Introducción
En esta entrada continuamos estudiando propiedades aritméticas del anillo de polinomios con coeficientes reales. En la entrada anterior introdujimos el algoritmo de la división, la noción de divisibilidad y los polinomios irreducibles. Además, mostramos el teorema del factor y el teorema del residuo. Lo que haremos ahora es hablar del máximo común divisor de polinomios.
Mucha de la teoría que desarrollamos en los enteros también se vale para . Como en
, lo más conveniente para desarrollar esta teoría es comenzar hablando de ideales. Con estos buenos cimientos, veremos que el máximo común divisor de dos polinomios se puede escribir como «combinación lineal de ellos». Para encontrar la combinación lineal de manera práctica, usaremos de nuevo el algoritmo de Euclides.
Antes de comenzar, haremos una aclaración. Hasta ahora hemos usado la notación , etc. para referirnos a polinomios. En esta entrada frecuentemente usaremos nada más
, etc. Por un lado, esto simplificará los enunciados y demostraciones de algunos resultados. Por otro lado, no corremos el riesgo de confusión pues no evaluaremos a los polinomios en ningún real.
Ideales de ![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbb{R}[x]](https://blog.nekomath.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-19c3674c4bc6dbbdd04a81c7e2849e41_l3.png)
Comenzamos con la siguiente definición clave, que nos ayuda a hacer las demostraciones de máximo común divisor de polinomios de manera más sencilla.
Definición. Un subconjunto de
es un ideal si pasa lo siguiente:
- El polinomio cero de
está en
.
- Si
y
son elementos de
en
, entonces
está en
.
- Si
y
son elementos de
, y
está en
, entonces
está en
.
Al igual que en los enteros, los únicos ideales consisten de múltiplos de algún polinomio. El siguiente resultado formaliza esto.
Teorema (caracterización de ideales en ). Un subconjunto
es un ideal de
si y sólo si existe un polinomio
tal que
Demostración de «la ida». Primero mostraremos que cualquier conjunto de múltiplos de un polinomio dado es un ideal. Tomemos
en
y
La propiedad (1) de la definición de ideal se cumple pues tomando tenemos que
está en
.
Para la propiedad (2), tomamos en
y
en
, es decir, con
y
en
. Su suma es, por la ley de distribución, el polinomio
, que claramente está en
pues es un múltiplo de
.
Para la propiedad (3), tomamos en
y
en
. El producto
es, por asociatividad, igual al producto
, que claramente está en
. De esta forma,
cumple (1), (2) y (3) y por lo tanto es un ideal.
Demostración de «la vuelta». Mostraremos ahora que cualquier ideal es el conjunto de múltiplos de un polinomio. Si
, que sólo tiene al polinomio cero, entonces
es el conjunto de múltiplos del polinomio
. Así, podemos suponer que
tiene algún elemento que no sea el polinomio
.
Consideremos el conjunto de naturales que son grado de algún polinomio en
. Como
tiene un elemento no cero,
es no vacío. Por el principio del buen orden,
tiene un mínimo, digamos
. Tomemos en
un polinomio
de grado
. Afirmamos que
es el conjunto de múltiplos de
, es decir,
Por un lado, como está en
y
es un ideal, por la propiedad (3) de la definición de ideal se tiene que
está en
para todo
en
. Esto muestra la contención
.
Por otro lado, supongamos que hay un elemento que está en
, pero no es múltiplo de
. Por el algoritmo de la división, podemos encontrar polinomios
y
tales que
y
es el polinomio cero o de grado menor a
. No es posible que
sea el polinomio cero pues dijimos que
no es múltiplo de
. Así,
no es el polinomio cero y su grado es menor al de
.
Notemos que está en
por ser un múltiplo de
y que
está en
por cómo lo elegimos. Por la propiedad (2) de la definición de ideal se tiene entonces que
también está en
. Esto es una contradicción, pues habíamos dicho que
era un polinomio de grado mínimo en
, pero ahora
tiene grado menor y también está en
. Por lo tanto, es imposible que exista un
en
que no sea múltiplo de
. Esto muestra la contención
.
El teorema anterior nos dice que cualquier ideal se puede escribir como los múltiplos de un polinomio . ¿Es cierto que este polinomio
es único? Para responder esto, pensemos en qué sucede si se tiene




