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Teoría de los Conjuntos I: Sucesor

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En esta nueva sección hablaremos acerca del sucesor de un número natural. Este nuevo concepto nos permitirá definir a los conjuntos inductivos e iniciar a descubrir el concepto del infinito desde la perspectiva de la teoría de conjuntos.

Concepto

Definición: Sea $x$ un conjunto, definimos al sucesor de $x$ como $s(x)=x\cup \set{x}$.

Ejemplos:

  • El sucesor de $\emptyset$ es $s(\emptyset)=\emptyset\cup \set{\emptyset}=\set{\emptyset}$.
  • El sucesor de $\set{\emptyset}$ es $s(\set{\emptyset})=\set{\emptyset}\cup \set{\set{\emptyset}}=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$.
  • Luego, el sucesor de $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ es $s(\set{\emptyset, \set{\emptyset}})=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}\cup \set{\set{\emptyset, \set{\emptyset}}}=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$.
  • El sucesor de $\set{\set{\emptyset}}$ es $s(\set{\set{\emptyset}})=\set{\set{\emptyset}}\cup \set{\set{\set{\emptyset}}}= \set{\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$.

$\square$

Aunque podemos definir al sucesor para cualquier conjunto, dado que en esta unidad únicamente estaremos trabajando con números naturales, usaremos la definición de sucesor de un conjunto para conjuntos que son números naturales.

Bajo este hecho va a resultar que si $x$ es un número natural, entonces $s(x)$ es un número natural, vamos a demostrar esto, pero antes demostraremos algunos lemas que nos serán de utilidad.

Resultados previos

Lema 1: Para cualquier número natural $n$, no es posible que $n\in n$.

Demostración:

Sea $n$ un número natural, entonces $n$ es un orden total con la $\in$ y así, los elementos de $n$, son $\in$-comparables, es decir, para cualesquiera $w,z\in n$ se tiene que $w\in z$ o $z\in w$ o $z=w$.

Dado que $n=n$, no ocurre que $n\in n$.

$\square$

Lema 2: Si $n$, $m$ son números naturales, entonces no es posible que $n\in m$ y $m\in n$ al mismo tiempo.

Demostración:

Sean $n$ y $m$ números naturales. Si $n\in m$ y $m\in n$, entonces $n\in n$ por transitividad de $\in$ en $n$, lo cual contradice el lema anterior.

Por lo tanto, no es posible que $n\in m$ y $m\in n$ al mismo tiempo.

$\square$

El sucesor de un natural

Ahora que demostramos los lemas anteriores probaremos que el sucesor de un número natural es un número natural.

Teorema:

  1. $\emptyset$ es un número natural.
  2. Si $x$ es un número natural, entonces $s(x)$ es un número natural.

Demostración:

En la entrada anterior probamos que $\emptyset$ es un número natural, lo que prueba el punto uno del teorema.

Ahora, sea $x$ un número natural. Veamos que $s(x)$ es un número natural, para ello vamos a probar que $x\cup\set{x}$ es un conjunto transitivo, ordenado totalmente con $\in$ y que para cada subconjunto $b$ no vacío se cumple que $b$ tiene mínimo y máximo con la pertenencia en $b$.

Sea $y\in x\cup\set{x}$. Si $y\in x$ dado que $x$ es un número natural, entonces $x$ es un conjunto transitivo y por lo tanto, $y\subseteq x$. Así, $y\subseteq x\cup\set{x}$.

Si $y\in \set{x}$, entonces $y=x$ y en particular, $y\subseteq x$ y así, $y\subseteq x\cup\set{x}$.

Por lo tanto, $s(x)$ es un conjunto transitivo.

Ahora, queremos ver que $s(x)$ es un orden total con la $\in_{s(x)}$, para ello debemos probar que $\in_{s(x)}$ es una relación asimétrica y transitiva, además de que sus elementos son $\in_{s(x)}$ comparables.

Sean $y,z\in s(x)$ tales que $y\in_{s(x)} z$. Veamos que no es posible que $z\in_{s(x)} y$.

Dado que $y,z\in s(x)=x\cup \set{x}$, tenemos los siguientes casos:

Caso 1: Si $y\in x$ y $z\in x$, entonces por ser $\in_x$ una relación asimétrica en $x$ y $y\in z$, se tiene que no es posible que $z\in y$.

Caso 2: Si $y\in x$ y $z\in \set{x}$, entonces $z=x$. Dado que $y\in z$, si ocurriera que $z\in y$, entonces $x\in y$ y así, $x\in y$ y $y\in x$, lo cual probamos en el lema 2 que no ocurre, por lo tanto, $z\notin y$.

El caso $y\in \set{x}$ y $z\in x$, entonces $y=x$. Dado que $y\in z$, entonces $x\in z$, lo cual no puede ocurrir pues de ser así, $x\in z$ y $z\in x$ al mismo tiempo, lo que contradice al lema 2.

El caso en el que $y\in \set{x}$ y $z\in \set{x}$ no puede ocurrir pues de ser así, $y=x$ y $z=x$, en particular $y=z$ y por el primer lema de esta entrada vimos que no ocurre que $y\in y$.

Así, en cualquiera de los casos se satisface que $\in_{s(x)}$ es una relación asimétrica.

Ahora, veamos que $\in_{s(x)}$ es una relación transitiva. Para ello tomemos $w,y,z\in s(x)$ arbritarios tales que $w\in_{s(x)} y$ y $y\in_{s(x)} z$ y veamos que $w\in_{s(x)} z$.

Del hecho, $w\in_{s(x)} y$ y $y\in_{s(x)} z$ se derivan los siguientes casos:

Caso 1: Si $w\in x$, $y\in x$ y $z\in x$. Dado que $w\in y$ y $y\in z$, como $\in$ es una relación transitiva en $x$ se tiene que $w\in z$.

Caso 2: Si $w\in x$, $y\in x$ y $z\in \set{x}$, entonces $z=x$, por lo que $w\in z=x$.

