Introducción

En esta entrada nos apoyaremos fuertemente en las nociones de espacios y subespacios vectoriales que estudiamos en entradas anteriores. Lo primero que haremos es hablar de cómo podemos sumar subespacios. Esta es una operación distinta a la suma del espacio vectorial, pues sucede en términos de subconjuntos. Luego, veremos cómo mediante una elección cuidadosa de subespacios, podemos expresar a un espacio vectorial en términos de ĺa suma de subespacios más sencillos. A una descomposición de este tipo le llamamos suma directa. Estudiaremos también algunas de sus propiedades.

Suma de subespacios

En esta sección hablamos de cómo sumar subespacios de un espacio vectorial. Para entender la intución, pensemos primero en el caso de dos subespacios $W_1$ y $W_2$ de un espacio vectorial. Queremos definir un conjunto $W_1+W_2$. Para hacer esto, lo que haremos es sumar cada elemento de $W_1$ con cada elemento de $W_2$.

Ejemplo. Si estamos en el espacio vectorial $\mathbb{R}^3$, podemos considerar los siguientes dos subespacios:
\begin{align*}
W_1&= \{(a,0,0): a\in \mathbb{R}\}\\
W_2&=\{(0,b,0): b \in \mathbb{R}\}.
\end{align*}

Para encontrar el conjunto $W_1+W_2$, lo que haremos es sumar a cada elemento de $W_1$ con cada elemento de $W_2$, considerando todas las posiblidades. En general, tenemos que una de estas sumas es de la forma $$(a,0,0)+(0,b,0)=(a,b,0).$$ Así, concluimos que $$W_1+W_2=\{(a,b,0): a,b \in \mathbb{R}\}.$$

$\square$

Para más subespacios la intución es similar. A continuación damos la definición formal para la suma de una cantidad finita de subespacios.

Definición. Sea $n$ un entero positivo y $W_1, W_2, \dots , W_n$ subespacios de un espacio vectorial $V$. Su suma $$W_1+ W_2+ \dots + W_n$$ es el subconjunto de $V$ que consiste de todos los vectores de la forma $$w_1+w_2+\dots + w_n$$ con $w_i \in W_i$ para todo $1\leq i \leq n$.

La definición anterior sólo habla de cómo sumar una cantidad finita de subespacios. También se puede dar una definición para una familia arbitraria $(W_i)_{i\in I}$ de subespacios de $V$, pero tenemos que ser más cuidadosos para que la teoría posterior funcione bien. Lo que se hace es considerar todas las sumas «con una cantidad finita de términos». Esto lo decimos de manera formal como sigue. El conjunto $\displaystyle\sum_{i\in I}W_i$ consiste de todas las sumas $\displaystyle\sum_{i\in I}w_i$ con $w_i\in W_i$ para todo $i \in I$ y todos los vectores $w_i$ salvo una cantidad finita son iguales a cero. Esto ayuda a dar una definición incluso si $I$ es finito.

La mayor parte de los resultados que demostraremos para la suma de una cantidad finita de subespacios también se vale para la suma de una cantidad infinita. Por simplicidad, usualmente nos enfocaremos en el caso finito, pero te recomendamos pensar en cómo serían los argumentos para el caso infinito.

La suma de subespacios es subespacio

El siguiente resultado dice que «la suma de subespacios es subespacio».

Proposición. Si $W_1, W_2, \dots , W_n$ son subespacios de un espacio vectorial $V$, entonces $W_1 + W_2 + \dots + W_n$ es un subespacio de $V$.

Demostración. Para facilitar la escritura denotaremos $S=W_1+ W_2 + \dots + W_n$. Sean $s,s’\in S$ y $c$ un escalar. Por una equivalencia de subespacios, basta demostrar que $s+cs’\in S$.

