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Álgebra Superior II: Números primos y sus propiedades

Por Ana Ofelia Negrete Fernández

Introducción

En esta entrada hablaremos de los protagonistas de entre los números enteros: los números primos. Es difícil poder enunciar en palabras sencillas la importancia que tienen este tipo de números, así que haremos un recorrido que incluye lo siguiente. Comenzaremos dando la definición de qué es un número primo, y haremos algunas aclaraciones conceptuales. Luego, enunciaremos propiedades de divisibilidad que cumplen los números primos y que son muy únicas a ellos. Esto nos ayudará a entender un poco de las razones por las cuales son especiales.

Finalmente, dejaremos preparado el terreno para poder hablar de dos resultados fundamentales sobre los números primos en la próxima entrada: el teorema fundamental de la aritmética y la infinidad del conjunto de números primos. El primer resultado nos permitirá pensar a los números primos como los átomos de los números enteros, ya que a partir de multiplicarlos se obtendrá cualquier entero, sea éste primo o compuesto.

Definición de números primos

La definición con la que trabajaremos es la siguiente.

Definición. Un entero número entero $p$ es primo si y sólo si es positivo y tiene exactamente cuatro divisores: $1, \enspace -1, \enspace z \enspace \text{y } -z \text{.}$

De la definición hay algunos números que inmediatamente debemos descartar por no ser números primos. Por ejemplo, el $1$ no es un número primo pues tiene como divisores únicamente al $-1$ y al $1$, que son dos divisores, y no exactamente cuatro, como pide la definición. Del mismo modo, $-1$ tampoco es número primo pues tiene sólo dos divisores también y, para rematar, es negativo, lo cual no se vale.

Del mismo modo, concluimos que el $0$ no es número primo. Su problema es que tiene demasiados divisores. Cualquier número entero divide al $0$, así que tiene mucho más que cuatro divisores. Veamos nuestro primer ejemplo de un número que sí es primo.

Proposición. El entero $2$ es primo.

Demostración. Lo primero por notar es que $2$ es positivo. Supongamos que $x \in \mathbb{Z}$ divide a $2$. Por cómo se comparan en tamaños un número con un divisor, obtenemos que $|d|\leq 2$. Esto nos deja $5$ posibilidades para $d$: $-2,-1,0,1,2$. El $0$ nunca es divisor y se puede ver que cada uno de los otros cuatro números sí lo son. Así, el $2$ tiene exactamente cuatro divisores, que son $1$, $2$, $-1$ y $-2$. Concluimos entonces que $2$ es un número primo.

$\square$

Si bien el $-2$ también tiene exactamente esos mismos $4$ divisores, a $-2$ no le llamamos número primo porque es negativo. Recuerda que por definición sólo los números positivos pueden ser primos.

En la duda, si no sabemos si un número es primo, siempre podemos regresar a la definición.

Proposición. El entero $57$ no es primo.

Demostración. Notamos que $1$, $3$, $19$ y $57$ son todos ellos divisores de $57$, así como sus negativos. Por ello, el número $57$ tiene ocho divisores, y por lo tanto no es primo.

$\square$

Otras formas de pensar a los números primos

La definición de primos que dimos está en términos de la cantidad de divisores en total que se deben tener. Sin embargo, hay por lo menos otras dos formas de escribir esto mismo.

Proposición. Son equivalentes las siguientes tres afirmaciones para un número entero $p$:

  • El número $p$ es primo de acuerdo a nuestra definición de tener exactamente $4$ divisores.
  • El número $p$ es positivo y tiene exactamente $2$ divisores positivos.
  • El número $p$ es positivo y en cualquier forma de escribir $p=ab$ con $a$ y $b$ enteros positivos, sucede forzosamente que $a=1$ ó $b=1$.

Demostración. Los primeros dos puntos son equivalentes entre sí pues si $d$ es un divisor de $p$, entonces $-d$ también. Así, por cada divisor positivo hay uno negativo y viceversa. De hecho, los dos divisores positivos son, explícitamente, $1$ y $p$.

Si $p$ es primo con respecto a esta segunda definición, entonces el tercer inciso es claro, pues escribir $p=ab$ justo nos dice que $a|p$, de donde $a=1$ ó $a=p$, pues son sus únicos dos posibles divisores. Si $a=1$, tenemos lo que queremos. Y si $a=p$, entonces para que se de $p=ab$, debemos tener $b=1$, como queremos.

Finalmente, a partir del tercer inciso también se puede demostrar el segundo. Supongamos que $p$ cumple con el tercer inciso y supongamos que $d$ es divisor. ESto nos permite escribir $p=dr$ con $r$ algún entero. Por el tercer inciso, debemos tener $d=1$, o bien $r=1$, y entonces $d=p$, tal como nos pide el segundo inciso.

$\square$

Quizás no se ve tanto la ventaja entre distinguir entre las primeras dos versiones de la proposición anterior. De hecho, se parecen mucho. Sin embargo, sí vale la pena pensar en la tercera como algo diferente: nos dice que hay sólamente dos maneras de escribir a un primo como producto de números positivos. Esto nos ayuda, por ejemplo, a darnos cuenta rápidamente que un número no es primo aunque no tengamos todos sus divisores.

