Introducción

Hemos estudiado varias clases importantes de matrices y transformaciones lineales: diagonales, triangulares superiores, simétricas, ortogonales, normales, etc. Es momento de aprender sobre otro tipo fundamental de matrices y transformaciones lineales: las transformaciones nilpotentes. Nos hemos encontrado con estas matrices ocasionalmente a lo largo del primer curso de álgebra lineal y de éste. Ahora las trataremos de manera más sistemática.

Matrices y transformaciones nilpotentes

En la última unidad estuvimos trabajando únicamente en $\mathbb{R}$ o en $\mathbb{C}$. Los resultados que presentaremos a continuación son válidos para espacios vectoriales sobre cualquier campo $F$.

Definición. Sea $A$ una matriz en $M_n(F)$. Diremos que $A$ es nilpotente si $A^m = O_n$ para algún entero positivo $m$. Al menor entero positivo $m$ para el cual suceda esto le llamamos el índice de $A$.

Ejemplo 1. La matriz $A=\begin{pmatrix} 3 & -9\\ 1 & -3\end{pmatrix}$ es nilpotente. En efecto, tenemos que $A^2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. Como $A^1\neq 0$, entonces el índice de $A$ es igual a dos.

$\triangle$

Tenemos una definición correspondiente para transformaciones lineales.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $F$ y sea $T: V \to V$ una transformación lineal. Diremos que que $T$ es nilpotente si $T^m$ es la transformación lineal cero para algún entero positivo $m$. Al menor entero positivo $m$ para el cual suceda esto le llamamos el índice de $T$.

Recuerda que por definición $T^m$ es la transformación $T$ compuesta consigo misma $m$ veces.

Ejemplo 2. Si estamos trabajando en el espacio $V=\mathbb{R}_n[x]$ de polinomios reales de grado a lo más $n$, entonces la transformación derivada $D:V\to V$ para la cual $D(p)=p’$ es una transformación lineal nilpotente. En efecto, tras aplicarla $n+1$ veces a cualquier polinomio de grado a lo más $n$ obtenemos al polinomio $0$. Su índice es exactamente $n+1$ pues derivar $n$ veces no anula al polinomio $x^n$ de $V$.

Si estuviéramos trabajando en el espacio vectorial $\mathbb{R}[x]$ de todos los polinomios reales, entonces la transformación derivada ya no sería nilpotente. En efecto, para cualquier $m$ siempre existe un polinomio tal que al derivarlo $m$ veces no se anula.

$\triangle$

Bloques de Jordan de eigenvalor cero

Hay una familia importante de matrices nilpotentes.

Definición. Sea $F$ un campo. El bloque de Jordan de eigenvalor $0$ y tamaño $k$ es la matriz $J_{0,k}$ en $M_k(F)$ cuyas entradas son todas cero, a excepción de las que están inmediatamente arriba de la diagonal superior, las cuales son unos. En símbolos, $J_{0,k}=[a_{ij}]$ con $$a_{ij}=\begin{cases} 1 & \text{si $j=i+1$}\\ 0 & \text{en otro caso.} \end{cases}$$

También podemos expresarlo de la siguiente manera:

$$J_{0,k}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ & \vdots & & \ddots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{pmatrix},$$ en donde estamos pensando que la matriz es de $k\times k$.

Ejemplo 3. A continuación tenemos la matriz $J_{0,4}$:

\begin{align*}
J_{0,4}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
\end{align*}

Esta es una matriz nilpotente. En efecto, haciendo las cuentas de matrices correspondientes tenemos que:

\begin{align*}
J_{0,4}^2&= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
\end{align*}

Luego que

\begin{align*}
J_{0,4} ^3&= J_{0,4} J_{0,4}^2\\
&=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
\end{align*}

Y finalmente que

\begin{align*}
J_{0,4}^4&= J_{0,4} J_{0,4}^3\\
&=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
\end{align*}

De esta manera, hay una potencia de $ J_{0,4}$ que se hace igual a cero. Como la mínima potencia es $4$, entonces $ J_{0,4} $ es nilpotente de índice $4$. Observa cómo la diagonal de unos «se va recorriendo hacia arriba a la derecha».

$\triangle$

Todos los bloques de Jordan son nilpotentes

El siguiente resultado generaliza el ejemplo anterior y nos da una mejor demostración, interpretando a la matriz como transformación lineal.

Teorema. La matriz $J_{0,k}$ es nilpotente de índice $k$.

Demostración. Veamos qué hace la matriz $J_{0,k}$ cuando la multiplicamos por un vector: $$J_{0,k}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_{k-1} \\ x_k \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ & \vdots & & \ddots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_{k-1} \\ x_k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ \vdots \\ x_k \\ 0 \end{pmatrix}.$$

En otras palabras, la matriz $J_{0,k}$ «recorre» las entradas del vector hacia arriba «empujando» con ceros desde abajo. Al hacer esto $k$ veces, claramente llegamos al vector $0$, así, $J_{0,k}^k$ está asociada a la transformación lineal cero y por lo tanto es la matriz $O_k$. Y $J_{0,k}^{k-1}$ no es la matriz cero pues al aplicarla en $e_k$, el $k$-ésimo vector de la base canónica de $F^k$ tenemos por las mismas ideas de arriba que $J_{0,k}^{k-1}e_n=e_1$.

