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Geometría Moderna II: Eje radical de 2 circunferencias

Por Armando Arzola Pérez

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Introducción

En la entrada anterior hablamos de la noción de potencia de un punto con respecto a una circunferencia. Lo que haremos ahora es tomar dos circunferencias y preguntarnos por los puntos cuya potencia a ellas coincide. Esto nos llevará a estudiar la noción de eje radical de las circunferencias.

A grandes rasgos, definiremos qué es el eje radical. Luego, mostraremos que es una recta muy específica. Después de hacer eso, estudiaremos qué sucede si tenemos tres circunferencias. Finalmente, hablaremos un poco de cómo dibujar el eje radical de dos circunferencias.

Eje radical de 2 circunferencias

La definición que nos interesa estudiar ahora es el conjunto de puntos del plano cuyas potencias a dos circunferencias coincide. La siguiente definición formaliza esto.

Definición. El eje radical de dos circunferencias no concéntricas $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ es el lugar geométrico de los puntos $P$ tales que $$\text{Pot}(P,\mathcal{C}_1)=\text{Pot}(P,\mathcal{C}_2).$$ Si un punto está en el eje radical de ellas, decimos que es equipotente a ambas.

Ejemplo.

$\triangle$

El eje radical es una recta

En esta sección demostraremos el siguiente teorema.

Teorema. Sean $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ circunferencias no concéntricas de de centros $O_1$ y $O_2$. El eje radical de ellas es la recta que perpendicular a la recta $O_1O_2$, y que pasa por el punto $M$ de $O_1O_2$ que cumple $\text{Pot}(M,\mathcal{C}_1)=\text{Pot}(M,\mathcal{C}_2).$

La demostración de este teorema la dividiremos en las siguientes partes:

  1. Probar que existe al menos un punto $P$ en el eje radical.
  2. Mostrar que la proyección $M$ de dicho punto a la recta $O_1O_2$ también está en el eje radical.
  3. Ver que todo punto en la perpendicular a $O_1O_2$ por $M$ está en el eje radical.
  4. Mostrar que no existen otros puntos en el eje radical más allá de los ya localizados.

Veamos cada uno de estos puntos como una proposición por separado.

Proposición. Sean $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ circunferencias no concéntricas. Existe al menos un punto $P$ en el eje radical de $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$.

Demostración. Vamos a dar una construcción explícita para encontrar un punto en el eje radical de $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$:

Eje radical de 2 circunferencias, construcción de un punto equipotente

Para ello, tracemos una tercera circunferencia $\mathcal{C}_3$ que intersecte a cada una de $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ en dos puntos (una manera de hacer esto esto tomar $\mathcal{C}_3$ como el circuncírculo un punto dentro de $\mathcal{C}_1$, uno dentro de $\mathcal{C}_2$ y otro fuera de ambas).

Llamamos $A_1,B_1$ las intersecciones con $\mathcal{C}_1$ y $A_2,B_2$ las intersecciones con $\mathcal{C}_2$. Tomamos el punto $P$ como la intersección de $A_1B_1$ con $A_2B_2$ como en la siguiente figura.

Las siguientes cuentas muestran que $P$ es equipotente a ambas. Estamos usando el resultado de la entrada anterior que muestra que el cálculo de la potencia con respectoa $\mathcal{C}_3$ no depende de los puntos elegidos.

\begin{align*}
\text{Pot}(P,\mathcal{C}_1)&=PA_1 \cdot PB_1\\
&=\text{Pot}(P,\mathcal{C}_3)\\
&=PA_2 \cdot PB_2\\
&=\text{Pot}(P,\mathcal{C}_2)
\end{align*}

Por lo anterior es una realidad que existe al menos un punto en el eje radical.

$\square$

Ahora veremos que la proyección de un punto equipotente en la recta de los centros también es un punto equipotente.

Proposición. Sean $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ circunferencias no concéntricas de centros $O_1$ y $O_2$. Si $P$ es un punto equipotente con respecto a ellas y $M$ es el pie de la perpendicular desde $P$ a la recta $O_1O_2$, entonces $M$ es equipotente con respecto a las dos circunferencias.

Demostración. Sean $r_1$ y $r_2$ los radios de $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$, respectivamente. Como $P$ esta en el eje radical de ambas, entonces por cómo se calcula la potencia con la distancia a los centros y el radio, tenemos que

\begin{equation}\label{eq:pot-ambos}PO_1^2 – r_1^2 = PO_2^2 – r_2^2.\end{equation}

Queremos demostrar que $M$ pertenece al eje radical, ósea $\text{Pot}(M,\mathcal{C}_1)=\text{Pot}(M,\mathcal{C}_2)$.