Por definición de $S$, existen $w_1,\dots, w_n, w_1′,\dots , w_n’ $ con $w_i, w_i’\in W_i$ para $1\leq i \leq n$, tales que
\begin{align*}
s&=w_1+ w_2+ \dots + w_n\\ s’&=w_1’+ w_2’+ \dots + w_n’.
\end{align*}
Entonces
\begin{align*}
s+cs’&=w_1+w_2+\dots + w_n + c(w_1’+w_2’+\dots + w_n’)\\
&=w_1+w_2+\dots + w_n + cw_1’+cw_2’+\dots + cw_n’\\
&=(w_1 +cw_1′)+ \dots + (w_n+cw_n’).
\end{align*}
Como $W_i$ es un subespacio de $V$ y $w_i,w_i’$ son elementos de $W_i$, entonces $(w_i+cw_i’)\in W_i$ para cada $1\leq i \leq n$. Así, la expresión que encontramos es la suma de un vector en $W_1$, uno en $W_2$, … , uno en $W_n$ y por lo tant $s+cs’\in S$. Esto muestra lo que queríamos y así $S$ es subespacio de $V$.

$\square$

De hecho la suma de subespacios $W_1+\ldots+W_n$ no sólo es un subespacio de $V$, sino que además es especial, en el sentido de que es el subespacio «más chiquito» de $V$ que contiene a cada subespacio $W_1,\ldots,W_n$. El siguiente problema enuncia esto de manera formal.

Problema. Sean $W_1,\ldots,W_n$ subespacios de un espacio vectorial $V$. Sea $S=W_1+W_2+ \dots + W_n$. Demuestra que:

• Para cada $i=1,\ldots,n$, se tiene que $W_i\subseteq S$.
• Si se tiene un subespacio $W$ tal que para cada $i=1,\ldots,n$ se tiene que $W_i\subseteq W$ entonces $S\subseteq W$

Demostración.

• En vista de que cada vector $w_i\in W_i$ puede ser escrito como $0+0+\dots + 0 + w_i +0+\dots +0$ y $0 \in \displaystyle\bigcap_{i=1}^n W_i$, entonces $W_i \subset W_1+ \dots +W_n$ para todo $1\leq i \leq n$.
• Sea $W$ un subespacio de $V$ tal que $W$ contiene a los subespacios $W_1, \dots W_n$. Mostremos que $W$ contiene a la suma $S$. Sea $v\in S = W_1 +\dots + W_n$. Por definición, $v=w_1+\dots + w_n$ para algunos $w_i\in W_i$. Como $W$ contiene a los subespacios $W_1, \dots W_n$, entonces $w_1, \dots w_n\in W$. Como $W$ es cerrado bajo sumas (por ser subespacio) entonces $w_1+\dots + w_n\in W$ y así $W_1 + \dots +W_n \subset W$.

$\square$

Subespacios en posición de suma directa

Ya definimos qué es la suma de subespacios. Ahora queremos definir qué es la suma directa. En realidad, la suma directa es simplemente una suma de subespacios en la que los subespacios son especiales en un sentido muy específico. Comenzamos dando esta definición. Es un concepto muy importante que nos será útil varias veces en el curso.

Definición. Sean $W_1, W_2, \dots , W_n$ subespacios de un espacio vectorial $V$. Decimos que $W_1,W_2,\dots, W_n$ están en posición de suma directa si la única forma de obtener la igualdad
\begin{align*}
w_1+w_2+\dots+w_n=0
\end{align*}
con $w_i\in W_i$ para todo $1\leq i \leq n$, es cuando
\begin{align*}
w_1=w_2=\dots =w_n =0.
\end{align*}

Ejemplo. Consideremos el espacio vectorial de polinomios en $\mathbb{R}_2[x]$, es decir, aquellos de la forma $ax^2+bx+c$ con $a,b,c$ reales. Consideremos los siguientes subespacios de $\mathbb{R}_2[x]$:

\begin{align*}
W_1&=\{ax^2: a \in \mathbb{R}\}\\
W_2&=\{bx: b \in \mathbb{R}\}\\
W_3&=\mathbb{R}=\{c: c \in \mathbb{R}\}\\
W_4&=\mathbb{R}_1[x]=\{bx+c: b,c \in \mathbb{R}\}\\
W_5&=\{ax^2+c: a,c \in \mathbb{R}\}\\
W_6&=\{ax^2+bx: a,b \in \mathbb{R}\}\\
\end{align*}

Los tres subespacios $W_1, W_2, W_3$ están en posición de suma directa, pues si tomamos $ax^2$ en $W_1$, $bx$ en $W_2$ y $c$ en $W_3$, la única forma de que su suma $ax^2+bx+c$ sea igual al polinomio cero es si $a=b=c=0$, y por lo tanto en realidad sólo estamos tomando el vector $0$ de cada uno de los subespacios.