Ejemplo. El número $105$ no es primo pues se puede escribir como $5\cdot 21$. En esta expresión ninguno de los dos números es igual a $1$. Así, concluimos que $105$ no es primo.

$\square$

Propiedades de divisibilidad de los números primos

En el caso de los números primos, los máximos comunes divisores son asunto de todo o nada. Esto está escrito más formalmente en la siguiente definición.

Proposición. Sea $p$ un número primo y $a$ un entero. Si $p$ divide a $a$, tenemos $(a,p)=p$. Y si no, tenemos $(a,p)=1$.

Demostración. Sabemos que $(a,p)|p$ y que $(a,p)$ no es negativo. Así, $(a,p)$ debe ser uno de los dos divisores de $p$: $1$ ó $p$. Si $p$ divide a $a$, entonces $(a,p)=p$ pues $p$ es divisor común tanto de $p$ como de $a$. Pero si $p$ no divide a $a$, entonces a $(a,p)$ no le queda más que ser igual a $1$.

$\square$

La proposición anterior nos lleva a un lema de divisibilidad que nos resultará útil cuando enunciemos y probemos el teorema fundamental de la aritmética.

Proposición. Sea $p$ un número primo y $a,b$ números enteros. Si $p|ab$, entonces $p|a$ ó $p|b$.

Demostración. Si $p|a$, entonces ya terminamos. Si no, por la proposición anterior tenemos que $(p,a)=1$. Pero entonces por una propiedad anterior de divisibilidad con primos relativos obtenemos que $p|b$, como queríamos.

$\square$

Para la proposición anterior resultó crucial que $p$ fuera un número primo. Por ejemplo, tenemos que $9|180=15\cdot 12$, pero no es cierto ni que $9|15$, ni que $9|12$.

Más adelante…

En la siguiente entrada veremos dos teoremas importantes relacionados con los números primos: el teorema fundamental de la aritmética y el teorema de que existe una infinidad de primos.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te ayudarán a repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. Encuentra todos los números primos de $1$ a $20$.
  2. Sea $n$ un número entero que no sea un número primo, ni el negativo de un número primo. Demuestra $n$ que se puede expresar de la forma $ab$ con $a$ y $b$ enteros (positivos o negativos) de por lo menos ocho formas distintas.
  3. Sea $p>2$ un número tal que ninguno de los números $2,\ldots,\left\lfloor \sqrt{p}\right \rfloor$ lo divide. Muestra que $p$ es un número primo.
  4. Sea $n$ un número entero y $p$ un primo. Muestra que si $p|n^2$, entonces $p|n$. De hecho, muestra que en general, para un entero $k\geq 1$ se cumple que $p|n^k$ si y sólo si $p|n$.
  5. Sea $p$ un número primo. ¿Cuántos divisores tiene el número $p^{10}$? ¿Cuántos son positivos y cuántos negativos?

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Álgebra Superior II: Divisibilidad en los enteros

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Introducción

En la entrada anterior hablamos del algoritmo de la división. Dados dos números enteros $a$ y $b$, con $b\neq 0$, nos permite poner de manera única a $a$ de la forma $a=qb+r$, en donde $q$ y $r$ son enteros, y además $0\leq r < |b|$. En otras palabras, nos permite poner a un número como «copias de otro», más un residuo «chiquito». En esta entrada hablaremos de la divisibilidad en los enteros.

La divisibilidad se da cuando pasa una situación especial en el algoritmo de la división: cuando el residuo obtenido es igual a cero. Es decir, cuando podemos escribir $a=qb$. Cuando esto sucede, diremos que $b$ divide a $a$, o bien que $a$ es múltiplo de $b$. En esta entrada daremos una definición formal que contemple este caso y estudiaremos varias de sus propiedades.

Definición de divisibilidad

La noción fundamental que estudiaremos en esta entrada es la de divisibilidad. La definición crucial es la siguiente.

Definición. Sean $m$ y $n$ enteros. Diremos que $m$ divide a $n$ si existe un entero $k$ tal que $n=km$. En notación, escribiremos $m|n$. También diremos que $n$ es un múltiplo de $m$, o bien que $n$ es divisible entre $m$.

Ejemplo. El número $35$ es divisible entre $5$ pues podemos encontrar un entero $k$ tal que $35=k\cdot 5$. Concretamente, podemos escribir $35=7\cdot 5$. Así mismo, este número también es divisible entre $-7$ pues podemos encontrar un entero $k$ tal que $35=k\cdot (-7)$, en concreto, podemos escribir $35=(-5)(-7)$.

Por otro lado, el $35$ no es múltiplo de $8$. ¿Cómo sabemos esto? Al hacer el algoritmo de la división obtenemos que $35=4\cdot 8 + 3$. Como esta es la única forma de escribir a $35$ como un múltiplo de $8$ más un residuo entre $0$ y $7$, entonces es imposible escribirlo como un múltiplo de $8$ más residuo $0$. En otras palabras, no es múltiplo de $8$.

$\square$

Propiedades básicas de divisibilidad

La siguiente proposición habla de algunas de las propiedades básicas de la divisibilidad. Las enunciaremos y daremos sus demostraciones para poner en práctica nuestra definición de divisibilidad.

