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Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Acerca de Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Hola. Soy Leonardo Martínez. Soy Profesor de Tiempo Completo en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Hice un doctorado en Matemáticas en la UNAM, un postdoc en Israel y uno en Francia. Además, me gusta colaborar con proyectos de difusión de las matemáticas como la Olimpiada Mexicana de Matemáticas.

Geometría Analítica I: Equivalencias afines e isométricas

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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Introducción

En entradas anteriores hablamos de los objetos que nos interesa clasificar: los polinomios cuadráticos y las curvas cuadráticas. Ahora hablaremos de las nociones que usaremos para considerar a dos polinomios cuadráticos o curvas cuadráticas como «equivalentes». Para ello, definiremos las nociones de «afínmente equivalentes» e «isométricametne equivalentes».

Composición de un PCDV y una transformación afín

Antes de enunciar propiamente el problema de clasificación que queremos resolver, vamos a demostrar un resultado auxiliar fundamental. A grandes rasgos, lo que nos dice es que si combinamos un polinomio cuadrático en dos variables con una transformación afín, entonces de nuevo obtenemos un polinomio cuadrático en dos variables. La demostración hará evidente cómo a veces es más útil la forma matricial de un PCDV.

Teorema. Consideremos $P:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ un polinomio cuadrático en dos variables y $T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ una transformación afín dados por

\begin{align*}
P(v)&=v^t M v + k^t v + F\\
T(v)&=Av+b
\end{align*}

para $A,M$ matrices de $2\times 2$, para $k,b$ vectores columna en $\mathbb{R}^2$ y $F$ un real. Entonces $P\circ T$ es nuevamente un polinomio cuadrático en dos variables y, explícitamente,

\begin{align*}
(P\circ T)(v)= v^t(A^tMA)v + (2b^t MA + k^t A) v + P(b) .
\end{align*}

Demostración. La expresión que queremos encontrar es $(P\circ T)(v)=P(T(v))=P(Av+b)$. Para evaluar $P$, hagamos cada término poco a poco. A continuación usaremos las propiedades de la multiplicación matricial y de la transposición de matrices. Recordemos que $M$ es una matriz simétrica.

Hagamos las operaciones término a término. En el primer sumando tenemos:

\begin{align*}
(Av+b)^t M (Av+b) &= (v^tA^t+b^t) M (Av+b)\\
&=v^tA^tMAv + v^t A^t M b + b^t M A v + b^t M b\\
&=v^t(A^tMA)v + (A^t M b)^t v + (b^t M A) v + b^t M b\\
&= v^t(A^tMA)v + (b^t M^t A) v + (b^t M A) v + b^t M b \\
&= v^t(A^tMA)v + 2 (b^t M A) v + b^t M b.
\end{align*}

En el segundo sumando tenemos:

\begin{align*}
k^t(Av+b)=k^tAv + k^t b.
\end{align*}

Y el último sumando es $F$. Al sumar todo notemos que aparece un término $b^t M b + k^t b + F=P(b)$. Así, concluimos que: $$(P\circ T)(v)= v^t(A^tMA)v + (2b^t MA + k^t A) v + P(b).$$

Esto muestra que $P\circ T$ es de nuevo un polinomio cuadrático en dos variables y que la fórmula es como se establece en el enunciado del teorema.

$\square$

Aunque parezca que se hicieron varias cuentas, son muchas menos a que si usáramos la expresión en coordenadas. Además, usaremos repetidamente el resultado para ahorrarnos cuentas posteriores. Veamos un pequeño ejemplo de lo que sucede al componer una transformación afín con un PCDV.

Ejemplo. Consideremos al polinomio cuadrático en dos variables $P((x,y))=2x^2-y^2+3x+2$ y a la transformación afín $T((x,y))=(2x,y+1)$. Al realizar la composición obtenemos lo siguiente:

\begin{align*}
(P\circ T)((x,y))&=P(T((x,y))\\
&=P((2x,y+1))\\
&=2(2x)^2-(y+1)^2+3(2x)+2\\
&=4x^2-y^2-2y-1+6x+2\\
&=4x^2-y^2+6x-2y+1.
\end{align*}

En efecto, como lo afirma el teorema, obtenemos nuevamente un polinomio cuadrático en dos variables.

$\triangle$

La imagen de una curva cuadrática bajo una transformación afín

La sección anterior nos dice qué pasa si «combinamos» un polinomio cuadrático en dos variables y una transformación afín. También podemos preguntarnos qué es lo que sucede si «combinamos» una transformación afín y una curva cuadrática. Aquí lo que estamos pensando es que la transformación afín se la aplicaremos a cada punto de la curva.

Ejemplo. Tomemos la curva cuadrática descrita por el polinomio cuadrático $y^2+3x-y+1=0$. Al trazarla en el plano obtenemos la siguiente figura.

Aparentemente, obtenemos una parábola. Tomemos ahora la transformación afín $T((x,y))=(y-1,x+y)$. Al aplicar esta transformación a cada punto de la curva cuadrática anterior obtenemos la curva roja de la siguiente figura.

Aparentemente estamos obteniendo nuevamente una parábola. Entonces, parece ser que la transformación afín envió una curva cuadrática a otra curva cuadrática.

$\triangle$

Lo que sucede en el ejemplo anterior de hecho es algo que sucede en general: cuando aplicamos una transformación afín a una curva cuadrática entonces de nuevo obtenemos una curva cuadrática. Esto es lo que afirma el siguiente resultado.

Teorema. Sea $\mathcal{C}$ la curva cuadrática descrita por el polinomio cuadrático en dos variables $P$. Sea $T$ una transformación afín. Entonces $$T(\mathcal{C})=\{T((x,y)): (x,y)\in \mathcal{C}\}$$ también es una curva cuadrática. Más específicamente, es la curva cuadrática descrita por el polinomio cuadrático en dos variables $P\circ Tˆ{-1}$.

Demostración. Como $T$ es transformación afín, entonces es invertible y su inversa $Tˆ{-1}$ también es una transformación afín. Por el teorema anterior, $P\circ Tˆ{-1}$ en efecto es una transformación afín.

Tenemos que un punto $(w,z)$ pertenece a $T\mathcal{C}$ si y sólo si es de la forma $T((x,y))$ con $(x,y)$ en $\mathcal{C}$ es decir, con $P((x,y))=0$. Aplicando $Tˆ{-1}$ en $(w,z)=T((x,y))$, obtenemos que $(x,y)=Tˆ{-1}((w,z))$. Así, $(w,z)$ está en $T(\mathcal{C})$ si y sólo si $P(Tˆ{-1})((x,y))=0$. De esta manera, $T\mathcal{C}$ es precisamente el conjunto de puntos en donde se anula el PCDV $P\circ Tˆ{-1}$.

$\square$

Podemos resumir el teorema anterior como sigue: las transformaciones afines mandan curvas cuadráticas en curvas cuadráticas.