Los subespacios $W_4$, $W_5$ y $W_6$ no están en posición de suma directa, pues hay formas de tomar elementos no cero en cada uno de ellos, cuya suma sí es el vector cero. Por ejemplo, el polinomio $x-8$ está en $W_4$, el polinomio $-5x^2+8$ está en $W_5$ y el polinomio $5x^2-x$ está en $W_6$. Ninguno de estos vectores es el polinomio cero, pero la suma de los tres sí es cero.

$\square$

Existen otras manera de expresar la condición anterior, una de ellas es la siguiente.

Proposición. Los subespacios $W_1, \dots W_n$ del espacio vectorial $V$ están en posición de suma directa si y sólo si cada elemento de $$W_1+W_2+\dots +W_n$$ puede ser escirto de manera única como una suma $$w_1+\dots + w_n$$ con $w_i\in W_i$ para todo $1\leq i \leq n$.

Demostración. Primero supongamos que los subespacios $W_1,W_2, \dots, W_n$ están en posición de suma directa y tomemos un elemento $v$ de $$W_1+\dots + W_n.$$ Por definición, dicho elemento puede ser expresado como $v=w_1 + \dots + w_n$ con $w_i \in W_i $ para todo $1\leq i \leq n$. Supongamos también que $v$ puede ser escrito como $v=w_1’+\dots + w_n’$ con $w_i’ \in W_i$. Queremos demostrar que $w_i=w_i’$ para todo $1 \leq i \leq n$. Restando las dos relaciones anteriores se tiene
\begin{align*}
0=v-v=\displaystyle\sum_{i=1}^n (w_i-w_i’).
\end{align*}
Sea $u_i=w_i-w_i’$. Como $W_i$ es subespacio de $V$, entonces es cerrado bajo inversos y bajo suma, por lo tanto $u_i\in W_i$. Así $u_1 + \dots + u_n$ es una suma de elementos igual a cero.Como $W_1, \dots, W_n$ están en posición de suma directa, entonces necesariamente $u_1=\dots =u_n=0$ y así $w_i=w_i’$ para todo $1 \leq i \leq n$.

Ahora supongamos que cada elemento de $W_1+\dots + W_n$ puede ser escrito de manera única como suma de elementos de $W_1, \dots , W_n$. En particular el cero se descompone de manera única como $$0=0+0+\ldots +0.$$ De manera que dados $w_i \in W_i$ con $1 \leq i \leq n$ tales que $w_1+w_2+ \dots + w_n =0$, necesariamente $w_1=w_2=\dots =w_n=0$. Por lo tanto $W_1, W_2, \dots ,W_n$ están en posición de suma directa.

$\square$

Suma directa de subespacios

Estamos listos para dar una definición clave.

Definición. a) Decimos que un espacio vectorial $V$ es suma directa de sus subespacios $W_1, W_2, \dots , W_n$ si $W_1, W_2, \dots , W_n$ están en posición de suma directa y $V=W_1+W_2 + \dots + W_n$. En símbolos, escribimos y escribimos
\begin{align*}
V=W_1 \oplus W_2 \oplus \dots \oplus W_n.
\end{align*}
b) Si $V_1, V_2$ son subespacios de un espacio vectorial $V$, decimos que $V_2$ es complemento de $V_1$ si
\begin{align*}
V=V_1 \oplus V_2.
\end{align*}

Por los resultados anteriores se tiene que $V=W_1 \oplus \dots \oplus W_n$ si y sólo si cada vector $v\in V$ puede ser escrito de manera única como una suma de la forma $w_1+ \dots + w_n$, con $w_i \in W_i$ para todo $i$. Por consiguiente, si $V_1, V_2$ son subespacios de $V$, entonces $V_2$ es complemento de $V_1$ si y sólo si cada vector $v \in V$ puede ser escrito de manera única como $v=v_1+v_2$ con $v_1 \in V_1, \hspace{2mm} v_2 \in V_2$.

