Archivo del Autor: Claudia Silva

Raíces de polinomios de grados 3, 4 o más

Introducción

Ya conociendo el método para encontrar raíces de polinomios de segundo grado, así como encontrar raíces racionales, entre otras herramientas que hemos estudiado de polinomios, pasaremos a hacer unos ejemplos de encontrar raíces de grado mayor a dos.

Ecuaciones cúbicas

Ecuaciones de grado 4

Ecuaciones de grado superior

Tarea Moral

Los siguientes ejercicios y problemas te ayudarán a reforzar lo aprendido en esta entrada.

  • ¿Para que valores de $c$, la ecuación $x^3-x+c=0$ tiene exactamente $1$ solución real? Sugerencia: Ocupa el discriminante.
  • Demuestra que la función $f(x)=x^3+x$ es inyectiva y suprayectiva. Encuentra la inversa de f$(x)=x^3+x$.
  • Encuentra las soluciones de $x^3+4x-2x+8$.
  • Encuentra las raíces del polinomio $x^4+\sqrt{6}x+\frac{1}{4}$.
  • Encuentra las soluciones a la ecuación $x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$. Sugerencia: Multiplica por un polinomio de grado $1$ conveniente.

Más adelante

Con esta entrada concluimos el curso de Álgebra Superior II, como mencionamos en la entrada pasada, a partir de aquí hay muchos caminos, por un lado, puedes adentrarte en la Teoría de Conjuntos en donde repasarás lo visto en la sección de números naturales, empezando por el teorema de la recursión y hasta llegar a temas avanzados que no tocamos a profundidad en este curso, como el de los números ordinales y el estudio de los conjuntos infinitos y sus cardinales.

Por otro lado, puedes adentrarte en la Teoría de los Números y continuar con lo estudiado en la sección de enteros, para ver más a detalle las propiedades de las congruencias y ver nuevos e importantes temas. Relacionado con la Teoría de los Números, pero con un enfoque más general están los cursos de Álgebra Moderna I y II, donde se estudian y generalizan conceptos que ya hemos visto, como el de grupo, anillo, ideal o número primo, sin embargo la base de muchas demostraciones en estas materias, encuentran su base en los teoremas que vimos en el curso, en particular, el algoritmo de la división juega un papel fundamental en esta área.

El breve estudio que dimos de los números reales yd e su construcción, es el fundamento para temas mucho más avanzados relacionados con lo que se conoce como Análisis Matemático y evidentemente, el estudio de los números complejos se profundizará en el curso de Variable Compleja.

Finalmente el estudio de los polinomios es un tema que se estudia en el curso de Álgebra Moderna II donde podrás entender por qué es que solo estudiamos la forma de resolver ecuaciones de grado $4$ y no de grado $5$.

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Multiplicidad de raíces de polinomios

Introducción

En esta entrada nos dedicamos a practicar las herramientas que hemos aprendido en las entradas pasadas: el criterio de la raíz racional y el teorema de derivadas y raíces múltiples, te sugerimos que practiques más de estos ejercicios por tu cuenta.

Multiplicidad y derivadas

El teorema de la raíz racional

Tarea Moral

  • Factoriza el polinomio $2x^3-5x^2-2x+5$
  • Encuentra las raíces del polinomio $2x^3+9x^2-24x-112$. Sugerencia: El polinomio tiene una raíz doble.
  • Demuestra que el polinomio $x^7+x^3+1$ no tiene ceros de multiplicidad mayor a uno.
  • Encuentra las raíces del polinomio $x^4-4x^3-2x^2-12x+9$ usando el teorema de multiplicidades y derivadas.
  • Encuentra las raíces del polinomio $x^4-4x^3-2x^2-12x+9$ usando el teorema de la raíz racional

Más adelante

Ya que tenemos métodos para intentar encontrar las raíces de cualquier polinomio, el siguiente paso será estudiar los polinomios de grado $3$ y $4$, lamentablemente para polinomios de grado superior, no existe un método que nos permita encontrar todas sus raíces, por lo que las herramientas que hemos visto en estas secciones, serán en principio los mejores instrumentos que tenemos para calcularlas.

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La continuidad de funciones polinomiales

Introducción

En la entrada pasada demostramos que los polinomios (vistos como funciones de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$) son continuas e infinitamente diferenciables, vimos además que estas propiedades sirven para hacer un análisis más detallado de algunas de sus propiedades algebraicas.