El caso $w\in x$, $y\in \set{x}$ y $z\in \set{x}$, entonces $y=x=z$. Dado que $w\in y$ y $y\in z$, se tendría que $w\in y$ y $y\in y$, lo cual contradice al lema 1.

El caso $w,y,z\in\set{x}$ no es posible, pues de lo contrario $w=y=z=x$ y así $w\in w$, lo cual contradice al lema 1.

Por lo tanto, $\in_{s(x)}$ es una relación transitiva.

Finalmente, los elementos de $s(x)$ son $\in_{s(x)}$-comparables. En efecto, sean $y,z\in s(x)$.

Caso 1: Si $y\in x$ y $z\in x$, entonces como los elementos de $x$ son $\in$-comparables, debe ocurrir que $y\in z$ o $z\in y$ o $z=y$.

Caso 2: Si $y\in x$ y $z\in \set{x}$, entonces $z=x$. Por lo tanto, $y\in z$.

Caso 3: Si $y\in \set{x}$ y $z\in x$, entonces $y=x$. Por lo tanto, $z\in y$.

Caso 4: Si $y\in \set{x}$ y $z\in \set{x}$, entonces $y=x$ y $z=x$. Por lo tanto, $z=y$.

Por lo tanto, los elementos de $s(x)$ son $\in_{s(x)}$-comparables.

Así, $(s(x), \in)$ es un orden total.

Ahora, supongamos que $B$ conjunto no vacío es subconjunto de $s(x)$ y veamos que $B$ tiene máximo y mínimo.

Caso 1: Si $B\cap x=\emptyset$, entonces $B\subseteq \set{x}$ y como $B\not=\emptyset$ entonces $B=\set{x}$.

Luego, $x=\min (B)$ pues se satisface que para cualquier $y\in B\setminus \set{x}=\emptyset$, $x\in y$ por vacuidad.

Finalmente, $x=\max (B)$ pues se satisface que para cualquier $y\in B\setminus \set{x}=\emptyset$, $y\in x$ por vacuidad.

Caso 2: Si $B\cap x\not= \emptyset$, entonces $B\cap x$ es un subconjunto no vacío de $x$. Así, dado que $x$ es un natural, se satisface que $B\cap x$ tiene elemento mínimo y máximo con respecto a la $\in$ en $x$. Sea $b=\min (B\cap x)$ con respecto a la pertenencia en $x$ y $a=\max (B\cap x)$ con respecto a la pertenencia en $x$.

Veamos que $b=min(B)$ con respecto a $\in$ en $s(x)$. Sea $z\in B\setminus \set{b}$ arbitrario, vamos a probar que $b\in z$.

Caso 1: Si $z\in x$, entonces $z\in B\cap x$, entonces $b\in z$ pues $b=\min(B\cap x)$.

Caso 2: Si $z\notin x$, dado que $z\in s(x)=x\cup\set{x}$ entonces $z=x$. Como $b\in B\cap x$, entonces $b\in x$ y así, $b\in z$.

Así, $b=\min(B)$ para $B\subseteq s(x)$.

En la tarea moral será tu turno de probar que cualquier subconjunto no vacío de $s(x)$ tiene elemento máximo con respecto a la pertenencia en $s(x)$.

Por lo tanto, cualquier subconjunto de $s(x)$ tiene elemento mínimo y máximo con respecto a la $\in$ en $s(x)$.

Por lo tanto, $s(x)$ es un natural.

$\square$

Tarea moral

  • Describe al sucesor del natural $\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset},\set{\emptyset, \set{\emptyset}}}}$.
  • Demuestra que si $s(n)=s(m)$, entonces $n=m$.
  • Prueba que $\bigcup s(x)=x$.
  • Demuestra que si $B$ es un subconjunto no vacío de $s(x)$, entonces $B$ tiene elemento máximo con respecto a la pertenencia en $s(x)$.

Más adelante…

En la siguiente sección definiremos a los conjuntos inductivos, tales conjuntos nos darán la base para definir al conjunto de los naturales. Además hablaremos de un nuevo axioma: el axioma del infinito.

Enlaces

En el siguiente enlace podrás repasar el contenido acerca de números naturales. así mismo podrás ver más contenido acerca del tema:

Nota 16. Los números naturales.

Teoría de los Conjuntos I: Números naturales

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En esta entrada daremos la definición formal de un número natural. Además probaremos algunos resultados sobre números naturales.

Concepto

Definición: Sea $x$ un conjunto. Decimos que $x$ es un número natural si satisface las siguientes condiciones:

  1. $x$ es un conjunto transitivo,
  2. $\in_x$ es un orden lineal estricto en $x$,
  3. cualquier $z$ no vacío subconjunto de $x$ tiene elemento mínimo y máximo en el orden $\in_x$.

Ejemplo:

$\emptyset$ es un número natural.

En la entrada anterior vimos que $\emptyset$ es un conjunto transitivo.

Además, $(\emptyset, \in_\emptyset)$ es un conjunto totalmente ordenado pues $\in_\emptyset= \emptyset$, por lo que se satisface por vacuidad que $\in_\emptyset=\emptyset$ es una relación asimétrica y transitiva en el conjunto $\emptyset$. Asimismo, los elementos de $\in_\emptyset$ son comparables por vacuidad y por tanto, $\in_\emptyset$ es un orden total.

Finalmente, se satisface por vacuidad que para cualquier $z\not=\emptyset$ tal que $z\subseteq \emptyset$, $z$ tiene elemento mínimo y máximo en el orden $\in_\emptyset$.

Por lo tanto, $\emptyset$ es un número natural.

$\square$

Note ahora que si $n$ es un natural, entonces, para cualquier $z\in n$ se cumple que $\in_n\cap (z\times z)=\in_z$. En efecto:

\begin{align*}
\in_n\cap(z\times z)&=\set{(x,y)\in n\times n:x\in y}\cap\set{(x,y)\in n\times n:x\in z \ \text{y}\ y\in z}\\
&=\set{(x,y)\in z\times z:x\in y}=\in_z.
\end{align*}

El siguiente lema será de ayuda para mostrar que cualquier elemento de un número natural resulta ser también un número natural.

