Álgebra lineal II: Formas hermitianas cuadráticas

Introducción

Continuando con la entrada anterior, revisaremos las formas hermitianas cuadráticas siendo estas el equivalente a las formas cuadráticas, para números complejos, así como algunas de sus propiedades.

Análogamente a lo que vimos con formas cuadráticas y bilineales, definiremos también una forma polar y terminaremos enunciando un análogo al teorema de Gauss.

Formas hermitianas cuadráticas

Definición

Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$ y $\varphi$ una forma sesquilineal en $V$ hermitiana.

Llamaremos forma hermitiana cuadrática a la función $\Phi: V \rightarrow \mathbb{C}$ tal que para cualquier $x \in V$
\begin{align*} \Phi(x)=\varphi (x,x) \end{align*}
Llamaremos a la función $\varphi $ la forma polar de $\Phi$.

Ejemplo

Sea $V=\mathbb{C}^n$ y $\Phi : V \rightarrow \mathbb{C}$ definida por
\begin{align*} \Phi(x_1 \cdots x_n)= |x_1|^2 + \cdots + |x_n|^2 \end{align*}
Para cualquier $(x_1, \cdots x_n) \in V$.

Solución

En este caso, recordando un poco la definición de norma en el campo de los complejos nos puede dar una buena idea, recordemos que para cualquier $z \in \mathbb{C}$ se tiene $|z|^2=z \overline{z}$.
Así propongamos $\varphi$ como sigue
\begin{align*} \varphi(x,y)= (\overline{x_1})(y_1) + \cdots + (\overline{x_n})(y_n) \end{align*}
Para cualquier par $x,y \in V$ con $x=(x_1, \cdots x_n)$ y $y=(y_1, \cdots y_n)$.

Ejemplo

Sea $V$ el espacio de funciones continuas $f: [ 0, 1] \rightarrow \mathbb{C}$ y $\Phi: V \rightarrow \mathbb{C}$ definida por
\begin{align*} \Phi(f)= \int_0^1|f(t)|^2 dt \end{align*}
Para cualquier $f \in V$.

Solución

Para este caso la solución es bastante análoga
Porpongamos $\varphi$ como sigue
\begin{align*} \varphi(f_1,f_2)= \int_0^1\overline{f_1(t)} f_2(t) dt \end{align*}
Para cualquier par $f_1,f_2 \in V$.

Cabe aclarar que para terminar de demostrar que estos ejemplos son formas hermitianas cuadráticas, habría que demostrar que $\varphi$ definida en cada uno es sesquilineal hermitiana.

Así, para demostrar que una función es una forma hermitiana cuadrática necesitamos encontrar su forma polar, veremos una forma para hacerlo en la siguiente proposición.

Proposición (Identidad de polarización)

Sea $\Phi: V \rightarrow \mathbb{C}$ una forma hermitiana cuadrática, existe una única forma sesquilineal hermitiana $\varphi: V \times V \rightarrow \mathbb{C}$ tal que $\Phi(x)=\varphi(x,x)$ para todo $x \in V$.

Más aún, esta se puede encontrar de la siguiente manera:
\begin{align*} \varphi(x,y)=\frac{ \Phi (y+x) – \Phi (y-x) + i [ \Phi(y+xi) – \Phi(y-ix)]}{4}.\end{align*}.

Demostración

Por definición, como $\Phi$ es una forma hermitiana cuadrática, existe $s$ una forma sesquilineal hermitiana tal que $s(x,x)=\Phi(x)$ así, definamos una función
\begin{align*} \varphi(x,y)=\frac{ \Phi (y+x) – \Phi (y-x) + i [ \Phi(y+xi) – \Phi(y-ix)]}{4} \end{align*}
Además, como $\Phi(x)=s(x,x)$ podemos calcular $\varphi$ como sigue
\begin{align*} \varphi(x,y)=\frac{ s(y+x,y+x) – s(y-x,y-x) + i [ s(y+xi,y+xi) – s(y-ix,y-xi)]}{4} \end{align*}
Desarrollando los primeros dos sumandos tenemos que
\begin{align*} s(y+x,y+x) – s(y-x,y-x) =2s(y,x) + 2s(x,y)\end{align*}
Por otro lado, desarrollemos los últimos dos sumandos
\begin{align*} i [ s(y+xi,y+xi) – s(y-ix,y-xi)]= 2s(x,y) – 2s(y,x) \end{align*}
Sustituyendo esto en la función original tenemos que
\begin{align*} \varphi(x,y)=\frac{ 2s(y,x) + 2s(x,y) + 2s(x,y) – 2s(y,x) }{4}=s(x,y). \end{align*}

De esta igualdad podemos concluir varias cosas.

Primero, $\varphi = s$ por lo que $\varphi$ es efectivamente la forma polar de $\Phi$.

La forma polar en única ya que si existiera otra función $s’$ tal que $s'(x,x)=\Phi(x)$ para toda $x \in V$ sustituyendo en la identidad de polarización y repitiendo los pasos llegariamos a que $s’=\varphi$.