Equivalencias de polinomios y curvas cuadráticas

Al aplicar una transformación afín a un polinomio cuadrático en dos variables, de nuevo obtenemos un polinomio cuadrático. Pero no podemos ir de un polinomio cuadrático a cualquier otro haciendo esto. De hecho, es especial que esto suceda.

Definición. Diremos un polinomio cuadrático en dos variables $P$ es afínmente equivalente a otro polinomio cuadrático en dos variables $Q$ si existe una transformación afín $T$ tal que $P=Q\circ T$.

Así mismo, no cualquier curva cuadrática puede ir a cualquier otra mediante transformaciones afines. Esto es especial.

Definición Diremos que una curva cuadrática $\mathcal{C}$ es afínmente equivalente a otra curva cuadrática $\mathcal{D}$ si existe una transformación afín $T$ tal que $\mathcal{C}=D$.

Tanto en el caso de polinomios cuadráticos en dos variables, como en el caso de curvas cuadráticas, la relación de ser afínmente equivalente es una relación de equivalencia. Demostraremos esto para el caso de polinomios cuadráticos. El caso de curvas queda como tarea.

Proposición. La relación «ser afínmente equivalente a» es una relación de equivalencia para polinomios cuadráticos en dos variables.

Demostración. Debemos mostrar que la relación es reflexiva, simétrica y transitiva. La relación es reflexiva pues cualquier polinomio cuadrático en dos variables $P$ es afínmente equivalente a sí mismo a través de la transformación afín $$I((x,y))=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix},$$ pues como simplemente es la identidad, tenemos $P \circ I = P$.

Si un polinomio $P$ es afínmente equivalente a uno $Q$, es porque existe una transformación afín $T$ tal que $P=Q\circ T$. Como $T$ es afín, su inversa también lo es, de modo que la igualdad $Q=P\circ Tˆ{-1}$ nos dice que $Q$ es afínmente equivalente a $P$. Esto muestra la simetría de la relación.

Finalmente, para la transitividad tomemos polinomios $P$, $Q$ y $R$ con $P$ afínmente equivalente $Q$ mediante una transformación afín $T$ y $Q$ afínmente equivalente a $R$ mediante una transformación afín $S$. Tenemos entonces las igualdades $P=Q\circ T$ y $Q=R\circ S$. De este modo $$P=Q\circ T = (R\circ S)\circ T=R\circ (S \circ T).$$

Como la composición de transformaciones afines es una transformación afín, entonces esto nos dice que $P$ es afínmente equivalente a $R$, como queríamos.

$\square$

Ambas nociones de equivalencia afín están muy relacionadas entre sí, aunque no son exactamente lo mismo. En la siguiente proposición veremos que la equivalencia afín de PCDVs implica la equivalencia afín de las curvas cuadráticas que describen. Sin embargo, en los ejercicios verás que hay que ser mucho más cuidadosos con el regreso.

Proposición. Si $\mathcal{C}$ y $\mathcal{D}$ son curvas curvas cuadráticas descritas por polinomios cuadráticos en dos variables $P$ y $Q$ afínmente equivalentes, entonces $\mathcal{C}$ y $\mathcal{D}$ son afínmente equivalentes.

Demostración. Como $P$ y $Q$ son afínmente equivalentes, existe una transformación afín $T$ tal que $P=Q\circ T$. Tenemos entonces que $(x,y)\in \mathcal{C}$ si y sólo si $P((x,y))=0$, lo cual sucede si y sólo si $Q(T((x,y)))=0$, si y sólo si $T((x,y))$ está en $\mathcal{D}$. Esto muestra que $\mathcal{D}=T(\mathcal{C})$.

$\square$

Con menos transformaciones es más difícil ser equivalente

Así como definimos la relación de «ser afínmente equivalente» también podríamos definir relaciones similares usando otros grupos de transformaciones. Por ejemplo:

Definición. Diremos un PCDV $P$ es isométricamente equivalente a otro PCDV $Q$ si existe una isometría $T$ tal que $P=Q\circ T$. Diremos que una curva cuadrática $\mathcal{C}$ es isométricamente equivalente a otra curva cuadrática $\mathcal{D}$ si existe una isometría $T$ tal que $\mathcal{C}=T(\mathcal{D})$

La noción de «ser isométricamente equivalentes» es, en cierto sentido «más fuerte» que la de ser «afínmente equivalentes». ¿Por qué? Porque todas las isometrías son transformaciones afines, pero lo contrario no es cierto. Así, «hay menos» isometrías que transformaciones afines. De esta forma, es «más difícil» que dos curvas cuadráticas sean isométricamente equivalentes, a que sean afínmente equivalentes. Veamos un ejemplo.

Ejemplo. Consideremos las curvas cuadráticas descritas por los siguientes polinomios:

\begin{align*}
P_1((x,y))&=x^2+2x+y^2\\
P_2((x,y))&=x^2+y^2-1\\
P_3((x,y))&=2x^2+y^2-1.
\end{align*}

Al graficarlas obtenemos respectivamente las curvas $\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2, \mathcal{C}_3$ en la siguiente figura. De lo que sabemos de circunferencias y elipses, tenemos que $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ son circunferencias de radio $1$ y que $\mathcal{C}_3$ es una elipse canónica con focos en el eje $y$ y centro en $(0,0)$.

Pensemos primero en equivalencia afín. Las tres curvas cuadráticas son afínmente equivalentes. Para ello, basta ver que los PCDVs que las describen son afínmente equivalentes. Para la equivalencia entre $P_1$ y $P_2$ tomamos la transformación afín $(x,y)\mapsto (x+1,y)$ y notamos que $$P_2((x+1,y))=(x+1)^2+y^2-1=x^2+2x+y^2=P_1((x,y)).$$ Para la equivalencia entre $P_2$ y $P_3$ tomamos la transformación afín $(x,y)\mapsto (\sqrt{2}x,y)$ y notamos que $$P_2((\sqrt{2}x,y))=(\sqrt{2}x)^2+y^2-1=2x^2+y^2-1=P_3((x,y)).$$ La equivalencia afín entre $P_1$ y $P_3$ se obtiene por transitividad.

Como la transformación afín $(x,y)\mapsto (x+1,y)$ es de hecho una traslación, entonces es una isometría. De esta manera, $P_1$ y $P_2$ no sólo son afínmente equivalentes, sino que también son isométricamente equivalentes. Sin embargo, es imposible encontrar una isometría que envíe $\mathcal{C}_2$ a $\mathcal{C}_3$, pues tendría que llevar a $(0,0)$ a un punto equidistante a todos los puntos de $\mathcal{C}_3$. Pero $\mathcal{C}_3$ no es una circunferencia.

En resumen:

  • $\mathcal{C}_1,\mathcal{C}_2,\mathcal{C}_3$ son todas ellas afínmente equivalentes.
  • $\mathcal{C}_1$ es isométricamente equivalente a $\mathcal{C}_2$.
  • $\mathcal{C}_3$ no es isométricamete equivalente a $\mathcal{C}_2$, y por lo tanto tampoco a $\mathcal{C}_1$.

