Álgebra Lineal II: Transformaciones lineales adjuntas.

Introducción

Sea $(V,\langle , \rangle)$ un espacio euclidiano de dimensión finita. Sea $T:V \to V$ una transformación lineal.
Para cada $y\in V$, la transformación $x\mapsto \langle T(x),y\rangle\in V^*$. Del teorema de representación de Riesz se sigue que existe un único vector $T^*(y)\in V$ tal que
$$\langle T(x),y\rangle=\langle T^*(y),x\rangle =\langle x, T^*(y)\rangle \hspace{2mm} \forall x\in V.$$

De esta manera obtenemos una transformación $T^*:V\to V$ caracterizada de manera única por la siguiente condición:
$$\langle T(x),y\rangle =\langle x, T^*(y)\rangle \hspace{2mm} \forall x,y\in V.$$

Resulta que la transformación $T^*$ es lineal y la llamaremos la adjunta de $T$. Ahora sí, ya estamos listos para enunciar el siguiente teorema.

Definiciones

Teorema. Sea $(V,\langle , \rangle)$ un espacio euclidiano de dimensión finita. Para cada transformación lineal $T:V\to V$ existe una única transformación $T^*:V\to V$, llamada la adjunta de $T$, tal que para cualesquiera $x,y\in V$ se tiene que
$$\langle T(x),y\rangle =\langle x, T^*(y)\rangle.$$

Notemos que para cualesquiera $x,y\in V$ tenemos que
$$\langle y,T(x)\rangle=\langle T(x),y\rangle=\langle x,T^* (y)\rangle=\langle T^*(y),x\rangle =\langle y, (T^*)^*(x)\rangle.$$

Restando el último término del primero, se sigue que $T(x)-(T^*)^*(x)=0$, de manera que $$(T^*)^*=T,$$ por lo cual simplemente escribiremos $$T^{**}=T.$$

Por lo tanto, la función $T\to T^*$ es una transformación auto-inversa sobre $V$.

$\square$

Definición. Sea $(V,\langle , \rangle)$ un espacio euclidiano de dimensión finita. Decimos que una transformación $T:V\to V$ es simétrica o auto-adjunta si $T^*=T$ y que es alternante o anti-simétrica si $T^*=-T$.

Tal vez estos nombres te parezcan familiares. El siguiente problema nos ayudará a explicar la relación entre las transformaciones simétricas y las matrices que llevan el mismo nombre. Lo mismo para las anti-simétricas.

Relacionando transformaciones con matrices

Problema. Sea $(V,\langle , \rangle)$ un espacio euclidiano de dimensión finita y sea $T:V\to V$ una transformación lineal. Sea $\mathcal{B}=(e_1,\dots, e_n)$ una base otronormal de $V$ y $A$ la matriz asociada $T$ con respecto a $\mathcal{B}$. Demuestra que la matriz asociada a $T^*$ con respecto a $\mathcal{B}$ es $^tA$ Por lo tanto $T$ es simétrica (anti-simétrica) si y sólo si $A$ es simétrica (anti-simétrica).

Solución. Sea $B=[B_{ij}]$ la matriz asociada a $T^*$ con respecto a $\mathcal{B}$, por lo que para cada $i\in[1,n]$ se tiene
$$T^*(e_i)=\displaystyle\sum_{k=1}^n b_{ki}e_k.$$

En vista de que $$\langle T(e_i),e_j\rangle=\langle e_i,T^*(e_j) \rangle $$ y $T(e_i)=\displaystyle\sum _{k=1}^n a_{ki}e_k$, y como la base $\mathcal{B}$ es ortonormal, entonces $$\langle T(e_i),e_j\rangle=\displaystyle\sum_{k=1}^n a_{ki}\langle e_k,e_j\rangle=a_{ji}$$ y
$$\langle e_i,T^*(e_j)\rangle=\displaystyle\sum_{k=1}^n b_kj\langle e_i,e_k \rangle.$$

Como, por definición de transformación adjunta, se tiene que
$$\langle T(e_i),e_j\rangle =\langle e_i, T^*(e_j)\rangle,$$ entonces $b_{ij}=a_{ji}$, o bien $B= {}^tA$.

$\square$

Problema. Demuestra que cualesquiera dos eigenespacios distintos de una transformación lineal simétrica son ortogonales.

Solución. Sean $t_1,t_2$ dos eigenvalores distintos de $T$ y sean $x,y\in V\backslash\{0\}$ los correspondientes eigevectores. Como $T$ es simétrica, tenemos que
\begin{align*}
\langle T(x),y\rangle &=\langle x,T(y)\rangle\\
t_1\langle x,y \rangle &= t_2\langle x,y \rangle .
\end{align*}
Como por hipótesis $t_1\neq t_2$, entonces necesariamente $\langle x,y \rangle=0$. Se concluye el resultado deseado.


$\square$

Problema. Sean $V$ un espacio euclidiano y $T:V\to V$ una transformación lineal.

  1. Demuestra que $T$ es alternante si y sólo si $\langle T(x),x \rangle=0$ para todo $x\in V$.
  2. Demuestra que si $T$ es alternante, entonces $0$ es la única raíz real posible del polinomio característico de $T$.

Solución. 1. Supongamos que $T$ es alternante, entonces $T+T^*=0$. Entonces para toda $x\in V$ tenemos que

$$\langle T(x),x\rangle = \langle x,T^*(x) \rangle =\langle x,-T(x) \rangle=-\langle T(x),x \rangle,$$

por lo tanto $\langle T(x),x\rangle=0$.