$\square$

Propiedades de formas hermitianas cuadráticas

Veamos algunas otras propiedades que nos pueden resultar útiles en entradas siguientes.

En las siguientes tres proposiciones, sea $V$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$, $\Phi$ una forma hermitiana cuadrática con $\varphi$ su polar y $x,y \in V$ elementos cualesquiera.

Proposición

$\Phi(x) \in \mathbb{R}$.

Demostración

Sabemos que $\Phi(x)=\varphi(x,x)$ y como $\varphi$ es hermitiana por definición, tenemos que \begin{align*} \varphi(x,x)=\overline{\varphi(x,x)} \end{align*}
Y sabemos que esto pasa si y solo si $\Phi(x)=\varphi(x,x) \in \mathbb{R}$.

$\square$

Proposición

Sea $a \in \mathbb{C}$, entonces $\Phi(ax)=|a|^2\Phi(x)$.

Demostración

Utilizando de nuevo que $\Phi(x)=\varphi(x,x)$
\begin{align*} \varphi(ax,ax)=\overline{a}a\varphi(x,x)=|a|^2 \Phi(x). \end{align*}

$\square$

Proposición

$\Phi(x+y) = \Phi(x) + \Phi(y) +2Re(x,y)$.

Demostración

Como en las anteriores usemos que $\Phi(x+y)=\varphi(x+y,x+y)$
\begin{align*} \varphi(x+y,x+y)=\varphi(x,x)+\varphi(x,y)+ \varphi(y,x)+ \varphi(y,y) \end{align*}
como $\varphi$ es hermitiana, tenemos que $\varphi(y,x)=\overline{\varphi(x,y)}$ por lo que
\begin{align*} \varphi(x+y,x+y)=\Phi(x)+\varphi(x,y)+ \overline{\varphi(x,y)}+ \Phi(y) \end{align*}
Y recordemos que
\begin{align*} \varphi(x,y)+ \overline{\varphi(x,y)} = 2 Re(\varphi (x,y)) \end{align*}
Por lo tanto
\begin{align*} \Phi(x+y) = \Phi(x) + \Phi(y) +2Re(x,y). \end{align*}

$\square$

Para concluir, también enunciaremos el análogo de el teorema de Gauss para formas cuadráticas.

Teorema de Gauss

Sea $\Phi$ una función hermitiana cuadrática en $\mathbb{C}^n$, existen $\alpha_1, \cdots , \alpha_r \in \{ -1, 1 \}$ y funciones linealmente independientes $l_1, \cdots l_r$ en $\mathbb{C}^n$ tal que, $\forall x \in \mathbb{C}^n$
\begin{align*} \Phi(x_1, \cdots , x_n ) = \sum_{i=1}^r \alpha_i |l_i(x)|^2. \end{align*}

Más adelante

Con esto concluimos nuestro pequeño repaso de formas bilineales y sesquilineales, basándonos en esto, veremos una aplicación de estas que te puede resultar bastante más familiar, los productos internos.

Al repasar productos internos concluiremos revisando dos desigualdades sumamente importantes para cualquier teoría en donde se utilicen espacios con producto interno (no abundaremos en este curso sobre este concepto, pero seguro conoces un par de espacios vectoriales que tienen definido un producto interno) siendo estas las desigualdades de Cauchy-Schwarz y de Minkowski, cuyas aplicaciones se extienden desde la geometría, el análisis e incluso la mecánica cuántica.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso. Sin embargo, sirven de ayuda para repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. Sea $V=\mathbb{C}^n$ y definamos $\varphi$
    \begin{align*} \varphi(x,y)= (\overline{x_1})(y_1) + \cdots + (\overline{x_n})(y_n) \end{align*}
    para cualquier par $x,y \in V$ con $x=(x_1, \cdots x_n)$ y $y=(y_1, \cdots y_n)$.
    Demuestra que $\varphi$ es una forma sesquilineal hermitiana.
  2. Sea $V$ el espacio de funciones continuas $f: [ 0, 1] \rightarrow \mathbb{C}$ y $\varphi$ definida como sigue $\varphi$ como sigue
    \begin{align*} \varphi(f_1,f_2)= \int_0^1\overline{f_1(t)} f_2(t) dt \end{align*}
    Para cualquier par $f_1, f_2 \in V$.
    Demuestra que $\varphi$ es una forma sesquilineal hermitiana.
  3. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$ y $\Phi$ una forma hermitiana cuadrática, prueba la siguiente identidad (identidad del paralelogramo)
    \begin{align*} \Phi(x+y) + \Phi(x-y) = 2(\Phi(x) + \Phi(y)) \end{align*}.
  4. ¿Como definirías el concepto de producto interno en $\mathbb{R}$ utilizando formas cuadráticas o hermitianas cuadráticas?
  5. Demuestra el Teorema de Gauss para formas hermitianas cuadráticas.

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1 comentario en “Álgebra lineal II: Formas hermitianas cuadráticas

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