Lema: Si $n$ es un número natural, entonces, para cualquier $z\in n$ se satisface que $\in_z$ es un orden total estricto en $z$.

Demostración:

Veamos que $\in_z$ es una relación asimétrica, transitiva y sus elementos son $\in_z$-comparables.

  1. Asimetría:
    Sean $x,y\in z$ tales que $x\in_z y$. Tenemos entonces que $(x,y)\in\in_z=\in_n\cap(z\times z)$, por lo que $(x,y)\in\in_n$ y así, $x\in_ny$. Luego, no puede ocurrir que $y\in_zx$ pues tendríamos también que $y\in_nx$ y, en consecuencia, se cumpliría al mismo tiempo que $x\in_ny$ y que $y\in_nx$, lo cual no puede ocurrir pues $\in_n$ es una relación asimétrica. Esto muestra que $\in_z$ también es una relación asimétrica.
  2. Transitividad:
    Sean $x, y, w\in z$ tales que $x\in_z y$ y $y\in_z w$. Dado que $z\in n$ y $x,y, w\in z$, por la transtividad de $n$ se tiene que $x,y,w\in n$ y así, $x\in_n y$ y $y\in_n w$, lo que implica que $x\in_n w$ con $x, w\in z$; luego entonces $x\in_zw$. Por lo tanto, $\in_z$ es transitiva en $z$.
  3. $\in_z$-comparables:
    Sean $x,y\in z$, dado que $z\in n$, entonces $x\in n$ y $y\in n$, por lo que $x\in_n y$ o $y\in_n x$ o $y=x$. Como $x,y\in z$ entonces se satisface que $x\in_z y$ o $y\in_z x$ o $y=x$, es decir, los elementos de $z$ son $\in_z$ comparables.

Por lo tanto, $\in_z=\in_n\cap (z\times z)$ es un orden total en $z$.

$\square$

Teorema: Si $z\in n$ con $n$ natural, entonces $z$ es un número natural.

Demostración:

Supongamos que $n$ es un número natural y que $z\in n$. Veamos que en $z$ se verifican las condiciones 1, 2 y 3 de la definición de número natural.

  1. $z$ es un conjunto transitivo.
    En efecto, sea $y\in z$. Dado que $n$ es un número natural, entonces $n$ es un conjunto transitivo y como $z\in n$, entonces $z\subseteq n$; en consecuencia, $y\in n$. Luego, si $w\in y$, se sigue nuevamente que $w\in n$ por la transitividad de $n$. De modo que, si $w\in y$, entonces $w\in y$ y $y\in z$, por lo cual se sigue que $w\in z$, pues la pertenencia es un orden lineal en $n$. Lo que demuestra que $y\subseteq z$ y, por tanto, $z$ es un conjunto transitivo.
  2. $\in_z$ es un orden total en $z$. Por el Lema anterior se tiene que $\in_z$ es un orden total en $z$.
  3. Sea $B\subseteq z$ con $B$ conjunto no vacío. Dado que $n$ es un número natural y $z\in n$, tenemos que $z\subseteq n$. Así, por transitividad de la contención se sigue que $B\subseteq n$, por lo que $B$ tiene elemento mínimo y máximo con respecto a la pertenencia en $n$; esto es, existen $b_1,b_2\in B$ tales que para todo $b\in B\setminus\set{b_1}$, $b_1\in_n b$ y, para todo $b\in B\setminus\set{b_2}$, $b\in_n b_2$. Sea $b_1=\min_{\in_n} B$ y $b_2=\max_{\in_n} B$ los elementos mínimo y máximo de $B$ respecto a $\in_n$. Veamos que $b_1$ y $b_2$ son los elementos mínimo y máximo de $B$ con respecto a $\in_z$. Primero, por definición de elemento mínimo y máximo se tiene que $b_1$ y $b_2$ son elementos de $B$ y, en consecuencia, $b_1$ y $b_2$ son también elementos de $z$, ya que $B\subseteq z$. Ahora bien, para cualquier $b\in B\setminus\set{b_1}$ se tiene que $b\in z$ y, por ende, $(b_1,b)\in z\times z$. De manera análoga, $(b,b_2)\in z\times z$ para cualquier $b\in B\setminus\set{b_2}$. Además, $(b_1,b)\in\in_n$ y $(b,b_2)\in\in_n$ para cualquier $b\in B\setminus\set{b_1}$ y cualquier $b\in B\setminus\set{b_2}$, respectivamente. De esta manera, $(b_1,b)\in \in_n\cap(z\times z)=\in_z$ para cualquier $b\in B\setminus\set{b_1}$ y $(b,b_2)\in \in_n\cap(z\times z)=\in_z$ para cualquier $b\in B\setminus\set{b_2}$, lo que muestra que $b_1=\min_{\in_z}B$ y $b_2=\max_{\in_z}B$.
    Por lo tanto, $B$ tiene elemento mínimo y máximo con respecto a la pertenencia en $z$.

Por lo tanto, cualquier conjunto que sea elemento de un número natural va a resultar ser un número natural.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitirá reforzar el contenido visto en esta entrada, además de seguir trabajando el concepto de conjunto transitivos.

  • Prueba que si $x$ es un conjunto transitivo, entonces $\bigcap x$ es un conjunto transtivo.
  • Demuestra que si $x\subseteq y$ y $y$ es un conjunto transitivo, entonces $x$ es un conjunto transitivo.
  • Demuestra que si $n$ es un número natural, entonces $n\notin n$.
  • Demuestra que si $n$ y $m$ son números naturales, entonces no puede ocurrir que $n\in m$ y $m\in n$ al mismo tiempo.

Más adelante…

En la siguiente entrada definiremos al sucesor de un número natural, a partir de este nuevo concepto probaremos nuevas propiedades que conoceremos para los números naturales.

Enlaces

Teoría de los Conjuntos I: Construcción de los números naturales

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

Hasta ahora hemos usado a los números naturales como los conocemos desde la educación básica, sin embargo dado que estamos en un curso de teoría de conjuntos hablaremos de los números naturales desde la perspectiva de los conjuntos. En esta sección comenzaremos con la construcción rigurosa de los números naturales, sin dejar de lado la noción intuitiva que ya tenemos.