$\triangle$

Más adelante…

Ya dijimos qué objetos nos interesa clasificar: los polinomios cuadráticos y las curvas cuadráticas. También ya dijimos qué noción de clasificación usaremos: la equivalencia afín o la equivalencia isométrica. Estamos listos para enunciar los teoremas de clasificación que queremos demostrar. Haremos esto en la siguiente entrada. Después, en entradas posteriores, nos enfocaremos a dar la demostración poco a poco. Esto a su ves nos permitirá resolver problemas prácticos de cónicas como poder encontrar su centro o qué tan rotadas están.

Tarea moral

  1. Demuestra que la relación «es afínmente equivalente a» es una relación de equivalencia para curvas cuadráticas.
  2. Encuentra de manera explícita una transformación afín que ayude a ver que los polinomios cuadráticos $x^2+6x+y^2+8$ y $x^2+y^2-4y+3$ son afínmente equivalentes. ¿Son isométricamente equivalentes?
  3. Demuestra que los polinomios cuadráticos en dos variables $P((x,y))=x^2+y^2+1$ y $Q((x,y))=x^2+1$ no pueden ser afínmente equivalentes. Luego, muestra que las curvas cuadráticas que definen sí son afínmente equivalentes. Como sugerencia, para ver que los polinomios no son afínmente equivalentes procede por contradicción. Supón que sí y obtén una contradicción con el coeficiente de $y^2$.
  4. Muestra lo siguiente:
    1. Dos parábolas canónicas cualesquiera (i.e. descritas por ecuaciones de la forma $y=cx^2$) son afínmente equivalentes.
    2. Dos elipses canónicas cualesquiera (i.e. descritas por ecuaciones de la forma $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$) son afínmente equivalentes.
    3. Dos hipérbolas canónicas cualesquiera (i.e. descritas por ecuaciones de la forma $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$) son afínmente equivalentes.
  5. Usa como ejemplo las definiciones de la entrada para definir la noción de ser «traslacionalmente equivalente». Demuestra lo siguiente:
    1. La relación «es traslacionalmente equivalente a» es una relación de equivalencia.
    2. Dos rectas son traslacionalmente equivalentes si y sólo si son paralelas.
    3. Dos circunferencias son traslacionalmente equivalentes si y sólo si son del mismo radio.
    4. Existen elipses isométricamente equivalentes, pero que no son traslacionalmente equivalentes.

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Geometría Analítica I: Polinomios cuadráticos y curvas cuadráticas

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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Introducción

Lo primero que queremos determinar en un problema de clasificación es cuáles son los objetos que clasificaremos. En esta entrada los definimos con toda precisión: serán los polinomios cuadráticos en dos variables y las curvas cuadráticas.

Los primeros son expresiones algebraicas que mezclan a dos variables $x$ y $y$ mediante sumas y productos, pero teniendo grado dos. Las segundas son aquellos conjuntos del plano en donde se anula un polinomio cuadrático.

Polinomios cuadráticos en dos variables

Comencemos con una definición algebraica.

Definición. Un polinomio cuadrático en dos variables $P$ es una función $P:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ de la forma $$P((x,y))=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F,$$ para algunos reales $A,B,C,D,E,F$, en donde alguno de $A$, $B$ ó $C$ es distinto de cero.

En ocasiones, para abreviar «polinomio cuadrático en dos variables» simplemente usaremos las siglas «PCDV».

Ejemplo. Todas las expresiones que aparecen en las cónicas canónicas que hemos estudiado son PCDVs. Por ejemplo, la ecuación canónica de la elipse $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ puede reescribirse como $$b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2=0.$$ Del lado izquierdo de esta igualdad tenemos un PCDV. De manera similar, la ecuación canónica de la parábola $y^2=4px$ puede reescribirse como $y^2-4px=0$. Una vez más al lado izquierdo nos aparece un PCDV.

$\triangle$

Ejemplo. Si consideramos las dos rectas $3x+5y+1=0$ y $2x-2y+1=0$ y «multiplicamos» sus ecuaciones, entonces obtenemos de nuevo un PCDV pues el producto es:

\begin{align*}
(3x+5y+1)(2x-2y+1)&=6x^2-6xy+3x+10xy-10y^2+5y+2x-2y+1\\
&=6x^2+4xy-10y^2+5x+3y+1.
\end{align*}

$\triangle$

Curvas cuadráticas

Cuando tenemos una expresión algebraica que depende de dos variables $x$ y $y$, entonces podemos preguntarnos por cómo es la figura geométrica que se obtiene al considerar los puntos $(x,y)$ del plano que hacen que la expresión algebraica sea igual a cero. Un ejemplo de esto es cuando consideramos las expresiones del estilo $Ax+By+C$. Las parejas $(x,y)$ que hacen que esta expresión sea igual a cero forman una recta en el plano. En efecto, forman la recta en forma normal dada por la ecuación $(A,B)\cdot (x,y)=-C$, como puedes verificar.

Esta idea es mucho más general. A partir de los polinomios cuadráticos en dos variables también podemos hacernos la misma pregunta: ¿cómo se ven las parejas $(x,y)$ que anulan un polinomio cuadrático? La respuesta será importante, así que las figuras que se construyen así les damos su propio nombre.

Definición. Una curva cuadrática es el conjunto de puntos $(x,y)$ del plano que anulan a un polinomio cuadrático en dos variables $P$. En otras palabras, es un conjunto de la forma $$\mathcal{C}:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F = 0\}.$$

A $P$ le llamamos el polinomio asociado a $\mathcal{C}$. A $\mathcal{C}$ le llamamos la curva descrita (o dada) por $P$. Quizás usaremos terminología un poco distinta, pero que siga dejando evidente que $P$ y $\mathcal{C}$ están relacionados.

Ejemplo. Ya hemos estudiado anteriormente algunas curvas cuadráticas: las cónicas canónicas. Por ejemplo, si tomamos el PCDV $P((x,y))=4x^2-9y^2-36$ y nos preguntamos para cuáles parejas $(x,y)$ esto es igual a cero, como respuesta tenemos que son aquellas parejas $(x,y)$ tales que $ 4x^2-9y^2-36=0$, lo cual podemos reescribir como $$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1.$$ Esta es la hipérbola canónica de semieje mayor $3$ y semieje menor $2$. Podemos verla en la siguiente figura.

$\triangle$

Ejemplo. ¿Qué sucede si nos fijamos en la curva descrita por el polinomio cuadrático en dos variables $$ 6x^2+4xy-10y^2+5x+3y+1$$ que construimos en un ejemplo anterior? Si recuerdas, obtuvimos este polinomio cuadrático en dos variables a partir de multiplicar dos expresiones. De esta forma, tenemos que $$ 6x^2+4xy-10y^2+5x+3y+1=0$$ si y sólo si $$ (3x+5y+1)(2x-2y+1) =0.$$ Pero el producto de dos cosas es igual a cero si y sólo si alguna es igual a cero. Así, alguna de las expresiones $3x+5y+1$ y $2x-2y+1$ debe ser igual a cero. Si la primera es cero, entonces $(x,y)$ es un punto en la recta normal $\ell_1$ de ecuación $(3,5)\cdot (x,y) = -1$. Si la segunda es cero, entonces $(x,y)$ es un punto en la recta normal $\ell_2$ de ecuación $(2,-2)\cdot(x,y) = -1$. Así, la curva cuadrática descrita por el PCDV es la unión de $\ell_1$ con $\ell_2$. Podemos verla en la siguiente figura.