Proposición. La noción de divisibilidad cumple las siguientes propiedades.

  • Los enteros $1$ y $-1$ dividen a cualquier otro entero.
  • El entero $0$ es divisible por cualquier entero.
  • Es reflexiva, es decir para cualquier entero $n$ se tiene que $n|n$.
  • Es transitiva, es decir si $l,m,n$ son enteros tales que $l|m$ y $m|n$, entonces $l|n$.

Demostración. A continuación demostramos la demostración, inciso por inciso.

  • Recordemos que si $n$ es un entero, entonces $n=n\cdot 1$. Esto nos dice que $1$ divide a $n$. Además, por las propiedades de las operaciones en los números enteros tenemos lo siguiente:
    \begin{align*}
    n&=n\cdot 1\\
    &=n\cdot ((-1)\cdot (-1))\\
    &=(n\cdot (-1))\cdot (-1)\\
    &=(-n)\cdot (-1).
    \end{align*}
    Aquí estamos usando que $(-1)(-1)=1$, la asociatividad del producto en los números enteros y que $(-1)n=-n$. En resumen, obtenemos que $n=(-n)(-1)$, lo cual nos dice que $-1|n$.
  • Aquí notamos que para cualquier entero $n$ tenemos que $0=0\cdot n$. Así, $n|0$.
  • Anteriormente usamos que $n=n\cdot 1$ para concluir $1|n$. Así mismo, al usar $n=1\cdot n$ obtenemos que $n|n$.
  • Veamos la transitividad. Supongamos que $l,m,n$ son enteros tales que $l|m$ y $m|n$. Por definición de divisibilidad podemos encontrar enteros $q$ y $r$ tales que $m=ql$ y $n=rm$. Substituyendo el valor de $m$ de la primera igualdad en la segunda y usando asociatividad obtenemos que: $$n=rm=r(ql)=(rq)l.$$ Esto precisamente nos dice que $l|n$.

$\square$

Divisibilidad y operaciones en los enteros

La divisibilidad se comporta bien con las operaciones en los números enteros. En la siguiente proposición encontramos algunas de las propiedades que vuelven esto un poco más preciso.

Proposición. La noción de divisibilidad cumple las siguientes propiedades.

  • Para enteros $l,m,n$, si $l|m$ y $l|n$, entonces $l|m+n$.
  • Para enteros $l,m,n$, si $l|m$, entonces $l|mn$.
  • Para enteros $l$, $a$, $b$, $c$, $d$ se cumple que si $l|m$ y $l|n$, entonces $l|am+bn$.

Demostración. Daremos la demostración inciso por inciso:

  • Como $l|m$ y $l|n$, por definición existen enteros $r$ y $s$ tales que $m=rl$ y $n=sl$. Al hacer la suma y usar la distributividad del producto sobre la suma obtenemos que $$m+n=rl+sl=(r+s)l.$$ Esto por definición está diciendo que $l$ divide a $m+n$.
  • Aquí podemos utilizar una propiedad anterior. Tenemos que $mn=nm$, por lo cual $mn$ es divisible entre $m$. Es decir, tenemos $l|m$ y $m|mn$. Así, por la transitividad de la divisibilidad, que ya probamos anteriormente, tenemos que $l|mn$.
  • Este inciso es consecuencia de los dos anteriores y, de hecho, ya no tenemos que usar la definición. Por el segundo inciso, como $l|m$, entonces $l|am$. Así mismo, como $l|n$, entonces $l|bn$. Finalmente, por el primer inciso, como $l|am$ y $l|bn$, entonces $l|am+bn$.

$\square$

Observa que si ponemos $a=1$ y $b=-1$ en la última propiedad obtenemos el siguiente corolario: si $l|m$ y $l|n$, entonces $l|m-n$.

Divisibilidad y orden en los enteros

Hay una tercera clase de propiedades que cumple la noción de divisibilidad: aquellas relacionadas con el orden en los enteros. Veamos esto.

Proposición. La noción de divisibilidad cumple las siguientes propiedades.

  • Si $m$ y $n$ son enteros distintos de cero tales que $m|n$, entonces $|m|\leq |n|$.
  • Si $m$ y $n$ son enteros positivos tales que $m|n$, entonces $m\leq n$.
  • Si $m$ y $n$ son enteros tales que $m|n$ y $n|m$, entonces $|m|=|n|$.

Demostración. Demostraremos la primera afirmación a detalle, pues a partir de ella salen las otras dos de manera prácticamente inmediata.

Tomemos dos enteros $m$ y $n$ tales que $m|n$. Por definición de divisibilidad, tenemos que existe un entero $k$ tal que $n=km$. Al tomar valor absoluto de esta expresión, obtenemos que $|n|=|km|$. Por propiedades del valor absoluto, tenemos que $|km|=|k||m|$. Como $n$ es distinto de cero, entonces $k$ también es distinto de cero, así que $|k|\geq 1$. De esta manera, tenemos la siguiente cadena de igualdades y desigualdades: $$|n|=|km|=|k||m|\geq 1\cdot |m| = |m|.$$

Esto es lo que queríamos demostrar.