Construcción

Al principio del curso hablamos acerca de los primeros axiomas de la teoría de los conjuntos, vimos que existía un conjunto y que tal conjunto (vacío) no tiene elementos, además probamos su unicidad. Con base a los demás axiomas y al conjunto vacío construimos más conjuntos como $\set{\emptyset}$, $\set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$, $\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$, etcétera.

Si nos fijamos en la cantidad de elementos que tienen estos conjuntos notaremos que varía o que algunos tienen la misma cantidad pero son conjuntos distintos, como $\set{\emptyset}$ y $\set{\set{\emptyset}}$.

Dado que queremos construir a los números naturales lo que intentaremos hacer es asociarle a cada número un conjunto según la cantidad de elementos que tenga. Por el argumento anterior podemos deducir que existe más de una forma de hacer esto, por ejemplo:

\begin{align*}
0 &-\emptyset\\
1&-\set{\set{\emptyset}}\\
2&-\set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}}\\
3&-\set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}}}\\
\vdots
\end{align*}

Otra forma posible es la siguiente:

\begin{align*}
0 &-\emptyset\\
1&-\set{\emptyset}\\
2&-\set{\emptyset, \set{\emptyset}}\\
3&-\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}\\
\vdots
\end{align*}

Sin embargo, según la definición que daremos más adelante, vamos a requerir que nuestra construcción tenga ciertas características, por lo que aunque exista más de una forma de asociarle un número a un conjunto según la cantidad de elementos que este tenga nos quedaremos con la segunda forma.

Para definir formalmente a los números naturales comenzaremos definiendo una de las características que a simple vista cumplirá un número natural, tal característica es la de ser un conjunto transitivo.

Conjuntos transitivos

Definición: Sea $x$ un conjunto. Decimos que $x$ es un conjunto transitivo si para cualquier $y\in x$ se cumple que $y\subseteq x$.

Ejemplo:

Dado que nos quedamos con la segunda forma que dimos para identificar a los números naturales, al vacío le asociamos el número natural 0, por lo que este conjunto tendría que ser transitivo. En efecto, si $x=\emptyset$, se cumple por vacuidad que para cualquier $y\in \emptyset$, $y\subseteq \emptyset$. Por lo tanto, $\emptyset$ es un conjunto transitivo.

$\square$

Ejemplo:

Sea $x=\set{\emptyset}$. Dado que su único elemento es $y=\emptyset$, para ver que $x$ es transitivo basta ver que $\emptyset\subseteq \set{\emptyset}$ lo cuál sabemos que es cierto. Por lo tanto, $\set{\emptyset}$ es un conjunto transitivo.

$\square$

Ejemplo:

Sea $x=\set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}}$. Tenemos que $x$ no es transitivo. En efecto, pues $\set{\set{\emptyset}}\in x$ pero $\set{\set{\emptyset}}\not\subseteq x$ dado que $\set{\emptyset}\in \set{\set{\emptyset}}$ pero $\set{\emptyset}\notin x$. Por lo tanto, $\set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}}$ no es un conjunto transitivo.

$\square$

A continuación veremos algunas equivalencias para conjunto transitivo.

Proposición: Sea $x$ un conjunto. Entonces, $x$ es un conjunto transitivo si y sólo si $x\subseteq \mathcal{P}(x)$.

Demostración:

Si $x=\emptyset$, entonces se cumple que $\emptyset\subseteq \mathcal{P}(x)=\set{\emptyset}$.

Supongamos ahora que $x\not=\emptyset$. Sea $y\in x$, como $x$ es un conjunto transitivo se tiene que $y\subseteq x$ y por lo tanto, $y\in \mathcal{P}(x)$. Así, $x\subseteq \mathcal{P}(x)$.

Ahora, supongamos que $x\subseteq \mathcal{P}(x)$ y veamos que $x$ es un conjunto transitivo. Sea $y\in x$, tenemos que $y\in \mathcal{P}(x)$ y así, $y\subseteq x$.

Por lo tanto, $x$ es un conjunto transitivo.

$\square$

Proposición: Sea $x$ un conjunto. Si $x$ es un conjunto transitivo, entonces $\bigcup x\subseteq x$.

Demostración:

Si $x=\emptyset$, entonces $\bigcup x= \emptyset\subseteq \emptyset=x$.

Si $x\not=\emptyset$.
Sea $y\in \bigcup x$, entonces existe $z\in x$ tal que $y\in z$. Luego, como $z\in x$ y $x$ es un conjunto transitivo entonces $z\subseteq x$ y así, $y\in x$. Por lo tanto, $\bigcup x\subseteq x$.

$\square$

Otros resultados para conjuntos transitivos

A continuación y para concluir esta entrada veremos algunos resultados para conjuntos transitivos, esta vez con respecto a la intersección y la unión.

Proposición: Si $x$ y $y$ son conjuntos transitivos, entonces $x\cap y$ es un conjunto transitivo.

Demostración:

Sean $x$ y $y$ conjuntos transitivos. Veamos que $x\cap y$ es un conjunto transitivo, es decir, para cada $z\in x\cap y$ se cumple que $z\subseteq x\cap y$.

  1. Como $x$ es un conjunto transitivo, entonces para cualquier $z\in x$ se cumple que $z\subseteq x$.
  2. Dado que $y$ es un conjunto transitivo, entonces para cualquier $z\in y$ se cumple que $z\subseteq y$.

De $1$ y $2$ podemos concluir que para cualquier $z\in x\cap y$ se satisface que $z\subseteq x\cap y$.

Por lo tanto, $x\cap y$ es un conjunto transitivo.

$\square$

Proposición: Si $x$ y $y$ son conjuntos transitivos, $x\cup y$ es un conjunto transitivo.

Demostración:

Sean $x$ y $y$ conjuntos transitivos. Veamos que $x\cup y$ es un conjunto transitivo, es decir, para cada $z\in x\cup y$ se cumple que $z\subseteq x\cup y$.

