitianas, $S(V)$ se puede descomponer como la suma directa de $H(V)$ y $iH(V)$.

Un recordatorio de la suma directa lo puedes encontrar aquí.

Demostración

Empecemos probando que $S(V)$ efectivamente se puede descomponer como la suma de $H(V)$ y $iH(V)$.
Para esto, basta demostrar que cualquier forma sesquilineal se puede expresar como suma de dos formas hermitianas, de esta manera sea $\varphi \in S(V)$ definamos $h_1, h_2$ como sigue
\begin{align*} h_1(x,y)=\frac{\varphi(x,y)+ \overline{\varphi(y,x)}}{2} \qquad \text{y} \qquad h_2(x,y)=\frac{\varphi(x,y)- \overline{\varphi(y,x)}}{2i}\end{align*}
Comencemos mostrando que $h_2$ es hermitiana, de esta manera dados cualesquiera $x,y \in \mathbb{C}$, calculemos $\overline{h_2(y,x)}$.
\begin{align*} \overline{h_2(y,x)}=\overline{(\frac{\varphi(y,x)- \overline{\varphi(x,y)}}{2i})} \end{align*}
En particular sabemos que
\begin{align*} \frac{\varphi(y,x)- \overline{\varphi(x,y)}}{2i}=\frac{-\varphi(y,x)i+ \overline{\varphi(x,y)}i}{2} \end{align*}
Así
\begin{align*} \overline{h_2(y,x)}=\overline{(\frac{-\varphi(y,x)i + \overline{\varphi(x,y)}i}{2})}\end{align*}
Además, para cualquier $c \in \mathbb{C}$ tenemos que $\overline{ci}=-\overline{c}i$, por lo que
\begin{align*} \overline{h_2(y,x)}= \frac{\overline{\varphi (y,x)}i -\varphi (x,y)i}{2}\end{align*}
Finalmente multiplicando por $\frac{i}{i} $
\begin{align*} \overline{h_2(y,x)}= \frac{-\overline{\varphi (y,x)} + \varphi (x,y)}{2i}=\frac{ \varphi (x,y)- \overline{ \varphi (y,x)}}{2i}=h_2(x,y) \end{align*}
Por lo que $h_2 \in H(V)$
De manera análoga y se puede mostrar que $h_1$ es hermitiana.
Dado esto tenemos que
\begin{align*} h_1 \in H(V) \qquad \text{y} \qquad ih_2 \in iH(V) \end{align*}
Con
\begin{align*} ih_2= \frac{\varphi (x,y)- \overline{ \varphi (y,x)}}{2} \end{align*}
Y es claro que, para cualesquiera $x,y \in \mathbb{C}$
\begin{align*} \varphi (x,y) =\frac{\varphi (x,y)+ \overline{\varphi (y,x)}}{2} + \frac{ \varphi (x,y)- \overline{ \varphi (y,x)}}{2} =h_1(x,y)+ih_2(x,y)\end{align*}
Así en general
\begin{align*} \varphi =h_1+ih_2\end{align*}
Por lo que
\begin{align*} S(V)=H(V)+iH(V)\end{align*}
Demostrar que $H(V)$ y $iH(V)$ están en posición de suma directa es más sencillo.

Sea $h \in H(V) \cap iH(V)$ en particular $h \in iH(V)$ por lo que existe $h_1 \in H(V)$ tal que $h=ih_1$ así, para cualesquiera $x,y \in \mathbb{C}$
\begin{align*} h(x,y)=\overline{h(y,x)}=\overline{ih_1(y,x)}=-i\overline{h_1(y,x)}=-ih_1(x,y)=-h(x,y) \end{align*}
De esta cadena concluimos que $h(x,y)=-h(x,y)$ y sabemos que el único complejo que cumple esto es el $0$.

Por lo tanto $h(x,y)=0$ por lo que $h=0$ que finalmente nos arroja que $H(V) \cap iH(V)= \{ 0 \}$.

Esto es suficiente para saber qué $H(V)$ y $iH(V)$ están en posición de suma directa.

Por lo tanto
\begin{align*} S(V)= H(V) \oplus iH(V)\end{align*}.

$\square$

Más adelante

De esta manera definimos a las formas sesquilineales como un análogo en $\mathbb{C}$ a las formas bilineales, así que como es de esperarse, también definiremos un análogo a las formas cuadráticas siendo estas las formas hermitianas cuadráticas y finalizaremos esta pequeña sección enunciando el análogo al teorema de Gauss.

Después procederemos a ver un repaso de productos interiores y su relación con formas cuadráticas incluso probaremos un par de desigualdades muy importantes, siendo una de estas la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso. Sin embargo, sirven de ayuda para repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. Puede $H(V)$ definida como arriba ser un subespacio vectorial de $S(V)$ sobre $\mathbb{C}$.
  2. En la segunda proposición, demuestra que $h_1$ definida como arriba es hermitiana.
  3. Sean $m.n \in \mathbb{N}$, $a_1, \cdots a_n, b_1, \cdots b_m \in H$ y $\lambda_1, \cdots \lambda_n, \mu_1, \cdots \mu_m \in H$ entonces
    \begin{align*} \varphi(\sum_{i=1}^n \lambda_ia_i , \sum_{j=1}^m\mu_jb_j)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\overline{\lambda_i}\mu_j\varphi(a_i,b_j)\end{align*}
  4. Sea $\varphi$ hermitiana, demuestra que $\varphi(x,x) \in \mathbb{R}$ $\forall x \in V $
  5. Sea $\varphi$ hermitiana, demuestra que $\varphi(ax,ax) = |a|^2\varphi(x,x)$ $\forall x \in V $ y $\forall a \in \mathbb{C}$

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