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Álgebra Superior II: El orden en los enteros

Introducción

En las entradas anteriores introdujimos al conjunto de los números enteros, así como sus operaciones de suma y producto. Lo que haremos ahora es ver cómo ordenar a los elementos en $\mathbb{Z}$. Lo haremos de una forma similar a la que hicimos lo de las operaciones: usando las nociones que ya teníamos definidas en $\mathbb{N}$.

Como recordatorio, en $\mathbb{N}$ dijimos que $a<b$ cuando $a\subseteq b$. De esta noción de «menor que» dimos la noción de «menor o igual que», diciendo que $a\leq b$ cuando ya sea que $a<b$ o bien $a=b$. Vimos que esta relación $\leq$ define un orden parcial en $\mathbb{N}$ que además es tricotómico. Quizás los resultados más importantes para trabajar con esta noción de desigualdad fue ponerla en términos de suma de elementos en $\mathbb{N}$:

  • En $\mathbb{N}$ se cumple que $a<b$ si y sólo si existe un natural $k>0$ tal que $a+k=b$.
  • En $\mathbb{N}$ se cumple que $a\leq b$ si y sólo si existe un natural $k$ tal que $a+k=b$.

Con esto en mente, veamos ahora cómo construir un orden en $\mathbb{Z}$. Antes de hacer eso, conviene primero pensar en números positivos, negativos y el cero.

Los positivos, los negativos y el cero en $\mathbb{Z}$

Ya sabemos que la identidad aditiva en $\mathbb{Z}$ es la clase $\overline{(0,0)}$, que también se puede pensar como la clase $\overline{(a,a)}$ para cualquier $a$ en $\mathbb{N}$. Si tenemos cualquier otra clase $\overline{(a,b)}$, por tricotomía del orden en $\mathbb{N}$ nos quedan sólo otras dos opciones: o bien $a<b$, o bien $b<a$. Esto nos ayudará a definir la noción de positividad y negatividad.

Definición. Sea $\overline{(a,b)}$ un entero. Diremos que ${(a,b)}$ es:

  • Cero si $a=b$,
  • Positivo si $a>b$ y
  • Negativo si $a<b$.

Una vez más, por la tricotomía del orden en $\mathbb{N}$, siempre sucede exactamente una de las posibilidades anteriores. Es importante ver que esta definición está bien hecha, es decir, que no depende de la clase de equivalencia que se eligió. Por ejemplo, si $\overline{(a,b)}$ es positivo, sucede que $a>b$. Si tomamos $(c,d)$ tal que $(a,b)\sim (c,d)$, nos gustaría ver que también sucede $c>d$. Esto se debe a que $a+d=b+c$. Si tuviéramos $c\leq d$, entonces nos pasaría que $a+d>b+c$ y tendríamos una contradicción. Así, por tricotomía debe pasar $c>d$. El caso de la negatividad se verifica de manera análoga.

Recuerda que el inverso aditivo de un entero $\overline{(a,b)}$ es el entero $-\overline{(a,b)}=\overline{(b,a)}$. Así, si $\overline{(a,b)}$ es positivo, entonces su inverso aditivo es negativo y viceversa.

Definición. Usaremos la letra $P$ para referirnos al conjunto de todos los enteros positivos. Usaremos $-P$ para referirnos al conjunto de todos los enteros negativos.

¿Cómo se comportan estas definiciones con las operaciones que ya tenemos en $\mathbb{Z}$? Ahora tenemos todo lo necesario para poder formalizar oraciones como «negativo por negativo es positivo», o «positivo más positivo es positivo.

Proposición. En $\mathbb{Z}$ se cumple todo lo siguiente:

  • Si $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ están en $P$, entonces su suma está en $P$ y su producto también.
  • Si $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ están en $-P$, entonces su suma está en $-P$ y su producto está en $P$.

Demostración. Todas estas afirmaciones se traducen a proposiciones que debemos demostrar en $\mathbb{N}$. En el caso de la primera, debemos ver que si $a>b$ y $c>d$, entonces $a+c>b+d$ y que $ac+bd>ad+bc$. Lo primero es sencillo, pues sale de la compatibilidad de $>$ con la suma de $\mathbb{N}$. Demostremos entonces que $ac+bd>ad+bc$.

