Álgebra Lineal II: Repaso de bases ortogonales y Gram-Schmidt

Introducción

En esta última parte de la unidad revisaremos la definición y aplicaciones de bases ortogonales, además veremos el proceso de Gram-Schmidt, lo repasaremos de una manera un tanto superficial ya que en estas entradas (Bases ortogonales, Bases ortogonales y descomposición de Fourier, Proceso de Gram-Schmidt y Problemas de bases ortogonales y proceso de Gram-Schmidt) lo estudiamos un poco más a fondo.

Continuando con lo visto en la entrada anterior, juntaremos dos definiciones ya revisadas para estudiar un poco más de ellas, concluiremos esta unidad revisando todas estas definiciones esta vez para espacios vectoriales complejos.

Familias ortogonales

Entendamos en esta entrada a $V$ un espacio vectorial real con producto interno $<,>$ y su norma asociada $||\cdot||$.

Definición

Una familia de vectores $(v_i)_{i \in I} \subseteq V$ es ortogonal si
\begin{align*} <v_i,v_j>=0 \qquad \forall i \neq j \in I. \end{align*}
Donde $I$ es un conjunto de indices cualquiera.

Más aún, a $(v_i)_{i \in I}$ le llamaremos ortonormal si es ortogonal y
\begin{align*} ||v_i||=\sqrt{<v_i,v_i>}=1 \qquad \forall i \in I.\end{align*}
Una base $\beta$ será una base ortogonal si es una familia ortogonal.

Y una base $\beta$ será base ortonormal si es una familia ortonormal.

Como siempre, sería conveniente conocer ejemplos de estos cuatro conjuntos podemos pensar en dos muy sencillos.

Si $V= \mathbb{R}^n$ su base canónica $\{ e_1, \cdots , e_n \}$ es una base ortonormal y $\{ 2e_1, \cdots , 2e_n \}$ es una base ortogonal, puedes notar la similitud de ambas, ¿Será que siempre que tenemos un base ortogonal podemos obtener una ortonormal?

Afortunadamente la respuesta es que sí, si $\beta=\{ u_1, \cdots , u_n \}$ es una base ortogonal entonces
\begin{align*} \beta’=\{ \frac{u_1}{||u_1||}, \cdots , \frac{u_n}{||u_n||} \} \end{align*}
Es una base ortonormal

Una propiedad sumamente importante de los conjuntos ortogonales es vista en la siguiente proposición demostrada aquí.

Proposición

Sea $V$, cualquier familia ortogonal $(v_i)_{i \in I} \subseteq V$ es linealmente independiente.

Más aún, esto nos da otro criterio para encontrar bases.

Corolario

Toda familia ortogonal sin vectores cero en un espacio euclidiano de dimensión $n$ tiene a lo más $n$ elementos.
Más aún, una familia ortogonal $(v_i)_{i \in I}$ tiene $n$ elementos si y solo si es una base ortogonal.

La demostración a este resultado la puedes encontrar repartida en varios pedazos en esta entrada, veamos una idea rápida, como toda familia ortogonal es linealmente independiente si suponemos que hay una que tiene más de $n$ elementos esto diría que $V$ tiene dimensión $n+1$ que sería contradictorio, también sabemos que una base es un conjunto linealmente independiente con $dim(V)$ elementos lo que ayuda a la demostración la doble implicación.

Recordemos ahora la descomposición de Fourier.

Definición

Sea $V$ euclidiano de dimensión $n$ y $\beta = \{u_1, \cdots , u_n\} $ una base ortonormal, entonces $\forall v \in V$ la descomposición de Fourier de $v$ respecto a $\beta$ es
\begin{align*} v=\sum_{i=1}^n<v,e_i>e_i.\end{align*}
Algo que debes notar es que no sabemos si algún vector de $V$ se puede descomponer de esta manera, para ello veamos el siguiente resultado.

Proposición

Sea $V$ euclidiano de dimensión $n$ y $\beta=\{u_1, \cdots , u_n\}$ una base ortonormal, entonces $\forall v \in V$
\begin{align*} v=\sum_{i=1}^n<v,u_i>u_i.\end{align*}
De nuevo, la demostración completa la puedes encontrar aquí (Aplicaciones de bases ortogonales y descomposición de Fourier), pero revisemos una idea rápida.