Para el segundo inciso, como $m$ y $n$ son positivos, entonces entran en el caso del primer inciso. Además, por ser positivos tenemos $|m|=m$ y $|n|=n$. De este modo, por el primer inciso tenemos $m\leq n$.

En el tercer inciso primero tenemos que descartar algunos casos. Si $m=0$, entonces la divisibilidad $0|n$ nos dice que $n=k\cdot 0$ para alguna $k$ entera, pero entonces $n=0$ también, y entonces se cumple $|m|=0=|n|$. El caso $n=0$ es análogo. Ya descartados estos casos, podemos suponer que $m$ y $n$ son distintos de cero. Por el primer inciso tendríamos entonces $|m|\leq |n|$ y $|m|\geq |n|$. Así, $|m|=|n|$, como queríamos.

$\square$

Un ejemplo que usa varias propiedades de divisibilidad

¿Por qué es bueno recordar y saber cuándo usar propiedades de la divisibilidad? Porque nos permite simplificar ciertos problemas y resolverlos más fácilmente. Veamos un ejemplo.

Problema. Encuentra todos los divisores del número $12$.

Solución. Supongamos que $d$ es un divisor de $12$. Tenemos entonces que $|d|\leq |12|=12$, así, $d$ es un número entre $-12$ y $12$. Fuera de este rango no pueden existir divisores de $12$.

Por reflexividad tenemos que $12|12$. Por la propiedad de $1$ y $-1$ tenemos que $1|12$ y $-1|12$. Es fácil ver $12=2\cdot 6$ y $12=3\cdot 4$, así que $2$, $3$, $4$ y $6$ son todos ellos divisores de $12$. Los negativos de estos números también serán divisores entonces pues, por ejemplo, como $12=3\cdot 4$, también tenemos $12=(-3)(-4)$.

De este modo, hasta ahora hemos visto que $-12,-6,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,6,12$ son todos ellos divisores de $12$.

El $5$ claramente no es, pues al hacer el algoritmo de la división obtenemos $12=2\cdot 5 +2$, con residuo $2$. Entonces el $-5$ tampoco puede ser divisor.

Podríamos hacer lo mismo con $7,8,9,10,11$. Pero una forma fácil de ver que ninguno de ellos va a funcionar es que si intentáramos escribir $12=7k$, por ejemplo, se tiene que $k$ no puede ser $1$ (pues $12\neq 7$) y si ponemos $k\geq 2$ entonces el producto es al menos $14$, que ya se pasa de $12$. Así, ni estos números, ni $-7,-8,-9,-10,-11$ son divisores de $12$.

$\square$

Más adelante…

La noción de divisibilidad da pie a varios otros conceptos en la teoría de números enteros. Dentro de algunas entradas hablaremos de dos conceptos importantes: el de máximo común divisor y mínimo común múltiplo en los enteros. Sin embargo, antes de hacer esto tomaremos una pequeña desviación para hablar de un concepto un poco abstracto pero bastante útil: los ideales.

Tarea moral

  1. Encuentra todos los divisores del número $24$ (tanto los positivos, como los negativos) y verifica que en efecto cumplen con la definición dada en esta entrada.
  2. Encuentra contraejemplos para las siguientes afirmaciones:
    1. Si $l$, $m$ y $n$ son enteros tales que $l|m$ y $n|m$, entonces $l+n|m$.
    2. Si $l,m,n$ son enteros tales que $l|mn$, entonces o bien $l|m$ o bien $l|n$.
  3. Demuestra las siguientes dos propiedades de la noción de divisibilidad:
    1. Si $m$ y $n$ son enteros positivos tales que $m|n$ y $n|m$, entonces $m=n$.
    2. Si $m$ es divisor de $n$ con $n=km$, entonces $k$ también es divisor de $n$.
  4. Sean $m$ y $n$ enteros. Demuestra que $m$ divide a $n$ si y sólo si $m^2$ divide a $n^2$.
  5. Sea $n$ un entero positivo, $m$ un entero, $a_1,\ldots,a_n$ enteros y $b_1,\ldots,b_n$ enteros. Demuestra que si $m|b_i$ para todo $i=1,\ldots,n$, entonces $m| \sum_{i=1}^n a_ib_i$.

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Álgebra Superior I: Composición de funciones

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

Introducción

Siguiendo la conversación de las funciones, esta vez hablaremos de la composición de funciones. Este es el concepto que nos permitirá combinar más de una función para crear nuevas funciones siempre que ciertas condiciones se cumplan.

Composiciones en relaciones

Anteriormente ya hemos mencionado que sobre tres conjuntos $X,Y,Z$ se puede definir una relación composición entre dos relaciones $R$ de $x$ en $Y$ y $T$ de $Y$ en $Z$. De manera que la relación $T \circ R$ es aquella que está compuesta de elementos de la forma $(x,z) \in X \times Z$ siempre y cuando exista alguna $y$ de manera que $(x,y) \in R$ y $(y,z) in T$. Así, la relación composición está formada de elementos que pueden ir de $X$ a $Y$ mediante la relación $R$ y de ahí pueden llegar a $Z$ mediante la relación $T$. Veremos a continuación cómo podemos traducir esto a las funciones.