$\square$

Una caracterización de matrices y transformaciones nilpotentes

El siguiente resultado nos da algunas equivalencias para que una transformación sea nilpotente.

Proposición. Sea $A\in M_n(F)$ una matriz. Todo lo siguiente es equivalente:

1. $A$ es nilpotente.
2. El polinomio mínimo de $A$ es de la forma $\mu_A(X)=X^k$.
3. El polinomio característico de $A$ es $\chi_A(X)=X^n$.

Demostración. $1)\Rightarrow 2).$ Si $A$ es nilpotente, entonces hay un entero $m$ tal que $A^m=O_n$. Entonces, el polinomio $p(X)=X^m$ anula a la matriz $A$. Pero el polinomio mínimo divide a cualquier polinomio que anule a $A$, entonces $\mu_A(X)|X^m$, de donde $\mu_A(X)$ debe ser también de la forma $X^k$. De hecho, no puede suceder que $k<m$ pues en dicho caso como el polinomio mínimo anula a la matriz, tendríamos que $A^k=O_n$, pero esto es imposible pues $m$ es el menor entero tal que $A^m=O_n$. Así, en este caso $k$ es justo el índice de $A$.

$2) \Rightarrow 3).$ Supongamos que el polinomio mínimo de $A$ es de la forma $\mu_A(X)=X^k$. Como el polinomio mínimo anula a la matriz tenemos que $A^k=O_n$. Tomemos un escalar $\lambda$ en $F$ fijo. Tenemos que:

\begin{align*}
\lambda^k I_n &= \lambda^k I_n – A^{k}\\&= (\lambda I_n – A)(\lambda^{k-1}I_n+\lambda^{k-2}A + \ldots + \lambda A^{k-2} + A^{k-1})
\end{align*}

Al tomar determinante de ambos lados y usando en la derecha la multiplicatividad del determinante, tenemos:

$$\det(\lambda^k I_n) = \det(\lambda I_n – A)\det(\lambda^{k-1}I_n+\lambda^{k-2}A + \ldots + \lambda A^{k-2} + A^{k-1}).$$

Del lado izquierdo tenemos $\det(\lambda^k I_n)=\lambda^{nk}$. Del lado derecho tenemos $\chi_A(\lambda)$ multiplicado por otra expresión polinomial en $\lambda$, digamos $P(\lambda)$. Como esto se vale para todo escalar $\lambda$, se vale polinomialmente que $X^{nk}=\chi_A(X)P(X)$. Así, $\chi_A(X)|X^{nk}$ y como el polinomio característico es de grado exactamente $n$, obtenemos que $\chi_A(X)=X^n$.

$3) \Rightarrow 1).$ Si el polinomio característico de $A$ es $\chi_A(X)=X^n$, entonces por el teorema de Cayley-Hamilton tenemos que $A^n=O_n$, de donde $A$ es nilpotente.

$\square$

Como consecuencia del teorema anterior, obtenemos los siguientes resultados.

Corolario. Si $A$ es una matriz nilpotente en $M_n(F)$, entonces $A^n=O_n$ y por lo tanto el índice de $A$ es menor o igual a $n$. Análogamente, si $T:V\to V$ es nilpotente y $\dim(V)=n$, entonces el índice de $T$ es menor o igual a $n$.

Corolario. Si $A$ es una matriz nilpotente en $M_n(F)$, entonces su traza, su determinante y cualquier eigenvalor son todos iguales a cero.

Más adelante…

En esta entrada definimos a las matrices y transformaciones nilpotentes. También enunciamos algunas de sus propiedades. En la siguiente entrada enunciaremos nuestra primer versión del teorema de Jordan, en donde nos enfocaremos únicamente en lo que nos dice para las matrices nilpotentes. Esto servirá más adelante como uno de los peldaños que usaremos para demostrar el teorema de Jordan en general.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

1. Encuentra una matriz nilpotente de índice $2$ en $M_7(\mathbb{R})$. En general, para cualquier entero positivo $n$ y cualquier entero $k$ con $1\leq k \leq n$, da una forma de construir una matriz nilpotente de índice $n$ en $M_n(\mathbb{R})$.
2. Encuentra una matriz con determinante cero y que no sea una matriz nilpotente. Encuentra una matriz con traza cero y que no sea una matriz nilpotente.
3. Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita $n$. Demuestra que las siguientes afirmaciones son equivalentes:
   1. Una transformación $T:V\to V$ es nilpotente de índice $k$.
   2. Alguna forma matricial de $T$ es nilpotente de índice $k$.
   3. Todas las formas matriciales de $T$ son nilpotentes de índice $k$.
   4. $T^n$ es la transformación lineal $0$.
4. Demuestra los dos corolarios al final de la entrada. Como sugerencia para el segundo, recuerda que la traza, determinante y los eigenvalores de una matriz están muy relacionados con su polinomio característico.
5. Prueba que la única matriz nilpotente diagonalizable en $M_n(F)$ es $O_n$.

Entradas relacionadas

• Ir a Álgebra Lineal II
• Entrada anterior del curso: Introducción a forma canónica de Jordan
• Siguiente entrada del curso: Existencia de forma de Jordan para nilpotentes

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»