Conversamente, supongamos que $\langle T(x),x\rangle=0$ para todo $x\in V$. Por lo tanto, para cualesquiera $x,y\in V$ tenemos que

\begin{align*}
0=\langle T(x+y),x+y\rangle&=\langle T(x)+T(y),x+y\rangle\\
&=\langle T(x),x \rangle + \langle T(x),y \rangle + \langle x,T(y)\rangle + \langle T(y),y \rangle\\
&= \langle T(x),y \rangle + \langle T^*(x), y \rangle \\
&= \langle (T+T^*)(x),y \rangle.
\end{align*}

Por lo tanto $(T+T^*)(x)$ es ortogonal a $V$ y por ende igual a $\{0\}$. Se sigue que $T^*=-T$.

2. Supongamos que $t$ es una raíz real del polinomio característico de $T$. Por lo tanto existe un vector no nulo $x\in V$ tal que $T(x)=tx$. Luego
$$t||x||^2=\langle tx,x\rangle = \langle T(x),x\rangle=0,$$
y por lo tanto $t=0$.

$\square$

Problema. Sea $V$ un espacio euclidiano y sean $e_1,\dots, e_n$ una base de $V$. Demuestra que la transformación $T:V\to V$ definida por
$$T(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^n\langle e_k,x\rangle e_k$$ es una transformación lineal simétrica sobre $V$. Determina si $T$ es positiva y positiva definida.

Solución. Por definición de producto interior, se tiene que la tranformación $x\mapsto \langle e_k,x \rangle$ es lineal para todo $1\leq k \leq n$. Por lo tanto $T$ también es lineal. Para probar que $T$ es simétrica bastará con verificar que $$\langle T(x),y \rangle= \langle x,T(y) \rangle \hspace{2mm} \forall x,y\in V.$$

Usando el hecho de que el producto interior es una forma bilineal podemos obtener la siguiente descomposición:
\begin{equation}\label{1}
\langle T(x),y \rangle=\left\langle \displaystyle\sum_{k=1}^n\langle e_k,x\rangle,y\right\rangle =\sum_{k=1}^n\langle e_k,x\rangle \cdot \langle e_k,y \rangle. \end{equation}

Análogamente se obtiene que
$$\langle x,T(y) \rangle=\left\langle x,\displaystyle\sum_{k=1}^n\langle e_k,x\rangle\right\rangle =\sum_{k=1}^n\langle e_k,x\rangle \cdot \langle e_k,y \rangle.$$ Con lo cual queda demostrado que $T$ es simétrica.

Si sustituimos $y=x$ en la ecuación \eqref{1}, entonces
$$\langle T(x),x \rangle =\displaystyle\sum_{k=1}^n\langle e_k,x\rangle^2\geq 0.$$
Entonces $T$ es positiva. Más aún, si $T=0$, entonces $\langle e_k,x \rangle=0$ para toda $1\leq k\leq n$ así $x\in V^{\bot}=\{0\}$. Se sigue que $T$ es positiva definida.

$\square$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

  • Demuestra que si $T$ es una transformación lineal, entonces $T^*$ también lo es.
  • Demuestra que si $T$ es una transformación lineal sobre un espacio euclidiano de dimensión finita, entonces $$\det T= \det T^*.$$
  • Considera la transformación lineal $T:\mathbb{C}^3 \to \mathbb{C}^2$ cuya matriz asociada es
    $$\begin{pmatrix}
    1 & i & 0\\
    0 & 1+i & 3\end{pmatrix}.$$ Encuentra la matriz asociada a $T^*$.

5 comentarios en “Álgebra Lineal II: Transformaciones lineales adjuntas.

  1. Carlos Saúl Rivera Landeros

    Hola, en el punto 3 de la tarea moral no necesitamos que el dominio y el codominio de la transformacion sea el mismo espacio para definir la adjunta?

    Responder
  2. Ayax Calderón Autor

    Hola Carlos,

    No es necesario que el dominio y el codominio de $T$ sean iguales. La adjunta de $T$, que denotamos por $T^*$ es la transformación $T^*:C^2 \to C^3$ tal que
    $\langle T(v),w\rangle = \langle v,T^*(w) \rangle$ para todo $v\in C^3$ y para todo $w\in C^2$, donde el producto interior de la izquierda es el de $C^2$ y el de la derecha es en $C^3$.

    Responder
  3. Antonio Mayorquin Galicia

    Hola, espero que les vaya bien. Les quería preguntar sobre el ejercicio <>. Parar la demostración, se enuncia que la \[ T\] es simétrica, ¿pero esto es necesariamente correcto? La matriz rotación de \[T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2\] de 90 grados no es simétrica, pero sigue siendo una isometría de \[\mathbb{R}^2\].

    Saludos,

    Responder
    1. Antonio Mayorquin Galicia

      Me refería al ejercicicio, ¨Problema: Demuestra que cualesquiera dos eigenespacios distintos de una transformación lineal ortogonal son ortogonales¨. Por cierto, para escribir el latex, usaba «backslash»[ . . . ]»backslash». ¿Se usa el símbolo del dinero para escribir latex en modo texto? Este es una prueba: $1+1=2$.

      Responder
      1. Ayax Calderón Autor

        Hola Antonio,

        Gracias por tu comentario, acabo de notar que me equivoqué escribiendo el enunciado del problema que mencionas. $T$ debe ser lineal y simétrica. Recuerda que los enunciados de suficiencia (como este), no necesariamente implican necesidad, es decir, que probemos que las transformaciones lineales simétricas cumplen la propiedad que se enuncia no quiere decir que no puedas encontrar una $T$ no simétrica que satisfaga el enunciado.

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