Composiciones en funciones

La composición de funciones será una composición de relaciones, no cambiará la definición, pues las funciones siguen siendo relaciones y hemos establecido toda una base sobre lo que son las relaciones para llegar a hablar de las funciones de forma gradual.

Piensa en el siguiente ejemplo. Supongamos tenemos una máquina $f$ que transforma las horas en minutos y otra máquina $g$ que transforma los minutos en segundos. Cuando a la máquina $f$ le pasamos de entrada «$1$ hora», nos regresará «$60$ minutos». Mientras que cuando le pasamos la entrada «$1$ minuto» a la máquina $g$ esta nos devuelve «60 segundos». Ahora nos preguntamos ¿Hay una forma de convertir las horas en segundos? O dicho de otra forma, ¿Cómo podemos construir una máquina $h$ que convierta las horas en los segundos? Nota que no tenemos directamente la máquina que nos toma las horas y las convierte en segundos, pero sí tenemos una máquina que convierte las horas en minutos y después los minutos en segundos.

Supongamos que tenemos la entrada «1 hora» entonces con la máquina $f$ podemos saber que una hora equivale a $60$ minutos. Enseguida podemos usar la máquina $G$ para saber que que los $60$ minutos equivalen a $3600$ segundos, de manera que esa es la duración de una hora. A esta máquina $h$ le llamamos la composición de $f$ con $g$.

Pensemos a estas máquinas como funciones, si consideramos $H$ como al conjunto de número de horas a considerar ($H=\{1 hr, 2 hrs, 3 hrs, \dots\}$) a $M$ como el conjunto de los minutos ($M =\{1 min, 2 mins, 3 mins, \dots\}$) y a $S$ como el conjunto de los segundos a considerar ($S=\{1 seg, 2 segs, 3 segs, \dots\}$) entonces $f:H \rightarrow M$ y $g: M \rightarrow S$ son funciones que convierten una unidad de tiempo en otra. La función $h : H \rightarrow S$ buscada es justamente la composición de las funciones $g \circ f: H \rightarrow S$.

Nota que si queremos convertir un número de horas $n \in H$ a segundos entonces bastará con notar que $n$ horas son $f(n)$ minutos, y estos a su vez son $g(f(n))$ segundos. Veamos el primer ejemplo. Nota que $f(1 hr)=60 mins$. Entonces $g(f(1hr))=g(60min)=3600segs$. Por lo cual la función que convierte las horas a segundos es componer $f$ con $g$.

Composición de funciones

Gráficamente lo que significa la composición de funciones es la siguiente imagen:

||||

Aquí podemos visualizar la función $g \circ f$ que es la función que va de $X$ a $Z$. En ella, vemos cómo es que la función $f$ va de X a Y, siendo que el dominio de $f$ queda dentro de $Y$, pues por definición, si la función $f$ va de $X$ a $Y$, entonces para cada elemento $x \in X$ sucede que existe $y \in Y$ tal que $f(x)=y$, significando que siempre $Im(f) \subset Y$ , y en nuestro caso en particular, $Y= Dom(g)$, siendo $g$ una función que va de $X$ a $Z$. Quizá lo que no es inmediato es la siguiente contención: $Im(g \circ f) \subset Im(g) \subset Z$.

Proposición. Si $f:X \rightarrow Y $ y $g: Y \rightarrow Z$ entonces $Im(g \circ f) \subset Im(g) \subset Z$

Demostración. Para esta demostración, consideremos $w \in Im(g \circ f) $ y veamos que $w \in Im(g)$. Para ello, notemos que por definición de la composición de funciones, si $w \in. Im(g \circ f)$ entonces existe $x \in X$ tal que $g \circ f(x) = w$. Es decir, $g(f(x))=w$ a su vez, como $f(x) \in Dom(g)$ entonces existe $y$ tal que $f(x)=y$ y $g(y)=w$. Ahora notemos que $y \in Dom(g)$ entonces $g(y) \in Im(g)$, es decir, $w=g(y) \in Dom(g)$. Por otro lado, por definición de función, la imagen de $g$ está contenida en $Z$. De esta manera, se tiene la contención buscada.

$\square$

Vamos a hacer algunas observaciones de esta composición de funciones.

  1. Para componer funciones, la imagen de una función debe estar contenida en el dominio de la otra. Esto significa que si queremos componer $f$ con $g$, debemos saber que todo elemento convertido por $f$ puede ser pasado a $g$. Dicho de otra manera, si queremos convertir horas a segundos, la máquina $f$ convierte las horas a minutos, y la $g$ minutos a segundos, entonces siempre tiene que pasar que $f$ devuelva minutos para poder componerse con $g$, pues acepta nada más minutos como entrada, si $f$ convirtiera horas a días, $g$ lo rechazaría, pues un día no está expresado en términos de minutos.
  2. La composición de funciones es asociativa, es decir, $(g\circ f) \circ h = g \circ (f \circ h)$.