Empezaremos demostrando que si $v \in V$ es tal que $v=\sum_{i=1}^nu_iv_i$ entonces para cualquier $i \in \{1, \cdots , n \}$ $v_i=<v,u_i>$, así calculemos este producto.
\begin{align*} <v,u_i>=<\sum_{j=1}^nu_jv_j,u_i>\end{align*}
Utilizando la linealidad de $<.>$ en la primera entrada
\begin{align*} <v,u_i>=\sum_{j=1}^nv_j<u_j,u_i>\end{align*}
y como sabemos que $\beta$ es ortogonal, se tiene que si $j \neq i $ entonces $<u_j,u_i>=0$ por lo que de esta suma el único coeficiente no cero es $<u_i,u_i>$, más aún como $\beta$ es ortonormal tenemos que $<u_i,u_i>=1$, por lo tanto
\begin{align*} <v,u_i>=v_i.\end{align*}
Finalmente, la descomposición de Fourier puede ser utilizada para calcular la proyección respecto a algún conjunto $W$ ($p_W$) que vimos en la entrada anterior, esto queda reflejado en el siguiente resultado.

Proposición

Sea $V$ y $W \subseteq V$ subespacio de dimensión finita y $\beta= \{u_1 , \cdots u_n \}$ una base ortogonal de $W$, entonces $\forall v \in V$
\begin{align*} p_W(v) = \sum_{I=1}^n \frac{<v,v_i>}{||v_i||^2}v_i.\end{align*}
Como te imaginarás la demostración de este resultado está aquí (Problemas de bases ortogonales, Fourier y procesos de Gram-Schmidt).

Proceso de Gram-Schmidt

De este último resultado podemos obtener la siguiente proposición.

Proposición (Desigualdad de Bessel)

Sea $V$ y $W \subseteq V$ subespacio de dimensión finita y $\beta= \{u_1 , \cdots u_n \}$ una base ortonormal de $W$, entonces $\forall v \in V$
\begin{align*} p_W(v) = \sum_{I=1}^n <v,v_i>v_i.\end{align*}
Y
\begin{align*} d(v,W)^2=||v-\sum_{I=1}^n <v,v_i>v_i||^2=||v||^2-\sum_{I=1}^n <v,v_i>^2. \end{align*}
En particular
\begin{align*} ||v||^2 \geq \sum_{I=1}^n <v,v_i>^2. \end{align*}
La demostración igualmente está en la entrada Problemas de bases ortogonales, Fourier y procesos de Gram-Schmidt.

Terminaremos con dos resultados sumamente importantes.

Primero, quisiéramos garantizar que, en todo espacio euclídeo se puede encontrar una base ortonormal, para ello el siguiente resultado.

Proposición

Todo espacio euclidiano tiene una base ortonormal.

Y de hecho no lo probamos directamente, vimos una versión más fuerte e incluso un algoritmo de cómo encontrar esta base, esto es conocido como el proceso de Gram-Schmidt.

Proposición (Teorema de Gram-Schmidt)

Sea $V$ (no necesariamente de dimensión finita) y $\{u_1 , \cdots u_n \}$ un conjunto linealmente independiente, entonces existe $\{e_1 , \cdots e_n \}$ una única familia ortonormal tal que
\begin{align*} span(u_1, \cdots , u_n)=span(e_1, \cdots , e_n)\end{align*}
Y
\begin{align*} \langle e_k,u_k \rangle > 0\end{align*}
Para cualquier $k \in \{1, \cdots , n\}$.

Como en las proposiciones anteriores, la demostración está aquí (Proceso de Gram-Schmidt), aplicándolo a nuestro problema en específico, si $\{u_1 , \cdots u_n \}$ es una base (lo que implicaría que $V$ es euclídeo) entonces siempre se puede encontrar $\{e_1 , \cdots e_n \}$ una única familia ortonormal, que en particular al ser ortogonal garantiza que es linealmente independiente y esto junto al hecho de que tiene $n$ elementos en un espacio de dimensión $n$ garantiza que es una base.

Aunque no hayamos visto la demostración aquí, vale la pena recordar el proceso de Gram-Schmidt.

