Álgebra Lineal I: Introducción a espacio dual

Introducción

En esta entrada empezamos la tercera unidad del curso de Álgebra Lineal I. Los conceptos fundamentales de esta nueva unidad son el de espacio dual y el de formas bilineales.

Hagamos un pequeño recordatorio, que será útil para entender los temas que vendrán. Ya definimos qué es un espacio vectorial y qué son las transformaciones lineales.

Para los espacios vectoriales, hablamos de subespacios, de conjuntos generadores, independientes y bases. A partir de ellos definimos qué quiere decir que un espacio sea de dimensión finita y, en ese caso, dijimos cómo definir la dimensión. Un lema fundamental para hacer esto fue el lema del intercambio de Steinitz.

Dijimos que las transformaciones lineales son funciones “bonitas” entre espacios vectoriales que “abren sumas” y “sacan escalares”. Dimos como ejemplos a las proyecciones y las simetrías. Vimos lo que le hacen a generadores, linealmente independientes y bases. También, vimos que podemos expresarlas a través de matrices.

Un tipo de matrices de trasformaciones lineales muy importante son las matrices de cambios de base, que permiten conocer las coordenadas de vectores en distintas bases y pasar matrices de transformaciones lineales entre distintas bases. Finalmente, hablamos del rango para matrices y transformaciones lineales.

Es muy bueno entender estos temas lo mejor posible antes de continuar. Aunque no te queden 100% claras todas las demostraciones, por lo menos intenta sí conocer las hipótesis y los enunciados de los resultados principales.

Los temas que vendrán están basados en los capítulos 6 y 10 del libro de Titu Andreescu.

Dualidad y espacio dual

Antes de continuar, el siguiente ejemplo te debe de quedar clarísimo. Dice que hay una forma de hacer un espacio vectorial cuyos elementos son transformaciones lineales. Así es, cada vector de este espacio es una transformación lineal. Esto no debería de ser tan raro pues ya estudiamos algunos espacios vectoriales de funciones.

De ser necesario, verifica que en efecto se satisfacen los axiomas de espacio vectorial, para entender todavía mejor el ejemplo.

Ejemplo. Si V y W son espacios vectoriales sobre un mismo campo F, entonces el conjunto de transformaciones lineales de V a W es un espacio vectorial con las operaciones de suma de funciones y multiplicación por escalar.

Recordemos que la suma de funciones manda a las funciones S:V\to W y T:V\to W a la función S+T:V\to W para la cual

    \[(S+T)(v)=S(v)+T(v)\]

y que la multiplicación por escalar manda al escalar c\in F y a la función T:V\to W a la función cT:V\to W para la cual

    \[(cT)(v)=cT(v).\]

La razón por la cual este es un espacio vectorial es que es un subconjunto del espacio vectorial de todas las funciones de V a W, y además es cerrado bajo sumas y multiplicaciones por escalar, de modo que es un subespacio.

A este espacio vectorial le llamamos \text{Hom}(V,W).

\square

En esta unidad vamos a estudiar \text{Hom}(V,W), pero para un caso particular muy concreto: para cuando W es F, el campo sobre el cual está V. Podemos hacer esto, pues recuerda que podemos pensar al campo F como un espacio vectorial sobre sí mismo.

A partir de ahora fijaremos el campo F. Si quieres, puedes pensarlo como \mathbb{R} o \mathbb{C} pero lo que digamos funcionará para campos arbitrarios.

Definición. Sea V un espacio vectorial sobre un campo F. El espacio dual V^\ast de V es el conjunto de transformaciones lineales l:V\to F dotado con las operaciones suma dada por

    \[(l_1+l_2)(v)=l_1(v)+l_2(v)\]

y producto por escalar dado por

    \[(cl)(v)=c(l(v))\]

para l_1,l_2, l en V^\ast, v en V y c en F.

A cada elemento de V^\ast le llamamos una forma lineal en V. Usamos la palabra “forma” para insistir en que es una transformación que va hacia el campo F sobre el cual está V.

