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Álgebra Lineal II: Jordan para matrices nilpotentes

Introducción

En la nota anterior resolvimos varios problemas para introducir los bloques de Jordan. Comenzaremos resolviendo el siguiente problema:

Problema 1: Sea $T \colon V \to V$ una transformación lineal nilpotente con índice $k$ en un espacio vectorial, sea $v \in V$ y sea $$W = \langle(v,T(v), \ldots, T^{k-1}(v))\rangle$$

  1. Prueba que $W$ es invariante bajo $T$.
  2. Prueba que si $T^{k-1}(v) \neq 0$, entonces $T^{k-1}(v), T^{k-2}(v), \ldots , T(v), v$ forman una base de $W$ (por lo que $\dim(W) = k$) y la matriz de la transformación lineal $T \colon W \to W$ con respecto a esta base es $$J_{k} = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}$$

Esta matriz se llama un bloque de Jordan de tamaño $k$ (nota que $J_{1} = O_{1}$, la matriz de $1 \times 1$ con una entrada igual a 0).

Solución.

  1. Cualquier elemento de $W$ es de la forma $$w = a_{0}v + a_{1}T(v) + \cdots + a_{k-1}T^{k-1}(v)$$ Dado que $T^{k}(v) = 0$, tenemos $$T(w) = a_{0}T(v) + \cdots + a_{k-2}T^{k-1}(v) \in W,$$ por lo que $W$ es invariante bajo $T$.
  2. Si $T^{k-1}(v) \neq 0$, la parte 1 del problema 2 en (hipervínculo nota introducción) nos muestra que $T^{k-1}(v), \ldots , T(v), v$ es una familia linealmente independiente y como también genera $W$, es una base de $W$. Más aún, como $T^{k}(v) = 0$ y $T(T^{i}(v)) = T^{i+1}(v)$ para $k-2 \geq i \geq 0$, es claro que la matriz de $T \colon W \to W$ respecto a esta base es $J_{k}$.

El principal teorema que concierne a transformaciones lineales nilpotentes en espacios vectoriales de dimensión finita es el siguiente:

Teorema de Jordan

Teorema de Jordan (1): Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo $F$ y sea $T \colon V \to V$ una transformación lineal nilpotente. Entonces hay una base de $V$ respecto a la cual la matriz de $T$ es de la forma $$A = \begin{pmatrix}J_{k_{1}} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & J_{k_{2}} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & J_{k_{d}} \end{pmatrix}$$ para alguna sucesión de enteros positivos $k_{1} \geq k_{2} \geq \cdots \geq k_{d}$ con $k_{1} + \cdots + k_{d} = n$. Más aún, la sucesión $(k_{1}, \ldots , k_{d})$ está determinada de forma única.

Podemos escribir el teorema anterior en términos de matrices:

Teorema de Jordan (2): Cualquier matriz nilpotente $A \in M_{n}(F)$ es similar a una matriz diagonal por bloque $\begin{pmatrix}J_{k_{1}} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & J_{k_{2}} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & J_{k_{d}} \end{pmatrix}$ para una sucesión única de enteros positivos $(k_{1}, \ldots , k_{d})$ con $k_{1} \geq k_{2} \geq \cdots \geq k_{d}$ y $k_{1} + \cdots + k_{d} = n$.

La matriz $\begin{pmatrix}J_{k_{1}} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & J_{k_{2}} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & J_{k_{d}} \end{pmatrix}$ se llama la forma canónica de Jordan de $A$ o $T$.

Los siguientes problemas están dedicados a la demostración de este teorema. Empezaremos con la unicidad de la sucesión $(k_{1}, \ldots , k_{d})$. La prueba que daremos en los siguientes tres problemas, también muestra cómo calcular explícitamente estos enteros y por lo tanto, cómo encontrar en la práctica la forma de Jordan de matrices nilpotentes.

Problemas para probar Jordan (unicidad)

Problema 2: Sea $T$ la transformación lineal en $F^{n}$ asociada con el bloque de Jordan $J_{n}$. Prueba que para toda $1 \leq k \leq n – 1$ tenemos $$rango\left(T^{k}\right) = n – k$$ y deduce que $$rango\left(J_{n}^{k}\right) = n – k$$ para $1 \leq k \leq n – 1$.

