Álgebra Lineal II: Introducción a forma canónica de Jordan

Introducción

En esta sección usaremos resultados probados anteriormente para demostrar un resultado hermoso e importante: El teorema de Jordan. Después lo usaremos para clasificar matrices en $M_{n}(\mathbb{C})$ según a qué sean similares.

Trabajaremos sobre cualquier campo $F$ pero tú puedes asumir que $F = \mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ si quieres.

Hemos estudiado varias clases importantes de matrices: diagonales, triangulares superiores, simétricas, ortogonales, etc. Es momento de aprender sobre otro tipo fundamental de matrices y de transformaciones lineales:

Matrices nilpotentes

Definición:

  1. Sea $V$ un espacio vectorial sobre un espacio $F$ y sea $T \colon V \to V$ una transformación lineal. Decimos que $T$ es nilpotente si $T^{k} = 0$ para alguna $k \geq 1$, donde $T^{k} = T \circ T \circ \cdots \circ T$ ($k$ veces). El entero positivo más pequeño $k$ que cumple eso se llama el índice de $T$. Entonces, si $k$ es el índice de $T$, entonces $T^{k} = 0$ pero $T^{k-1} \neq 0$.
  2. Una matriz $A \in M_{n}(F)$ se llama nilpotente si $A^{k} = O_{n}$ para alguna $k \geq 1$. El entero positivo más pequeño $k$ que cumple eso se llama el índice de $A$.

Si $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita sobre $F$, $\beta$ es una base de $V$ y $T \colon V \to V$ es una transformación lineal cuya matriz respecto a $\beta$ es $A \in M_{n}(F)$, entonces la matriz de $T^{k}$ con respecto a $\beta$ es $A^{k}$. Se sigue que $T$ es nilpotente si y sólo si $A$ es nilpotente, y en este caso el índice de $T$ es igual al índice de $A$.

En particular, cualquier matriz similar a una matriz nilpotente es nilpotente y tiene el mismo índice. Esto puede probarse rápidamente de la siguiente manera: si $A$ es nilpotente, $P$ es invertible y $B = PAP^{-1}$, procediendo inductivamente podemos ver que

$$B^{k} = PA^{k}P^{-1}$$

para todo $k \geq 1$, así, $B^{k} = O_{n}$ si y sólo si $A^{k} = O_{n}$, estableciendo el enunciado anterior.

Problemas

Problema 1: Sean $T_{1}$, $T_{2}$ dos transformaciones en un espacio vectorial $V$ y supongamos que $T_{1} \circ T_{2} = T_{2} \circ T_{2}$. Si $T_{1}$, $T_{2}$ son nilpotentes, entonces también lo son $T_{1} \circ T_{2}$ y $T_{1} + T_{2}$.

Solución. Supóngase sin pérdida de generalidad que $T^{k_{1}}_{1} = 0$ y $T^{k_{2}}_{2} = 0$ para algunos $k_1$, $k_2 \geq 1$. Entonces, si $k = k_{1} + k_{2}$ se tiene que $T^{k}_{1} = T^{k}_{2} = 0$. Dado que $T_1$ y $T_2$ conmutan, obtenemos que

$$(T_1 \circ T_2)^{k} = T^{k}_{1} \circ T^{k}_{2} = 0$$

y

$$(T_{1} + T_{2})^{2k} = \sum_{i = 0}^{2k} \begin{pmatrix}
2k \\
k
\end{pmatrix} T^{2k-i}_{1} T^{i}_{2}$$

Para cada $0 \leq i \leq k$ tenemos que $T^{2k-i}_{1} = 0$ y para cada $i \in [k + 1, 2k]$ tenemos $T^{i}_{2} = 0$. De donde $T^{2k-i}_{1}T^{i}_{2} = 0$ para todo $0 \leq i \leq 2k$ y así $(T_{1} + T_{2})^{2k} = 0$, es decir, $T_{1} + T_{2}$ es nilpotente.

$\square$

Observación:

  1. Análogamente (en realidad, en consecuencia del problema anterior), la suma o el producto de dos matrices nilpotentes que conmutan es una matriz nilpotente.
  2. El resultado del problema anterior deja de ser cierto si no asumimos que $T_{1}$ y $T_{2}$ conmutan: las matrices $\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ son nilpotentes, pero su suma no es nilpotente; también las matrices $\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ son nilpotentes, pero su producto no lo es.
  3. Se sigue del punto anterior que las matrices nilpotentes en $M_{n}(F)$ no forman un subespacio vectorial de $M_{n}(F)$. Un ejercicio desafiante para ti sería probar que el subespacio vectorial de $M_{n}(F)$ generado por las matrices nilpotentes es precisamente el conjunto de las matrices con traza 0.

El resultado que se establece en el siguiente problema es muy importante:

Problema 2:

  1. Sea $T \colon V \to V$ una transformación nilpotente de índice $k$ y sea $v \in V$ un vector tal que $T^{k-1}(v) \neq 0$. Prueba que la familia $(v , T(v), \ldots, T^{k-1}(v))$ es linealmente independiente en $V$.
  2. Deduce que si $V$ es de dimensión finita entonces el índice de cualquier transformación nilpotente en $V$ no excede a $\dim(V)$.
  3. Prueba que si $A \in M_{n}(F)$ es nilpotente, entonces su índice no excede $n$.

Solución.

  1. Supongamos que \begin{equation} \label{eq1} a_{0}v + a_{1}T(v) + \cdots + a_{k-1}T^{k-1}(v) = 0\end{equation} para algunos escalares $a_{0}, \ldots , a_{k-1}$. Aplicando $T^{k-1}$ a esta igualdad y considerando que $T^{j} = 0$ para $j \geq k$ se tiene que \begin{equation} \label{eq2} a_{0}T^{k-1}(v) + 0 + \cdots + 0 = 0\end{equation} y dado que $T^{k-1}(v) \neq 0$, obtenemos que $a_{0} = 0$. Aplicando ahora $T^{k-2}$ a la igualdad \eqref{eq1} se obtiene que $a_{1}T^{k-1}(v) = 0 y así $a_{1} = 0$. Procediendo inductivamente (se te invita cordialmente a hacer la inducción) se tiene que $a_{0} = \cdots = a_{k-1} = 0$.
  2. Supongamos que $T$ es nilpotente en $V$, y que tiene índice $k$. Parte del inciso anterior nos muestra que $V$ contiene una familia linealmente independiente con $k$ elementos, por lo que $\dim(V) \geq k$ y hemos terminado.
  3. Esto se sigue del inciso anterior aplicado a $V = F^{n}$ y la transformación lineal $T \colon V \to V$ tal que $X \mapsto AX$ (usando la Observación precedente al problema, la cual muestra que $A$ y $T$ tienen el mísmo índice).

Tarea moral

  1. Prueba que la única matriz nilpotente diagonalizable es la matriz nula.
  2. Prueba que todos los valores propios de una matriz nilpotente son cero.

Más adelante…

Usando los problemas anteriores, estamos listos para estudiar un tipo fundamental de matriz nilpotente: Bloques de Jordan.

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