Ejemplo. Consideremos al espacio vectorial \mathbb{R}^3. Está sobre el campo \mathbb{R}. Una forma lineal aquí es simplemente una transformación lineal S_1:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}, por ejemplo

    \[S_1(x,y,z)=x+y-z.\]

Otra forma lineal es S_2:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R} dada por

    \[S_2(x,y,z)=y+z-x.\]

Si sumamos ambas formas lineales, obtenemos la forma lineal S_1+S_2, la cual cumple

    \[(S_1+S_2)(x,y,z)=(x+y-z)+(y+z-x)=2y.\]

Estas son sólo dos formas lineales de las que nos interesan. Si queremos construir todo el espacio dual (\mathbb{R}^3)^\ast, necesitamos a todas las transformaciones lineales de \mathbb{R}^3 a \mathbb{R}.

Recordemos que cada transformación lineal T de estas está representada de manera única por una matriz en M_{1,3}(\mathbb{R}) de la forma, digamos, \begin{pmatrix} a & b & c\end{pmatrix}. Así, toda transformación lineal de \mathbb{R}^3 a \mathbb{R} lo que hace es enviar a (x,y,z) a

    \[\begin{pmatrix} a& b & c \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=ax+by+cz.\]

Se puede verificar que la suma de matrices y el producto escalar corresponden precisamente con la suma de sus transformaciones lineales asociadas, y su producto escalar.

Dicho de otra forma, (\mathbb{R}^3)^\ast se puede pensar como el espacio vectorial de matrices M_{1,3}(\mathbb{R}). Observa que \mathbb{R}^3 y (\mathbb{R}^3)^\ast tienen ambos dimensión 3.

\square

Ejemplo. Consideremos el espacio vectorial V de funciones continuas del intervalo [0,1] a \mathbb{R}. Una forma lineal es una transformación lineal que a cada vector de V (cada función) lo manda a un real en \mathbb{R}. Un ejemplo es la forma lineal T:V\to \mathbb{R} tal que

    \[T(f)=\int_0^1 f(t)\,dt.\]

Otro ejemplo es la forma lineal \text{ev}_0:V\to \mathbb{R} que manda a cada función a lo que vale en 0, es decir,

    \[\text{ev}_0(f)=f(0).\]

Aquí dimos dos formas lineales, pero hay muchas más. De hecho, en este ejemplo no está tan sencillo decir quienes son todos los elementos de V^\ast.

\square

Espacio dual de un espacio de dimensión finita

Sea V un espacio de dimensión finita n y B=\{e_1,e_2,\ldots,e_n\} una base de V. Como ya vimos antes, una transformación lineal queda totalmente definida por lo que le hace a los elementos de una base. Más concretamente, si v=x_1e_1+\ldots+x_ne_n, entonces lo que hace una forma lineal l en v es

    \[l(x_1e_1+\ldots+x_ne_n)=x_1a_1+\ldots+x_na_n,\]

en donde a_i=l(e_i) son elementos en F.

Hay una manera canónica de combinar a un elemento l de V^\ast y a un elemento v de V: evaluando l en v. Así, definimos al emparejamiento canónico entre V y V^\ast como la función

    \[\langle\cdot, \cdot \rangle: V^\ast \times V\]

definida para l en V^\ast y v en V como

    \[\langle l,v\rangle = l(v).\]

Observa que \langle\cdot, \cdot \rangle es lineal en cada una de sus entradas por separado, es decir para c en F, para l_1,l_2,l en V^\ast y para v_1,v_2,v en V se tiene que

    \[\langle cl_1+l_2,v\rangle = c\langle l_1,v\rangle + \langle l_2,v\rangle\]

y que

    \[\langle l,cv_1+v_2\rangle = c\langle l,v_1\rangle +\langle l,v_2\rangle.\]

Esto es un ejemplo de una forma bilineal. Estudiaremos estas formas a detalle más adelante.

Vamos a hacer una pequeña pausa. Hasta ahora, para un espacio vectorial V definimos:

  • Su espacio dual V^\ast.
  • El emparejamiento canónico entre V y V^\ast.