$\triangle$

Forma matricial de polinomios cuadráticos en dos variables

Cuando trabajamos con rectas, nos convenía tener varias formas de expresarlas: la forma paramétrica ayudaba a determinar fácilmente el paralelismo, la forma baricéntrica nos daba fórmulas sencillas para los puntos medios, la forma normal nos permitía encontrar distancias, etc. Así mismo, cuando trabajamos con polinomios cuadráticos en dos variables es de ayuda tener más de una expresión.

Podemos reescribir un polinomio cuadrático en dos variables $$P((x,y))=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F$$ de una manera más compacta usando multiplicación matricial. Para ello, definimos $$M=\begin{pmatrix} A & \frac{B}{2} \\ \frac{B}{2} & C \end{pmatrix}, k=\begin{pmatrix} D \\ E \end{pmatrix}, v=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.$$ Con esta notación, e interpretando a las matrices de $1\times 1$ como reales, tenemos que $P$ se puede reescribir de la siguiente manera: $$P(v)=v.$$

En efecto, al realizar las operaciones en el lado derecho obtenemos:

\begin{align*}
v^t M v + k^t v + F &=\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & \frac{B}{2} \\ \frac{B}{2} & C \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} D & E \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + F\\
&=\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} Ax + \frac{B}{2} y \\ \frac{B}{2} x + C y \end{pmatrix} + Dx + Ey + F\\
&=Ax^2 + Bxy + Cy^2+Dx+Ey+F.
\end{align*}

Observa que cuando pasamos un polinomio cuadrático en dos variables a forma matricial entonces siempre obtenemos una matriz $M$ simétrica.

Ejemplo. La forma matricial del PCDV que encontramos anteriormente $$6x^2+4xy-10y^2+5x+3y+1$$ es

$$ \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 2 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + 1.$$

nota que el coeficiente de $xy$ se tuvo que dividir entre $2$ para llegar a las entradas de la matriz. Es importante recordar esto al pasar de la forma en coordenadas a la forma matricial.

$\triangle$

En caso de ser necesario, también podemos pasar fácilmente de la forma matricial de un polinomio cuadrático en dos variables a su forma en coordenadas.

Ejemplo. Si comenzamos con el polinomio cuadrático en dos variables con forma matricial $$ \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} – 1, $$

entonces su forma en coordenadas es $$2x^2-2xy+3y^2 – 3y -1.$$

Observa que las entradas $-1$ fuera de la diagonal principal de la matriz al salir se duplican para conformar el coeficiente de $xy$. Es importante recordar esto al pasar de forma matricial a forma en coordenadas.

$\triangle$

Más adelante…

En esta entrada definimos qué son los polinomios cuadráticos en dos variables y qué son las curvas cuadráticas.

Por un lado, mencionamos que todas las ecuaciones de cónicas canónicas que hemos visto tienen polinomios cuadráticos en dos variables. ¿Será que todas las ecuaciones de cónicas también tienen polinomios cuadráticos en dos variables? Por otro lado, vimos que algunas curvas cuadráticas son cónicas. Pero nos pasó algo un poco raro: en un ejemplo salieron dos rectas que se intersectan, que quizás estrictamente no pensamos como una cónica usual (elipse, hipérbola, parábola).

¿Cómo serán todas las curvas cuadráticas? ¿Serán sólo las cónicas usuales y algunas excepciones o podrán tener formas muy extrañas? Eso lo estudiaremos después.

También en esta entrada vimos la forma matricial de un polinomio cuadrático en dos variables. De momento, no hemos hablado de la utilidad que tiene pensar a un PCDV así. Sin embargo, en la siguiente entrada veremos que esta expresión es fundamental para ver qué sucede cuando «combinamos» un polinomio cuadrático con una transformación afín.

Tarea moral

  1. Usa alguna herramienta tecnológica (como GeoGebra) para trazar las curvas cuadráticas descritas por los siguientes polinomios cuadráticos en dos variables:
    • $x^2-2xy+3y^2+x-5y+7$
    • $3y^2+5y+x$
    • $x^2+y^2-5x-5y+3$
    • $xy-x-y+7$
    • $-x^2+2xy-3y^2-x+5y-7$
  2. Sea $P:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ dada por $P((x,y))=(Ax+By+C)(Dx+Ey+F)$. Demuestra que $P$ es un polinomio cuadrático en dos variables. Luego, demuestra que:
    1. Si $AE-BD\neq 0$, entonces la curva cuadrática dada por $P$ es la unión de dos rectas que se intersectan.
    2. Si $AE-BD=0$, entones la curva cuadrática dada por $P$ es la unión de dos rectas paralelas (no necesariamente distintas).
  3. Demuestra que la intersección de una recta con una curva cuadrática sólo puede ser:
    1. Vacía,
    2. Un punto,
    3. Dos puntos, o
    4. Una infinidad de puntos.
  4. Demuestra que cualquier curva cuadrática $\mathcal{C}$ puede ser descrita a través de una infinidad de polinomios cuadráticos en dos variables.
  5. Considera la gráfica de la función $f(x)=\sin(x)$. ¿Será que esta gráfica es una curva cuadrática? Intenta demostrar por qué sí o por qué no.

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Álgebra Lineal II: Aplicaciones del teorema de Cayley-Hamilton

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

2 respuestas

Introducción

En entradas anteriores ya enunciamos y demostramos el teorema de Cayley-Hamilton. Veremos ahora algunas aplicaciones de este resultado.

Encontrar inversas de matrices

El teorema de Cayley-Hamilton nos puede ayudar a encontrar la inversa de una matriz haciendo únicamente combinaciones lineales de potencias de la matriz. Procedemos como sigue. Supongamos que una matriz $A$ en $M_n(F)$ tiene polinomio característico $$\chi_A(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0.$$ Como $a_0=\det(A)$, si $a_0=0$ entonces la matriz no es invertible. Supongamos entonces que $a_0\neq 0$. Por el teorema de Cayley-Hamilton tenemos que $$A^n+a_{n-1}A^{n-1}+\ldots+a_1A+a_0I_n=O_n.$$ De aquí podemos despejar la matriz identidad como sigue:

\begin{align*}
I_n&=-\frac{1}{a_0}\left( A^n+a_{n-1}A^{n-1}+\ldots+a_1A \right)\\
&=-\frac{1}{a_0}\left(A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+\ldots+a_1 I\right) A.
\end{align*}

Estos cálculos muestran que la inversa de $A$ es la matriz $$ -\frac{1}{a_0}\left(A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+\ldots+a_1 I\right).$$

Ejemplo. Supongamos que queremos encontrar la inversa de la siguiente matriz $$A=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.$$ Su polinomio característico es $\lambda^3-2\lambda^2 – \lambda +2$. Usando la fórmula de arriba, tenemos que

$$A^{-1}=-\frac{1}{2}(A^2-2A-I).$$

Necesitamos entonces $A^2$, que es:

$$A^2=\begin{pmatrix} 4 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}.$$

De aquí, tras hacer las cuentas correspondientes, obtenemos que:

$$A^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & 1\end{pmatrix}.$$

Puedes verificar que en efecto esta es la inversa de $A$ realizando la multiplicación correspondiente.

