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Geometría Moderna I: Trigonometría

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

Introducción

En esta entrada presentaremos las razones trigonométricas respecto de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, estas pueden ser vistas como funciones si consideramos el ángulo como una variable, veremos como extender estas funciones a ángulos de cualquier magnitud y algunas identidades trigonométricas.

Razones trigonométricas

Definiciones. Consideremos un triángulo rectángulo $\triangle ABC$ donde $AB$ es la hipotenusa y sea $\alpha =  \angle BAC$, decimos que $BC$ es el cateto opuesto a $\alpha$ y $AC$ es el cateto adyacente a $\alpha$.

Definimos las razones trigonométricas respecto del ángulo $\alpha$ como sigue:

El seno del ángulo $\alpha$ como $\dfrac{c.opuesto}{hipotenusa}$ y lo denotamos como $\sin \alpha = \dfrac{BC}{AB}$.
El coseno del ángulo $\alpha$ como $\dfrac{c.adyacente}{hipotenusa}$ y lo denotamos como $\cos \alpha = \dfrac{AC}{AB}$.
La tangente del ángulo $\alpha$ como $\dfrac{c.opuesto}{c.adyacente}$ y lo denotamos como $\tan \alpha = \dfrac{BC}{AC}$.
La cosecante del ángulo $\alpha$ como como $\dfrac{hipotenusa}{c.opuesto}$ y lo denotamos como $\csc \alpha = \dfrac{AB}{BC}$.
La secante del ángulo $\alpha$ como $\dfrac{hipotenusa}{c.adyacente}$  y lo denotamos como $\sec \alpha = \dfrac{AB}{AC}$.
La cotangente del ángulo $\alpha$ como $\dfrac{c.adyacente}{c.opuesto}$ y lo denotamos como $\cot \alpha = \dfrac{AC}{BC}$.

Figura 1

Si consideramos el ángulo complementario a $\alpha$, $\beta = \angle CBA$, entonces de las definiciones se siguen las siguientes relaciones:

$\sin \alpha = \cos \beta$, $\cos \alpha = \sin \beta$, $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, $\tan \alpha \tan \beta = 1$.

$\csc \alpha = \sec \beta$, $\sec \alpha = \csc \beta$, $\cot \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, $\cot \alpha \cot \beta = 1$.

Círculo trigonométrico

Consideremos $(O, 1)$ un círculo con centro en $O$ de radio $1$, por $O$ trazamos dos rectas perpendiculares $x$ e $y$, tomamos un punto $P \in (O, 1)$ en el cuadrante formado por el rayo derecho $Ox$ y el rayo superior $Oy$ y trazamos las proyecciones $X$, $Y$ de $O$ a las rectas $x$, $y$ respectivamente.

El triángulo $\triangle OPX$ es rectángulo y su hipotenusa $OP = 1$, si consideramos el ángulo $\angle XOP = \gamma$ entonces
$\sin \gamma = PX$ y
$\cos \gamma = OX$.

Figura 2

Tracemos la tangente a $(O, 1)$ por $Q$, la intersección entre $x$ y $(O, 1)$, tomemos $R$ como la intersección entre la tangente y $OP$ entonces $RQ \parallel PX$ y los triángulos $\triangle OPX$ y $\triangle ORQ$ son semejantes por lo tanto
$\tan \gamma = \dfrac{PX}{OX} = \dfrac{RQ}{OQ} = RQ$ y
$\sec \gamma = \dfrac{OP}{OX} = \dfrac{OR}{OQ} = OR$.

Ahora trazamos la tangente a $(O, 1)$ por $S$, la intersección de $y$ con $(O, 1)$, tomamos $T$ como la intersección de la tangente con $OP$ entonces $ST \parallel x$, por lo tanto $\gamma = \angle STO$ y así $\triangle OPX$ y $\triangle TOS$ son semejantes, por lo tanto,
$\csc \gamma = \dfrac{OP}{PX} = \dfrac{OT}{OS} = OT$ y 
$\cot \alpha = \dfrac{OX}{PX} = \dfrac{ST}{OS} = ST$.

Con esta construcción podemos extender las definiciones de función trigonométrica para ángulos agudos a ángulos de cualquier magnitud trasladando el punto $P$ alrededor de la circunferencia $(O, 1)$ y tomando las proyecciones de $P$, $X$ e $Y$ a las rectas $x$ e $y$ respectivamente que tomaremos como positivas si se encuentran en los rayos derecho y superior o negativas si se encuentran en los rayos izquierdos e inferior de las rectas $x$, $y$ respetivamente.

De esta manera todas las razones trigonométricas quedan determinadas por el valor de $\sin \gamma = PX$ y $\cos \gamma = OX$.