  1. Como $x$ es un conjunto transitivo, entonces para cualquier $z\in x$ se cumple que $z\subseteq x$.
  2. Dado que $y$ es un conjunto transitivo, entonces para cualquier $z\in y$ se cumple que $z\subseteq y$.

De $1$ y $2$ podemos concluir que para cualquier $z\in x\cup y$ se satisface que $z\subseteq x\cup y$.

$\square$

Tarea moral

  • ¿Cuál de los siguientes conjuntos es transitivo?
    1. $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$,
    2. $\set{\set{\emptyset}}$,
    3. $\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$.
  • Demuestra que $(\set{\emptyset, \set{\emptyset}}, \in)$ es un conjunto totalmente ordenado.
  • Demuestra que $x=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ tiene elemento máximo y elemento mínimo en el orden $\in_x$.
  • Sea $x$ un conjunto. Demuestra que si $\bigcup x\subseteq x$, entonces $x$ es un conjunto transitivo.

Más adelante…

En la siguiente entrada daremos la definición formal y rigurosa de que es un número natural. Además demostraremos algunas de sus propiedades.

Enlaces

Teoría de los Conjuntos I: Orden total

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En esta sección hablaremos acerca de ordenes totales, retomaremos el concepto de orden parcial y orden parcial estricto y añadiremos el concepto de ser comparable. Además hablaremos acerca del orden lexicográfico vertical y horizontal.

Concepto

Definición: Sea $\leq$($<$) una relación de orden en $A$ y sean $a, b\in A$. Decimos que $a$ y $b$ son $\leq$-comparables($<$-comparables) en el orden $\leq$ ($<$) si:

$a\leq b$ o $b\leq a$
($a<b$, o $a=b$, o $b<a$).

Ejemplo:

Sea $A=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ y sea $\subseteq_A$ la relación dada por el conjunto

$\subseteq_A=\set{(\emptyset, \emptyset), (\emptyset, \set{\emptyset}), (\emptyset, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}), (\set{\emptyset},\set{\emptyset}), (\set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}), (\set{\emptyset, \set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}})}$

una relación de orden parcial.

Luego, dados $a,b\in A$ podemos decidir si $a\subseteq b$ o $b\subseteq a$. En efecto,

  • Si $a=\emptyset$ y $b=\emptyset$, entonces $a\subseteq_A b$ y $b\subseteq_A a$.
  • Si $a=\set{\emptyset}$ y $b=\set{\emptyset}$, entonces $a\subseteq_A b$ y $b\subseteq_A a$.
  • Si $a= \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y $b=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$, entonces $a\subseteq_R b$ y $b\subseteq_R a$.
  • Si $a=\emptyset$ y $b=\set{\emptyset}$, entonces $a\subseteq_R b$.
  • Si $a=\emptyset$ y $b=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$, entonces $a\subseteq_A b$.
  • Si $a=\set{\emptyset}$ y $b=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$, entonces $a\subseteq_A b$.

$\square$

Ejemplo:

Sea $A=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ y sea $R$ la relación dada por el conjunto $R=\set{(\emptyset, \set{\emptyset}), (\emptyset, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}), (\set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}})}$ una relación de orden parcial estricto.

Notemos que $aRb$ si y sólo si $a\in b$ para $a,b\in A$. Luego, dados $a,b\in A$ podemos decidir si $a\in b$, $a=b$ o $b\in a$. En efecto,

  • Si $a=\emptyset$ y $b=\emptyset$, entonces $a=b$,
  • Si $a=\set{\emptyset}$ y $b=\set{\emptyset}$, entonces $a=b$,
  • Si $a= \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y $b=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$, entonces $a=b$,
  • Si $a=\emptyset$ y $b=\set{\emptyset}$, entonces $a\in b$ y así, $aRb$,
  • Si $a=\emptyset$ y $b=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$, entonces $a\in b$ y así, $aRb$,
  • Si $a=\set{\emptyset}$ y $b=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$, entonces $a\in b$ y así, $aRb$.

$\square$

Definición: Sea $A$ un conjunto y sea $\leq$ ($<$) orden parcial (estricto) en $A$. Si para cualesquiera $a, b\in A$ son $\leq(<)$-comparables, entonces $\leq(<)$ es un orden total.

Ejemplo:

Sea $A=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ y sea $R$ la relación dada por el conjunto

$R=\set{(\emptyset, \emptyset), (\emptyset, \set{\emptyset}), (\emptyset, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}), (\set{\emptyset},\set{\emptyset}), (\set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}), (\set{\emptyset, \set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}})}$.

Ya vimos en la parte de arriba que todos los elementos de $A$ son $\leq$-comparables y por lo tanto, $R$ es un orden total.

$\square$

Ejemplo:

Sea $A=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ y sea $R$ la relación dada por el conjunto

$R=\set{(\emptyset, \set{\emptyset}), (\emptyset, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}), (\set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}})}$.

Ya vimos que todos los elementos de $A$ son $<$-comparables y por lo tanto, $R$ es un orden total.

$\square$

Orden lexicográfico vertical

Ahora, vamos a dar un orden al producto cartesiano de dos conjuntos ordenados. Para ello conviene hacer mención de lo siguiente: si $(A,\leq_A)$ es un conjunto parcialmente ordenado y tenemos dos elementos $a,b\in A$ tales que $a\leq_Ab$ pero $a\not=b$, entonces escribiremos simplemente $a<_Ab$. De esta manera, en un conjunto parcialmente ordenado $(A,\leq_A)$, si $a,b\in A$, el símbolo $a<_Ab$ significará $a\leq_Ab$ y $a\not=b$.

Definición: Sean $(A, \leq_A)$ y $(B, \leq_B)$ conjuntos totalmente ordenados. Definimos al orden lexicográfico vertical en $A\times B$ como sigue:

$(a,b)\ll_v (a’, b’)$ si y sólo si ($a<_A a’$) o ($a=a’$ y $b\leq_B b’$).

Proposición: El orden lexicográfico vertical es un orden total.