Tracemos los segmentos $O_1P$ y $O_2P$. Los triángulos $\triangle PMO_1$ y $\triangle PMO_2$ son rectángulos, ver la siguiente figura.

Por Pitágoras se sigue que $$PO_1^2=MO_1^2+PM^2$$ y $$PO_2^2=MO_2^2+PM^2.$$

Al sustituir en \eqref{eq:pot-ambos}, obtenemos: $$MO_1^2+PM^2-r_1^2=MO_2^2+PM^2-r_2^2.$$

Cancelando $PM^2$, se obtiene la expresión que muestra que $M$ también es equipotente a ambas circunferencias:

\begin{equation}\label{eq:Mradical}MO_1^2-r_1^2=MO_2^2-r_2^2.\end{equation}

$\square$

Ahora veremos que todos los puntos en la perpendicular por $M$ también son equipotentes.

Proposición. Sean $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ circunferencias no concéntricas de de centros $O_1$ y $O_2$. Si $M$ es un punto en $O_1O_2$ equipotente a ambas circunferencias, entonces todos los puntos en la perpendicular a $O_1O_2$ por $M$ también lo son.

Demostración. A la perpendicular del enunciado la llamaremos $l$. Sea $X$ un punto en $l$. Debemos mostrar que $$\text{Pot}(X,\mathcal{C}_1)=\text{Pot}(X,\mathcal{C}_2).$$

Para ello, trazamos $O_1X$ y $O_2X$.

Eje radical de 2 circunferencias demostración de proposición.

Como los triángulos $\triangle XMO_1$ y $\triangle XMO_2$ son rectángulos, nuevamente por Pitágoras: $$XO_1^2=MO_1^2+XM^2$$ y $$XO_2^2=MO_2^2+XM^2.$$

Usando las igualdades anteriores y que $M$ está en el eje radical (específicamente, \eqref{eq:Mradical}), tenemos que:

\begin{align*}
\text{Pot}(X,\mathcal{C}_1)&=XO_1^2-r_1^2\\
&= MO_1^2+XM^2 – r_1^2\\
&=MO_2^2+XM^2 – r_2^2\\
&=XO_2^2-r_2^2\\
&=\text{Pot}(X,\mathcal{C}_2)
\end{align*}

Por lo tanto, todo punto $X$ en $l$ es un punto en el eje radical.

$\square$

Ya sólo nos falta ver que no hay más puntos equipotentes.

Proposición. Sean $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ circunferencias no concéntricas de de centros $O_1$ y $O_2$. Si $M$ es un punto en $O_1O_2$ equipotente a ambas circunferencias, entonces únicamente los puntos en la perpendicular a $O_1O_2$ por $M$ son equipotentes a las circunferencias.

Demostración. Primero veremos que el único punto en $O_1O_2$ que puede funcionar es $M$. Para ello, para buscar una contradicción supongamos que otro punto $N$ en la recta $O_1O_2$, con $N\neq M$ también cumple que $\text{Pot}(N,\mathcal{C}_1)=\text{Pot}(N,\mathcal{C}_2)$. Entonces, $$NO_1^2-r_1^2=NO_2^2-r_2^2.$$

Restando a esta ecuación la ecuación \eqref{eq:Mradical}, obtenemos que $$NO_1^2-MO_1^2 = NO_2^2-MO_2^2,$$ y por diferencia de cuadrados, $$(NO_1+MO_1)(NO_1-MO_1)=(NO_2+MO_2)(NO_2-MO_2).$$

Tenemos que $NO_1-MO_1=NO_1+O_1M=NM$ y lo análogo para $O_2$, de modo que $$(NO_1+MO_1)NM=(NO_2+MO_2)NM.$$

Como $N\neq M$, tenemos $NM\neq 0$ y lo podemos cancelar. $$NO_1+MO_1=NO_2+MO_2,$$

de donde sale la cuarta igualdad de la siguiente cadena:

\begin{align*}
O_2O_1&=O_2N+NO_1\\
&=-NO_2+NO_1\\
&=-MO_1+MO_2\\
&=O_1M+MO_2\\
&=O_1O_2.
\end{align*}

Obtenemos que $O_2O_1=O_1O_2$. ¡Esto es imposible, pues son segmentos dirigidos y $O_1\neq O_2$! Esta contradicción muesta que $M$ es el único punto en $O_1O_2$ equipotente a ambas circunferencias.