Teorema 1, identidad pitagórica. Sea $0 \leq \gamma < 2\pi$ entonces, $\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma = 1$.

Demostración. Aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo $\triangle OPX$, (figura 2).

$1 = PX^2 + OX^2 = \sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma$.

$\blacksquare$

Ley extendida de senos

Teorema 2, ley extendida de los senos. Sean $\triangle ABC$ y $(O, R)$ su circuncírculo, etiquetemos $\angle BAC = \alpha$, $\angle CBA = \beta$, $\angle ACB = \gamma$ y $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$ las longitudes de sus lados, entonces
$\dfrac{\sin \alpha}{a} = \dfrac{\sin \beta}{b} = \dfrac{\sin \gamma}{c} = \dfrac{1}{2R}$.

Demostración. Tracemos $D$ el punto diametralmente opuesto a $C$, entonces $\angle BDC = \alpha$, pues subtienden el mismo arco.

$\angle CBD$ es un ángulo recto, pues $CD$ es diámetro, por lo tanto $\sin \alpha = \sin \angle BDC = \dfrac{a}{CD}$.

Por lo tanto, $\dfrac{\sin \alpha}{a} = \dfrac{1}{2R}$.

Figura 3

De manera análoga podemos ver que
$\sin \beta = \dfrac{b}{2R}$ y
$\sin \gamma = \dfrac{c}{2R}$.

Por lo tanto, $\dfrac{\sin \alpha}{a} = \dfrac{\sin \beta}{b} = \dfrac{\sin \gamma}{c} = \dfrac{1}{2R}$.

$\blacksquare$

Corolario. El seno de un ángulo inscrito en una circunferencia de diámetro $1$ es igual a la cuerda que abarca dicho ángulo.

Demostración. Se sigue de sustituir $2R = 1$ en el teorema anterior.

$\blacksquare$

Ley de cosenos

Teorema 3, ley de cosenos. Sean $\triangle ABC$, $\angle BAC = \alpha$, $\angle CBA = \beta$, $\angle ACB = \gamma$ y $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$ las longitudes de sus lados, entonces se da la siguiente igualdad:
$c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma$.

Demostración. Trazamos $D$ el pie de la perpendicular a $BC$ desde $A$ y aplicamos el teorema de Pitágoras a $\triangle ABD$ y $\triangle ADC,$ de donde obtenemos

$\begin{equation} c^2 = AD^2 + (a – DC)^2 = AD^2 + a^2 – 2a(DC) + DC^2, \end{equation}$
$b^2 = AD^2 + DC^2$
$\Leftrightarrow$ $\begin{equation} AD^2 = b^2 – DC^2. \end{equation}$

Figura 4

Sustituimos $(2)$ en $(1)$ y obtenemos $c^2 = b^2 + a^2 – 2a(DC)$.

Por otro lado $\cos \gamma = \dfrac{DC}{b}$ $\Leftrightarrow$ $b \cos \gamma = DC$.

Así que $c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma$.

De manera similar se puede ver que
$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos \alpha$ y
$b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cos \beta$.

$\blacksquare$

El seno de la suma

Teorema 4, el seno de la suma de dos ángulos. Sean $\alpha$ y $\beta$ ángulos agudos entonces $\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha$.

Demostración. Sea $\square ABCD$ cíclico tal que $BD = 1$ es diámetro del circuncírculo, $\angle DBA = \alpha$ y $\angle CBD =\beta$.

Figura 5

Como consecuencia del corolario tenemos que $AC = \sin (\alpha + \beta)$, ademas $\triangle BAD$ y $\triangle DCB$ son triángulos rectángulos pues $DB$ es diámetro.

Se sigue que
$AB = \cos \alpha$,
$CD = \sin \beta$,
$AD = \sin \alpha$ y
$BC = \cos \beta$.

El teorema de Ptolomeo nos dice que
$\begin{equation} AC \times BD = AB \times CD + BC \times AD. \end{equation}$

Por lo tanto, $\sin (\alpha + \beta) = \cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta$.

$\blacksquare$

El coseno de la suma

Teorema 5, el coseno de la suma de dos ángulos. Sean $\alpha \ne 0$ y $\beta$ ángulos agudos tales que $\alpha + \beta < \dfrac{\pi}{2}$ entonces $\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta$.

Demostración. Sea $\square ABCD$ cíclico tal que $BC = 1$ es diámetro del circuncírculo, $\angle CBD = \alpha$ y $\angle DBA = \beta$.

Figura 6

Como $\triangle BAC$ y $\triangle BDC$ son triángulos rectángulos y $BC = 1$ tenemos que
$AC = \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha$ (teorema 4),
$BD = \cos \alpha$,
$AB = \cos (\alpha + \beta)$,
$CD = \sin \alpha$,
$AD = \sin \angle DCA = \sin \beta$ (corolario).