$\triangle$

El método anterior tiene ciertas ventajas y desventajas. Es práctico cuando es sencillo calcular el polinomio característico, pero puede llevar a varias cuentas. En términos de cálculos, en general reducción gaussiana funciona mejor para matrices grandes. Como ventaja, el resultado anterior tiene corolarios teóricos interesantes. Un ejemplo es el siguiente resultado.

Corolario. Si $A$ es una matriz con entradas en los enteros y determinante $1$ ó $-1$, entonces $A^{-1}$ tiene entradas enteras.

Encontrar el polinomio mínimo de una matriz

Otra de las consecuencias teóricas del teorema de Cayley-Hamilton con aplicaciones prácticas ya la discutimos en la entrada anterior.

Proposición. El polinomio mínimo de una matriz (o transformación lineal) divide a su polinomio característico.

Esto nos ayuda a encontrar el polinomio mínimo de una matriz: calculamos el polinomio característico y de ahí intentamos varios de sus divisores polinomiales para ver cuál de ellos es el de grado menor y que anule a la matriz. Algunas consideraciones prácticas son las siguientes:

  • Si el polinomio característico se factoriza totalmente sobre el campo y conocemos los eigenvalores, entonces conocemos todos los factores lineales. Basta hacer las combinaciones posibles de factores lineales para encontrar el polinomio característico (considerando posibles multiplicidades).
  • Además, para cada eigenvalor $\lambda$ ya vimos que $\lambda$ debe ser raíz no sólo del polinomio característico, sino también del polinomio mínimo. Así, debe aparecer un factor $x-\lambda$ en el polinomio mínimo para cada eigenvalor $\lambda$.

Ejemplo 1. Encontramos el polinomio mínimo de la siguiente matriz:

$$B=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 \\ 3 & -1 & -1 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.$$

Una cuenta estándar muestra que el polinomio característico es $(x-2)^2(x+1)$. El polinomio mínimo debe ser mónico, dividir al polinomio característico y debe contener forzosamente a un factor $(x-2)$ y un factor $(x+1)$. Sólo hay dos polinomios con esas condiciones: $(x-2)(x+1)$ y $(x-2)^2(x+1)$. Si $(x-2)(x+1)$ anula a $B$, entonces es el polinomio mínimo. Si no, es el otro. Haciendo las cuentas:

\begin{align*}
(B-2I_3)(B+I_3)&=\begin{pmatrix}0 & 0 & 4 \\ 3 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 4 \\ 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
\end{align*}

Así, $(x-2)(x+1)$ no anula a la matriz y por lo tanto el polinomio mínimo es justo el polinomio característico $(x-2)^2(x+1)$.

$\triangle$

Ejemplo 2. Consideremos la matriz $C=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$. Su polinomio característico es $(x-3)^3$. Así, su polinomio mínimo es $x-3$, $(x-3)^2$ ó $(x-3)^3$. Nos damos cuenta rápidamente que $x-3$ sí anula a la matriz pues $A-3I_3=O_3$. De este modo, el polinomio mínimo es $x-3$.

$\triangle$

Clasificación de matrices con alguna condición algebraica

Si sabemos que una matriz cumple una cierta condición algebraica, entonces el teorema de Cayley-Hamilton puede ayudarnos a entender cómo debe ser esa matriz, es decir, a caracterizar a todas las matrices que cumplan la condición.

Por ejemplo, ¿quienes son todas las matrices en $M_n(\mathbb{R})$ que son su propia inversa? La condición algebraica es $A^2=I_2$. Si el polinomio característico de $A$ es $x^2+bx+c$, entonces por el teorema de Cayley-Hamilton y la hipótesis tenemos que $O_2=A^2+bA+cI_2=bA+(c+1)I_2$. De aquí tenemos un par de casos:

  • Si $b\neq 0$, podemos despejar a $A$ como $A=-\frac{c+1}{b}I_2$, es decir $A$ debe ser un múltiplo de la identidad. Simplificando la notación, $A=xI_2$. Así, la condición $A^2=I_2$ se convierte en $x^2I_2=I_2$, de donde $x^2=1$ y por lo tanto $x=\pm 1$. Esto nos da las soluciones $A=I_2$ y $A=-I_2$.
  • Si $b=0$, entonces $O_2=(c+1)I_2$, de donde $c=-1$. De este modo, el polinomio característico es $x^2-1=(x+1)(x-1)$. Se puede demostrar que aquí las soluciones son las matices semejantes a la matriz $\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$, y sólo esas.

Más adelante…

El teorema de Cayley-Hamilton es un resultado fundamental en álgebra lineal. Vimos dos demostraciones, pero existen varias más. Discutimos brevemente algunas de sus aplicaciones, pero tiene otras tantas. De hecho, más adelante en el curso lo retomaremos para aplicarlo nuevamente.

Por ahora cambiaremos ligeramente de tema. De manera muy general, veremos cómo llevar matrices a otras matrices que sean más simples. En las siguientes entradas haremos esto mediante similaridades de matrices. Más adelante haremos esto mediante congruencias de matrices. Hacia la tercer unidad del curso encontraremos un resultado aún más restrictivo, en el que veremos que cualquier matriz simétrica real puede ser llevada a una matriz diagonal mediante una matriz que simultáneamente da una similaridad y una congruencia.

Tarea moral

  1. Encuentra el polinomio mínimo de la matriz $\begin{pmatrix}-3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2\end{pmatrix}$.
  2. Encuentra la inversa de la siguiente matriz usando las técnica usada en esta entrada: $$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2\\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}.$$
  3. Demuestra el corolario de matrices con entradas enteras. De hecho, muestra que es un si y sólo si: una matriz invertibles con entradas enteras cumple que su inversa tiene únicamente entradas enteras si y sólo si su determinante es $1$ ó $-1$.
  4. ¿Cómo son todas las matrices en $M_2(\mathbb{R})$ tales que $A^2=A$?
  5. ¿Cómo son todas las matrices en $M_3(\mathbb{R})$ de determinante $0$ tales que $A^3=O_3$?