Si alguno de ó
es igual a
, entonces el otro también debe de serlo. Así, podemos suponer que ninguno de ellos es igual a
. Como
divide a
, podemos escribir a
como
para
un polinomio no cero. De manera similar, podemos escribir a
como un polinomio
para
un polinomio no cero. Pero entonces
El grado del lado izquierdo es y el del derecho es
, de donde obtenemos que
. En otras palabras, concluimos que
y
son polinomios constantes y distintos de cero. Resumimos esta discusión a continuación.
Proposición. Tomemos y
polinomios en
distintos del polinomio
. Si
divide a
y
divide a
, entonces
para un real
. Del mismo modo, si
con
un real, entonces
divide a
y
divide a
.
Cuando sucede cualquiera de las cosas de la proposición anterior, decimos que y
son asociados.
Ya que no hay un único polinomio que genere a un ideal, nos conviene elegir a uno de ellos que cumpla una condición especial. El coeficiente principal de un polinomio es el que acompaña al término de mayor grado. En otras palabras, si es un polinomio de grado
dado por


Definición. Un polinomio es mónico si su coeficiente principal es .
Por la proposición anterior, existe un único polinomio mónico asociado a , y es
. Podemos resumir las ideas de esta sección mediante el siguiente teorema.
Teorema. Para todo ideal de
distinto del ideal
, existe un único polinomio mónico
tal que
es el conjunto de múltiplos de
, en símbolos,
Máximo común divisor de polinomios
Tomemos y
polinomios en
. Es sencillo ver, y queda como tarea moral, que el conjunto
Definición. El máximo común divisor de y
es el único polinomio mónico
en
tal que

De manera inmediata, de la definición de , obtenemos que es un elemento de
, osea, una combinación lineal polinomial de
y
. Este es un resultado fundamental, que enunciamos como teorema.
Teorema (identidad de Bézout). Para y
en
existen polinomios
y
en
tales que
El nombre que le dimos a tiene sentido, en vista del siguiente resultado.
Teorema. Para y
en
distintos del polinomio cero se tiene que:
divide a
y a
.
- Si
es otro polinomio que divide a
y a
, entonces
divide a
.
Demostración. Por definición,





Para la segunda parte, escribimos a como combinación lineal polinomial de
y
,





Todo esto va muy bien. El máximo común divisor de dos polinomios en efecto es un divisor, y es «el mayor», en un sentido de divisibilidad. Además, como en el caso de , lo podemos expresar como una combinación lineal de sus polinomios. En la tarea moral puedes ver algunos ejemplos que hablan del concepto dual: el mínimo común múltiplo.
El algoritmo de Euclides
Al igual que como sucede en los enteros, podemos usar el algoritmo de la división iteradamente para encontrar el máximo común divisor de polinomios, y luego revertir los pasos para encontrar de manera explícita al máximo común divisor como una combinación lineal polinomial de ellos. Es un buen ejercicio enunciar y demostrar que esto es cierto. No lo haremos aquí, pero veremos un ejemplo de cómo aplicar el algoritmo.
Problema: Encuentra el máximo común divisor de los polinomios


Solución. Aplicando el algoritmo de la división repetidamente, tenemos lo siguiente:
Esto muestra que y
tienen como máximo común divisor al polinomio
. Por lo que discutimos antes, debe haber una combinación lineal polinomial de
y
igual a
Para encontrarla de manera explícita, invertimos los pasos:
Así, concluimos que una combinación lineal que sirve es:
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Verifica que el conjunto
- Encuentra el máximo común divisor de los polinomios
y
. Exprésalo como combinación lineal de ellos.
- Muestra que la intersección de dos ideales de
es un ideal de
.
- Al único polinomio mónico
tal que
y
, y lo denotamos
. Muestra que es un múltiplo de
y de
y que es «mínimo» en el sentido de divisibilidad.
- Muestra que si
y
son polinomios mónicos en
distintos del polinomio cero, entonces
. ¿Es necesaria la hipótesis de que sean mónicos? ¿La puedes cambiar por una hipótesis más débil?
Buenas noches Dr. L.Martinez , disculpe usted la molestia quisiera, por favor, que me recomiende libros de donde pueda leer acerca de este tema. Estudio Matemática en Perú; sin embargo no sé que libro me podria recomendar para poder estudiar el tema de MCD de polinomios y como expresarlos como combinación lineal. Estaria muy agradecido de que me pudiera responder .,disculpe las molestias, buenas noches.
Hola. Aquí mismo en el blog puedes leer de polinomios en la parte de «Docencia -> Álgebra Superior II». Luego, en esta misma entrada puedes leer acerca de cómo expresar al MCD como combinación lineal.