Por el teorema de Ptolomeo $(3)$, aplicado a $\square ABCD$ obtenemos:
$\cos (\alpha + \beta) \sin \alpha + \sin \beta$
$= (\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha) \cos \alpha$
$= \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha + \sin \beta \cos^2 \alpha$
$ = \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha + (\sin \beta)(1 – \sin^2 \alpha)$ (teorema 1)
$= \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha – \sin \beta \sin^2 \alpha + \sin \beta$.

$\Leftrightarrow$$\cos (\alpha + \beta) \sin \alpha = \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha – \sin \beta \sin^2 \alpha$.

Por lo tanto, $\cos (\alpha + \beta) = \cos \beta \cos \alpha -\sin \beta \sin \alpha$.

$\blacksquare$

Seno y coseno del ángulo medio

Teorema 6, el seno y el coseno del ángulo medio. Sea $\alpha \ne 0$ un ángulo agudo entonces
$\sin \dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1 – \cos \alpha}{2}}$ y $\cos \dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1 + \cos \alpha}{2}}$.

Demostración. Sea $\square ABCD$ cíclico tal que $BC = 1$ es diámetro y $\angle CBD = \angle DBA = \dfrac{\alpha}{2}$.

Figura 7

Ya que $\triangle BAC$ y $\triangle BDC$ son triángulos rectángulos podemos ver que
$AC = \sin \alpha$,
$BD = \cos \dfrac{\alpha}{2}$,
$AB = \cos \alpha$,
$CD = \sin \dfrac{\alpha}{2}$,
$AD = \sin \angle DCA = \sin \dfrac{\alpha}{2}$ (corolario).

Aplicando Ptolomeo $(3)$ y el teorema 4 obtenemos:
$\cos \alpha \sin \dfrac{\alpha}{2} + \sin \dfrac{\alpha}{2} = \sin \alpha \cos \dfrac{\alpha}{2} $
$= \sin (\dfrac{\alpha}{2} +\dfrac{\alpha}{2}) \cos \dfrac{\alpha}{2} = 2 \sin \dfrac{\alpha}{2} \cos^2 \dfrac{\alpha}{2}$.

Por lo tanto, $2 \sin \dfrac{\alpha}{2} \cos^2 \dfrac{\alpha}{2} = \sin \dfrac{\alpha}{2} (\cos \alpha + 1)$ $\Rightarrow$  
$\begin{equation} \cos^2 \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\cos \alpha + 1}{2}. \end{equation}$

De donde se sigue que $\cos \dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{\cos \alpha + 1}{2}}$.

Ahora sustituimos la identidad pitagórica en la ecuación $(4)$ y obtenemos:
$1 – \sin^2 \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\cos \alpha + 1}{2}$
$\Leftrightarrow$
$\sin \dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1 – \cos \alpha}{2}}$.

$\blacksquare$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te ayudarán a repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. $i)$ A partir de un triangulo equilátero deriva los valores de las seis razones trigonométricas para los ángulos $\dfrac{\pi}{3}$ y $\dfrac{\pi}{6}$,
    $ii)$ A partir de un triángulo rectángulo isósceles deduce los valores de las seis razones trigonométricas para el ángulo $\dfrac{\pi}{4}$.
  2. Recordemos que consideramos la magnitud de un ángulo central como positiva, si recorremos el arco de circunferencia que subtiende dicho ángulo en el sentido contrario al de las manecillas del reloj y negativa en caso contario, muestra que para cualquier valor de $\alpha$ se cumple que:
    $i)$ $\sin (-\alpha) = -\sin \alpha$,
    $ii)$ $\cos (-\alpha) = \cos \alpha$,
    $iii)$ $\sin (\pi – \alpha) = \sin \alpha$,
    $iv)$ $\cos (\pi – \alpha) = -\cos \alpha$,
    $v)$ $\sec^2 \alpha = 1 + \tan^2 \alpha$.
  3. Sean $\alpha$ y $\beta$ ángulos agudos tales que $\alpha \geq \beta$, muestra geométricamente:
    $i)$ el seno de la diferencia de dos ángulos, $\sin (\alpha – \beta) = \sin \alpha \cos \beta – \sin \beta \cos \alpha$,
    $ii)$ el coseno de la diferencia de dos ángulos, $\cos (\alpha – \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.
  4.  Sean $\alpha$ y $\beta$ ángulos agudos prueba que:
    $i)$ $\sin \alpha \cos \beta = \dfrac{\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha – \beta)}{2}$,
    $ii)$ $\cos \alpha \sin \beta = \dfrac{\sin (\alpha + \beta) – \sin (\alpha – \beta)}{2}$.
  5. Sea $\triangle ABC$, por $A$ traza cualquier recta que corte a $BC$ en $L$, muestra que $\dfrac{BL}{LC} = \dfrac{AB \sin \angle BAL}{AC \sin \angle LAC}$.
Figura 8
  1. Demuestra que si $\dfrac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \dfrac{\sin \delta}{\sin \gamma}$ y $\alpha + \beta = \delta + \gamma < \pi$ entonces $\alpha = \delta$ y $\beta = \gamma$.
  2. Sea $\triangle ABC$ con $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$, $\alpha = \angle BAC$, $\beta = \angle CBA$, $\gamma = \angle ACB$, demuestra las siguientes formulas para calcular el área de $\triangle ABC$:
    $i)$ $(\triangle ABC) = \dfrac{ac \sin \beta}{2} = \dfrac{ab \sin \gamma}{2} = \dfrac{bc \sin \alpha}{2}$,
    $ii)$ $(\triangle ABC) = \dfrac{a^2 \sin \beta \sin \gamma}{2 \sin (\beta + \gamma)} = \dfrac{b^2 \sin \alpha \sin \gamma}{2 \sin (\alpha + \gamma)} = \dfrac{c^2 \sin \alpha \sin \beta}{2 \sin (\alpha + \beta)}$.