Solución. Si $e_{1}, \ldots, e_{n}$ es la base canónica de $F^{n}$, entonces $T(e_{1}) = 0$, $T(e_{2}) = e_{1}$, $T(e_{3}) = e_{2}$, …, $T(e_{n}) = e_{n-1}$.

En otras palabras, se tiene que $T(e_{i}) = e_{i-1}$ para $1 \leq i \leq n$ con $e_{0} = 0$. Deducimos que $T^{2}(e_{i}) = T(e_{i-1}) = e_{i-2}$ para $1 \leq i \leq n$, con $e_{- 1} = 0$.

Una inducción nos lleva a que $T^{j}(e_{i}) = e_{i-j}$ para $1 \leq j \leq n-1$ y $1 \leq i \leq n$, con $e_{r} \leq 0$. De donde $$Im(T^{j}) = \langle (e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n-j}) \rangle$$ y este espacio es de dimensión $n-j$, lo cual implica que $$rango(T^{k}) = n-k$$ para $1 \leq k \leq n-1$.

La segunda parte es consecuencia inmediata de la primera (¿Por qué?).

$\square$

Problema 3: Supóngase que $A \in M_{n}(F)$ es similar a $\begin{pmatrix}J_{k_{1}} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & J_{k_{2}} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & J_{k_{d}} \end{pmatrix}$.

Sea $N_{j}$ el número de términos iguales a $j$ en la secuencia $(k_{1}, \ldots , k_{d})$. Prueba que para toda $1 \leq j \leq n$, $$rango(A^{j}) = N_{j+1} + 2N_{j+2} + \cdots + (n-j)N_{n}.$$

Solución. Si $A_{1}, \ldots, A_{d}$ son matrices cuadradas, entonces $$rango\left(\begin{pmatrix}A_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & A_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & A_{d} \end{pmatrix}\right) = rango(A_{1}) + \cdots + rango(A_{d}).$$

Puedes probarlo usando el hecho de que el rango de una matriz es la dimensión del generado por su conjunto de columnas/filas (o el número de columnas/filas linealmente independientes). Dado que matrices similares tienen el mismo rango, deducimos que para toda $j \geq 1$ tenemos $$rango(A^{j}) = rango \left( \begin{pmatrix}J^{j}_{k_{1}} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & J^{j}_{k_{2}} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & J^{j}_{k_{d}} \end{pmatrix}\right) = \sum_{i=1}^{d} rango(J^{j}_{k_{i}}).$$

Por el problema anterior, $rango(J^{j}_{k_{i}}) = k_{i} – j$ si $j \leq k_{i}$ y 0 si pasa otra cosa. De donde, como $N_{t}$ es el número de índices $i$ para los cuales $k_{i} = t$, tenemos $$\sum_{i=1}^{d} rango(J^{j}_{k_{i}}) = \sum_{t \geq j} \sum_{k_{i} = t} rango(J^{j}_{t})$$ $$= \sum_{t \geq j} N_{t} \cdot (t – j) = N_{j+1} + 2N_{j+2} + \cdots + (n-j)N_{n}$$

$\square$

Problema 4: Prueba que si $k_{1} \geq \cdots \geq k_{d}$ y $k’_{1} \geq \cdots \geq k’_{d}$, son sucesiones de enteros positivos que suman $n$ y tales que $A = \begin{pmatrix}J_{k_{1}} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & J_{k_{2}} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & J_{k_{d}} \end{pmatrix}$ es similar a $B = \begin{pmatrix}J_{k’_{1}} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & J_{k’_{2}} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & J_{k’_{d}} \end{pmatrix}$, entonces las sucesiones son iguales. Esta es la unicidad del teorema de Jordan.

Solución. Sea $N_{j}$ el número de términos iguales a $j$ en la sucesión $k_{1}, \ldots, k_{d})$, y definamos de una manera similar a $N’_{j}$ para la sucesión $k’_{1}, \ldots, k’_{d})$. Tenemos que probar que $N_{j} = N’_{j}$ para $1 \leq j \leq n$.