Demostración. Consideremos $f : X \rightarrow Y$, $g : Y \rightarrow Z$ y $h : W \rightarrow X$. Para demostrar que la función es asociativa, deberíamos demostrar que apra algún $x$ arbitrario en el dominio de la composición $(W)$, se cumple que

$$ (g\circ f) \circ h(x) = g \circ (f \circ h)(x) $$

Para ello, llamemos $f \circ h = F$, $g \circ f = G$,$h(x)=y$ y $f(y)=z$. Ahora, nota por un lado que $$ g \ circ (f \circ h)(x) = g \circ F(x) = g(F(x)) = g(z)$$

Por otro lado, $(g \circ f) \circ h(x) = G \circ h(x) = G(y) = g \circ f(y) = g(z)$

Llegando a los mismos resultados, lo que debe significar que las funciones son iguales para $x$, pudiéndose generalizar para cada elemento del dominio de la composición.

$\square$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te ayudarán a repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. Demuestra que si $f$ es suprayectiva, entonces $Im(g \circ f) = Im(g)$.
  2. Sea $f: \mathbb{R} \ rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x)=\frac{3x+1}{2}$:
    1. Encuentra $g: \mathbb{R} \ rightarrow \mathbb{R}$ tal que $g \circ f (x)= x$
    2. Demuestra que $g \circ f = f \circ g$
  3. Da condiciones suficientes y necesarias para que $g \circ f$ sea biyectiva.

Más adelante…

Habiendo visto la composición de funciones, estamos listos para dar el siguiente paso y encontrar una clase muy particular de funciones: funciones invertibles, que serán aquellas funciones que podemos «deshacer».

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Álgebra Superior I: Inferencias Matemáticas

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

Introducción

Antes de entrar de lleno a lo que será una parte importante en tu carrera en las matemáticas, vamos a establecer algunas definiciones que nos permiten aterrizar un poco la idea de usar una serie de proposiciones para ‘demostrar’ otras cosas. En esta entrada veremos algo llamado inferencias matemáticas.

La implicación

Pensemos un momento en la siguiente proposición:

$$((Q \Rightarrow P) \land Q) \Rightarrow P $$

Lo que nos quiere decir en términos sencillos es «Si sucede que $Q$ implica $P$» y sucede $Q$ entonces sucede $P$, es como decir «Si $n$ es impar entonces $n+1$ es par y además sabemos que $n$ es impar» ¿Qué podrías decir entonces? Por un lado sabes que si $n$ es impar entonces $n+1$ es par, pero aún no sabes nada sobre si $n$ es impar o no, pero la siguiente parte del enunciado, te dice que en efecto, $n$ es impar. Entonces podríamos concluir con estas dos premisas, que $n+1$ es par. Imagina por un momento que no sabes si 8 es impar o par. Entonces tú sabes que 7 es impar, y además sabes que siempre después de un número impar viene uno par, con esta información es suficiente para saber que 8 es par, ¿No lo crees?

Lo que hicimos en este ejemplo fue agarrar dos proposiciones: $P\Rightarrow Q$, $Q$ a las que les llamaremos Premisas y dijimos que si se cumplían ambas, entonces también se cumplía $P$ que en este caso le llamaremos Conclusión.

Premisas y Conclusiones

Esto no es otra cosa que las llamadas reglas de inferencia y estas se forman con proposiciones $P_1,P_2,\dots,P_n$ a las que se les nombra premisas, junto a una proposición $R$ llamada conclusión. Y se le llama regla de inferencia a la siguiente proposición:

$$( P_1 \land P_2 \land \dots \land P_n) \Rightarrow R $$

La forma en que escribiremos las reglas de inferencia es la siguiente:

$$ \begin{array}{rl}& P_1\\&P_2\\ & \vdots \\ &P_n\\ \hline \therefore & R\ \text{(Por lo tanto R)} \end{array}$$

Volvamos de nuevo a nuestro ejemplo. Las premisas en este caso son $Q$ y $Q \Rightarrow P$ y la conclusión es $P$. Ahora veamos la tabla de verdad de la regla de inferencia $((Q \Rightarrow P) \land Q) \Rightarrow P $:

$P$$Q$$Q \Rightarrow P$$Q \Rightarrow P \land Q$$(Q \Rightarrow P \land Q) \Rightarrow P$
$0$$0$ 1 0
$0$$1$ 0 0 1
$1$$0$ 1 0 1
$1$$1$ 1 1

¿Notas algo peculiar? ¡Pues resulta que la regla de inferencia que dijimos es una tatuología! (Y sí, reciclamos las tablas de verdad de la entrada donde introdujimos el concepto tautología). En el caso en donde una regla de inferencia sea una tautología, diremos que es una regla de inferencia válida .

Los ingredientes de la validez

Ahora que tenemos las partes de la inferencia, veamos un poco su comportamiento. Supongamos que tenemos la regla de inferencia válida

$$ (P_1 \land P_2 \land \dots \land P_n) \Rightarrow Q $$

Sabemos que como es una regla válida, siempre va a ser una tautología. Por un lado tenemos a las premisas $P_1,P_2,\dots P_n$, y estas van a entrar a la regla de inferencia unidas mediante la disyunción :$P_1 \land P_2 \land \dots \land P_n$. Con que una de estas premisas sea falsa, entonces nuestra conclusión ya falla, pues no podríamos decir con seguridad que la conclusión sea válida. Entonces para poder decir que $Q$ se cumple, necesitamos que todas y cada una de las premisas se cumpla.

Algunos ejemplos de inferencias

A continuación vamos a ver algunos ejemplos de algunas reglas de inferencias válidas.