Más adelante…

En la siguiente entrada estudiaremos algunas propiedades relacionadas con el incírculo y los excÍrculos de un triángulo, así como también sobre sus centros y radios.

Entradas relacionadas

Fuentes

  • Santos, J., Tesis Geometría del Cuadrilátero. 2010, pp 69-78.
  • Cárdenas, S., Notas de Geometría. México: Ed. Prensas de Ciencias, 2013, pp 55-62.
  • Gomez, A. y Bulajich, R., Geometría. México: Instituto de Matemáticas, 2002, pp 89-95.

Álgebra Superior II: Exponencial, logaritmo y trigonometría en los complejos

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Introducción

Gracias a las entradas anteriores ya hemos desarrollado un buen manejo de los números complejos. Sabemos cómo se construyen y cómo hacer operaciones básicas, incluyendo obtener conjugados, la forma polar, sacar normas y elevar a potencias. También hemos aprendido a resolver varias ecuaciones en los complejos: cuadráticas, sistemas lineales y raíces $n$-ésimas. Todo esto forma parte de los fundamentos algebraicos de $\mathbb{C}$. Ahora hablaremos un poco de la exponencial, el logaritmo y trigonometría en los complejos.

Aunque mencionaremos un poco de las motivaciones detrás de las definiciones, no profundizaremos tanto como con otros temas. Varias de las razones para elegir las siguientes definiciones tienen que ver con temas de ecuaciones diferenciales y de análisis complejo, que no se estudian sino hasta semestres posteriores.

Función exponencial compleja

Recordemos que, para un real $y$, definimos $\text{cis}(y)=\cos y + i \sin y$. La función $\text{cis}$ y la exponenciación en los reales nos ayudarán a definir la exponencial compleja.

Definición. Definimos la función $\exp:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ como $$\exp(x+yi)=e^x\text{cis}(y).$$

Ejemplo. Se tiene que $$\exp\left(1+\frac{\pi}{2} i\right) = e^1 \text{cis}\left(\frac{\pi}{2}\right) = ei.$$

$\square$

Ejemplo. Se tiene que $$\exp(\pi i) = e^0\text{cis}(\pi) = (1)(-1)=-1.$$ Como veremos más abajo, esto lo podemos reescribir como la famosa identidad de Euler $$e^{\pi i}+1=0.$$

$\square$

Ejemplo. Se tiene que $$\exp(2+3i)=e^2\text{cis}(3).$$ Como $\cos(3)$ y $\sin(3)$ no tienen ningún valor especial, esta es la forma final de la expresión.

$\square$

Propiedades de la función exponencial compleja

Una buena razón para definir la exponencial así es que si $y=0$, entonces la definición coincide con la definición en los reales: $$\exp(x)=e^x\text{cis}(0)=e^x.$$ Si $x=0$, tenemos que $\exp(iy)=\text{cis}(y)$, de modo que si $w$ tiene norma $r$ y argumento $\theta$, podemos reescribir su forma polar como $$w=r\exp(\theta i),$$ y una forma alternativa de escribir el teorema de De Moivre es $$w^n=r^n\exp(n\theta i).$$

Otra buena razón para definir la exponencial compleja como lo hicimos es que se sigue satisfaciendo que las sumas en la exponencial se abren en productos.

