Introducción
Anteriormente, cuando hablamos del espacio dual de un espacio vectorial, definimos qué quería decir que una forma lineal y un vector fueran ortogonales. Esa noción de ortogonalidad nos ayudó a definir qué era un hiperplano de un espacio vectorial y a demuestra que cualquier subespacio de dimensión
Hay otra noción de ortogonalidad en álgebra lineal que también ya discutimos en el primer curso: la ortogonalidad de parejas de vectores con respecto a un producto interior. En el primer curso vimos esta noción muy brevemente. Lo que haremos ahora es profundizar en esta noción de ortogonalidad. De hecho, gracias a las herramientas que hemos desarrollado podemos conectar ambas nociones de ortogonalidad.
Esta teoría la veremos de manera explícita en el caso real en la entrada. El caso en
Definición de ortogonalidad
Comenzamos con las siguientes definiciones.
Definición. Sea
Definición. Sea
Es un buen ejercicio verificar que
Definición. Sea
En otras palabras, estamos pidiendo que todo vector de
Observación. Si tenemos un espacio vectorial con producto interior
De esta forma,
Descomposición en un subespacio y su ortogonal
Comenzamos esta sección con un resultado auxiliar.
Teorema. Sea
Demostración. Sea
Para ver que
Tomemos ahora un vector
Definamos
De esta manera, podemos escribir
En particular, el teorema anterior nos dice que la unión disjunta de una base de
Corolario. Sea
Tenemos un corolario más.
Corolario. Sea
Demostración. Tanto
De aquí se sigue que
Proyecciones ortogonales
Debido al teorema anterior, podemos dar la siguiente definición.
Definición. Sea
Dicho en otras palabras, para encontrar a la proyección de
Distancia a subespacios
Cuando definimos la distancia entre conjuntos que tienen más de un punto, una posible forma de hacerlo es considerando los puntos más cercanos en ambos conjuntos, o en caso de no existir, el ínfimo de las distancias entre ellos. Esto da buenas propiedades para la distancia. En particular, cuando queremos definir la distancia de un punto
Definición. Sea
En general, puede ser complicado encontrar el punto que minimiza la distancia de un punto a un conjunto. Sin embargo, esto es más sencillo de hacer si el conjunto es un subespacio de un espacio con producto interior: se hace a través de la proyección al subespacio. Esto queda reflejado en el siguiente resultado.
Proposición. Sea
Más aún,
Demostración. Por el teorema de descomposición en un subespacio y su ortogonal, sabemos que podemos escribir
Tomemos cualquier elemento
Esto muestra que
La igualdad en la cadena anterior de alcanza si y sólo si
Más adelante…
En la siguiente entrada recordaremos varias de las ventajas que tiene contar con una base de un espacio vectorial en la que cualesquiera dos vectores sean ortogonales entre sí. Y en la entrada después de esa, recordaremos algunas hipótesis bajo las cuales podemos garantizar encontrar una de esas bases.
Tarea moral
- Resuelve los siguientes ejercicios:
- Sea
con el producto interno canónico y . Encuentra a y define la proyección ortogonal hacia . - Encuentra el vector en
que sea el más cercano (respecto a la norma euclidiana) al vector .
- Sea
- Sea
un espacio euclidiano y una transformación lineal tal que . Prueba que T es una proyección ortogonal si y solo si para cualesquiera y en se tiene que - Resuelve los siguientes ejercicios:
- Demuestra que una proyección ortogonal reduce la norma, es decir, que si
es una proyección ortogonal, entonces . - Prueba que una proyección ortogonal únicamente puede tener como eigenvalores a
ó a .
- Demuestra que una proyección ortogonal reduce la norma, es decir, que si
- Demuestra que la composición de dos proyecciones ortogonales no necesariamente es una proyección ortogonal.
- En el teorema de descomposición, ¿es necesaria la hipótesis de tener un producto interior? ¿Qué sucede si sólo tenemos una forma bilineal, simétrica y positiva?
Entradas relacionadas
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- Entrada anterior del curso: Dualidad y representación de Riesz en espacios euclideanos
- Siguiente entrada del curso: Aplicaciones de bases ortogonales en espacios euclideanos
Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»