Como $a>b$, existe un natural $k>0$ tal que $a=b+k$. Como $c>d$, existe un natural $l>0$ tal que $c=d+l$. Haciendo estas substituciones de $a$ y $c$ en $ac+bd>ad+bc$, obtenemos la siguiente cadena de desigualdades que son equivalentes a lo que debemos demostrar:

\begin{align*}
ac+bd&>ad+bc\\
(b+k)(d+l)+bd&>(b+k)d+b(d+l)\\
bd+bl+kd+kl+bd&>bd+kd+bd+bl.
\end{align*}

La última de estas desigualdades se cumple pues a la izquierda tenemos todos los sumandos que del lado derecho, y además el sumando $kl$ que como $k>0$ y $l>0$, entonces cumple $kl>0$.

Las demostraciones para cuando los elementos son negativos quedan como tarea moral.

$\square$

Al conjunto de enteros positivos también se le conoce en ocasiones como $\mathbb{Z}^+$, y al de enteros positivos también se le conoce como $\mathbb{Z}^-$.

El orden en $\mathbb{Z}$

Estamos listos para definir el orden en $\mathbb{Z}$. Aprovecharemos que ya podemos restar para poner la definición de orden en términos de esta operación.

Definición. Para $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ elementos en $\mathbb{Z}$ diremos que $\overline{(c,d)}<\overline{(a,b)}$ si $\overline{(a,b)}-\overline{(c,d)}$ es un entero positivo.

En realidad la expresión $\overline{(a,b)}-\overline{(c,d)}$ es simplemente $\overline{(a+c,b+d)}$, así que otra forma de escribir la condición de la definición es simplemente pedir que $a+c>b+d$. Como siempre sucede que o bien $a+c>b+d$, o que $a+c<b+d$, o que $a+c=b+d$ (y sólo una de ellas), entonces de manera inmediata obtenemos la tricotomía en $\mathbb{Z}$.

Proposición. Para $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ elementos en $\mathbb{Z}$ siempre sucede exactamente alguna de las siguientes:

  • $\overline{(a,b)}<\overline{(c,d)}$
  • $\overline{(c,d)}<\overline{(a,b)}$
  • $\overline{(a,b)}=\overline{(c,d)}$

Como en el caso de los naturales, a partir de la definición de «menor estricto» es sencillo obtener la noción de «menor o igual».

Definición. Para $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ elementos en $\mathbb{Z}$ diremos que $\overline{(c,d)}\leq \overline{(a,b)}$ si o bien $\overline{(a,b)}-\overline{(c,d)}$ es un entero positivo, o bien $\overline{(a,b)}=\overline{(c,d)}$.

Lo anterior es equivalente a pedir que $a+c\geq b+d$.

Proposición. La relación $\leq$ es un orden parcial en $\mathbb{Z}$.

Demostración. Es inmediato que esta relación $\leq$ es reflexiva, pues $\overline{(a,b)}\leq \overline{(a,b)}$ se obtiene de manera inmediata de la segunda parte de la definición.

Para ver que es antisimétrica, si tuviéramos $\overline{(c,d)}\leq \overline{(a,b)}$ y $\overline{(a,b)}\leq \overline{(c,d)}$, entonces tendríamos las desigualdades $a+c\geq b+d$ y $b+d\geq a+c$, que por la antisimetría en $\mathbb{N}$ implican que $a+c=b+d$, que justo es $\overline{(a,b)}=\overline{(c,d)}$.

Finalmente, para ver que $\leq$ es una relación transitiva, comenzamos con enteros $\overline{(a,b)}, \overline{(c,d)}, \overline{(e,f)}$ tales que $\overline{(e,f)}\leq \overline{(c,d)}$ y $\overline{(c,d)}\leq \overline{(a,b)}$.