Proposición. Para $w$ y $z$ complejos se tiene que $$E(w+z)=E(w)E(z).$$

Demostración. Escribamos $w=a+bi$ y $z=c+di$ con $a,b,c$ y $d$ reales. Tenemos que
\begin{align*}
\exp(w+z)&=\exp((a+c)+(b+d)i)\\
&=e^{a+c}\text{cis}(b+d).
\end{align*}

Por propiedades de la exponencial en $\mathbb{R}$ tenemos que $e^{a+c}=e^ae^c$. Además, por cómo funciona la multiplicación compleja en términos polares, tenemos que $\text{cis}(b+d)=\text{cis}(b)\text{cis}(d)$. Usando estas observaciones podemos continuar con la cadena de igualdades,

\begin{align*}
&=e^ae^c\text{cis}(b)\text{cis}(d)\\
&=(e^a\text{cis}(b)) (e^c\text{cis}(d))\\
&=\exp(a+bi)\exp(c+di)\\
&=\exp(w)\exp(z).
\end{align*}

$\square$

Como $\exp$ extiende a la exponencial real y se vale abrir las sumas de exponentes en productos, puede ser tentador usar la notación $e^{x+yi}$ en vez de $\exp(x+yi)$. Hay que tener cuidado con esta interpretación, pues hasta ahora no hemos dicho qué quiere decir «elevar a una potencia». Cuando lo hagamos, veremos que usar la notación $e^{x+yi}$ sí tiene sentido, pero por el momento hay que apegarnos a la definición.

Hay otras buenas razones para definir la exponencial compleja como lo hicimos. Una muy importante es que es la solución a una ecuación diferencial muy natural. Más adelante, en tu formación matemática, verás esto.

Función logaritmo complejo

Con el logaritmo natural $\ln$ en $\mathbb{R}$ y la multifunción argumento podemos extender el logaritmo a $\mathbb{C}$.

Definición. Definimos la función $L:\mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{C}$ como $$L(z)=\ln \Vert z \Vert + \arg(z) i.$$

Hay que ser un poco más precisos, pues $\arg(z)$ es una multifunción y toma varios valores. Cuando estamos trabajando con logaritmo, lo más conveniente por razones de simetría es que tomemos el argumento en el intervalo $(-\pi,\pi]$. En cursos posteriores hablarás de «otras» funciones logaritmo, y de por qué ésta es usualmente una buena elección.

Ejemplo. Los logaritmos de $i$ y de $-1$ son, respectivamente,
\begin{align*}
L(i)&=\ln \Vert i \Vert + \arg(i) i = \ln(1) + \frac{\pi}{2} i =\frac{\pi}{2} i\\
L(-1)&=\ln \Vert -1 \Vert + \arg(-1) i = \ln(1)+\pi i = \pi i.
\end{align*}

$\square$

Propiedades del logaritmo complejo

La función $\exp$ restringida a los números con parte imaginaria en $(-\pi,\pi]$ es invertible y su inversa es $L$. Esto justifica en parte la definición de logaritmo. Demostrar esto es sencillo y queda como tarea moral.

La función $L$ restringida a los reales positivos coincide con la función logaritmo natural, pues para $z=x+0i=x$, con $x>0$ se tiene que $\arg(x)=0$ y entonces $$L(z)=L(x)=\Vert x\Vert+\arg(x)i=x.$$

Como en el caso real, la función logaritmo abre productos en sumas, pero con un detalle que hay que cuidar.

Proposición. Para $w$ y $z$ complejos no $0$, se tiene que $L(wz)$ y $L(w)+L(z)$ difieren en un múltiplo entero de $2\pi i$.

Con la función logaritmo podemos definir potencias de números complejos.

Definición. Para $w,z$ en $\mathbb{C}$ con $w\neq 0$, definimos $$w^z=\exp(zL(w)).$$

Ejemplo. En particular, podemos tomar $w=e$, de donde \begin{align*}e^z&=\exp(zL(e))\\&=\exp(z\ln(e))\\&=\exp(z),\end{align*} de donde ahora sí podemos justificar usar la notación $e^{x+yi}$ en vez de $\exp(x+yi)$.

$\square$

Esta definición de exponenciación en $\mathbb{C}$ es buena, en parte, porque se puede probar que se satisfacen las leyes de los exponentes.

Proposición. Para $w, z_1, z_2$ en $\mathbb{C}$, con $w\neq 0$, se cumple que $$z^{w_1+w_2}=z^{w_1}z^{w_2}$$ y que $$(z^{w_1})^{w_2}=z^{w_1w_2}.$$

La demostración es sencilla y se deja como tarea moral.