El siguiente resultado es extremadamente útil a la hora de resolver problemas con sumas directas con dos subespacios.

Problema. Demuestra que $V_2$ es complemento de $V_1$ si y sólo si $V_1+V_2=V$ y $V_1 \cap V_2 = \{0\}$.

Demostración. Supongamos que $V_2$ es complemento de $V_1$, entonces $V=V_1+V_2$. Falta mostrar que $V_1\cap V_2 = \{0\}$.

Sea $v\in V_1 \cap V_2$, entonces $v=v+0=0+v$, y por la unicidad que ya se demostró en la proposición anterior se tiene que $v=0$, entonces $V_1\cap V_2\subset\{0\}$. Como $V_1, V_2$ son subespacios de $V$, cada uno de ellos tiene al vector $0$. Así, $\{0\}\subset V_1 \cap V_2$. Por lo tanto $V_1\cap V_2=\{0\}$.

Ahora supongamos que $V_1 + V_2 =V$ y $V_1\cap V_2=\{0\}$. Supongamos que existe un vector $v \in V$ tal que
\begin{align*}
v_1+v_2=v=v_1’+v_2′
\end{align*}
con $v_1,v_1’\in V_1$ y $v_2,v_2’\in V_2$.
Entonces
\begin{align*}
v_1-v_1’=v_2′-v_2
\end{align*}
El lado izquierdo de la igualdad anterior pertenece a $V_1$, mientras que el lado derecho pertenece a $V_2$, pero como son iguales, necesariamente ambos pertencen a $V_1 \cap V_2=\{0\}$ y así $v_1=v_1’$ y $v_2=v_2’$, que es lo que queríamos demostrar.

$\square$

Más ejemplos de suma y suma directa de subespacios.

1. El espacio vectorial $V=\mathbb{R}^2$ es suma directa de los subespacios
   \begin{align*}
   V_1=\{(x,0)|x \in \mathbb{R} \}
   \end{align*}
   y
   \begin{align*}
   V_2=\{(0,y)|y \in \mathbb{R} \}.
   \end{align*}
   En efecto, cada $(x,y)\in \mathbb{R}^2$ puede ser escrito de manera única en la forma
   \begin{align*}
   (a,0)+(0,b)
   \end{align*}
   via $a=x, \hspace{2mm} b=y.$
2. Sea $V=M_n(\mathbb{R})$ el espacio vectorial de las matrices de $n\times n$ con entradas reales. Si $V_1,V_2$ son los subespacios de las matrices simétricas y de las matrices antisimétricas, respectivamente, entonces $V=V_1 \oplus V_2$.
   En efecto, cada matriz $A\in V$ puede ser escrita de manera única como suma de una matriz simétrica y de una matriz antisimétrica de la siguiente forma:
   $A=B+C$ con
   \begin{align*}
   B&=\frac{1}{2}(A+ \ ^tA)\\C&=\frac{1}{2}(A- \ ^tA).
   \end{align*}
3. Sea $V=\{f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} \}$ el espacio vectorial de funciones de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$. Sea $V_1$ el subespacio de todas las funciones pares (recuerda que una función es par si satisface $f(x)=f(-x)$ para toda $x$) y $V_2$ el subespacio de todas las funciones impares (las que satisfacen $f(x)=-f(-x)$ para toda $x$).
   Entonces $V=V_1 \oplus V_2$.
   En efecto, dada $f\in V$, la única manera de expresarla como $f=g+h$ con $g$ par y $h$ impar es tomando
   \begin{align*}
   g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2} \hspace{2mm} y \hspace{2mm} h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}.
   \end{align*}

$\square$

Un problema de suma directa de subespacios

Problema. Sea $V=\{f:[-1,1]\to \mathbb{R}: \text{f es continua}\}.$ Sean
\begin{align*}
V_1=\left\{f\in V: \int_{-1}^1 f(t)dt=0\right\}
\end{align*}
y $V_2$ el subconjunto de $V$ de todas las funciones constantes.
a) Demuestra que $V_1, V_2$ son subespacios de $V$.
b) Demuestra que $V=V_1\oplus V_2$.