La regla de inferencia válida más simple que se nos puede ocurrir es la siguiente:

$$ \begin{array}{rl}& P\\ \hline \therefore & P \end{array}$$

En donde básicamente estamos diciendo que si tenemos la premisa $P$ entonces va a pasar $P$, lo cual es muy fácil de verificar.

Ahora considera el caso en donde tenemos las premisas $P$ y $Q$ y la conclusión es $P\land Q$. En este caso tendríamos la regla de inferencia:

$$ \begin{array}{rl} & P\\ & Q\\ \hline \therefore & P \land Q \end{array}$$

Esto claramente es válido, pues la proposición $(P \land Q) \Rightarrow (P \land Q)$ siempre es cierta.

Nota que para que una regla de inferencia no sea válida, se tenga que tener ‘un caso’ en que las premisas sean ciertas y la conclusión no. Por ejemplo, considera la siguiente regla de inferencia:

$$ \begin{array}{rl} & P \\ \hline \therefore & Q \end{array}$$

La premisa $P$ puede ser cierta, pero nada nos asegura que $Q$ pase, ya que puede ser cierta o falsa, entonces esta no es una premisa válida. Piensa esto como: ¿Qué pasaría si todas y cada una de las premisas fuera cierta? Entonces ¿podría verificar que la conclusión es cierta?

Retomemos de nuevo el ejemplo con el que empezamos el tema:

$$ \begin{array}{rl} & Q \Rightarrow P \\ & Q\\ \hline \therefore & P \end{array}$$

Y ahora, piensa: ¿Qué pasaría si todas mis premisas fueran ciertas? Entonces sabríamos que pasa $Q$, y anotamos mentalmente que «$Q$ es verdadero». Pero además $Q \Rightarrow P$ también es verdad. Y como tenemos que $Q$ es verdad, entonces $P$ también es verdad. Y justo esta es la conclusión a la que queríamos llegar ¡Yay! Entonces al suponer que todas nuestras premisas fueron verdaderas, y aplicando un poco de «lógica» llegamos a que nuestra conclusión es verdadera. Un poco de esto se va a tratar la matemática que sigue. A partir de ahora vamos a empezar a usar esta forma de pensar, estamos rascando la fibra de la matemática y con ello empieza el viaje hacia un bosque lleno de distintas áreas, desde el álgebra y el cálculo, pasando por la geometría y la probabilidad. Todas ellas llevan la capa de la matemática porque partirán de un tronco común que nosotros estamos sentando en estas hojas. No en muchas entradas verás cómo todo esto se relaciona al quehacer matemático.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te ayudarán a repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. Prueba que $P \Rightarrow P$ es una regla de inferencia válida.
  2. Verifica que las siguientes reglas de inferencia son válidas con tablas de verdad:
  • $$ \begin{array}{rl} & \neg P \Rightarrow \neg Q \\ & \neg P \\ \hline \therefore & \neg Q \end{array}$$
  • $$ \begin{array}{rl} & P \lor Q \\ & \neg P \\ \hline \therefore & Q \end{array}$$

Ahora haz lo mismo pero da un razonamiento «deductivo» (supón que todas las premisas y explica por qué la conclusión es cierta) de porqué es válida la siguiente regla de inferencia:

  • $$ \begin{array}{rl} & P \Rightarrow Q \\ & Q \Rightarrow R \\ \hline \therefore & P \Rightarrow R \end{array}$$

Más adelante…

Acabamos de establecer la base para uno de los cimientos sobre el cuál se sustenta la idea de «matemáticas» que es justo la forma en que pensaremos de ahora en adelante. No te preocupes si aún no puedes expresar bien la lógica detrás de las reglas de inferencia o sus trucos. Esto apenas comienza, pues en las siguientes entradas relacionaremos lo visto ahora con los bloques que construirán a la matemática: las demostraciones. Y por ahí conocerás antes una historia que te introducirán a esta idea.

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Álgebra Superior I: Negaciones de proposiciones con conectores y cuantificadores

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

Introducción

Ya hemos visto cómo podemos hacer uso de las proposiciones que usan conectores y algunos ejemplos de sus negaciones. Y también ya hemos visto sobre el significado de los cuantificadores así como su uso y ejemplos. Pues en esta entrada haremos uso del conector negación para entender qué significa negar una proposición con conector o cómo son las negaciones de los cuantificadores.

Conectores y su negación

Ya hemos repasado cuatro conectores binarios:

  • Conjunción
  • Disyunción
  • Implicación
  • Doble Implicación

Ahora veamos qué sucede cuando negamos cada uno de estos.

Conjunción y disyunción

Esta es una propiedad que ya visitamos con anterioridad cuando hablamos de la conjunción y disyunción, y que a la negación de estas dos se les conocen como Leyes de Demorgan y nos dicen que la negación de estas corresponden a:

  • $\neg (P \lor Q) = \neg P \land \neg Q$
  • $\neg (P \land Q) = \neg P \lor \neg Q$

Siendo que trabajemos con alguna de estas, solo es necesario recordar: La conjunción se niega con la disyunción y la disyunción se niega con la conjunción.