Demostración:

  • Reflexividad:
    Sea $(a,b)\in A\times B$. Dado que $b\in B$ y $\leq_B$ es un orden parcial en $B$, entonces $\leq_B$ es una relación reflexiva y así $b\leq_B b$. En consecuencia, la conjunción $a=a$ y $b\leq_B b$ es verdadera, y por tanto $(a,b)\ll_v (a,b)$. De esta manera, $\ll_v$ es reflexivo.
  • Antisimetría:
    Sean $(a,b), (c,d)\in A\times B$ tales que $(a,b)\ll_v (c,d)$ y $(c,d)\ll_v (a,b)$. Veamos que $(a,b)=(c,d)$, es decir, $a=c$ y $b=d$.
    Como $(a,b)\ll_v (c,d)$ entonces, ($a<_A c$) o ($a=c$ y $b\leq_B d$).
    Como $(c,d)\ll_v (a,b)$ entonces, ($c<_A a$) o ($c=a$ y $d\leq_B b$).
    Luego, tiene que ocurrir que $a=c$ y $b\leq_Bd$. Para probarlo supongamos que esto no ocurre buscando generar una contradicción. Dado que la conjunción $a=c$ y $b\leq_Bd$ no es verdadera, pues estamos suponiendo que no ocurre, entonces, necesariamente debe ser cierto que $a<_Ac$. Ahora, no puede ocurrir que $c<_Aa$, pues de ser así tendríamos que $c<_Aa$ y $a<_Ac$ son verdaderas al mismo tiempo, y por ende se tendría que $c\leq_A a$ pero $c\not=a$ y que $a\leq_Ac$ pero $a\not=c$. Así, en particular obtenemos que $c\leq_Aa$ y $a\leq_Ac$, pero esto implica que $a=c$ pues $\leq_A$ es una relación antisimétrica. Este último hecho contradice que $a\not=c$. Por tanto, no puede ocurrir que $c<_Aa$. Como consecuencia debe ser cierto que $c=a$ y $d\leq_Bb$, pero esto nuevamente contradice el hecho de que $a<_Ac$, es decir, que $a\leq_Ac$ y $a\not=c$. Como la contradicción viene de suponer que $a<_Ac$, entonces, debe ser cierto que $a=c$ y $b\leq_Bd$. Ya tenemos entonces que $a=c$ por lo que resta ver que $b=d$. Como $a=c$ entonces no puede ocurrir que $c<_Aa$ y, por tanto, debe ocurrir que $c=a$ y $d\leq_Bb$ es verdadero. De esta manera tenemos que $b\leq_Bd$ y $d\leq_Bb$, de donde $d=b$ pues $\leq_B$ es una relación antisimétrica.
    Por lo tanto, $(a,b)=(c,d)$ lo que demuestra que $\ll_v$ es una relación antisimétrica.
  • Transitividad:
    Sean $(a,b), (c,d), (e,f)\in A\times B$ tales que $(a,b)\ll_v (c,d)$ y $(c,d)\ll_v (e,f)$. Veamos que $(a,b)\ll_v(e,f)$.
    Como $(a,b)\ll_v (c,d)$ entonces, ($a<_A c$) o ($a=c$ y $b\leq_B d$).
    Como $(c,d)\ll_v (e,f)$ entonces, ($c<_A e$) o ($c=e$ y $d\leq_B f$).
    Caso 1: Si $a<_Ac$ y $c<_A e$. Por transitividad de $<_A$ se tiene que $a<_A e$. Por lo tanto, ($a<_A e$) o ($a=e$ y $b\leq_B f$) es verdadero y así, $(a,b)\ll_v (e,f)$.
    Caso 2: Si $a<_Ac$ y $c=e$ y $d\leq_B f$, entonces $a<_A e=c$. Por lo tanto, ($a<_A e$) o ($a=e$ y $b\leq_B f$) es verdadero y así, $(a,b)\ll_v (e,f)$.
    Caso 3: Si $a=c$ y $b\leq_B d$ y $c<_A e$, entonces $a=c<_A e$. Por lo tanto, ($a<_A e$) o ($a=e$ y $b\leq_B f$) es verdadero y así, $(a,b)\ll_v (e,f)$.
    Caso 4: Si $a=c$ y $b\leq_B d$ y $c= e$ y $d\leq_B f$, entonces $a=e$ y $b\leq_B f$ por transitividad de $\leq_B$. Por lo tanto, ($a<_A e$) o ($a=e$ y $a\leq_B e$) es verdadero y así, $(a,b)\ll_v (e,f)$.
    Por lo tanto, $\ll_v$ es transitivo.
    Por lo tanto, $\ll_v$ es un orden parcial en $A\times B$.

Para ver que $\ll_v$ es un orden total en $A\times B$ debemos ver que todos sus elementos son $\ll_v$ comparables.

Sean $(a,b), (c,d)\in A\times B$, veamos que $(a,b)\ll_v (c,d)$ o $(c,d)\ll_v(a,b)$.

Dado que $(a,b), (c,d)\in A\times B$, entonces $a,c\in A$ y $b,d\in B$. Luego, como $\leq_A$ y $\leq_B$ son órdenes totales en $A$ y $B$ respectivamente, tenemos que sus elementos son comparables, es decir, ($a\leq_A c$ o $c\leq_A a$) y ($b\leq_B d$ o $d\leq_B b$).

Caso 1: Si $a\leq_A c$ y $b\leq_B d$, hay dos posibles casos. Si $a<_A c$ y $b\leq_B d$ se tiene que $(a,b)\ll_v (c,d)$. Ahora, si $a=c$ y $b\leq_B d$ entonces $(a,b)\ll_v (c,d)$.

Caso 2: Si $a\leq_A c$ y $d\leq_B b$, hay dos posibles casos. Si $a<_A c$, entonces $(a,b)\ll_v (c,d)$. Ahora, si $a=c$ y $d\leq_B b$ entonces $(c,d)\ll_v (a,b)$.

Caso 3: Si $c\leq_A a$ y $b\leq_B d$, hay dos posibles casos. Si $c<_A a$, entonces $(c,d)\ll_v (a,b)$. Ahora, si $a=c$ y $b\leq_B b$ entonces $(a,b)\ll_v (c,d)$.