Para finalizar, supongamos que existe un punto $P’$ cualquiera del plano equipotente a $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$. Por la proposición de la proyección, la proyección $M’$ de $P’$ en $O_1O_2$ también es equipotente. Por lo que acabamos de mostrar, $M=M’$. Y así, $P’$ está en la perpendicular a $O_1O_2$ por $M$, como queríamos.

$\square$

Los ejes radicales por parejas de 3 circunferencias son concurrentes

Si tenemos tres circunferencias, entonces definen tres ejes radicales. Estos tres ejes radicales siempre concurren.

Teorema. Sean $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$ y $\mathcal{C}_3$ circunferencias de centros no colineales. Sea $e_1$ el eje radical de $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$. Sea $e_2$ el eje radical de $\mathcal{C}_2$ y $\mathcal{C}_3$. Sea $e_3$ el eje radical de $\mathcal{C}_3$ y $\mathcal{C}_1$. Las rectas $e_1,e_2,e_3$ son concurrentes.

Demostración. Consideremos 3 circunferencias $\mathcal{C}_1,\mathcal{C}_2$ y $\mathcal{C}_3$, cuyos centros son $O_1$, $O_2$ y $O_3$ no son colineales (en particular, son distintos). Tomemos los ejes radicales $e_1,e_2,e_3$ como en el enunciado.

Llamamos $P$ al punto de intersección de $e_1$ y $e_2$. Como $P$ está en $e_1$, entonces $\text{Pot}(P,\mathcal{C}_1)=\text{Pot}(P,\mathcal{C}_2)$ y como $P$ está en $e_2$, entonces $\text{Pot}(P,\mathcal{C}_2)=\text{Pot}(P,\mathcal{C}_3)$.

De esta manera, $$\text{Pot}(P,\mathcal{C}_1)=\text{Pot}(P,\mathcal{C}_3).$$ Esto muestra que también $P$ está en $e_3$. Por lo tanto, los 3 ejes radicales concurren en $P$.

$\square$

Construcción del eje radical

¿Cómo podemos dibujar el eje radical de dos circunferencias no concéntricas $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$, digamos, con regla y compás? Podemos seguir la idea que usamos cuando probamos que por lo menos existe un punto en el eje radical. Sean $O_1$ y $O_2$ los centros de estas circunferencias, respectivamente.

Dibujemos una circunferencia $\mathcal{C}$ que corte a las circunferencias $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$, en $A,A’$ y $B,B’$. Esto puede hacerse trazando el circuncírculo de $O_1$, $O_2$ y un punto fuera de ambas cirfunferencias. Sean $A$ y $A’$ las intersecciones de $\mathcal{C}$ con $\mathcal{C}_1$. Sean $B$ y $B’$ las intersecciones de $\mathcal{C}$ con $\mathcal{C}_2$. Tomemos $P$ la intersección de $AA’$ y $BB’$. Por lo que mostramos anteriormente, $P$ está en el eje radical de las circunferencias. Y además, también mostramos que la recta perpendicular a $O_1O_2$ por $P$ es el eje radical. Así, al trazar esta perpendicular, obtenemos el eje radical requerido.

Más adelante…

Se seguirá abordando el tema de potencia de un punto y el eje radical con respecto a las circunferencias ortogonales.

Al final de los temas de esta primera unidad se dejará unas series de ejercicios.

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Álgebra Lineal II: Ortogonalidad en espacios euclideanos

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

2 respuestas

Introducción

Anteriormente, cuando hablamos del espacio dual de un espacio vectorial, definimos qué quería decir que una forma lineal y un vector fueran ortogonales. Esa noción de ortogonalidad nos ayudó a definir qué era un hiperplano de un espacio vectorial y a demuestra que cualquier subespacio de dimensión $k$ de un espacio de dimensión $n$ podía ponerse como intersección de $n-k$ hiperplanos.

Hay otra noción de ortogonalidad en álgebra lineal que también ya discutimos en el primer curso: la ortogonalidad de parejas de vectores con respecto a un producto interior. En el primer curso vimos esta noción muy brevemente. Lo que haremos ahora es profundizar en esta noción de ortogonalidad. De hecho, gracias a las herramientas que hemos desarrollado podemos conectar ambas nociones de ortogonalidad.

Esta teoría la veremos de manera explícita en el caso real en la entrada. El caso en $\mathbb{C}$ queda esbozado en los ejercicios.