En esta entrada, ocupamos esas propiedades y los teoremas del cálculo (como el teorema del valor intermedio) para resolver algunos ejercicios interesantes sobre los polinomios.

Ejercicios de continuidad

Comenzaremos con probar que los polinomios son acotados inferiormente, luego unos ejemplos simples de derivadas, y posteriormente un par de ejercicios que involucran emplear el Teorema del Valor Medio (TVM) y el Teorema del Valor Intermedio (TVI). En el siguiente ejercicio demostramos que si $[a,b]$ es un intervalo cerrado, y $p$ un polinomi, entonces $p$ está acotado inferiormente en $[a,b]$.

En este ejercicio probamos que todo polinomio de grado impar, tiene una raíz real

Ejercicios de diferenciabilidad

Tarea moral

  • Demuestra que si $p(x)$ es una función polinomial con al menos una raíz real y $p$ de grado par, entonces $p$ tiene al menos $2$ raíces.
  • Demuestra que si $p$ es un polinomio con dos raíces reales distintas, entonces $p’$, su derivada, tiene al menos una raíz. ¿El recíproco es verdadero?
  • Demuestra o da un contraejemplo: El número de raíces de un polinomio es mayor que el número de raíces de su derivada.
  • Deriva el polinomio $p(x)=3x^4-2x^3+5x-10$.
  • Demuestra que si $p(x)$ es un polinomio de grado par, entonces es acotado por arriba o acotado por abajo.

Más adelante

En la siguiente entrada, seguimos estudiando las propiedades analíticas de los polinomios, y encontramos una interesante relación entre las propiedades de sus raíces y la derivada de la función.

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Procedimiento gráfico para resolver una desigualdad polinomial

Introducción

El objetivo de esta sección es conocer el conjunto de puntos que cumplen cierta desigualdad polinomial. Para ello, nos apoyamos de considerar al polinomio como una función, y de herramientas algebraicas para darnos idea de la gráfica de tal función, y la región en el plano correspondiente a la solución de la desigualdad.

Procedimiento para resolver desigualdades polinomiales

Primero, explicación breve del procedimiento

Luego, un ejemplo de graficación y solución a una desigualdad polinomial. Olvidé mencionar que, finalmente, la solución, observando la gráfica, es $S=\{x \in \mathbb{R} | f(x) \geq 0 \}= (-\infty,-1) \cup \{0\} \cup [2,\infty)$.

Finalmente, otro ejercicio de encontrar una solución de una desigualdad polinomial:

Tarea moral

  • Encuentra el conjunto solución de números reales de la desigualdad $x^3-2x^2+x-2>0$. Nota que $i$ es solución del polinomio
  • Encuentra el conjunto solución de números reales de la desigualdad $(x+1)(x^2-3x+2)>x^2-1$
  • Demuestra que $x^4-x+1$ siempre es positivo. Considera los casos en que $x$ está en $(-\infty,0],[0,1]$ y $[1,\infty)$
  • Encuentra el conjunto solución de números reales de la desigualdad $\frac{1}{x^2+1}>x+1$
  • Encuentra el conjunto solución de números reales de la desigualdad $\frac{x-1}{(x-2)(x-3)}>1$

Más adelante

Cómo mencionamos en las entradas pasadas, la siguiente tarea que nos concierne es estudiar las propiedades de los polinomios como funciones, para esto nos armaremos de las herramientas del cálculo

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MCD y factorización de polinomios

Introducción

En esta entrada practicaremos como calcular el Máximo Común Divisor de un número haciendo uso del algoritmo de Euclides, además usaremos nuestros procedimientos para poder expresar el MCD como una combinación lineal de nuestros polinomios originales.

Ya conociendo el MCD de dos polinomios y el algoritmo de Euclides, pasaremos a hacer unos ejercicios que impliquen encontrar el MCD mediante ese método, así como factorización de polinomios en que usaremos herramientas como el Teorema del factor.

Problemas de Máximo Común Divisor

Problemas de factorización

Más adelante

Entre otras cosas, en esta entrada practicamos cómo factorizar polinomios, este concepto será sumamente importante para poder estudiar el concepto de irreductibilidad, y más adelante el de primalidad, por lo que, aunque en general no es sencillo, sí es importante que tengamos herramientas para factorizar polinomios.

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