De la primer desigualdad obtenemos $c+f\geq e+d$ y de la segunda obtenemos que $a+d\geq b+c$. Sumando ambas desigualdades, obtenemos que $c+f+a+d\geq b+c+e+d$. De aquí podemos deducir que $a+f\geq b+e$. Esto precisamente nos dice que $\overline{(e,f)}\leq \overline{(a,b)}$, como queríamos.

$\square$

Las dos proposiciones anteriores se pueden resumir en el siguiente enunciado.

Teorema. La relación $\leq$ es un orden total en $\mathbb{Z}$.

Compatibilidad del orden con las operaciones en $\mathbb{Z}$

Lo último que nos queda por mencionar es cómo se comporta la relación $\leq$ en $\mathbb{Z}$ con sus operaciones de suma y producto. A continuación mencionamos algunas de las propiedades que se cumplen, aunque hay varias cosas más que se pueden demostrar.

Proposición. En $\mathbb{Z}$ se cumple lo siguiente:

  • Si $\overline{(a,b)}\leq \overline{(c,d)}$ y $\overline{(e,f)}\leq \overline{(g,h)}$, entonces $$\overline{(a,b)}+\overline{(e,f)}\leq \overline{(c,d)}+\overline{(g,h)}.$$
  • Si $\overline{(a,b)}\leq \overline{(c,d)}$ y $\overline{(e,f)}$ es positivo, entonces $$\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}\leq \overline{(c,d)}\overline{(e,f)}.$$
  • Si $\overline{(a,b)}\leq \overline{(c,d)}$ y $\overline{(e,f)}$ es negativo, entonces $$\overline{(c,d)}\overline{(e,f)}\leq \overline{(a,b)}\overline{(e,f)}$$

Demostración.

  • Las hipótesis se pueden escribir como $a+d\leq b+c$ y $e+h\leq f+g$. Sumando ambas y asociando de un modo que nos convenga, obtenemos que $(a+e)+(d+h)\leq (b+f)+(c+g)$. Esto lo que nos dice es que $\overline{(a+e,b+f)}\leq $\overline{(c+g,d+h)}$, que es precisamente lo que queríamos demostrar.
  • Por la hipótesis, tenemos que $\overline{(c,d)}-\overline{(a,b)}$ es positivo y que $\overline{(e,f)}$ también. Por lo que ya vimos antes, el producto de estos dos enteros debe ser entonces positivo. Por distributividad, este producto es $\overline{(c,d)}\overline{(e,f)}-\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}$. Así, $\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}\leq \overline{(c,d)}\overline{(e,f)},$ como queríamos.
  • Por la hipótesis, tenemos que $\overline{(c,d)}-\overline{(a,b)}$ es positivo y que $\overline{(e,f)}$ es negativo. Entonces $\overline{(f,e)}=-\overline{(e,f)}$ es positivo. Por lo que ya vimos antes, el producto de estos dos enteros debe ser entonces positivo. Por distributividad, este producto es $\overline{(c,d)}\overline{(f,e)}-\overline{(a,b)}\overline{(f,e)}$. Esta expresión se puede escribir de manera alternativa como $\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}-\overline{(c,d)}\overline{(e,f)}$. Como es positiva, obtenemos justo lo que queríamos.

$\square$

En los ejercicios de la tarea moral explorarás más propiedades de la relación $\leq$ y cómo interactúa con las operaciones en $\mathbb{Z}$.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios y problemas te ayudarán a reforzar lo aprendido en esta entrada.

  1. Completa las demostraciones de las nociones de positivo, negativo y orden en $\mathbb{Z}$ están bien definidas.
  2. Demuestra que la suma de dos enteros negativos es un entero negativo y que su producto es un entero positivo. Haz una demostración que funcione en general, pero luego verifícalo «a mano» para los enteros $\overline{(3,7)}$ y $\overline{(9,11)}$.
  3. En la entrada dimos la definición formal de $<$ y de $\leq$ en $\mathbb{Z}$, pero aún no hemos definido ni usado los símbolos $>$ y $\geq$ en $\mathbb{Z}$. Formaliza una definición para ellos. Demuestra que $\geq$ también es un orden total en $\mathbb{Z}$.
  4. Demuestra que en $\mathbb{Z}$, si $\overline{(a,b)}\leq \overline{(c,d)}$ y $\overline{(e,f)}$ es negativo, entonces $$\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}\geq \overline{(c,d)}\overline{(e,f)}.$$
  5. Determina si la siguiente propiedad del producto y el orden en $\mathbb{Z}$ siempre es verdadera, o bien si hay ocasiones en las que falla: «Si $\overline{(a,b)}\leq \overline{(c,d)}$ y $\overline{(e,f)}\leq \overline{(g,h)}$, entonces $$\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}\leq \overline{(c,d)}\overline{(g,h)}.»