Si a V^\ast le estamos llamando “el dual” es porque esperamos que sea “muy parecido” a V. También, en una operación de dualidad nos gustaría que al aplicar dualidad dos veces “regresemos” al espacio original.

Por esta razón, nos gustaría a cada elemento v de V asociarle un elemento de V^\ast^\ast, el espacio dual del espacio dual. Afortunadamente, hay una forma muy natural de hacerlo. Para cada v en V podemos considerar la forma lineal \text{ev}_v:V^\ast \to F que a cada forma lineal l en V^\ast le asigna l(v).

Ejemplo. Considera el espacio vectorial de matrices M_{2}(\mathbb{R}). El espacio dual M_{2}(\mathbb{R})^\ast consiste de todas las transformaciones lineales T: M_{2}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}. Un ejemplo de estas transformaciones es la transformación T que a cada matriz la manda a la suma de sus entradas, T\begin{pmatrix}a& b\\c & d\end{pmatrix}=a+b+c+d. Otro ejemplo es la transformación S que a cada matriz la manda a su traza, es decir, S\begin{pmatrix}a& b\\c & d\end{pmatrix}=a+d.

Consideremos ahora a la matriz A=\begin{pmatrix} 5 & 2\\ 1 & 1\end{pmatrix}.

A esta matriz le podemos asociar la transformación \text{ev}_A:M_{2}(\mathbb{R})^\ast\to F tal que a cualquier transformación lineal L de M_{2}(\mathbb{R}) a \mathbb{R} la manda a L(A). Por ejemplo, a las T y S de arriba les hace lo siguiente

    \[\text{ev}_A(T)=T(A)=5+2+1+1=9\]

y

    \[\text{ev}_A(S)=S(A)=5+1=6.\]

\square

La discusión anterior nos permite dar una transformación lineal \iota: V \to V ^\ast ^\ast tal que a cada v la manda a \text{ev}_v, a la cual le llamamos la bidualidad canónica entre V y V^\ast ^\ast. Nota que

    \[\langle \iota(v), l\rangle=\langle l, v\rangle.\]

Un teorema importante que no probaremos en general, sino sólo para espacios vectoriales de dimensión finita, es el siguiente.

Teorema. Para cualquier espacio vectorial V, la bidualidad canónica es inyectiva.

De hecho, para espacios vectoriales de dimensión finita veremos que es inyectiva y suprayectiva, es decir, que es un isomorfismo entre V y V^{\ast \ast}.

Formas coordenadas

En esta sección hablaremos de cómo encontrar una base para el espacio dual de un espacio vectorial V de dimensión finita.

Supongamos que V es de dimensión finita n y sea B=\{e_1,\ldots,e_n\} una base de V. A partir de la base B podemos obtener n formas lineales e_i^\ast:V\to F como sigue. Para obtener el valor de e_i^\ast en un vector v, expresamos a v en términos de la base

    \[v=x_1e_1+x_2e_2+\ldots+x_n e_n\]

y definimos e_i^\ast(v)=x_i. A e_i^\ast le llamamos la i-ésima forma coordenada para la base B de V.

Directamente de las definiciones que hemos dado, tenemos que

    \[v=\sum_{i=1}^n e_i^\ast(v) e_i = \sum_{i=1}^n \langle e_i^\ast, v\rangle e_i.\]

Otra relación importante es que e_i^\ast(e_j)=0 si i\neq j y e_i^\ast(e_j)=1 si i=j. De hecho, muchas veces tomaremos esta como la definición de la base dual.

Ejemplo. Si estamos trabajando en F^n y tomamos la base canónica e_i, entonces la forma canónica e_i^\ast manda al vector (x_1,\ldots,x_n) a x_i, que es precisamente la i-ésima coordenada. De aquí el nombre de formas coordenadas. En efecto, tenemos que

    \[v=x_1e_1+x_2e_2+\ldots+x_ne_n.\]

\square

Estamos listos para enunciar el teorema principal de esta entrada introductoria a dualidad lineal.