Dado que $A$ y $B$ son similares, $A^{j}$ y $B^{j}$ son similares para toda $j \geq 1$, por lo que tienen los mismos rangos. Usando el problema 3, deducimos que $$N_{j+1} + 2N_{j+2} + \cdots + (n-j)N_{n} = N’_{j+1} + 2N’_{j+2} + \cdots + (n-j)N’_{n}$$ para $j \geq 1$. Fijar $j = n – 1$ nos da que $N_{n} = N’_{n}$, luego si fijamos $j = n – 2$ y usamos que $N_{n} = N’_{n}$ tenemos que $N_{n-1} = N’_{n-1}$. Si continuamos así, tendremos que $N_{j} = N’_{j}$ para $2 \leq j \leq n$.

Todavía nos falta probar que $N_{1} = N’_{1}$, pero esto se sigue de $$N_{1} + 2N_{2} + \cdots + nN_{n} = N’_{1} + 2N’_{2} + \cdots + nN’_{n} = n,$$ ya que $$k_{1} + \cdots + k_{d} = k’_{1} + \cdots + k’_{d} = n.$$

Observación. Los dos problemas anteriores muestran como calcular la sucesión $(k_{1}, \ldots , k_{d})$ en práctica. Concretamente, lo redujimos a calcular $N_{1}, \ldots, N_{n}$. Para esto, usamos la igualdad $$rango(A^{j}) = N_{j+1} + 2N_{j+2} + \cdots + (n-j)N_{n}$$ para $1 \leq j \leq n$ (basta tomar a $j \leq k$ si $A$ tiene índice $k$, nota que en la igualdad anterior para $j = k$ ya tenemos que $N_{k+1} = \cdots = N_{n} = 0$). Esto determina completamente a $N_{2}, \ldots, N_{n}$. Para encontrar a $N_{1}$, usaremos la siguiente igualdad: $$N_{1} + 2N_{2} + \cdots + nN_{n}.$$

Ejemplo. Para un ejemplo específico, considera la matriz $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$

Puedes checar fácilmente que la matriz es nilpotente pues $$A^{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -4 & 8 \\ 0 & 0 & -4 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ y $A^{3} = O_{3}$. Es decir, $A$ tiene índice $k = 3$. De ahí, se tiene que $N_{4} = 0$ y $$N_{1} + 2N_{2} + 3N_{3} = 4.$$

Ahora, fíjate que el rango de $A$ es 2, ya que la primera y la segunda filas son idénticas, la última fila es la mitad de la tercera, y la primera y la tercera son linealmente independientes. Por lo que $$2 = rango(A) = N_{2} + 2N_{3} + 3N_{4} = N_{2} + 2N_{3}$$

Ahora, como el rango de $A^2$ es 1 (porque sólo hay una fila linealmente independiente) tenemos que $1 = rango(A^{2}) = N_{3} + 2N_{4} = N_{3}.$

Por lo que $N_{1} = 1$, $N_{2} = 0$, $N_{3} = 1$, $N_{4} = 0$ y así, la forma normal de Jordan de $A$ es $$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Existencia

Ya probamos la unicidad del teorema de Jordan, falta probar la existencia, lo cual es mucho más difícil. La idea básica no es muy impactante: Trabajamos con inducción fuerte sobre la dimensión de $V$, el caso en que $\dim(V) = 1$ es claro (Pues entonces T = 0). Supongamos que el resultado es cierto para $\dim(V) < n$ y consideremos el caso en el que $\dim(V) = n$. Supongamos que $T \neq 0$ ya que si así fuera, ya habríamos terminado. Sean $k_{1} = k$ el índice de $T$ y $v \in V$ tal que $T^{k-1}(v) \neq 0$. Por el problema 1, el subespacio $$W = \langle(v, T(v), \ldots, T^{k-1}(v)) \rangle$$ es T-invariante, lo cual actúa sobre él como la matriz $J_{k}$ sobre $F^{k}$. Más aún, $\dim(W) = k$. Si $k = n$, entonces hemos terminado. Si no, buscamos un subespacio complementario $W’$ de $W$ que sea invariante bajo $T$. Si pudiéramos encontrar dicho espacio $W’$, entonces podríamos aplicar la hipótesis de inducción a $T \colon W’ \to W$ (nota que su índice no excede $k_{1}$) y encontrar una base de $W’$ en la cual la matriz de $T$ tiene la forma deseada. Conectar la base $T^{k-1}(v), \ldots, T(v), v$ y esta base de $W’$ nos llevaría a la base deseada de $V$ y terminaríamos la inducción. La dificultad clave es probar la existencia de $W’$. Haremos esto con los siguientes dos problemas:

Problema 5:

  1. Prueba que si $A \in M_{n}(F)$ es nilpotente, entonces $^{t}A$ es nilpotente y tiene el mismo índice que $A$.
  2. Supongamos que $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita sobre $F$. Prueba que si $T \colon V \to V$ es nilpotente, entonces $^{t}T \colon V^{*} \to V^{*}$ también es nilpotente y tiene el mismo índice que $T$.

Solución.

  1. Para toda $k \geq 1$ tenemos $$(^{t}A)^{k} = ^{t}(A^{k})$$ así $(^{t}A)^{k} = O_{n}$ si y sólo si $A^{k} = O_{n}$. Y así se sigue el resultado que queríamos.
  2. Sea $\beta$ una base de $V$ y sea \beta^{*} la base dual respecto a $\beta$. Si $A$ es la matriz de $T$ con respecto a $\beta$, entonces la matriz de $^{t}T$ con respecto a $\beta^{*}$ es $^{t}A$, por el siguiente teorema (que se vio en _____): Sea $T \colon V \to W$ una transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita y sean $\beta$ y $\beta^{*}$ dos bases de $V$ y $W$ respectivamente. Si $A$ es la matriz de $T$ con respecto a $\beta$ y $\beta’$, entonces la matriz de $^{t}T \colon W^{*} \to V^{*}$ con respecto a las bases duales de $\beta’$ y $\beta$ es $^{t}A$. Luego, por la primera parte de este problema. Podríamos haberlo probado de forma directa como sigue: Si $k \geq 1$, entonces $(^{t}T)^{k} = 0$ si y sólo si $(^{t}T)^{k}(l) = 0$ para toda $l \in V^{*}$, de forma equivalente $l \circ T^{k} = 0$ para toda $l \in V^{*}$. Esto puede escribirse como: Para toda $v \in V$ y toda $l \in V^{*}$ tenemos que $l(T^{k}(v)) = 0$. Ahora, la afirmación de que $l(T^{k}(v)) = 0$ para toda $l \in V^{*}$ es equivalente a $T^{k}(v) = 0$, por inyectividad de la función bidual $V \to V^{**}$. De ahí, $(^{t}T)^{k} = 0$ si y sólo si $T^{k} = 0$, y esto pasa aún cuando $V$ es de dimensión infinita. En otras palabras, la segunda parte de este problema es cierto en general (pero la prueba requería la inyectividad de la función $V \to V^{**}$, lo cual es difícil y no estaba dado para espacios vectoriales de dimensión infinita).

$\square$

Problema 6: Sean $T \colon V \to V$ una transformación nilpotente de índice $k$ en un espacio vectorial de dimensión finita $V$ y $v \in V$ tal que $T^{k-1}(v) \neq 0$. Denotamos por simplicidad $S = ^{t}T \colon V^{*} \to V^{*}$ y recordemos que $S$ es nilpotente de índice $k$ por el problema anterior.

  1. Explica por qué podemos encontrar una forma lineal $l \in V^{*}$ tal que $l(T^{k-1}(v)) \neq 0$.
  2. Prueba que el ortogonal de $W’$ de $Z = \langle l, S(l), \ldots, S^{k-1}(l) \rangle \subset V^{*}$ es invariante bajo $T$.
  3. Prueba que $\dim(W’) + \dim(W) = \dim(V)$.
  4. Deduce que $W’ \oplus W = V$, de donde $W’$ es un subespacio complementario de $W$, estable bajo $T$. ¡Esto termina la prueba del Teorema de Jordan!

Solución.