Implicación

Para ver cómo es que se niega este conector, recordemos su equivalencia lógica: $P \Rightarrow Q = \neg P \lor Q$. Lo siguiente que podemos hacer es aplicar las leyes de Demorgan para encontrar cómo es la negación de esta. Nota que $\neg (P \Rightarrow Q) = \neg(\neg P \lor Q) =P \land \neg Q $. Lo cuál nos quiere decir: «La negación de la implicación es que se cumpla la hipótesis y no la tesis», que es la única forma en que no se cumple la implicación.

Doble implicación

Ahora, recordemos que la doble implicación $P \Leftrightarrow Q$ es una equivalencia lógica a $(P\Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P)$. De esta manera

$$ \begin{aligned} \neg(P \Leftrightarrow Q) &= \neg((P\Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P))\\ &=\neg(P\Rightarrow Q) \lor \neg(Q \Rightarrow P) \\ &= (P \land \neg Q) \lor (Q \land \neg P)\end{aligned}$$

Esto es una equivalencia a decir «Las dos proposiciones deben tener valores de verdad distintos». Para que la negación de la doble implicación sea verdadera necesitamos que $P$ sea verdad y $Q$ falsa o $Q$ verdad y $P$ falsa.

Para recapitular esta parte, recuerda la siguiente tabla:

ConectorNegación
$P \lor Q$$\neg P \land \neg Q$
$P \land Q$$\neg P \lor \neg Q$
$P \Rightarrow Q$$P \land \neg Q $
$P \Leftrightarrow Q$$(P \land \neg Q) \lor (Q \land \neg P)$

Negando cuantificadores

Ahora que ya hemos visto sobre las negaciones de los conectores, es turno de que hablemos un poco de los cuantificadores. Y para esto recordemos que un cuantificador nos da información de cómo una proposición con término variable o también conocidas como predicados.

Negación de cuantificadores universales

Observa por un momento el siguiente predicado:

«Todos los números primos son impares»

Esta proposición la podemos ver de la forma $\forall x P(x)$ en el universo de discurso de los número enteros. Y la proposición nos dice que cada número primo que tomemos, será impar. ¿Esto es verdad? Pues resulta que no. Y de hecho el único número primo que no es impar es el 2. En este caso no podemos decir que sea verdad el cuantificador, esto pues existe al menos un número entero que no cumple la proposición. ¿Ves a dónde vamos con las palabras resaltadas?

Para negar el cuantificador $\forall$ usamos el cuantificador $\exists$ diciendo que existe un elemento que no cumple la propiedad:

$\neg(\forall x P(x)) = \exists x \neg P(x)$

Pensemos en el significado de la expresión. Si tenemos el esquema proposicional $\neg(\forall x P(x))$ significa que en el universo de discurso, existe una variable $a$ donde $P(a)$ es falsa, es decir $\neg P(a)$ es verdadera.

Negación de cuantificadores existenciales

Por otro lado, pensemos en el siguiente ejemplo:

«Existe un número entero mayor a 1 y menor a 2»

Para poder decir si es verdad o no, deberíamos ponernos de acuerdo en qué es un número entero o qué significa que sea menor o mayor que otro. Pero nuestra intuición nos dice que esto no es cierto (y estamos en lo correcto al pensar así). Ahora ¿Cómo se te ocurre que podríamos negar la expresión $\exists x P(x)$, donde nuestro universo de discurso son los números enteros y $P(x) : 1<x<2$? Pues necesitaríamos que no exista algún elemento que cumpla la condición, entonces podemos decir:

$\neg (\exists x P(x)) = \nexists x P(x)$

Pero podemos ir un poco más allá, y notar que lo que nos dice esta negación es que cualquier elemento que tomemos de nuestro universo de discurso, no cumplirá con la proposición. Es decir, «Para todo x en el universo de discurso, no se cumplirá el predicado». Dicho de otra forma:

$= \neg (\exists x P(x)) = \forall x \neg (P(x))$

Y por transitividad, ahora sabemos que $\nexists x P(x) = \forall x \neg (P(x))$. Y en nuestro ejemplo significa que «cada número entero no cumplirá que sea menor a 2 y mayor a 1».

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te ayudarán a repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. ¿Cuál es la negación de las siguientes proposiciones?
    • $P\lor (Q \Rightarrow S)$
    • $(P \Leftrightarrow (Q\land \neg S))$
    • $P \land (Q\lor R)$
    • $P \Rightarrow(Q \Rightarrow P)$
  2. ¿Cuál es la negación de los siguientes predicados?
    • $\forall x (P(x)\RightarrowQ(x))$
    • $\exists y (\forall x(P(x)\land Q(y)))$

Más adelante…

Llegando a este punto, ya tenemos el conocimiento necesario para hablar de una sustancia muy importante en la matemática: las demostraciones. Esto es, ¿Cómo podemos estar seguros de cuándo algo se cumple y cuándo no? ¿Qué significa que un enunciado se derive de otros enunciados? Y más importante: en lo que a partir de ahora estudiarás en las matemáticas, vamos a introducir algunas técnicas de demostración que te ayudarán a entender de qué estamos hablando en matemáticas cuando haya que verificar algo. Y para esto usaremos algo conocido como reglas de inferencia.

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