Álgebra Lineal II: Adjunta de una transformación lineal

Introducción

La adjunta de una transformación lineal

Sea $(V,\langle , \rangle)$ un espacio euclidiano de dimensión finita. Sea $T:V \to V$ una transformación lineal.
Para cada $y\in V$, la transformación $x\mapsto \langle T(x),y\rangle\in V^*$. Del teorema de representación de Riesz se sigue que existe un único vector $T^*(y)\in V$ tal que
$$\langle T(x),y\rangle=\langle T^*(y),x\rangle =\langle x, T^*(y)\rangle \hspace{2mm} \forall x\in V.$$

De esta manera obtenemos una transformación $T^*:V\to V$ caracterizada de manera única por la siguiente condición:
$$\langle T(x),y\rangle =\langle x, T^*(y)\rangle \hspace{2mm} \forall x,y\in V.$$

Resulta que la transformación $T^*$ es lineal y la llamaremos la adjunta de $T$. Ahora sí, ya estamos listos para enunciar el siguiente teorema.

Teorema. Sea $(V,\langle , \rangle)$ un espacio euclidiano de dimensión finita. Para cada transformación lineal $T:V\to V$ existe una única transformación $T^*:V\to V$, llamada la adjunta de $T$, tal que para cualesquiera $x,y\in V$ se tiene que
$$\langle T(x),y\rangle =\langle x, T^*(y)\rangle.$$

Notemos que para cualesquiera $x,y\in V$ tenemos que
$$\langle y,T(x)\rangle=\langle T(x),y\rangle=\langle x,T^* (y)\rangle=\langle T^*(y),x\rangle =\langle y, (T^*)^*(x)\rangle.$$

Restando el último término del primero, se sigue que $T(x)-(T^*)^*(x)=0$, de manera que $$(T^*)^*=T,$$ por lo cual simplemente escribiremos $$T^{**}=T.$$

Por lo tanto, la función $T\to T^*$ es una transformación auto-inversa sobre $V$.

$\square$

La matriz de la transformación adjunta

Proposición. Sea $(V,\langle , \rangle)$ un espacio euclidiano de dimensión finita y sea $T:V\to V$ una transformación lineal. Sea $\mathcal{B}=(e_1,\dots, e_n)$ una base otronormal de $V$ y $A$ la matriz asociada $T$ con respecto a $\mathcal{B}$. Se tiene que la matriz asociada a $T^*$ con respecto a $\mathcal{B}$ es $^tA$.

Solución. Sea $B=[B_{ij}]$ la matriz asociada a $T^*$ con respecto a $\mathcal{B}$, por lo que para cada $i\in[1,n]$ se tiene
$$T^*(e_i)=\displaystyle\sum_{k=1}^n b_{ki}e_k.$$

En vista de que $$\langle T(e_i),e_j\rangle=\langle e_i,T^*(e_j) \rangle $$ y $T(e_i)=\displaystyle\sum _{k=1}^n a_{ki}e_k$, y como la base $\mathcal{B}$ es ortonormal, entonces $$\langle T(e_i),e_j\rangle=\displaystyle\sum_{k=1}^n a_{ki}\langle e_k,e_j\rangle=a_{ji}$$ y
$$\langle e_i,T^*(e_j)\rangle=\displaystyle\sum_{k=1}^n b_kj\langle e_i,e_k \rangle.$$

Como, por definición de transformación adjunta, se tiene que
$$\langle T(e_i),e_j\rangle =\langle e_i, T^*(e_j)\rangle,$$ entonces $b_{ij}=a_{ji}$, o bien $B= {}^tA$.


$\square$

Ejemplo de encontrar una adjunción

Más adelante…

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

  1. Demuestra que si $T$ es una transformación lineal, entonces $T^*$ también lo es.
  2. Demuestra que si $T$ es una transformación lineal sobre un espacio euclidiano de dimensión finita, entonces $$\det T= \det T^*.$$
  3. Considera la transformación lineal $T:\mathbb{C}^3 \to \mathbb{C}^2$ cuya matriz asociada es
    $$\begin{pmatrix}
    1 & i & 0\\
    0 & 1+i & 3\end{pmatrix}.$$ Encuentra la matriz asociada a $T^*$.

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5 comentarios en “Álgebra Lineal II: Adjunta de una transformación lineal

  1. Carlos Saúl Rivera Landeros

    Hola, en el punto 3 de la tarea moral no necesitamos que el dominio y el codominio de la transformacion sea el mismo espacio para definir la adjunta?

    Responder
  2. Ayax Calderón Autor

    Hola Carlos,

    No es necesario que el dominio y el codominio de $T$ sean iguales. La adjunta de $T$, que denotamos por $T^*$ es la transformación $T^*:C^2 \to C^3$ tal que
    $\langle T(v),w\rangle = \langle v,T^*(w) \rangle$ para todo $v\in C^3$ y para todo $w\in C^2$, donde el producto interior de la izquierda es el de $C^2$ y el de la derecha es en $C^3$.

    Responder
  3. Antonio Mayorquin Galicia

    Hola, espero que les vaya bien. Les quería preguntar sobre el ejercicio <>. Parar la demostración, se enuncia que la \[ T\] es simétrica, ¿pero esto es necesariamente correcto? La matriz rotación de \[T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2\] de 90 grados no es simétrica, pero sigue siendo una isometría de \[\mathbb{R}^2\].

    Saludos,

    Responder
    1. Antonio Mayorquin Galicia

      Me refería al ejercicicio, ¨Problema: Demuestra que cualesquiera dos eigenespacios distintos de una transformación lineal ortogonal son ortogonales¨. Por cierto, para escribir el latex, usaba «backslash»[ . . . ]»backslash». ¿Se usa el símbolo del dinero para escribir latex en modo texto? Este es una prueba: $1+1=2$.

      Responder
      1. Ayax Calderón Autor

        Hola Antonio,

        Gracias por tu comentario, acabo de notar que me equivoqué escribiendo el enunciado del problema que mencionas. $T$ debe ser lineal y simétrica. Recuerda que los enunciados de suficiencia (como este), no necesariamente implican necesidad, es decir, que probemos que las transformaciones lineales simétricas cumplen la propiedad que se enuncia no quiere decir que no puedas encontrar una $T$ no simétrica que satisfaga el enunciado.

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