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Lineal II: Proceso de Gram-Schmidt en espacios euclideanos

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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Introducción

En la entrada anterior recordamos algunas de las aplicaciones que pueden tener las bases ortogonales y ortonormales. Esto nos da la pista de que siempre es bueno intentar conseguir una base ortonormal. ¿Es esto siempre posible? En el primer curso de Álgebra Lineal vimos que si tenemos en espacio euclideano, entonces sí. Esto está explicado a detalle en la entrada del Proceso de Gram-Schmidt.

Esta entrada está escrita únicamente en formato de recordatorio. Enunciamos los resultados principales, pero las demostraciones y más ejemplos se encuentran en otras entradas.

Teorema de Gram-Schmidt

El teorema de Gram-Schmidt asegura que dado un conjunto de vectores linealmente independientes en un espacio vectorial real con un producto interior dado, podemos encontrar otros vectores que ahora sean ortonormales, que generen lo mismo y que además «apunten hacia un lado similar» a los vectores originales. Además, asegura que estos vectores son únicos. El resultado concreto es el siguiente.

Teorema. Sea $V$ un espacio vectorial real con producto interior $\langle \cdot, \cdot \rangle$. Sean $v_1,\ldots,v_d$ vectores linealmente independientes. Entonces, existen únicos vectores ortonormales $e_1,\ldots,e_d$ tales que para toda $k\in\{1,2,\ldots,d\}$ se tiene que $$\text{span}(e_1,\ldots,e_k)= \text{span}(v_1,\ldots,v_k)$$ y $\langle e_k, v_k \rangle >0$.

Muy a grandes rasgos, esta forma de escribir el teorema permite hacer inducción en $d$. Al pasar a un nuevo $d$, podemos usar hipótesis inductiva para construir $e_1,\ldots,e_{d-1}$. Así, sólo hay que ver cómo construir $e_d$ para que sea ortogonal a todos los anteriores y para que tenga norma $1$. Para encontrar a un buen candidato, se debe poner a $e_d$ en términos de los $e_1,\ldots,e_{d-1}$ y $v_d$, y se debe suponer que cumple lo deseado. Al hacer algunos productos interiores esto nos dice que $e_d$ forzosamente se construye definiendo

$$f_d=v_d-\sum_{i=1}^{d-1}\langle v_d, e_i\rangle e_i$$

y tomando $e_d=\frac{f_d}{\norm{f_d}}$.

En los detalles de la prueba se ve que este $e_d$ en efecto cumple todo lo deseado.

Si estamos en un espacio euclideano, entonces tenemos una base finita. Podemos usar esta en la hipótesis del teorema de Gram-Schmidt para concluir lo siguiente.

Corolario. Todo espacio euclideano tiene una base ortonormal.

Algoritmo de Gram-Schmidt

La demostración del teorema de Gram-Schmidt a su vez da un algoritmo para encontrar de manera explícita la base ortonormal buscada. Es un algoritmo que poco a poco va construyendo los vectores. Supongamos que nos dan los vectores $v_1,\ldots,v_n$.

Para empezar, normalizamos $v_1$ para obtener $e_1=\frac{v_1}{\norm{v_1}}$. De aquí en adelante procedemos recursivamente. Si ya construimos $e_1,\ldots,e_k$, entonces podemos construir $e_{k+1}$ a través de la fórmula que pusimos, es decir, primero definimos

$$f_{k+1}=v_{k+1}-\sum_{i=1}^{k}\langle v_{k+1}, e_i\rangle e_i,$$

para luego tomar $e_{k+1}$ como la normalización de $f_{k+1}$, es decir, como $\frac{f_{k+1}}{\norm{f_{k+1}}}.$ Seguimos de esta manera hasta terminar.

El siguiente diagrama da una idea un poco más visual de cómo vamos haciendo las operaciones. Comenzamos con los vectores $v_1,\ldots,v_d$ de la fila superior. Luego, vamos construyendo a los $e_i$ y $f_i$ en el orden indicado por las flechas: $e_1,f_2,e_2,\ldots,f_{d-1},e_{d-1},f_d,e_d$. Para construir un $f_i$ usamos la fórmula con productos interiores. Para construir el $e_i$ correspondiente, normalizamos.

Intuición geométrica

Ya tenemos el lenguaje para entender mucho mejor el proceso de Gram-Schmidt. Si te das cuenta, cuando tomamos $$f_{k+1}=v_{k+1}-\sum_{i=1}^{k}\langle v_{k+1}, e_i\rangle e_i$$ justamente estamos aprovechando la descomposición

$$v_{k+1}= \left(\sum_{i=1}^{k}\langle v_{k+1}\right)+ f_{k+1}$$

de $v_{k+1}$ como suma de un elemento en espacio generado por $e_1,\ldots, e_k$ y uno en su ortogonal. El elemento del espacio generado lo obtenemos a través de la fórmula que sale de la descomposición de Fourier que vimos en la entrada anterior. El hecho de que $f_{k+1}$ esté en el ortogonal es lo que hace que cada nuevo vector sea ortogonal a los anteriores. Al final hay que normalizar $f_{k+1}$ para que la base sea ortonormal y no sólo ortogonal. Habría dos formas de hacerlo. Una es tomar $\frac{f_{k+1}}{\norm{f_{k+1}}}$. La otra es tomar $-\frac{f_{k+1}}{\norm{f_{k+1}}}$. El producto escalar positivo que pedimos es lo que nos da la unicidad.

Ejemplo de aplicación del algoritmo de Gram-Schmidt

Hagamos un ejemplo muy sencillo. Será sólo de práctica y como recordatorio. Hay ejemplos más interesantes en la entrada Problemas de bases ortogonales, Fourier y proceso de Gram-Schmidt.

Es sencillo verificar que $\langle (a,b,c), (x,y,z)\rangle =4ax+3by+2cz$ es un producto interior en $\mathbb{R}^3$. Vamos a ortonormalizar la base $(1,1,1)$, $(0,1,1)$, $(0,0,1)$.

En la notación del algoritmo, tenemos entonces $v_1=(1,1,1)$, $v_2=(0,1,1)$ y $v_3=(0,0,1)$. El primer paso es tomar $e_1=\frac{v_1}{\norm{v_1}}$. La norma de $v_1$ con este producto interior es $\sqrt{4+3+2}=3$. De este modo, $e_1=\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3} , \frac{1}{3} \right)$.