Demostración. a) Sean $f_1,f_2 \in V_1$ y $c\in \mathbb{R}$, entonces $cf_1+f_2$ es continua y
\begin{align*}
\int_{-1}^1(cf_1+f_2)(t)dt = c\int_{-1}^1f_1(t)dt + \int_{-1}^1 f_2(t) dt =0,
\end{align*}
por lo tanto $cf_1+f_2\in V_1$ y así $V_1$ es un subespacio de $V$.

De manera similar veamos que $V_2$ es subespacio. Sean $f,g\in V_2$ y $c\in \mathbb{R}$, entonces $f(x)=a$ y $g(x)=b$ para toda $x$. Luego
\begin{align*}
(f+c\cdot g)(x)=a+c\cdot b
\end{align*}
para toda $x$. Por lo tanto $V_2$ es subespacio de $V$.

b) Por el problema de la sección anterior, basta con demostrar que $V_1\cap V_2=\{0\}$ y $V=V_1+V_2$. Sea $f$ una función en $V_1 \cap V_2$. Por un lado tenemos que $f$ es constante, y por otro lado que $f$ integra $0$ sobre $[-1,1]$ Digamos que $f(t)=c$ para todo $t\in [-1,1]$, entonces
\begin{align*}
0=\int_{-1}^1f(t)dt=2c.
\end{align*}
De aquí, $c=0$ y así $f=0$ (la función cero). Por lo tanto $V_1\cap V_2=\{0\}$.

Ahora, para probar que $V=V_1 + V_2$ tomamos $f\in V$ y tratemos de escribirla como $f=c+g$ con $c$ constante y $g\in V_1$. Queremos asegurarnos de que
\begin{align*}
\int_{-1}^1 g(t)dt=0,
\end{align*}
esto es
\begin{align*}
\int_{-1}^1 (f(t)-c)dt=0\\
\int_{-1}^1f(t)dt=2c.
\end{align*}
Esto ya nos dice cómo proponer a $c$ y a $g$. Lo hacemos a continuación.
\begin{align*}
c&=\frac{1}{2}\int_{-1}^1f(t)dt \\ g&=f-c.
\end{align*}

$\square$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

• Verifica en todos los ejemplos de la entrada que los subespacios que se mencionan en efecto son subespacios.
• Sea $V$ el conjunto de las matrices triangulares superiores de $n\times n$ y sea $W_1$ el espacio de las matrices diagonales. Demuestra que $V$ es espacio vectorial, $W_1$ es subespacio de $V$ y que $V=W_1\oplus W_2$, donde $W_2=\{A\in V | A_{ij}=0$ cuando $i \geq j \}$.
• Sea $F$ un campo de característica distinta de $2$,
  \begin{align*}
  W_1=\{A\in M_n(F)|A_{ij}=0, i\leq j\}
  \end{align*}
  y $W_2$ el conjunto de todas las matrices simétricas de $n \times n$ con entradas en $F$. Demuestra que $M_n(F)=W_1\oplus W_2$
• En el ejemplo 2, verifica que $B$ es una matriz simétrica y $C$ una matriz antisimétrica.
• En el ejemplo 3 ,verifica $g$ es par y $h$ es impar.

Más adelante…

Los conceptos de suma y suma de subespacios serán utilizados repetidamente. Por ejemplo, a partir de la suma de subespacios se pueden definir las proyecciones, un tipo de transformaciones lineales particulares.

El concepto de suma directa de subespacios también es muy importante en el sentido de que permite descomponer a un espacio en espacios vectoriales más pequeños. Esta idea será de mucha utilidad cuando hablemos de la teoría de dualidad y de diagonalización de matrices.

Entradas relacionadas

• Ir a Álgebra Lineal I
• Entrada anterior del curso: Subespacios vectoriales
• Siguiente entrada del curso: Problemas de espacios y subespacios vectoriales

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»