(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

INTRODUCCIÓN

Piensa en una transformación que mueve puntos en el espacio: algunas deforman, otras aplastan o aplastan parcialmente las dimensiones. Una matriz invertible sirve para describir transformaciones que nunca aplastan nada, de modo que todo punto puede ser recuperado a partir de su imagen.

En esta entrada exploraremos las diferentes formas de reconocer a estas matrices y lo que sucede cuando multiplicamos dos de ellas: el resultado sigue siendo una matriz del mismo tipo, invertible.

Observación 1: Recordemos que si $A \sim R$ con $R$ escalonada reducida por renglones, entonces $A = E_1 \dotsb E_t R$ con $t$ un natural positivo y $E_i$ una matriz elemental para toda $i \in \{ 1 , … , t \}$.
Además, toda matriz elemental es invertible. (Se sugiere revisar la Nota 35 del curso de Álgebra Superior I).

Observación 2: Si $R \in \mathcal{M}_{n \times n} (K)$ es escalonada reducida, entonces $R = I_n$ o $R$ tiene al menos un renglón nulo.

Observación 3: Sea $A \in \mathcal{M}_{n \times n}(K)$ donde $A \sim R$ con $R$ escalonada reducida. Tenemos que $det \, A \not= 0$ si y sólo si $det \, R \not= 0.$
Justificación. Las operaciones elementales sólo afectan el signo del determinante o lo modifican por un factor $\lambda \not= 0$.

Teorema (5.4.1.): Sea $A \in \mathcal{M}_{n \times n} (K)$.
Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1) Los renglones de $A$ forman un conjunto linealmente indepediente en $K^n$

2) $rango \,A = n,$

3) $A \sim I_n,$

4) $A$ tiene inversa,

5) $det \, A \not= 0.$

Demostración:

$1 \Rightarrow 2$) Supongamos que los renglones de $A$ son un conjunto linealmente independiente en $K^n$.

Entonces, como son $n$ vectores linealmente independiente en $K^n$ son una base de $K^n$ y así, el espacio de renglones de $A$ es $K^n$ que tiene dimensión $n.$

$\therefore rango \,A = n$.

$2 \Rightarrow 3$) Supongamos que $rango \,A = n$.

Entonces al escalonar $A$ se obtiene una matriz reducida $R \in \mathcal{M}_{n \times n}$ con $n$ renglones no nulos.

Por la Observación 2, tenemos que $R = I_n.$

$\therefore A \sim I_n$.

$3 \Rightarrow 4$) Supongamos que $A \sim I_n$, entonces $A = E_t \dotsb E_1 I_n$ con con $t$ un natural positivo y $E_1 , … , E_t$ matrices elementales (que son invertibles).

Notemos que $B={E_1}^{-1} \dotsb {E_t}^{-1}$ cumple que $AB=BA=I_n$. Por lo tanto $A$ es invertible.

$4 \Rightarrow 5$) Supongamos que $A$ es invertible, entonces existe $A^{-1}$ tal que $A A^{-1} = I_n$

Así, $1 = det \, I_n = det \, (A A^{-1})$

Por el teorema (5.3.2.) tenemos que $det \, (A A^{-1}) = det \, A\,det \, A^{-1}.$

Así, $1 = det \, A\,det \, A^{-1}.$

$\therefore det \, A \not= 0$.

$5 \Rightarrow 1$) Supongamos que $det \, A \not= 0$

Sea $R$ la matriz escalonada tal que $A \sim R$. Por la observación 3 $det \, R \not= 0$ y entonces $R$ no puede tener renglones nulos.

Usando la observación 2, tenemos que $R = I_n$. Así, la dimensión del espacio de renglones de $A$ es $n$ y entonces los $n$ renglones de $A$ deben formar un conjunto linealmente independiente.

Corolario (5.4.2.): Sean $A , B \in \mathcal{M}_{n \times n} (K)$.
La matriz $AB$ es invertible si y sólo si $A$ y $B$ son invertibles.
En ese caso, $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$

Demostración:

$AB$ es invertible $\Leftrightarrow$ $det \, AB \not= 0$
$\Leftrightarrow$ $det \, A\,det \, B)\not=0$
$\Leftrightarrow$ $det \, A \not= 0$ y $det \, B \not= 0.$

Del teorema (5.4.1.) tenemos que lo último sucede si y sólo si $A$ es invertible y $B$ es invertible.

En ese caso:

$AB (B^{-1} A^{-1}) = A (B B^{-1}) A^{-1}$ $= A I_n A^{-1} = A A^{-1} = I_n$
$(B^{-1} A^{-1}) AB = B^{-1} (A^{-1} A) B$ $= B^{-1} I_n B = B^{-1} B = I_n$

$\therefore (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$.

Tarea Moral

1. Construye una matriz en $\mathcal{M}_{6 \times 6} (\mathbb{R})$ que no sea invertible. ¿Qué otras cuatro características puedes afirmar de esa matriz propuesta al saber que no es invertible?
2. Sean $A, B \in\mathcal{M}_{n \times n} (K)$ invertibles.
   a) Si conoces $(AB)^{-1}$ y $A$.
   ¿Cómo calcularías la inversa de $B$ sin conocer $B$?
   b) Si conoces $(AB)^{-1}$ y $A^{-1}$.
   ¿Cómo calcularías la inversa de $B$ sin conocer $B$?

Más adelante…

Daremos un paso más en el camino de las matrices invertibles: no solo nos interesa saber que existen y que se pueden multiplicar entre sí, sino también cómo calcular explícitamente su inversa. Veremos distintos métodos para encontrarla, y analizaremos en qué casos resulta más práctico uno u otro. Este será el puente natural entre la teoría de las condiciones equivalentes que hoy exploramos y la aplicación concreta de invertir matrices en problemas reales.

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