Más adelante

Ya tenemos todo lo que necesitamos en los enteros: su definición, sus operaciones y su noción de orden. Sin embargo, aún tenemos una gran dificultad: es muy difícil escribirlos. Cada que queremos referirnos a un entero, debemos usar la clase de equivalencia de una pareja de naturales. Nos gustaría que los enteros fueran algo mucho más intuitivo: los naturales y sus negativos. Lo que haremos en la siguiente entrada es ver cómo formalizar esta idea para que podamos, finalmente, abandonar la notación de parejas de naturales y relaciones de equivalencia. Esto será bastante útil para después entrar en muchas otras propiedades que nos interesan de los enteros como la noción de divisibilidad y otras propiedades aritméticas.

Entradas relacionadas

Álgebra Superior II: Problemas de fórmula de De Moivre y raíces n-ésimas

Introducción

En una entrada anterior, vimos cómo se comporta la multiplicación en forma polar y cómo podemos aprovechar esto para hacer potencias. Concretamente, el teorema de De Moivre es muy útil para elevar complejos a potencias sin tener que hacer gran cantidad de productos.

Los primeros dos videos son ejercicios que ejemplifican lo anterior. Después, usamos lo que aprendimos en la entrada de raíces $n$-ésimas para resolver dos problemas más.

Al final, compartimos un enlace en el que puedes practicar más con operaciones de números complejos.

Problemas de fórmula de De Moivre

Para empezar, vemos dos problemas de exponenciación completa. El primero es una aplicación directa de la fórmula de De Moivre.

Problema. Usa el teorema de De Moivre para elevar a la potencia indicada $$\left(\sqrt{3}(\cos 25^\circ + i \sin 25^\circ\right)^6.$$

En algunos problemas es posible que sea necesario primero obtener la forma polar de un complejo antes de poder usar la fórmula de De Moivre. El segundo problema es un ejemplo de esto.

Problema. Encuentra el valor de $(\sqrt{3}-i)^{12}$.

Problemas de raíces $n$-ésimas

Si ahora, en vez de querer elevar a cierta potencia, queremos obtener raíces $n$-ésimas, con el uso de un poderoso teorema que dedujimos a partir de la fórmula de De Moivre, sabemos que son exactamente $n$ raíces, y podemos calcularlas explícitamente. A continuación, vemos dos ejercicios que ejemplifican lo anterior.

Problema. Obtén las raíces cúbicas del complejo $3+4i$.

Problema. Obtén las raíces quintas del complejo $16\sqrt{2}(-1+i)$.

Ojo. En algún momento del siguiente video se encuentra que el ángulo es $360^\circ – 45^\circ$. Sin embargo, debe decir $180^\circ – 45^\circ$, pues se debe estar en el cuadrante 2, ya que la parte real es negativa y la compleja es positiva.

Fotos de los ejercicios de hoy

Finalmente, les dejo fotos de lo resuelto en los videos, para quienes tengan dificultades para ver los videos. En la tercera foto no están tan desarrolladas las cuentas como en el video.

Problemas de fórmula de De Moivre, 1
Problemas de fórmula de De Moivre y de raíces
Problemas de raíces n-ésimas.

Más material de De Moivre y raíces

Puedes practicar más acerca de exponenciación y raíces complejas con los videos y ejercicios del tema en Khan Academy.