Teniendo $e_1$, podemos definir $f_2$ con la fórmula dada:

\begin{align*}
f_2&=v_2-\langle v_2, e_1 \rangle e_1\\
&=(0,1,1)-\left(4\cdot 0\cdot \frac{1}{3}+3\cdot 1 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3} \right)\\
&=(0,1,1)-\frac{5}{3} \left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3} \right)\\
&=\left(-\frac{5}{9},\frac{4}{9},\frac{4}{9}\right).
\end{align*}

De aquí, debemos normalizar $f_2$. Su norma es $$\sqrt{ \frac{100}{81}+\frac{48}{81}+\frac{32}{81} } = \frac{\sqrt{180}}{9}=\frac{2\sqrt{5}}{3}=\frac{10}{3\sqrt{5}}.$$ De este modo, $$e_2=\left(-\frac{\sqrt{5}}{6},\frac{2\sqrt{5}}{15},\frac{2\sqrt{5}}{15}\right)$$

Teniendo $e_1$ y $e_2$, podemos definir $f_3$ con la fórmula dada:

\begin{align*}
f_3&=v_3-\langle v_3, e_1 \rangle e_1 – \langle v_3, e_2 \rangle e_2\\
&=(0,0,1)-\frac{2}{3} \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3} , \frac{1}{3} \right) – \frac{4\sqrt{5}}{15} \left(-\frac{\sqrt{5}}{6},\frac{2\sqrt{5}}{15},\frac{2\sqrt{5}}{15}\right)\\
&=(0,0,1)-\left(\frac{2}{9}, \frac{2}{9} , \frac{2}{9} \right)-\left(-\frac{2}{9},\frac{8}{45},\frac{8}{45}\right)\\
&=\left(0, -\frac{2}{5},\frac{3}{5}\right).
\end{align*}

De aquí, debemos normalizar $f_3$. Su norma es $$\sqrt{\frac{12}{25}+\frac{18}{25}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}=\frac{6}{\sqrt{30}}.$$ De este modo, $$e_3=\left( 0, -\frac{\sqrt{30}}{15}, \frac{\sqrt{30}}{10}\right).$$

Hemos encontrado la base ortonormal buscada $e_1,e_2,e_3$.

$\triangle$

Más adelante…

Con esta entrada-recordatorio terminamos la segunda unidad del curso. A partir de ahora es importante que recuerdes que todo espacio euclideano tiene una base ortonormal. También es útil que recuerdes cómo se obtiene, así que asegúrate de practicar el proceso de Gram-Schmidt.

Todo lo que hemos mencionado tiene su análogo en espacios vectoriales sobre los complejos con un producto interior hermitiano. Asegúrate de entender las diferencias y de realizar los ejercicios que te permitirán entender los resultados correspondientes.

En la siguiente unidad desarrollaremos la teoría necesaria para poder enunciar y demostrar tanto el teorema espectral real, como el teorema espectral complejo.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Haz la demostración del teorema de Gram-Schmidt a partir del esquema comentado en la entrada. En caso de que se te dificulte, revisa los detalles en la entrada de blog correspondiente.
  2. Para verificar que todo esté en orden, verifica que los vectores $e_1,e_2,e_3$ del ejemplo en efecto son una base ortonormal con el producto interior dado.
  3. En el teorema de Gram-Schmidt, ¿es importante el orden en el que elijamos $v_1$ hasta $v_n$? ¿Cambia el conjunto resultante si cambiamos el orden? ¿Es conveniente tomar algún otro orden para simplificar las cuentas?
  4. Aplica el proceso de Gram-Schmidt a los vectores \begin{align*}(1,1,1,1)\\ (0,1,1,1)\\ (0,0,1,1)\\ (0,0,0,1)\end{align*} en $\mathbb{R}^4$ con el producto interior canónico (el producto punto).
  5. Enuncia y demuestra un teorema de Gram-Schmidt para espacios vectoriales sobre $\mathbb{C}$ con un producto interior hermitiano. Obtén el corolario correspondiente para los espacios hermitianos. Aplica este proceso a los vectores $(1+i,1+i,1+i),(0,1+i,1+i),(0,0,1+i)$ de $\mathbb{C}^3$ con el producto hermitiano canónico para obtener una base ortonormal.

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Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Lineal II: Ortogonalidad en espacios euclideanos

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

2 respuestas

Introducción

Anteriormente, cuando hablamos del espacio dual de un espacio vectorial, definimos qué quería decir que una forma lineal y un vector fueran ortogonales. Esa noción de ortogonalidad nos ayudó a definir qué era un hiperplano de un espacio vectorial y a demuestra que cualquier subespacio de dimensión $k$ de un espacio de dimensión $n$ podía ponerse como intersección de $n-k$ hiperplanos.

Hay otra noción de ortogonalidad en álgebra lineal que también ya discutimos en el primer curso: la ortogonalidad de parejas de vectores con respecto a un producto interior. En el primer curso vimos esta noción muy brevemente. Lo que haremos ahora es profundizar en esta noción de ortogonalidad. De hecho, gracias a las herramientas que hemos desarrollado podemos conectar ambas nociones de ortogonalidad.

Esta teoría la veremos de manera explícita en el caso real en la entrada. El caso en $\mathbb{C}$ queda esbozado en los ejercicios.

Definición de ortogonalidad

Comenzamos con las siguientes definiciones.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ y $b$ una forma bilineal de $V$. Diremos que dos vectores $x,y$ en $V$ son ortogonales (con respecto a $b$) si $b(x,y)=0$.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ y $b$ una forma bilineal de $V$. Sea $S$ un subconjunto de vectores de $V$. El conjunto ortogonal de $S$ (con respecto a $b$) consiste de todos aquellos vectores en $V$ que sean ortogonales a todos los vectores de $S$. En símbolos:

$$S^{\bot}:=\{v \in V : \forall s \in S, b(s,v)=0\}.$$

Es un buen ejercicio verificar que $S^\bot$ siempre es un subespacio de $V$. Finalmente, definimos la ortogonalidad de conjuntos.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ y $b$ una forma bilineal de $V$. Diremos que dos subconjuntos $S$ y $T$ son ortogonales (con respecto a $b$) si $S \subseteq T^{\bot}$.

En otras palabras, estamos pidiendo que todo vector de $S$ sea ortogonal a todo vector de $T$.

Observación. Si tenemos un espacio vectorial con producto interior $\langle \cdot, \cdot \rangle$ de norma $\norm{\cdot}$, entonces tenemos la fórmula $$\norm{x+y}^2=\norm{x}^2+2\langle x,y\rangle +\norm{y}^2.$$

De esta forma, $x$ y $y$ son ortogonales si y sólo si $$\norm{x+y}^2= \norm{x}^2+\norm{y}^2.$$ Podemos pensar esto como una generalización del teorema de Pitágoras.

Descomposición en un subespacio y su ortogonal

Comenzamos esta sección con un resultado auxiliar.

Teorema. Sea $V$ un espacio euclideano y $W$ un subespacio de $V$. Entonces $$V=W\oplus W^\bot.$$

Demostración. Sea $\langle \cdot,\cdot \rangle$ el producto interior de $V$. Para demostrar la igualdad que queremos, debemos mostrar que $W$ y $W^\bot$ están en posición de suma directa y que $V=W+W^\bot$.

Para ver que $W$ y $W^\bot$ están en posición de suma directa, basta ver que el único elemento en la intersección es el $0$. Si $x$ está en dicha intersección, entonces $\langle x, x \rangle =0$, pues por estar en $W^\bot$ debe ser ortogonal a todos los de $W$, en particular a sí mismo. Pero como tenemos un producto interior, esto implica que $x=0$.