  1. Esta es una consecuencia directa de la inyectividad (en realidad de la biyectividad porque nuestro espacio es de dimensión finita) de la función bidual $V \to V^{**}$.
  2. Intentemos entender concretamente al espacio $Z^{\perp}$. Un vector $x$ está en $Z^{\perp}$ si y sólo si $S^{j}(l)(x) = 0$ para $0 \leq j \leq k-1$. Dado $S = T^{*}$, tenemos $$S^{j}(l)(x) = (l \circ T^{j})(x) = l(T^{j}(x)),$$ así $$Z^{\perp} = \{x \in V : l(T^{j}(x)) = 0 \text{ para toda } 0 \leq j \leq k-1\}.$$ Ahora, sea $x \in Z^{\perp}$ y probemos que $T(x) \in Z^{\perp}$, es decir, que $$l(T^{j}(T(x))) = 0$$ para $0 \leq j \leq k-1$, o de forma equivalente $l(T^{j}(x)) = 0$ para $1 \leq j \leq k$. Esto es claro para $1 \leq j \leq k-1$, dado que $x \in Z^{\perp}$, y es verdadero para $j = k$ por la suposición de que $T^{k} = 0$.
  3. Por el Teorema 6.22 en el Titu tenemos que $$\dim(W’) = \dim(Z^{\perp}) = \dim(V^{*}) – \dim(Z) = \dim(V) – \dim(Z).$$ Por lo tanto, basta probar que $\dim(Z) = \dim(W)$. Ahora $\dim(W) = k$ por el Problema 1, y $\dim(Z) = k$ por el mismo problema aplicado a $V^{*}$, $S$ (quien es nilpotente de índice $k$) y $l$ (nota que $S^{k-1}(l) = l \circ T^{k-1} \neq 0$ dado que $l(T^{k-1}(v)) \neq 0$). Por lo que $\dim(W’) + \dim(W) = \dim(V)$.
  4. Por la parte 3. basta probar que $W’ \cap W = \{0\}$. Sea $w \in W$ y escribamos $$w = a_{0}v + a_{1}T(v) + \cdots + a_{k-1}T^{k-1}(v)$$ para algunos escalares $a_{0}, \ldots, a_{k-1}$. Supongamos que $w \in W’$, así $w \in Z^{\perp}$, lo cual significa que $l(T^{j}(w)) = 0$ para $0 \leq j \leq k-1$. Tomando $j = k-1$ y usando el hecho de que $T^{m} = 0$ para $m \geq k$ se obtiene que $$a_{0}l(T^{k-1}(v)) = 0.$$ Dado que $l(T^{k-1}(v)) \neq 0$, debemos tener que $a_{0} = 0$. Tomando $j = k-2$ obtenemos de forma similar que $a_{1}l(T^{k-1}(v)) = 0$ y por lo tanto $a_{1} = 0$. Procediendo inductivamente obtendremos que $a_{0} = \cdots = a_{k-1} = 0$ y así $w = 0$. Con esto hemos terminado de resolver el problema.

$\square$

Tarea moral

  1. Sean $T \colon V \to V$ transformaciones lineales en un espacio vectorial de dimensión finita tal que para todo $v \in V$ existe un entero positivo $k$ tal que $T^{k}(v) = 0$. Prueba que $T$ es nilpotente.
  2. Describe las posibles formas canónica de Jordan para una matriz nilpotente $A \in M_{4}(F)$.
  3. Encuentra, por similaridad, todas las matrices nilpotentes de $3 \times 3$ con entradas en los reales.

Más adelante…

Hasta ahora hemos visto cómo funciona Jordan para matrices nilpotentes pero nos gustaría conocer qué más puede pasar, si podemos llevar este tema a un terreno más general y eso es lo que haremos en las siguientes notas.

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Álgebra Lineal II: Introducción a forma canónica de Jordan

Introducción

En esta última unidad usaremos las herramientas desarrolladas hasta ahora para enunciar y demostrar uno de los teoremas más hermosos y útiles en álgebra lineal: el teorema de la forma canónica de Jordan. Posteriormente, daremos algunas aplicaciones. Una de ellas es que nos permitirá clasificar a todas las matrices por similaridad.

A continuación describimos a grandes rasgos los temas que encontrarás en esta unidad.

Transformaciones y matrices nilpotentes

Bloques de Jordan

Teorema de formas canónicas de Jordan

Aplicaciones del teorema de Jordan

Tarea moral

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