Álgebra Superior II: Exponencial, logaritmo y trigonometría en los complejos

Introducción

Gracias a las entradas anteriores ya hemos desarrollado un buen manejo de los números complejos. Sabemos cómo se construyen y cómo hacer operaciones básicas, incluyendo obtener conjugados, la forma polar, sacar normas y elevar a potencias. También hemos aprendido a resolver varias ecuaciones en los complejos: cuadráticas, sistemas lineales y raíces $n$-ésimas. Todo esto forma parte de los fundamentos algebraicos de $\mathbb{C}$. Ahora hablaremos un poco de la exponencial, el logaritmo y trigonometría en los complejos.

Aunque mencionaremos un poco de las motivaciones detrás de las definiciones, no profundizaremos tanto como con otros temas. Varias de las razones para elegir las siguientes definiciones tienen que ver con temas de ecuaciones diferenciales y de análisis complejo, que no se estudian sino hasta semestres posteriores.

Función exponencial compleja

Recordemos que, para un real $y$, definimos $\text{cis}(y)=\cos y + i \sin y$. La función $\text{cis}$ y la exponenciación en los reales nos ayudarán a definir la exponencial compleja.

Definición. Definimos la función $\exp:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ como $$\exp(x+yi)=e^x\text{cis}(y).$$

Ejemplo. Se tiene que $$\exp\left(1+\frac{\pi}{2} i\right) = e^1 \text{cis}\left(\frac{\pi}{2}\right) = ei.$$

$\square$

Ejemplo. Se tiene que $$\exp(\pi i) = e^0\text{cis}(\pi) = (1)(-1)=-1.$$ Como veremos más abajo, esto lo podemos reescribir como la famosa identidad de Euler $$e^{\pi i}+1=0.$$

$\square$

Ejemplo. Se tiene que $$\exp(2+3i)=e^2\text{cis}(3).$$ Como $\cos(3)$ y $\sin(3)$ no tienen ningún valor especial, esta es la forma final de la expresión.

$\square$

Propiedades de la función exponencial compleja

Una buena razón para definir la exponencial así es que si $y=0$, entonces la definición coincide con la definición en los reales: $$\exp(x)=e^x\text{cis}(0)=e^x.$$ Si $x=0$, tenemos que $\exp(iy)=\text{cis}(y)$, de modo que si $w$ tiene norma $r$ y argumento $\theta$, podemos reescribir su forma polar como $$w=r\exp(\theta i),$$ y una forma alternativa de escribir el teorema de De Moivre es $$w^n=r^n\exp(n\theta i).$$

Otra buena razón para definir la exponencial compleja como lo hicimos es que se sigue satisfaciendo que las sumas en la exponencial se abren en productos.

Proposición. Para $w$ y $z$ complejos se tiene que $$E(w+z)=E(w)E(z).$$

Demostración. Escribamos $w=a+bi$ y $z=c+di$ con $a,b,c$ y $d$ reales. Tenemos que
\begin{align*}
\exp(w+z)&=\exp((a+c)+(b+d)i)\\
&=e^{a+c}\text{cis}(b+d).
\end{align*}

Por propiedades de la exponencial en $\mathbb{R}$ tenemos que $e^{a+c}=e^ae^c$. Además, por cómo funciona la multiplicación compleja en términos polares, tenemos que $\text{cis}(b+d)=\text{cis}(b)\text{cis}(d)$. Usando estas observaciones podemos continuar con la cadena de igualdades,

\begin{align*}
&=e^ae^c\text{cis}(b)\text{cis}(d)\\
&=(e^a\text{cis}(b)) (e^c\text{cis}(d))\\
&=\exp(a+bi)\exp(c+di)\\
&=\exp(w)\exp(z).
\end{align*}

$\square$

Como $\exp$ extiende a la exponencial real y se vale abrir las sumas de exponentes en productos, puede ser tentador usar la notación $e^{x+yi}$ en vez de $\exp(x+yi)$. Hay que tener cuidado con esta interpretación, pues hasta ahora no hemos dicho qué quiere decir «elevar a una potencia». Cuando lo hagamos, veremos que usar la notación $e^{x+yi}$ sí tiene sentido, pero por el momento hay que apegarnos a la definición.