Funciones trigonométricas complejas

Finalmente, definiremos las funciones trigonométricas en $\mathbb{C}$. Para ello, nos basaremos en la función exponencial que ya definimos.

Definición. Para $z$ cualquier complejo, definimos $$\cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$$ y $$\sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2}.$$

Una de las razones por las cuales esta definición es buena es que extiende a las funciones trigonométricas reales. En efecto, si $z=x+0i=x$ es real, entonces $\cos(z)$ es \begin{align*}
\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}&=\frac{\text{cis}(x)+\text{cis}(-x)}{2}\\
&=\frac{2\cos(x)}{2}\\
&=\cos(x),
\end{align*} y de manera similar para $\sin(z)$.

Las funciones trigonométricas en $\mathbb{C}$ siguen cumpliendo varias propiedades que cumplían en $\mathbb{R}$.

Proposición. Para $w$ y $z$ complejos, se tiene que
\begin{align*}
\cos(w+z)=\cos(w)\cos(z)-\sin(w)\sin(z)\\
\sin(w+z)=\sin(w)\cos(z)+\sin(z)\cos(w).
\end{align*}

Demostración. Procedemos por definición. Tenemos que
\begin{align*}
4&\cos(w)\cos(z)\\
&=(e^{iw}+e^{-iw})(e^{iz}+e^{-iz})\\
&=(e^{i(w+z)}+e^{i(w-z)}+e^{i(z-w)}+e^{i(-z-w)})
\end{align*}

y que
\begin{align*}
4&\sin(w)\sin(z)\\
&=(e^{iw}-e^{-iw})(e^{iz}-e^{-iz})\\
&=(e^{i(w+z)}-e^{i(w-z)}-e^{i(z-w)}+e^{i(-z-w)}),
\end{align*}

de modo que
\begin{align*}
4(\cos(w)&\cos(z)-\sin(w)\sin(z))\\
&=2(e^{i(w+z)}+e^{-i(w+z)})\\
&=4\cos(w+z).
\end{align*}

Dividiendo entre $4$ ambos lados de la igualdad, obtenemos la primer identidad. La segunda se demuestra de manera análoga, y queda como tarea moral.

$\square$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te ayudarán a repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  • Determina los valores de $\exp(3+\frac{3\pi}{4}i)$ y de $L(-i)$.
  • Muestra que para $z$ con parte imaginaria en $(-\pi,\pi]$ se tiene que $L(\exp(z))=z$.
  • Determina el valor de $(1+i)^{1+i}$.
  • Muestra las leyes de los exponentes para la exponenciación en $\mathbb{C}$.
  • Determina el valor de $\sin(i)$ y de $\cos(1+i)$.
  • Muestra la identidad de seno de la suma de ángulos en $\mathbb{C}$.
  • Investiga qué otras propiedades de las funciones trigonométricas reales se extienden al caso complejo.

Seminario de Resolución de Problemas: Funciones diferenciables y la derivada

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Introducción

En entradas anteriores hemos platicado acerca de funciones continuas. A partir de ahí, platicamos de dos teoremas importantes para esta clase de funciones: el teorema del valor intermedio y el teorema del valor extremo. La siguiente clase de funciones que nos interesa es la de funciones diferenciables. Hablaremos de esta clase de funciones y de la derivada.

Como recordatorio, si $A\subset \mathbb{R}$ y $a$ es un punto en el interior de $A$, decimos que $f:A\to \mathbb{R}$ es diferenciable en $a$ si el límite $$\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$ existe y es finito.

En ese caso, llamamos $f'(a)$ al valor de ese límite. Cuando $A$ es abierto y $f$ es diferenciable en todo punto $a$ de $A$, entonces simplemente decimos qur $f$ es diferenciable y podemos definir a la derivada $f’$ de $f$ como la función $f’:A\to \mathbb{R}$ tal que a cada punto lo manda al límite anterior.

Mencionaremos algunas propiedades básicas de funciones diferenciables y cómo se pueden usar para resolver problemas. Como en ocasiones anteriores, no hacemos mucho énfasis en la demostración de las propiedades básicas, pues se pueden encontrar en libros de texto, como el Cálculo de Spivak.

Propiedades básicas de funciones diferenciables

En la definición de diferenciabilidad, se calcula el límite $$\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$ Sin embargo, en algunas ocasiones es más sencillo calcular el límite $$\lim_{y\to x} \frac{f(x)-f(y)}{x-y}.$$ Estos dos límites son equivalentes, pues sólo difieren en el cambio de variable $y=x+h$. Dependiendo del problema que se esté estudiando, a veces conviene usar una notación u otra para simplificar las cuentas.

Como en el caso de la continuidad, la diferenciabilidad se comporta bien con las operaciones básicas.