Caso 4: Si $c\leq_A a$ y $d\leq_B b$, hay dos posibles casos. Si $c<_A a$, entonces $(c,d)\ll_v(a,b)$. Ahora, si $c=a$ y $d\leq_B b$, entonces $(c,d)\ll_v (a,b)$.

$\square$

Orden lexicográfico horizontal

A continuación definiremos al orden lexicográfico horizontal, este orden también será un orden total. (Probar que $(A\times B, \ll_h)$ es un orden total será parte de tu tarea moral).

Definición: Sean $(A, \leq_A)$ y $(B, \leq_B)$ conjuntos totalmente ordenados. Definimos al orden lexicográfico horizontal en $A\times B$ como sigue:

$(a,b)\ll_h (a’, b’)$ si y sólo si ($b<_B b’$) o ($b=b’$ y $a\leq_A a’$).

Tarea moral

  • Demuestra que el orden lexicográfico horizontal es un orden total.
  • Consideremos $(\mathcal{P}(\set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}}, \subseteq)$. Da dos elementos que no sean comparables.
  • Si consideramos $(A, \leq_A)$ y $(B, \leq_B)$ conjuntos parcialmente ordenados y definimos la relación producto en $A\times B$ como:
    $(a,b)\ll_{A\times B} (c,d)$ si y sólo si $a\leq_A c$ y $b\leq_B d$.
    Demuestra que $\ll_{A\times B}$ no es un orden total.

Más adelante…

En la siguiente sección hablaremos acerca de elementos mínimos y máximos en un conjunto ordenado. Además hablaremos acerca de cotas superiores e inferiores. Así como de otros conceptos que nos permitan acotar a un conjunto.

Enlaces

Álgebra Superior I: Órdenes parciales y totales

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

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Introducción

En la entrada pasada, hemos introducido algunos tipos de relaciones de un conjunto en sí mismo. En esta entrada y en la siguiente, veremos algunos ejemplos de este tipo de relaciones, y lo haremos con un concepto que puede que te suene muy familiar desde algunas ideas básicas de los números: el órden.

Ordenes

En la vida cotidiana muchas veces nos surge la necesidad de comparar distintas cosas. Por ejemplo, podemos comparar qué tan lejos está un lugar a comparación de otros. Podemos decir que si una plaza comercial nos queda a dos kilómetros, está más cerca de un parque que queda a tres kilómetros de distancia. ¿Por qué pasa esto? Pues nosotros tenemos alguna noción de que dos kilómteros es menor distancia que tres. O al comparar el tamaño del disco duro de alguna computadora, podemos decir que $512$ Gb es mejor que $256$ Gb, puesto que el de $512$ tiene una mayor capacidad del de $256$. ¿Ves como es que usamos las palabras de mayor y menor? Cuando nosotros estamos usando la noción de ser mayor que o menor que, estamos hablando de un orden. Que es un tipo de relación entre un conjunto consigo mismo, por ahora veremos dos tipos de órdenes entre conjuntos: el orden parcial y el orden total.

Órdenes parciales

Piensa en la relación de $\mathbb{Z}^2$ dada por «ser menor o igual a», es decir la relación:

$$ \leq = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2: x \text{ es menor o igual a } y\}$$

Por ejemplo, $(1,2) \in \leq$ pues $1$ es menor o igual a $2$. Si dos elementos $x,y$ están relacionados mediante $\leq$, simplemente escribiremos $x\leq y$ en lugar de $(x,y) \in \leq$. Veamos algunas propiedades que tiene esta relación:

  1. $\leq$ es simétrica. Nota que para cualquier $x \in \mathbb{Z}$ sucede que $x=x$, en general $x \leq x$, pues la relación $\leq$ está dada por «ser menor o igual», y $x$ es igual a sí mismo.
  2. $\leq$ es antisimétrica. Para ver esto, nota que si sucede al mismo tiempo que $x \leq y$ y $y \leq x$, entonces estamos diciendo que $x$ es igual o menor a $y$ al mismo tiempo que $y$ es menor o igual a $x$. De tal forma que sucede que $$(x<y \lor x=y) \land (y<x \lor y=x) \Leftrightarrow (x<y \land y<x) \lor (x=y).$$ Nota que la primera condición no se cumple, entonces tiene que pasar que $x=y$
  3. $\leq$ es transitiva. Considera tres números $x,y,z \in \mathbb{Z}$ Y nota que si $x \leq y \land y \leq z$ entonces $x \leq z$.

Es por estas propiedades que decimos que la relación $\leq$ es un orden parcial.

Definición. Sea $X$ un conjunto y $R$ una relación de $X$ consigo misma. Diremos que $R$ es un orden parcial sobre $X$ si $R$ es relfexica, antisimétrica y transitiva a la vez.

Otro ejemplo de un orden parcial es la relación de inclusión $\subset$ dentro de los subconjuntos de algún conjunto $X$. Pues recordemos que esta relación está dada por «estar contenido en». Ahora, considera $A,B,C \in \mathcal{P}(X)$, entonces:

  • $\subset$ es reflexiva. Nota que como $A=A$, entonces $A \subset A$.
  • $\subset$ es antisimétrica. Si $A \subset B \land B \subset A$, entonces:$$\forall x ((x \in A \Rightarrow x \in B) \land (x \in B \Rightarrow x \in A)).$$ La cual es una equivalencia de $$\forall x (x \in A \Leftrightarrow x \in B) .$$ Es decir $A=B$.
  • $\subset$ es transitiva. Si $A \subset B \land B \subset C$ entonces:
    $$\begin{align*}
    \forall x((x \in A \Rightarrow x \in B) \land (x \in B \Rightarrow x \in C))
    \end{align*}$$ Y recordemos que podemos aplicar la regla de inferencia usada en demostraciones directas para demostrar que esto significa que
    $$\begin{align*}
    \forall x((x \in A \Rightarrow x \in B) \land (x \in B \Rightarrow x \in C)) &\Rightarrow \forall x(x \in A \Rightarrow x \in C)\\
    &\Leftrightarrow A \subset C.
    \end{align*}$$

Órdenes totales

Ahora, vamos a ver el siguiente concepto que es el de órdenes totales, que en pocas palabras son órdenes parciales con la propiedad de la tricotomía. Veamos de qué trata.