Hay otras buenas razones para definir la exponencial compleja como lo hicimos. Una muy importante es que es la solución a una ecuación diferencial muy natural. Más adelante, en tu formación matemática, verás esto.

Función logaritmo complejo

Con el logaritmo natural $\ln$ en $\mathbb{R}$ y la multifunción argumento podemos extender el logaritmo a $\mathbb{C}$.

Definición. Definimos la función $L:\mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{C}$ como $$L(z)=\ln \Vert z \Vert + \arg(z) i.$$

Hay que ser un poco más precisos, pues $\arg(z)$ es una multifunción y toma varios valores. Cuando estamos trabajando con logaritmo, lo más conveniente por razones de simetría es que tomemos el argumento en el intervalo $(-\pi,\pi]$. En cursos posteriores hablarás de «otras» funciones logaritmo, y de por qué ésta es usualmente una buena elección.

Ejemplo. Los logaritmos de $i$ y de $-1$ son, respectivamente,
\begin{align*}
L(i)&=\ln \Vert i \Vert + \arg(i) i = \ln(1) + \frac{\pi}{2} i =\frac{\pi}{2} i\\
L(-1)&=\ln \Vert -1 \Vert + \arg(-1) i = \ln(1)+\pi i = \pi i.
\end{align*}

$\square$

Propiedades del logaritmo complejo

La función $\exp$ restringida a los números con parte imaginaria en $(-\pi,\pi]$ es invertible y su inversa es $L$. Esto justifica en parte la definición de logaritmo. Demostrar esto es sencillo y queda como tarea moral.

La función $L$ restringida a los reales positivos coincide con la función logaritmo natural, pues para $z=x+0i=x$, con $x>0$ se tiene que $\arg(x)=0$ y entonces $$L(z)=L(x)=\Vert x\Vert+\arg(x)i=x.$$

Como en el caso real, la función logaritmo abre productos en sumas, pero con un detalle que hay que cuidar.

Proposición. Para $w$ y $z$ complejos no $0$, se tiene que $L(wz)$ y $L(w)+L(z)$ difieren en un múltiplo entero de $2\pi i$.

Con la función logaritmo podemos definir potencias de números complejos.

Definición. Para $w,z$ en $\mathbb{C}$ con $w\neq 0$, definimos $$w^z=\exp(zL(w)).$$

Ejemplo. En particular, podemos tomar $w=e$, de donde \begin{align*}e^z&=\exp(zL(e))\\&=\exp(z\ln(e))\\&=\exp(z),\end{align*} de donde ahora sí podemos justificar usar la notación $e^{x+yi}$ en vez de $\exp(x+yi)$.

$\square$

Esta definición de exponenciación en $\mathbb{C}$ es buena, en parte, porque se puede probar que se satisfacen las leyes de los exponentes.

Proposición. Para $w, z_1, z_2$ en $\mathbb{C}$, con $w\neq 0$, se cumple que $$z^{w_1+w_2}=z^{w_1}z^{w_2}$$ y que $$(z^{w_1})^{w_2}=z^{w_1w_2}.$$

La demostración es sencilla y se deja como tarea moral.

Funciones trigonométricas complejas

Finalmente, definiremos las funciones trigonométricas en $\mathbb{C}$. Para ello, nos basaremos en la función exponencial que ya definimos.

Definición. Para $z$ cualquier complejo, definimos $$\cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$$ y $$\sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2}.$$

Una de las razones por las cuales esta definición es buena es que extiende a las funciones trigonométricas reales. En efecto, si $z=x+0i=x$ es real, entonces $\cos(z)$ es \begin{align*}
\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}&=\frac{\text{cis}(x)+\text{cis}(-x)}{2}\\
&=\frac{2\cos(x)}{2}\\
&=\cos(x),
\end{align*} y de manera similar para $\sin(z)$.

Las funciones trigonométricas en $\mathbb{C}$ siguen cumpliendo varias propiedades que cumplían en $\mathbb{R}$.