Proposición. Si $f:(a,b)\to \mathbb{R}$ y $g:(a,b)\to \mathbb{R}$ son diferenciables, entonces $f+g$, $f-g$ y $fg$ son diferenciables. Tenemos que sus derivadas son
\begin{align*}
(f+g)’=f’+g’\\
(f-g)’=f’-g’\\
(fg)’=f’g+fg’.
\end{align*} Si $g(x)\neq 0$, entonces $f/g$ también es diferenciable en $x$, con derivada $$(f/g)’=\frac{f’g-fg’}{g^2}.$$

La proposición anterior se puede probar directamente de las definiciones. Se demuestra en un curso usual de cálculo, pero es un ejercicio recomendable hacer las demostraciones de nuevo.

La tercera igualdad se llama la regla del producto y la última la regla del cociente. En la regla del producto tenemos simetría, así que no importa cuál función derivamos primero. En la regla del cociente sí importa que derivemos primero a $f$ en el numerador. Para acordarse de ello, es fácil acordarse que $g$ va «al cuadrado» y como va al cuadrado, es «más fuerte», y «no se deja derivar primero».

Las funciones diferenciables son continuas, en el sentido de la siguiente proposición.

Proposición. Si $f:A\to \mathbb{R}$ es una función diferenciable en $x$, entonces es continua en $x$.

Demostración. En efecto,
\begin{align*}
\lim_{h\to 0}& f(a+h)-f(a) \\
= &\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \cdot h\\
=&\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \cdot \lim_{h\to 0} h\\
= &f'(a)\cdot 0 = 0,
\end{align*}

de modo que $$\lim_{h\to 0}f(a+h) = f(a),$$ en otras palabras, $$\lim_{x\to a} f(x)=f(a),$$ así que $f$ es continua en $a$.

$\square$

Una propiedad más es que las funciones diferenciables alcanzan su máximo en puntos en donde la derivada se anula. Damos un esbozo de la demostración de una parte de la proposición, pero recomendamos completar con cuidado el resto de la prueba, sobre todo cuidando que al pasar términos negativos multiplicando o dividiendo, se invierta la desigualdad correctamente.

Proposición. Si $f:(a,b)\to \mathbb{R}$ tiene un máximo o un mínimo en $x$, entonces $f'(x)=0$.

Sugerencia pre-demostración. Supón que $f'(x)\neq 0$. Divide en casos de acuerdo a si $f'(x)>0$ ó $f'(x)<0$. También, haz una figura que te ayude a entender lo que está sucediendo: si la derivada existe y es mayor que $0$ en un punto $x$, entonces cerca de $x$ la función se ve como si «tuviera pendiente positiva» y entonces tantito a la derecha crece y tantito a la izquierda decrece.

Esbozo de demostración. Procedemos por contradicción. Si $f'(x)=c>0$, entonces para $h>0$ suficientemente pequeño tenemos que $$\left|\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-c\right|<c/2,$$ de modo que $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}>c/2$, de donde $f(x+h)>f(x)+\frac{hc}{2}>f(x)$, lo que muestra que $x$ no es un máximo.

Del mismo modo, tomando $h<0$ suficientemente cercano a $0$, tenemos que $x$ no es un mínimo. Los casos en los que $f'(x)=c<0$ son parecidos.

$\square$

La proposición anterior nos permite usar la derivada para estudiar los valores extremos de una función, aunque no esté definida en un intervalo abierto. Si $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ es diferenciable en $(a,b)$ y es continua en $[a,b]$, entonces sus valores extremos forzosamente están o bien en los extremos del intervalo (en $a$ o $b$), o bien en un punto $x\in (a,b)$ en donde la derivada es $0$. Esta es la estrategia que usaremos para mostrar los teoremas de Rolle y del valor medio.

Problemas resueltos de funciones diferenciables

Veamos algunos problemas en los que podemos aplicar las propiedades anteriores de funciones diferenciables.

Problema. Supongamos que la función $xf(x)$ es diferenciable en un punto $x_0\neq 0$ y que la función $f$ es continua en $x_0$. Muestra que $f$ es diferenciable en $x_0$.

Sugerencia pre-solución. Para mostrar que la expresión es diferenciable, usa la definición de diferenciabilidad con límite $x\to x_0$. En vez de tratar de encontrar el límite del cociente directamente, cambia el problema multiplicando y dividiendo por $xx_0$.