Cuando estemos hablando de un órden total, necesitamos que además de ser un orden parcial, tengamos siempre alguna forma de comparar los elementos de dicho conjunto. Por ejemplo, cuando tengamos dos números enteros $x,y$ siempre podemos decir que $x < y \lor x=y \lor x>y$, es decir, se cumple la propiedad de la tricotomía.

Definición. Sea $X$ un conjunto y $R$ una relación de $X$ en sí misma. Diremos que $R$ tiene la propiedad de la tricotomía, si para cada par de elementos $x,y \in X$ pasa que $x=y$ ó $(x,y) \in R$ ó $(y,x) \in R$.

Esta última definición hace que se nos permita poder «comparar» los elementos de $X$, siempre podemos decir cuál es el orden entre cada par de elementos. Piénsalo como un: si una relación tiene la tricotomía, entonces podemos siempre saber cómo se relacionan todos los elementos entre sí. Un orden total será un orden parcial que tiene esta propiedad.

Definición. Sea $X$ un conjunto y $R$ una relación de $X$ en sí misma. Diremos que $R$ es un orden total si es parcial y tiene la propiedad de la tricotomía.

Algunos ejemplos de órdenes totales son:

  • El orden de $\leq$ en $\mathbb{Z}^2$.
  • Las letras del abecedario con el orden usual. $A<B<C<\dots<Z$
  • Las palabras del diccionario forman un orden de acuerdo a cómo son las letras en las palabras, por ejemplo, si buscamos la palabra «oso», esta vendrá antes que la palabra «ratón», pues antes viene la letra «o» que la «r». A su vez, «casa» viene antes que la palabra «caspa», pues todas las letras «cas» son iguales, pero «a» viene antes que la «p». A este orden se le conoce como el orden lexicográfico. Si quieres saber más, revisa la tarea moral.

Otras definiciones sobre el orden

Dentro de un conjunto $X$ total o parcialmente ordenado mediante una relación $\leq$, podemos tener elementos especiales que tendrán nombres particulares. Como por ejemplo:

Definición. Sea $X$ un conjunto con un orden parcial $\leq$ y $x \in X$. Diremos que:

  • $x$ es un elemento maximal si para cualquier $y \in X$ distinta que $x$ no se cumple que $y \leq x$.
  • $x$ es un elemento minimal si para cualquier $y \in X$ distinta que $x$ no se cumple que $x \leq y$.
  • $x$ es un elemento máximo si para cualquier $y \in X$ se cumple que $y \leq x$.
  • $x$ es un elemento mínimo si para cualquier $y \in X$ se cumple que $x \leq y$.

Lo que nos quieren decir estas definiciones es que un elemento es maximal (o minimal) si no existe algún elemento por «arriba (o debajo)» de $x$. Es decir que no podemos encontrar un elemento que esté «después (o antes)» con respecto al orden $\leq$. Lo que nos dice un elemento máximo (o mínimo) es que todo elemento va a ser «menor o igual (mayor o igual)» a $x$. Si lo piensas, pueden sonar a definiciones muy parecidas, y de hecho siempre que un elemento sea máximo (o mínimo), será maximal (o minimal), pero el inverso puede no ser cierto.

La diferencia entre maximal y máximo está en que un máximo $x$ nos indica que siempre podemos comparar cualquiera otro de los elementos $y$ con el máximo y siempre resultará que $y \leq x$. Mientras que un maximal solo nos dice que no existirá un elemento $y$ tal que $x \leq y$, es decir no encontraremos una comparación en el que $x$ resulte ser menor. Lo mismo pasará con el minimal y mínimo.

Por ejemplo, piensa en el conjunto $X=\{1,2,3\}$ y el orden parcial $\leq = \{(1,1),(2,2),(3,3),(1,3),(2,3)\}$. Nota que aquí $3$ es un máximo, pues pasa que $1 \leq 3, 2 \leq 3, 3 \leq 3 $, pero $1$ es minimal, pues $1 \leq 3$ y como $2$ no se compara con $1$, entonces se cumple que no existe algún elemento por «debajo» de él. De la misma manera, $2$ es minimal.

Ahora, considera otro orden parcial sobre el mismo conjunto, dado por $\leq* = \{(1,1),(2,2),(3,3),(1,3),(1,2)\}$. Y nota que ahora sucede que bajo este orden, $1$ es mínimo y $2,3$ son elementos maximales.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Define la relación de orden lexicográfico $\leq_{lex}$ en $\mathbb{Z}^2 \times \mathbb{Z}^2$ en donde $(x,y) \leq_{lex} (w,z)$ si $x \leq y \lor (x=y \land (b \leq d))$. Muestra que $\leq_{lex}$ es un orden total.
  2. Demuestra que si un conjunto con un orden parcial tiene máximo (o mínimo), este es único.
  3. Considera al conjunto $X=\{1,2,3,6,18\}$ y a la relación $|$ «dividir a » dada por:
    $$\begin{align*}
    |=\{&(1,1),(1,2),(1,3),(1,6),(1,18),\\
    &(2,2),(2,6),(2,18),(3,3),(3,6),\\
    &(3,18),(6,6),(6,18),(18,18)\}.
    \end{align*}$$ Y resuelve lo siguiente:
    • Demuestra que $X$ es un orden parcial pero no total.
    • Encuentra el elemento mínimo.
    • Encuentra el elemento máximo.

Más adelante…

En esta entrada nos hemos enfocado en dos tipos de orden, que son los parciales y totales, y estos no solo serán útiles en este curso, pues será un concepto recurrente en temas de cálculo, geometría y demás materias. Por ahora, introdujimos este concepto y pasaremos a otro que igual se usarán mucho, que son las relaciones de equivalencia, que nos permite «partir conjuntos» de acuerdo a elementos que se relacionen entre sí.

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