Definición de ortogonalidad

Comenzamos con las siguientes definiciones.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ y $b$ una forma bilineal de $V$. Diremos que dos vectores $x,y$ en $V$ son ortogonales (con respecto a $b$) si $b(x,y)=0$.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ y $b$ una forma bilineal de $V$. Sea $S$ un subconjunto de vectores de $V$. El conjunto ortogonal de $S$ (con respecto a $b$) consiste de todos aquellos vectores en $V$ que sean ortogonales a todos los vectores de $S$. En símbolos:

$$S^{\bot}:=\{v \in V : \forall s \in S, b(s,v)=0\}.$$

Es un buen ejercicio verificar que $S^\bot$ siempre es un subespacio de $V$. Finalmente, definimos la ortogonalidad de conjuntos.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ y $b$ una forma bilineal de $V$. Diremos que dos subconjuntos $S$ y $T$ son ortogonales (con respecto a $b$) si $S \subseteq T^{\bot}$.

En otras palabras, estamos pidiendo que todo vector de $S$ sea ortogonal a todo vector de $T$.

Observación. Si tenemos un espacio vectorial con producto interior $\langle \cdot, \cdot \rangle$ de norma $\norm{\cdot}$, entonces tenemos la fórmula $$\norm{x+y}^2=\norm{x}^2+2\langle x,y\rangle +\norm{y}^2.$$

De esta forma, $x$ y $y$ son ortogonales si y sólo si $$\norm{x+y}^2= \norm{x}^2+\norm{y}^2.$$ Podemos pensar esto como una generalización del teorema de Pitágoras.

Descomposición en un subespacio y su ortogonal

Comenzamos esta sección con un resultado auxiliar.

Teorema. Sea $V$ un espacio euclideano y $W$ un subespacio de $V$. Entonces $$V=W\oplus W^\bot.$$

Demostración. Sea $\langle \cdot,\cdot \rangle$ el producto interior de $V$. Para demostrar la igualdad que queremos, debemos mostrar que $W$ y $W^\bot$ están en posición de suma directa y que $V=W+W^\bot$.

Para ver que $W$ y $W^\bot$ están en posición de suma directa, basta ver que el único elemento en la intersección es el $0$. Si $x$ está en dicha intersección, entonces $\langle x, x \rangle =0$, pues por estar en $W^\bot$ debe ser ortogonal a todos los de $W$, en particular a sí mismo. Pero como tenemos un producto interior, esto implica que $x=0$.

Tomemos ahora un vector $v\in V$ cualquiera. Definamos la forma lineal $f:W\to \mathbb{R}$ tal que $f(u)=\langle u, v \rangle$. Por el teorema de representación de Riesz aplicado al espacio vectorial $W$ y a su forma lineal $f$, tenemos que existe un (único) vector $x$ en $W$ tal que $f(u)=\langle u, x \rangle$ para cualquier $u$ en $W$.

Definamos $y=v-x$ y veamos que está en $W^\bot$. En efecto, para cualquier $u$ en $W$ tenemos:

\begin{align*}
\langle u, y\rangle &= \langle u, v-x \rangle\\
&=\langle u, v \rangle – \langle u , x \rangle\\
&=f(u)-f(u)\\
&=0.
\end{align*}

De esta manera, podemos escribir $v=x+y$ con $x\in W$ y $y\in W^\bot$.

$\square$

En particular, el teorema anterior nos dice que la unión disjunta de una base de $W$ y una base de $W^\bot$ es una base de $V$. Por ello, tenemos el siguiente corolario.

Corolario. Sea $V$ un espacio euclideano y $W$ un subespacio de $V$. Entonces $$\dim{W}+\dim{W^\bot}=\dim{V}.$$

Tenemos un corolario más.

Corolario. Sea $V$ un espacio euclideano y $W$ un subespacio de $V$. Entonces $$(W^\bot)^\bot=W.$$

Demostración. Tanto $W$ como $(W^\bot)^\bot$ son subespacios de $V$. Tenemos que $W\subseteq (W^\bot)^\bot$ pues cualquier elemento de $W$ es ortogonal a cualquier elemento de $W^\bot$. Además, por el corolario anterior tenemos:

\begin{align*}
\dim{W}+\dim{W^\bot}&=\dim{V}\\
\dim{W^\bot}+\dim{(W^\bot)^\bot}&=\dim{V}.
\end{align*}

De aquí se sigue que $\dim{W} = \dim{(W^\bot)^\bot}$. Así, la igualdad que queremos de subespacios se sigue si un subespacio está contenido en otro de la misma dimensión, entonces deben de ser iguales.

$\square$

Proyecciones ortogonales

Debido al teorema anterior, podemos dar la siguiente definición.

Definición. Sea $V$ un espacio euclideano y $W$ un subespacio de $V$. La proyección ortogonal hacia $W$ es la transformación lineal $p_W:V\to W$ tal que a cada $v$ en $V$ lo manda al único vector $p_W(v)$ tal que $x-p_W(v)$ está en $W^\bot$.