Solución. Primero, como $xf(x)$ es diferenciable en $x_0$, tenemos que el siguiente límite existe y es finito $$A:=\lim_{x\to x_0}\frac{xf(x)-x_0f(x_0)}{x-x_0}.$$

Tenemos que mostrar que el límite $$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$ existe. Para ello tomamos una $x$ suficientemente cerca de $x_0$, de modo que $x\neq 0$, y multiplicamos el numerador y denominador por $xx_0$, y luego sumamos y restamos $x_0^2f(x_0)$ en el numerador para obtener lo siguiente:

\begin{align*}
&\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} &\\
= &\frac{xx_0 f(x)-xx_0 f(x_0)}{xx_0 (x-x_0)}\\
=&\frac{xx_0 f(x)-x_0^2f(x_0)-xx_0 f(x_0)+x_0^2f(x_0)}{xx_0 (x-x_0)}\\
=&\frac{1}{x}\left(\frac{xf(x)-x_0f(x_0)}{x-x_0}\right) -\frac{f(x_0)}{x}.
\end{align*}

Tomando el límite cuando $x\to x_0$, tenemos que el primer sumando converge a $\frac{A}{x_0}$, por la diferenciabilidad de $xf(x)$ y que el segundo sumando converge a $\frac{f(x_0)}{x_0}$. De esta forma, $f$ es diferenciable en $x_0$.

$\square$

Problema. Sea $n$ un entero positivo y $a_1,\ldots, a_n$ números reales. Consideremos la función $$f(x)=a_1\sin x + a_2\sin 2x + \ldots + a_n \sin nx.$$ Muestra que si $|f(x)|\leq |\sin x|$ para todos los reales $x$, entonces $$|a_1+2a_2+\ldots+na_n|\leq 1.$$

Sugerencia pre-solución. Se puede hacer una prueba por inducción. Intenta hacerlo así. Luego, intenta modificar el problema poniendo a la expresión final del enunciado en términos de la derivada de $f$ en algún valor específico.

Solución. La derivada de $f$ es $$a_1\cos x+ 2a_2\cos 2x + \ldots + n a_n\cos nx,$$ que en $0$ es $$a_1+2a_2+\ldots+na_n,$$ que es precisamente el lado izquierdo de la desigualdad que queremos.

Por definición de derivada, tenemos que
\begin{align*}
|f'(0)|&=\lim_{x\to 0}\left|\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\right|\\
&=\lim_{x\to 0} \left|\frac{f(x)}{x}\right|.
\end{align*}

Por la hipótesis del problema, la última expresión dentro del límite es menor o igual a $\left|\frac{\sin x}{x}\right |$. Como el límite de $\frac{\sin x}{x}$ cuando $x \to 0$ es $1$, tenemos que $$|f'(0)|\leq 1,$$ como queríamos.

$\square$

Problema. Supongamos que $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es una función que satisface la ecuación funcional $f(x+y)=f(x)+f(y)$ para todo $x$ y $y$ en $\mathbb{R}$ y que $f$ es diferenciable en $0$. Muestra que $f$ es una función de la forma $f(x)=cx$ para $c$ un real.

Sugerencia pre-solución. Usa como paso intermedio para el problema mostrar que $f$ es diferenciable en todo real. Recuerda que una función que satisface la ecuación funcional del problema debe satisfacer que $f(x)=f(1)x$ para todo racional $x$. Esto se probaba con división por casos e inducción. Usa propiedades de funciones continuas.

Solución. Tomando $x=y=0$, tenemos que $f(0)=2f(0)$, de modo que $f(0)=0$. Mostremos que $f$ es diferenciable en todo real.

Como $f$ es diferenciable en $0$, tenemos que $$L:=\lim_{h\to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0} \frac{f(h)}{h}$$ existe y es finito. Tomemos ahora cualquier real $r$. Por la ecuación funcional, tenemos que
\begin{align*}
f(r+h)-f(r)&=f(r)+f(h)-f(h)\\
&=f(r),
\end{align*}
de modo que $$\lim_{h\to 0} \frac{f(r+h)-f(r)}{h}=\lim_{h\to 0} f(h)=L.$$

Así, $f$ es diferenciable en todo real $r$. Por lo tanto, $f$ es contínua en todo real.

Anteriormente, cuando hablamos de inducción y de división por casos, vimos que una función que satisface la ecuación funcional $f(x+y)=f(x)+f(y)$ debe satisfacer que $f(x)=f(1) x$ para todo número racional $x$. Para cualquier real $r$ podemos encontrar una sucesión de racionales $\{x_n\}$ que convergen a $r$. Como $f$ es continua, tenemos que
\begin{align*}
f(r)&=\lim_{n\to \infty} f(x_n) \\
&= \lim_{n\to \infty} f(1) x_n \\
&= f(1) r.
\end{align*}

Esto muestra lo que queremos.

$\square$

Más problemas

Hay más ejemplos de problemas relacionados con la derivada en la Sección 6.3 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.