Álgebra lineal II: Teorema espectral complejo y teorema de descomposición polar complejo.

Introducción

En esta entrada nos dedicaremos a demostrar los resultados análogos de vistos en esta unidad, pero aplicados a espacios hermitianos. Veremos que las pruebas son muy parecidas, razón por la cuál algunas simplemente las omitiremos.

Definición. Sea $V$ un espacio hermitiano, es decir, un $\mathbb{C}$-espacio vectorial de dimensión finita equipado con un producto interior hermitiano $\langle \cdot , \cdot \rangle$. Una transformación lineal $T:V\to V$ se dice hermitiana si
$$\langle T(x),y \rangle=\langle x,T(y) \rangle$$ para cualesquiera $x,y\in V$.
Decimos que una matriz $A\in M_n(\mathbb{C})$ es hermitiana si $A=A^*$, donde $A^*=\overline{^tA}$.

Teorema. Sea $V$ un $\mathbb{C}$-espacio vectorial hermitiano y $B=\{e_1,\dots, e_n\}$ una base ortonormal de $V$. $T$ es hermitiana si y sólo si $A=Mat_B(T)$ es hermitiana.

Demostración. Recordemos que si $B$ es una base ortonormal de $V$, entonces cualquier $x\in V$ se puede expresar como
$$x=\displaystyle\sum_{i=1}^n \langle x,e_i \rangle e_i.$$
Entonces $$T(e_j)=\displaystyle\sum_{i=1}^n\langle T(e_j),e_i \rangle e_i$$ y por lo tanto $$A_{ij}=\langle T(e_j),e_j \rangle .$$
Supongamos primero que $T$ es hermitiana, entonces $A_{ji}=\langle T(e_i),e_j \rangle$ y luego $\overline{A_{ji}}\langle e_j,T(e_i) \rangle=\langle T(e_j),e_i \rangle$ y así $A$ es herrmitiana.

Supongamos ahora que $A$ es hermitiana, entonces
\begin{align*}
\langle T(x),y \rangle &=\displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \langle T(x_ie_i),y_je_j \rangle =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x_i\overline{y_j}A_{ji}\\
&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x_i\overline{y_j}\overline{A_{ij}}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \langle x_ie_i, T(y_j)e_j \rangle=\langle x,T(y) \rangle.
\end{align*}
Por lo tanto $T$ es hermitiana.

$\square$

Teorema. Sea $V$ un $\mathbb{C}$-espacio vectorial hermitiano y $T:V\to V$ una transformación lineal hermitiana. Entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas:

  1. Todos los eigenvalores de $T$ son reales.
  2. Si $W$ es un subespacio de $V$ estable bajo $T$, entonces $W^\bot$ también es estable bajo $T$, y las restricciones de $T$ a $W$ y $W^\bot$ son transformaciones lineales hermitianas sobre estos subespacio.
  3. Existe una base ortonormal de $V$ formada por eigenvectores de $T$.

Demostración.

  1. Sea $t$ un eigenvalor de $T$, entonces $T(x)=tx$ para algún vector no nulo $x\in V$. Como $T$ es hermitiana, entonces también es normal, y así por el primer teorema visto en la entrada de transformaciones normales, tenemos que
    $$tx=T(x)=T^*(x)=\overline{t}x.$$
    Por lo tanto $t=\overline{t}$ y así $t$ es real.
  2. Sea $y\in W^\bot$, entonces
    $$\langle x,T(y) \rangle=\langle T(x),y \rangle=0 \hspace{2mm} \forall x\in W,$$
    pues $T(x)in W$ ya que $W$ es $T$-invariante.
    Entonces $T^*(y)\in W^\bot$ y así $T(W^\bot)\subseteq W^\bot$. Además,
    $$\langle T_W(x),y \rangle =\langle T(x),y \rangle=\langle x,T(y) \rangle=\langle x,T_W(y) \rangle\hspace{2mm}\forall x,y\in W.$$ Por lo tanto $T_W$ es hermitiana. La prueba de que $T_{W^\bot}$ es hermitiana es análoga.
  3. Por el teorema fundamental de álgebra tenemos que el polinomio característico de $T$ se divide en $\mathbb{C}$. Entonces, por el teorema de Schur existe una base ortonormal $B$ de $V$ tal que $A= Mat_B(T)$ es una matriz triangular superior. Recordemos que $Mat_B(T^*)=Mat_B(T)^*$, se sigue que
    $$A=Mat_B(T)=Mat_B(T^*)=Mat_B(T)^*=A^*.$$
    Entonces $A$ y $A^*$ son simultaneamente triangulares superiores y por lo tanto $A$ es diagonal. Finalmente $B$ es una base formada por eigenvectores de $T$.

$\square$

Resulta que el recíproco del último inciso del teorema anterior también es cierto:
Teorema. Si $V$ es un $\mathbb{C}$-espacio vectorial hermitiano y $T:V\to V$ es una transformación lineal hermitiana tal que existe una base $B$ de $V$ formada por eigenvectores de $T$ con eigenvalores reales, entonces $T$ es hermitiana.

Demostración. Sea $A=Mat_B(T)$. Como los elementos de $B=\{e_1,\dots, e_n\}$ son eigenvectores de $T$, entonces $A$ es una matriz diagonal. Como por hipótesis todas el eigenvalor de cada eigenvector de $T$ es real, entonces las entradas de $A$ también son reales, pues $a_{ii}=t_i$, donde $T(e_i)=t_ie_i$. Se sigue que $A=A^*$ y por lo tanto $T$ es hermitiana.

$\square$

Teorema. Sea $A\in M_n(\mathbb{C})$ una matriz hermitiana, entonces existe una matriz unitaria $P$ y una matriz diagonal $D$ con entradas reales tal que $A=P^{-1}DP$.

Demostración. Supongamos que $A$ es hermitiana. Como las entradas de $A$ son complejas, entonces por el teorema de Schur $A$ es similar a una matriz triangular superior mediante una matriz unitaria, es decir que existe una matriz unitaria $Q$ y una matriz triangular superior $U$ tal que
$$U=Q^*AQ.$$
Notemos que como $A$ es hermitiana, entonces $U$ también lo es, pues
$$U^*=(Q^*AQ)^*=Q^*A^*Q=Q^*AQ=U.$$
Por lo tanto todas las entradas de $U$ son reales y además es una matriz diagonal.

$\square$

Teorema (Descomposición polar compleja). Sea $T:V\to V$ una transformación lineal invertible. Entonces existe una única pareja $(H,U)$ de transformaciones lineales sobre $V$ tal que $H$ es hermitiana con eigenvalores positivos, $U$ es unitaria y $T=U\circ H$.

La prueba es análoga a la vista en la entrada de descomposición polar.

Tarea moral

  • Sea $U:V\to V$ una transformación lineal sobre un espacio hermitiano $V$. Demuestra o da un contraejemplo de la siguiente afirmación:
    Si $||U(x)||=||x||$ para cualquier $x\in B$, donde $B$ es una base ortonormal de $V$, entonces $U$ es unitario.
  • Demuestra que una matriz unitaria y triangular superior necesariamente es diagonal.
  • Sea $A$ una matriz cuadrada con descomposición polar $A=WP$. Demuestra que $A$ es normal si y sólo si $WP^2=P^2W$.
  • Bajo las mismas hipótesis del inciso anterior y haciendo uso de éste, demuestra que $A$ es normal si y sólo si $WP=PW$.

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