(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

INTRODUCCIÓN

Piensa en una transformación que mueve puntos en el espacio: algunas deforman, otras aplastan o aplastan parcialmente las dimensiones. Una matriz invertible sirve para describir transformaciones que nunca aplastan nada, de modo que todo punto puede ser recuperado a partir de su imagen.

En esta entrada exploraremos las diferentes formas de reconocer a estas matrices y lo que sucede cuando multiplicamos dos de ellas: el resultado sigue siendo una matriz del mismo tipo, invertible.

Observación 1: Recordemos que si $A \sim R$ con $R$ escalonada reducida por renglones, entonces $A = E_1 \dotsb E_t R$ con $t$ un natural positivo y $E_i$ una matriz elemental para toda $i \in \{ 1 , … , t \}$.
Además, toda matriz elemental es invertible. (Se sugiere revisar la Nota 35 del curso de Álgebra Superior I).

Observación 2: Si $R \in \mathcal{M}_{n \times n} (K)$ es escalonada reducida, entonces $R = I_n$ o $R$ tiene al menos un renglón nulo.

Observación 3: Sea $A \in \mathcal{M}_{n \times n}(K)$ donde $A \sim R$ con $R$ escalonada reducida. Tenemos que $det \, A \not= 0$ si y sólo si $det \, R \not= 0.$
Justificación. Las operaciones elementales sólo afectan el signo del determinante o lo modifican por un factor $\lambda \not= 0$.

Teorema (5.4.1.): Sea $A \in \mathcal{M}_{n \times n} (K)$.
Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1) Los renglones de $A$ forman un conjunto linealmente indepediente en $K^n$

2) $rango \,A = n,$

3) $A \sim I_n,$

4) $A$ tiene inversa,

5) $det \, A \not= 0.$

Demostración:

$1 \Rightarrow 2$) Supongamos que los renglones de $A$ son un conjunto linealmente independiente en $K^n$.

Entonces, como son $n$ vectores linealmente independiente en $K^n$ son una base de $K^n$ y así, el espacio de renglones de $A$ es $K^n$ que tiene dimensión $n.$

$\therefore rango \,A = n$.

$2 \Rightarrow 3$) Supongamos que $rango \,A = n$.

Entonces al escalonar $A$ se obtiene una matriz reducida $R \in \mathcal{M}_{n \times n}$ con $n$ renglones no nulos.

Por la Observación 2, tenemos que $R = I_n.$

$\therefore A \sim I_n$.

$3 \Rightarrow 4$) Supongamos que $A \sim I_n$, entonces $A = E_t \dotsb E_1 I_n$ con con $t$ un natural positivo y $E_1 , … , E_t$ matrices elementales (que son invertibles).

Notemos que $B={E_1}^{-1} \dotsb {E_t}^{-1}$ cumple que $AB=BA=I_n$. Por lo tanto $A$ es invertible.

$4 \Rightarrow 5$) Supongamos que $A$ es invertible, entonces existe $A^{-1}$ tal que $A A^{-1} = I_n$

Así, $1 = det \, I_n = det \, (A A^{-1})$

Por el teorema (5.3.2.) tenemos que $det \, (A A^{-1}) = det \, A\,det \, A^{-1}.$

Así, $1 = det \, A\,det \, A^{-1}.$

$\therefore det \, A \not= 0$.

$5 \Rightarrow 1$) Supongamos que $det \, A \not= 0$

Sea $R$ la matriz escalonada tal que $A \sim R$. Por la observación 3 $det \, R \not= 0$ y entonces $R$ no puede tener renglones nulos.

Usando la observación 2, tenemos que $R = I_n$. Así, la dimensión del espacio de renglones de $A$ es $n$ y entonces los $n$ renglones de $A$ deben formar un conjunto linealmente independiente.

Corolario (5.4.2.): Sean $A , B \in \mathcal{M}_{n \times n} (K)$.
La matriz $AB$ es invertible si y sólo si $A$ y $B$ son invertibles.
En ese caso, $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$

Demostración:

$AB$ es invertible $\Leftrightarrow$ $det \, AB \not= 0$
$\Leftrightarrow$ $det \, A\,det \, B\not=0$
$\Leftrightarrow$ $det \, A \not= 0$ y $det \, B \not= 0.$

Del teorema (5.4.1.) tenemos que lo último sucede si y sólo si $A$ es invertible y $B$ es invertible.

En ese caso:

$AB (B^{-1} A^{-1}) = A (B B^{-1}) A^{-1}$ $= A I_n A^{-1} = A A^{-1} = I_n$
$(B^{-1} A^{-1}) AB = B^{-1} (A^{-1} A) B$ $= B^{-1} I_n B = B^{-1} B = I_n$

$\therefore (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$.

Tarea Moral

1. Construye una matriz en $\mathcal{M}_{6 \times 6} (\mathbb{R})$ que no sea invertible. ¿Qué otras cuatro características puedes afirmar de esa matriz propuesta al saber que no es invertible?
2. Sean $A, B \in\mathcal{M}_{n \times n} (K)$ invertibles.
   a) Si conoces $(AB)^{-1}$ y $A$.
   ¿Cómo calcularías la inversa de $B$ sin conocer $B$?
   b) Si conoces $(AB)^{-1}$ y $A^{-1}$.
   ¿Cómo calcularías la inversa de $B$ sin conocer $B$?

Más adelante…

Hasta este punto hemos estudiado cuándo una matriz puede invertirse y cómo ciertas propiedades permiten describir su comportamiento global. Sin embargo, también es posible analizar una transformación lineal desde otra perspectiva: en lugar de observar todo el espacio al mismo tiempo, podemos buscar vectores particulares cuya dirección permanezca inalterada bajo la acción del operador. Estas direcciones especiales permitirán comprender mejor la estructura interna de las transformaciones y simplificar problemas que, a primera vista, parecen mucho más complejos.

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