Si tenemos una base $\{u_1 , \cdots u_n \}$, definiremos
\begin{align*} f_k=v_k-\sum_{i=1}^{k-1}<v_k,e_i>e_i\end{align*}
Y obtendremos $e_k$ como sigue
\begin{align*} e_k=\frac{f_k}{||f_k||}\end{align*}
Para cualquier $k \in \{1,\cdots , n \}$, de esta manera el nuevo conjunto que formemos $\{e_1 , \cdots e_n \}$ es una base ortonormal

Ejemplo

Sea $V$ el espacio de polinomios en $[0,1]$ con coeficientes reales de grado a lo más 2, con el producto interior
\begin{align*}\langle p,q \rangle =\int_0^1 p(x)q(x) dx. \end{align*}

Sean $v_1=1$, $v_2=1+x$, $v_3=1+x^2$ vectores en $V$ notemos que son linealmente independientes. Así, encontremos los vectores que nos da el proceso de Gram-Schmidt.

Primero notemos que $f_1=v_1$ por lo que $e_1=\frac{f_1}{||f_1||}$ así calculemos $||f_1||$
\begin{align*} \norm{f_1}^2=\int_0^1 1 dx= 1 \end{align*}
entonces $e_1=\frac{f_1}{\norm{f_1}}=f_1=1$.

De la misma manera para $e_2$
\begin{align*}
f_2&=v_2-\langle v_2,e_1 \rangle e_1 \\
&=1+x- \int_0^1 (1+x)dx=1+x-\left(1+\frac{1}{2}\right) \\
&=x-\frac{1}{2}.
\end{align*}
Así para obtener $||f_2||$ hay que resolver $$\int_0^1 \left(x-\frac{1}{2}\right)^2 dx$$ de donde obtenemos $\norm{f_2}=\sqrt{\frac{1}{12}}$, entonces $e_2=\sqrt{12}\left(x-\frac{1}{2}\right)$.
Por último, calculemos $f_3$ así como su norma. Primero,
\begin{align*}
f_3&=v_3-\langle v_3,e_1 \rangle e_1 – \langle v_3,e_2 \rangle e_2 \\
&=(1+x^2)-\int_0^1 (1+x^2)dx – 12\left(x-\frac{1}{2}\right)\int_0^1 (1+x^2)\left(x-\frac{1}{2}\right)dx \\
&=1+x^2-\left(1+\frac{1}{3}\right)-12\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{12}\right) \\
&=x^2-\frac{1}{3}-x+\frac{1}{2} \\
&=x^2-x+\frac{1}{6},
\end{align*}

y luego, con la integral $$\int_0^1 \left(x^2-x+\frac{1}{6}\right)^2 dx$$ se calcula que $\norm{f_3}=\frac{1}{6\sqrt{5}}$, por lo tanto $e_3=6\sqrt{5}\left(x^2-x+\frac{1}{6}\right)$.

Más adelante

Con esto podemos pensar como concluida esta unidad de curso, aunque veremos una entrada más, estudiaremos como se traducen estos resultados a espacios vectoriales complejos y que cambios se deben hacer a estos.

En la siguiente unidad estudiaremos un poco más de un concepto el cual tocamos un poco pero no abundamos en él, la transformación adjunta, así como sus propiedades y esto nos servirá de punto de partida para nuevos conceptos.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso. Sin embargo, sirven de ayuda para repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. Revisa las demostraciones completas de cada uno de los resultados aquí vistos.
  2. Sea $V=\mathbb{R}_2[x]$ el espacio de polinomios reales de grado a lo más 2, dado $p,q \in V$ definamos el producto interno en $V$ como sigue $$<p,q>=p(0)q(0)+p(1)q(1)+p(2)q(2)$$ Demuestra que $<,>$ es efectivamente un producto interno.
  3. Con la notación del problema anterior, aplica el proceso de Gram-Schmidt a $1, x, x^2 $
  4. En el teorema de Gram-Schmidt, ¿es importante el orden en el que elijamos $v_1$ hasta $v_n$? ¿Cambia el conjunto resultante si cambiamos el orden?
  5. Aplica el proceso de Gram-Schmidt a los vectores
    \begin{align*}(1,1,1,1)\\ (0,1,1,1)\\ (0,0,1,1)\\ (0,0,0,1)\end{align*}
    En $\mathbb{R}^4$ con el producto interior canónico. ¿Es esta una base de $\mathbb{R}^4$?

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