Dicho en otras palabras, para encontrar a la proyección de $v$ en $W$ debemos escribirlo de la forma $v=x+y$ con $x\in W$ y $y\in W^\bot$ y entonces $p_W(v)=x$.

Distancia a subespacios

Cuando definimos la distancia entre conjuntos que tienen más de un punto, una posible forma de hacerlo es considerando los puntos más cercanos en ambos conjuntos, o en caso de no existir, el ínfimo de las distancias entre ellos. Esto da buenas propiedades para la distancia. En particular, cuando queremos definir la distancia de un punto $x$ a un conjunto $S$ hacemos lo siguiente.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial real con producto interior $\langle \cdot, \cdot \rangle$ de norma $\norm{\cdot}$. Sea $S$ un subconjunto de $V$ y $v$ un vector de $V$. Definimos la distancia de $v$ a $S$ como la menor posible distancia de $v$ hacia algún punto de $S$. En símbolos:

$$d(v,S):=\inf_{s\in S} d(v,s).$$

En general, puede ser complicado encontrar el punto que minimiza la distancia de un punto a un conjunto. Sin embargo, esto es más sencillo de hacer si el conjunto es un subespacio de un espacio con producto interior: se hace a través de la proyección al subespacio. Esto queda reflejado en el siguiente resultado.

Proposición. Sea $V$ un espacio euclideano con producto interior $\langle \cdot, \cdot \rangle$ de norma $\norm{\cdot}$. Sea $W$ un subespacio de $V$ y sea $v$ un vector en $V$. Entonces $$d(v,W)=\norm{v-p_W(v)}.$$

Más aún, $p_W(v)$ es el único punto en $W$ para el cual se alcanza la distancia mínima.

Demostración. Por el teorema de descomposición en un subespacio y su ortogonal, sabemos que podemos escribir $v=x+y$ con $x$ en $W$ y con $y$ en $W^\bot$.

Tomemos cualquier elemento $w$ en $W$. Tenemos que $x-w$ está en $W$ y que $y$ está en $W^\bot$. Así, usando el teorema de Pitágoras tenemos que:

\begin{align*}
\norm{v-w}^2&=\norm{y+(x-w)}^2\\
&=\norm{y}^2+\norm{x-w}^2\\
&\geq \norm{y}^2\\
&=\norm{v-x}^2.
\end{align*}

Esto muestra que $\norm{v-w}\geq \norm{v-x}$. Como $x\in W$, esto muestra que la distancia de $v$ a $W$ en efecto se alcanza con $x=p_W(v)$, pues cualquier otra distancia es mayor o igual.

La igualdad en la cadena anterior de alcanza si y sólo si $\norm{x-w}^2=0$, lo cual sucede si y sólo si $x=w$, como queríamos.

$\square$

Más adelante…

En la siguiente entrada recordaremos varias de las ventajas que tiene contar con una base de un espacio vectorial en la que cualesquiera dos vectores sean ortogonales entre sí. Y en la entrada después de esa, recordaremos algunas hipótesis bajo las cuales podemos garantizar encontrar una de esas bases.

Tarea moral

  1. Resuelve los siguientes ejercicios:
    1. Sea $\mathbb{R}^3$ con el producto interno canónico y $W=\{(0,0,a_3) : a_3 \in \mathbb{R} \}$. Encuentra a $W^{\bot}$ y define la proyección ortogonal $p_W$ hacia $W$.
    2. Encuentra el vector en $\text{Span}((1,2,1), (-1,3,-4))$ que sea el más cercano (respecto a la norma euclidiana) al vector $(-1,1,1)$.
  2. Sea $V$ un espacio euclidiano y $T : V \to V $ una transformación lineal tal que $T^2=T$. Prueba que T es una proyección ortogonal si y solo si para cualesquiera $x$ y $y$ en $V$ se tiene que $$\langle T(x),y\rangle =\langle x,T(y)\rangle.$$
  3. Resuelve los siguientes ejercicios:
    1. Demuestra que una proyección ortogonal reduce la norma, es decir, que si $T$ es una proyección ortogonal, entonces $\norm{T(v)}\leq \norm{v}$.
    2. Prueba que una proyección ortogonal únicamente puede tener como eigenvalores a $0$ ó a $1$.
  4. Demuestra que la composición de dos proyecciones ortogonales no necesariamente es una proyección ortogonal.
  5. En el teorema de descomposición, ¿es necesaria la hipótesis de tener un producto interior? ¿Qué sucede si sólo tenemos una forma bilineal, simétrica y positiva?

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»