Proposición. Para $w$ y $z$ complejos, se tiene que
\begin{align*}
\cos(w+z)=\cos(w)\cos(z)-\sin(w)\sin(z)\\
\sin(w+z)=\sin(w)\cos(z)+\sin(z)\cos(w).
\end{align*}

Demostración. Procedemos por definición. Tenemos que
\begin{align*}
4&\cos(w)\cos(z)\\
&=(e^{iw}+e^{-iw})(e^{iz}+e^{-iz})\\
&=(e^{i(w+z)}+e^{i(w-z)}+e^{i(z-w)}+e^{i(-z-w)})
\end{align*}

y que
\begin{align*}
4&\sin(w)\sin(z)\\
&=(e^{iw}-e^{-iw})(e^{iz}-e^{-iz})\\
&=(e^{i(w+z)}-e^{i(w-z)}-e^{i(z-w)}+e^{i(-z-w)}),
\end{align*}

de modo que
\begin{align*}
4(\cos(w)&\cos(z)-\sin(w)\sin(z))\\
&=2(e^{i(w+z)}+e^{-i(w+z)})\\
&=4\cos(w+z).
\end{align*}

Dividiendo entre $4$ ambos lados de la igualdad, obtenemos la primer identidad. La segunda se demuestra de manera análoga, y queda como tarea moral.

$\square$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios y problemas te ayudarán a reforzar lo aprendido en esta entrada.

  • Determina los valores de $\exp(3+\frac{3\pi}{4}i)$ y de $L(-i)$.
  • Muestra que para $z$ con parte imaginaria en $(-\pi,\pi]$ se tiene que $L(\exp(z))=z$.
  • Determina el valor de $(1+i)^{1+i}$.
  • Muestra las leyes de los exponentes para la exponenciación en $\mathbb{C}$.
  • Determina el valor de $\sin(i)$ y de $\cos(1+i)$.
  • Muestra la identidad de seno de la suma de ángulos en $\mathbb{C}$.
  • Investiga qué otras propiedades de las funciones trigonométricas reales se extienden al caso complejo.

Álgebra Superior II: Simplificación, suma y producto de complejos

Introducción

En una entrada de blog anterior, construimos el campo de los números complejos y definimos sus operaciones básicas. Ahora resolveremos algunos problemas de operaciones con complejos.

Haremos dos tipos de problemas. El primer tipo se trata de simplificar expresiones en números complejos para que se vuelvan de la forma $x+yi$ con $x$ y $y$ números reales. El segundo tipo es de realizar operaciones de suma, resta, producto y división de complejos, y luego simplificar.

Simplificación de expresiones complejas

Comenzamos con un video de simplificar expresiones de números complejos.

Expresar en la forma $a+bi$ las expresiones…

Problemas de operaciones con complejos

Ahora vemos varios ejemplos de realizar sumas con números complejos.

Sumar números complejos

En todos los ejemplos del video, realizamos sólo sumas de dos números, pero se podrían realizar sumas con cualquier cantidad de sumandos. Por ejemplo, podemos considerar la suma $$(5+2i)+(8+i)-(1-7i).$$ ¿Cuál sería el resultado de esta operación?

Finalmente, a continuación se muestra un video en donde see realizan operaciones de productos y de divisiones de números complejos.

Productos y divisiones de números complejos

En el video se define al conjugado del número complejo $z=a+bi$, que se denota por $\overline{z}$ y se obtiene de cambiarle el signo a la parte imaginaria. Por ejemplo, $\overline{4-5i}=4+5i$. Si multiplicas a un número complejo $a+bi$ por su conjugado, obtienes el real $a^2+b^2$. Esto es útil para quitar las partes imaginarias de los denominadores de expresiones fraccionales con complejos.

Más ejemplos y práctica extra

En otro curso, el Seminario de Resolución de Problemas, escribimos una entrada de cómo se pueden usar los números complejos para la resolución de problemas matemáticos. Ahí hay teoría más avanzada, pero puedes echarle un ojo para que veas lo que veremos más adelante en el curso.

En la página de Khan Academy en Español, puedes aprender más acerca de los números complejos, así como hacer muchos ejercicios de práctica.