Teorema. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita n y B=\{e_1,\ldots,e_n\} una base de V. Entonces el conjunto de formas coordenadas B^\ast=\{e_1^\ast, \ldots,e_n^\ast\} es una base de V^\ast. En particular, V^\ast es de dimensión finita n. Además, la bidualidad canónica \iota:V\to V^\ast ^\ast es un isomorfismo de espacios vectoriales.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Revisa por definición que si V y W son espacios vectoriales sobre F, entonces \text{Hom}(V,W) es un espacio vectorial sobre F.
  • Encuentra más formas lineales en el espacio de funciones continuas del intervalo [0,1] a \mathbb{R}.
  • Justifica por qué \iota:V\to V^\ast ^\ast es una transformación lineal y argumenta por qué \langle \iota (v),l\rangle = \langle l,v\rangle.
  • En el espacio de polinomios \mathbb{R}_n[x] con coeficientes reales y grado a lo más n, ¿quienes son las formas coordenadas para la base ordenada (1,x,x^2,\ldots,x^{n-1},x^n)?, ¿quiénes son las formas coordenadas para la base ordenada (1,1+x,\ldots,1+\ldots+x^{n-1},1+\ldots+x^n)?
  • Aplica el último teorema a la base canónica E_{ij} de M_2(\mathbb{R}) para encontrar una base de M_2(\mathbb{R})^\ast
  • Considera el espacio vectorial V de matrices en M_2(\mathbb{R}). ¿Quién es el kernel de la forma lineal en V que a cada matriz la manda a su traza? ¿Quién es el kernel de la forma lineal \text{ev}_A en V^\ast, donde A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}?

Más adelante…

Esta primera entrada introduce los conceptos de espacio dual. Estos conceptos son bastante útiles más adelante. Veremos que gracias a ellos, podemos dar una interpretación en términos de transformaciones lineales de la matriz transpuesta. En esta primer entrada también hablamos de formas lineales. Más adelante, veremos como éstas nos llevan de manera natural al concepto de “hiperplanos” en cualquier espacio vectorial. Uno de los resultados clave que demostraremos con la teoría de dualidad es que cualquier subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita se puede pensar como intersección de hiperplanos. Gracias a esto encontraremos una fuerte relación entre subespacios y sistemas de ecuaciones lineales.

Antes de poder hacer estas cosas bien, necesitamos desarrollar bases sólidas. Por ello, en la siguiente entrada demostraremos el último teorema enunciado. También, veremos algunas recetas para resolver problemas de bases duales.

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10 comentarios en “Álgebra Lineal I: Introducción a espacio dual

    1. LeoLeo Autor

      Hola Jeremai. El emparejamiento canónico y la bidualidad canónica son cosas diferentes.

      Por un lado, el emparejamiento canónico lo que hace es que toma una forma lineal l, un vector v, y manda a la pareja $(l,v)$ al escalar l(v). Osea, es una función de V*xV a R.

      Por otro lado, la bidualidad canónica lo que hace es tomar un vector v, y mandarlo a una forma lineal de formas lineales. Como función, va de V a V**. Si estoy diciendo que llego a V**, a v le tengo que asociar una cosa i(v) que mande formas lineales a reales. Esa cosa es la forma i(v) que a la forma lineal l la manda al real l(v).

      Osea, en la definición de ambas está involucrada l(v), y por eso puede ser algo confuso. Pero el emparejamiento canónico es una función de V* x V a R, y la biudalidad es una función de V a V**.

      Responder
  1. Lorna

    Hola. En el apartado de “formas coordenadas”, justo antes de definir ei*(V) =xi, se escribe a “v” como combinación lineal de elementos de la base B ¿por qué el último es vn? Y otra pregunta ¿cómo se lee “ei*(V)=xi”?
    Muchas gracias

    Responder
    1. Julio Sampietro

      Tienes razón: no debería ser v_n, si no x_n e_n, ahora lo corrijo. Por otro lado creo que “e_i*(v)=x_i” se lee de varias maneras: A veces se menciona ‘e_i estrellita de v’ o incluso algunos prefieren decir ‘e_i dual de v’ (haciendo alusión a que es ‘la base dual’). Para evitar conflicto algunos textos cambian la notación de e_i a epsilon_i. ¡Espero que te sirva de algo!

      Responder

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