Introducción
Durante las últimas clases hemos visto problemas y teoremas que nos demuestran que las bases ortogonales son extremadamente útiles en la práctica, ya que podemos calcular fácilmente varias propiedades una vez que tengamos a nuestra disposición una base ortogonal del espacio que nos interesa. Veamos más problemas de bases ortogonales y otros resultados que nos permitirán reforzar estas ideas.
Problemas resueltos de bases ortogonales y proyecciones
Para continuar con este tema, veremos que las bases ortogonales nos permiten encontrar de manera sencilla la proyección de un vector sobre un subespacio. Primero, recordemos que si , para todo
podemos definir su proyección en
, que denotamos
, como el único elemento en
tal que
.
Debido a las discusiones sobre bases ortogonales, no es difícil ver que si para todo
, entonces
. Como consecuencia de esto, tenemos el siguiente resultado:
Teorema. Sea un espacio vectorial sobre
con producto interior
, y sea
un subespacio de
de dimensión finita. Sea
una base ortogonal de
. Entonces para todo
tenemos que
Demostración. Escribimos como
con
. Por la observación previa al teorema,
para todo
. Además existen
tales que
. Entonces
porque es una base ortogonal. Por lo tanto, para todo
, obtenemos
Distancia de un vector a un subespacio y desigualdad de Bessel
En la clase de ayer, vimos la definición de distancia entre dos vectores. También se puede definir la distancia entre un vector y un subconjunto como la distancia entre el vector y el vector «más cercano» del subconjunto, en símbolos:
Dado que ,
, y por definición de proyección
, entonces
Y dado que la proyección pertenece a , la desigualdad anterior muestra que la proyección es precisamente el vector en
con el que
alcanza la distancia a
. En conclusión,
Teorema. Sea un espacio vectorial sobre
con producto interior
, y sea
un subespacio de
de dimensión finita. Sea
una base ortonormal de
. Entonces para todo
tenemos que
y
En particular
A esta última desigualdad se le conoce como desigualdad de Bessel.
Demostración. Por el teorema anterior y dado que es una base ortonormal, obtenemos la primera ecuación. Ahora, por Pitágoras,
Por otro lado, tenemos que
Por lo tanto, se cumple la igualdad de la distancia. Finalmente como , inmediatamente tenemos la desigualdad de Bessel.
Veamos ahora dos problemas más en los que usamos la teoría de bases ortonormales.
Aplicación del proceso de Gram-Schmidt
Primero, veremos un ejemplo más del uso del proceso de Gram-Schmidt.
Problema. Consideremos como el espacio vectorial de polinomios en
de grado a lo más
, con producto interior definido por
Aplica el algoritmo de Gram-Schmidt a los vectores .
Solución. Es fácil ver que ese sí es un producto interior en (tarea moral). Nombremos
. Entonces
ya que
Sea . Calculando,

Finalmente, sea . Haciendo los cálculos obtenemos que
Por lo tanto
El teorema de Plancherel y una fórmula con 
Finalmente, en este ejemplo, usaremos técnicas de la descomposición de Fourier para solucionar un problema bonito de series.
Problema. Consideremos la función periódica
definida como
en el intervalo
, y
en el intervalo
.


Usa el teorema de Plancherel para deducir las identidades de Euler
Solución. Notemos que no sólo es periódica, también es una función impar, es decir,
. Por lo visto en la clase del miércoles pasado tenemos que calcular
Para no hacer más larga esta entrada, la obtención de los coeficientes de Fourier se los dejaremos como un buen ejercicio de cálculo. Para hacer las integrales hay que separar la integral en cada uno de los intervalos y
y en cada uno de ellos usar integración por partes.
El resultado es que para todo ,
Entonces por el teorema de Plancherel,
teniendo que
Ahora para obtener la otra identidad de Euler, notemos que
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