Tomemos ahora un vector $v\in V$ cualquiera. Definamos la forma lineal $f:W\to \mathbb{R}$ tal que $f(u)=\langle u, v \rangle$. Por el teorema de representación de Riesz aplicado al espacio vectorial $W$ y a su forma lineal $f$, tenemos que existe un (único) vector $x$ en $W$ tal que $f(u)=\langle u, x \rangle$ para cualquier $u$ en $W$.

Definamos $y=v-x$ y veamos que está en $W^\bot$. En efecto, para cualquier $u$ en $W$ tenemos:

\begin{align*}
\langle u, y\rangle &= \langle u, v-x \rangle\\
&=\langle u, v \rangle – \langle u , x \rangle\\
&=f(u)-f(u)\\
&=0.
\end{align*}

De esta manera, podemos escribir $v=x+y$ con $x\in W$ y $y\in W^\bot$.

$\square$

En particular, el teorema anterior nos dice que la unión disjunta de una base de $W$ y una base de $W^\bot$ es una base de $V$. Por ello, tenemos el siguiente corolario.

Corolario. Sea $V$ un espacio euclideano y $W$ un subespacio de $V$. Entonces $$\dim{W}+\dim{W^\bot}=\dim{V}.$$

Tenemos un corolario más.

Corolario. Sea $V$ un espacio euclideano y $W$ un subespacio de $V$. Entonces $$(W^\bot)^\bot=W.$$

Demostración. Tanto $W$ como $(W^\bot)^\bot$ son subespacios de $V$. Tenemos que $W\subseteq (W^\bot)^\bot$ pues cualquier elemento de $W$ es ortogonal a cualquier elemento de $W^\bot$. Además, por el corolario anterior tenemos:

\begin{align*}
\dim{W}+\dim{W^\bot}&=\dim{V}\\
\dim{W^\bot}+\dim{(W^\bot)^\bot}&=\dim{V}.
\end{align*}

De aquí se sigue que $\dim{W} = \dim{(W^\bot)^\bot}$. Así, la igualdad que queremos de subespacios se sigue si un subespacio está contenido en otro de la misma dimensión, entonces deben de ser iguales.

$\square$

Proyecciones ortogonales

Debido al teorema anterior, podemos dar la siguiente definición.

Definición. Sea $V$ un espacio euclideano y $W$ un subespacio de $V$. La proyección ortogonal hacia $W$ es la transformación lineal $p_W:V\to W$ tal que a cada $v$ en $V$ lo manda al único vector $p_W(v)$ tal que $x-p_W(v)$ está en $W^\bot$.

Dicho en otras palabras, para encontrar a la proyección de $v$ en $W$ debemos escribirlo de la forma $v=x+y$ con $x\in W$ y $y\in W^\bot$ y entonces $p_W(v)=x$.

Distancia a subespacios

Cuando definimos la distancia entre conjuntos que tienen más de un punto, una posible forma de hacerlo es considerando los puntos más cercanos en ambos conjuntos, o en caso de no existir, el ínfimo de las distancias entre ellos. Esto da buenas propiedades para la distancia. En particular, cuando queremos definir la distancia de un punto $x$ a un conjunto $S$ hacemos lo siguiente.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial real con producto interior $\langle \cdot, \cdot \rangle$ de norma $\norm{\cdot}$. Sea $S$ un subconjunto de $V$ y $v$ un vector de $V$. Definimos la distancia de $v$ a $S$ como la menor posible distancia de $v$ hacia algún punto de $S$. En símbolos:

$$d(v,S):=\inf_{s\in S} d(v,s).$$

En general, puede ser complicado encontrar el punto que minimiza la distancia de un punto a un conjunto. Sin embargo, esto es más sencillo de hacer si el conjunto es un subespacio de un espacio con producto interior: se hace a través de la proyección al subespacio. Esto queda reflejado en el siguiente resultado.

Proposición. Sea $V$ un espacio euclideano con producto interior $\langle \cdot, \cdot \rangle$ de norma $\norm{\cdot}$. Sea $W$ un subespacio de $V$ y sea $v$ un vector en $V$. Entonces $$d(v,W)=\norm{v-p_W(v)}.$$

Más aún, $p_W(v)$ es el único punto en $W$ para el cual se alcanza la distancia mínima.

Demostración. Por el teorema de descomposición en un subespacio y su ortogonal, sabemos que podemos escribir $v=x+y$ con $x$ en $W$ y con $y$ en $W^\bot$.

Tomemos cualquier elemento $w$ en $W$. Tenemos que $x-w$ está en $W$ y que $y$ está en $W^\bot$. Así, usando el teorema de Pitágoras tenemos que:

\begin{align*}
\norm{v-w}^2&=\norm{y+(x-w)}^2\\
&=\norm{y}^2+\norm{x-w}^2\\
&\geq \norm{y}^2\\
&=\norm{v-x}^2.
\end{align*}

Esto muestra que $\norm{v-w}\geq \norm{v-x}$. Como $x\in W$, esto muestra que la distancia de $v$ a $W$ en efecto se alcanza con $x=p_W(v)$, pues cualquier otra distancia es mayor o igual.

La igualdad en la cadena anterior de alcanza si y sólo si $\norm{x-w}^2=0$, lo cual sucede si y sólo si $x=w$, como queríamos.

$\square$

Más adelante…

En la siguiente entrada recordaremos varias de las ventajas que tiene contar con una base de un espacio vectorial en la que cualesquiera dos vectores sean ortogonales entre sí. Y en la entrada después de esa, recordaremos algunas hipótesis bajo las cuales podemos garantizar encontrar una de esas bases.

Tarea moral

  1. Resuelve los siguientes ejercicios:
    1. Sea $\mathbb{R}^3$ con el producto interno canónico y $W=\{(0,0,a_3) : a_3 \in \mathbb{R} \}$. Encuentra a $W^{\bot}$ y define la proyección ortogonal $p_W$ hacia $W$.
    2. Encuentra el vector en $\text{Span}((1,2,1), (-1,3,-4))$ que sea el más cercano (respecto a la norma euclidiana) al vector $(-1,1,1)$.
  2. Sea $V$ un espacio euclidiano y $T : V \to V $ una transformación lineal tal que $T^2=T$. Prueba que T es una proyección ortogonal si y solo si para cualesquiera $x$ y $y$ en $V$ se tiene que $$\langle T(x),y\rangle =\langle x,T(y)\rangle.$$
  3. Resuelve los siguientes ejercicios:
    1. Demuestra que una proyección ortogonal reduce la norma, es decir, que si $T$ es una proyección ortogonal, entonces $\norm{T(v)}\leq \norm{v}$.
    2. Prueba que una proyección ortogonal únicamente puede tener como eigenvalores a $0$ ó a $1$.
  4. Demuestra que la composición de dos proyecciones ortogonales no necesariamente es una proyección ortogonal.
  5. En el teorema de descomposición, ¿es necesaria la hipótesis de tener un producto interior? ¿Qué sucede si sólo tenemos una forma bilineal, simétrica y positiva?

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