Esta es la página del curso Álgebra Lineal II que imparto en la Facultad de Ciencias de la UNAM. En este curso cubrimos el temario oficial de la materia viendo varios problemas y ejemplos en el camino.
Organización del curso
El curso está dividido en cuatro unidades temáticas.
- Unidad 1: Operadores lineales
- Unidad 2: Diagonalización y triangulación
- Unidad 3: Teoremas espectrales reales y complejos
- Unidad 4: Formas canónicas
Notas del curso
Durante el semestre 2021-2, elaboraremos notas para ir llenando las siguientes secciones. Para recordar el material de la materia anterior, se recomienda revisar las notas en este mismo blog de Álgebra Lineal I.
Unidad 1: Triangulación y diagonalización
- Introducción al curso
- Aplicar polinomios a transformaciones lineales y matrices
- Polinomio mínimo de transformaciones lineales y matrices
- Problemas de polinomio mínimo
- Eigenvectores y eigenvalores
- Propiedades de eigenvectores y eigenvalores
- Problemas de eigenvectores y eigenvalores
- Polinomio característico
- Polinomio característico de familias especiales
- Matrices similares y su polinomio característico
- Problemas de polinomio característico
- Introducción al teorema de Cayley-Hamilton
- Demostración del teorema de Cayley-Hamilton
- Aplicaciones del teorema de Cayley-Hamilton
- Problemas de Cayley-Hamilton
- Triangularizar y descomposición de Schur
- Diagonalizar
- Caracterizaciones de diagonalizar
- Problemas de triangulación y diagonalización
Unidad 2: Formas bilineales reales y complejas
- Repaso de formas bilineales y cuadráticas
- Teorema de Gauss
- Problemas de formas bilineales, cuadráticas y teorema de Gauss
- Formas sesquilineales
- Formas cuadráticas hermitianas
- Problemas de formas sesquilineales y cuadráticas hermitianas
- Matrices de formas bilineales
- Matrices de formas sesquilineales
- Problemas de matrices de formas bilineales y sesquilineales
- Espacios euclideanos y espacios hermitianos
- Matrices positivas y congruencia de matrices
- Teorema de Sylvester
- Problemas de congruencia de matrices y teorema de Sylvester
- Dualidad y representación de Riesz en espacios euclideanos
- Ortogonalidad en espacios euclideanos
- Problemas de dualidad y ortogonalidad
- Aplicaciones de bases ortogonales en espacios euclideanos
- Proceso de Gram-Schmidt en espacios euclideanos
- Problemas de bases ortogonales y proceso de Gram-Schmidt
Unidad 3: Teoremas espectrales reales y complejos
- Adjunta de una transformación lineal
- Transformaciones normales, simétricas y antisimétricas
- Problemas de adjunciones, transformaciones simétricas, antisimétricas y normales
- Isometrías reales, transformaciones ortogonales y sus propiedades
- El teorema de clasificación de transformaciones ortogonales
- Problemas de isometrías y grupo ortogonal
- El teorema espectral real
- El teorema de descomposición polar real
- Problemas de teorema espectral real
- Adjunciones complejas y transformaciones unitarias
- El teorema espectral y de descomposición polar complejos
- Problemas de unitarias y teorema espectral complejos
Unidad 4: Formas canónicas
- Introducción a forma canónica de Jordan
- Matrices y transformaciones nilpotentes
- Problemas de matrices nilpotentes
- Existencia de la forma canónica de Jordan para nilpotentes
- Unicidad de la forma canónica de Jordan para nilpotentes
- Problemas de forma canónica de Jordan para nilpotentes
- Existencia de la forma canónica de Jordan
- Unicidad de la forma canónica de Jordan
- Problemas de forma canónica de Jordan
- Aplicaciones de la forma canónica de Jordan
- Problemas de aplicaciones de formas canónicas de Jordan
Videos del curso
Es posible que se preparen videos auxiliares para algunos temas del curso. Todos ellos se podrán encontrar en el siguiente canal de YouTube, que actualmente tiene material para Álgebra Lineal I:
Moodle del curso
Además de las notas y videos del curso, se encuentra en preparación un curso en Moodle en donde habrá mucho más material:
- Foros de discusión divididos por cada unidad temática
- Cuestionarios de opción múltiple y respuesta numérica para verificar el entendimiento de cada uno de los temas que cubrimos en el curso
- Tareas y exámenes
Para tener acceso a este material, es necesario tener una cuenta en el portal NekoMath Learn y pedir en un correo la inscripción al curso en línea.
Evaluación
La forma específica de evaluar depende de cada vez que se imparte el curso. Hay variantes entre la modalidad en línea y la modalidad presencial.
Bibliografía
En esta página se pueden encontrar las notas que usamos para llevar el curso. Las notas están basadas principalmente en el libro Essential Linear Algebra with Applications de Titu Andreescu.
De manera auxiliar, también usamos algunos ejemplos y problemas del libro Linear Algebra de Friedberg, Insel y Spence.
Créditos
Las siguientes personas me han ayudado a impartir este curso en la Facultad de Ciencias de la UNAM.
Semestre 2021-2
- Ayax Calderón Camacho
- Julio Sampietro Christ
- Elizabeth Chalnique Ríos Alvarado
- Diego Ligani Rodríguez Trejo