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Álgebra Superior II: Divisibilidad en los enteros

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Introducción

En la entrada anterior hablamos del algoritmo de la división. Dados dos números enteros $a$ y $b$, con $b\neq 0$, nos permite poner de manera única a $a$ de la forma $a=qb+r$, en donde $q$ y $r$ son enteros, y además $0\leq r < |b|$. En otras palabras, nos permite poner a un número como «copias de otro», más un residuo «chiquito». En esta entrada hablaremos de la divisibilidad en los enteros.

La divisibilidad se da cuando pasa una situación especial en el algoritmo de la división: cuando el residuo obtenido es igual a cero. Es decir, cuando podemos escribir $a=qb$. Cuando esto sucede, diremos que $b$ divide a $a$, o bien que $a$ es múltiplo de $b$. En esta entrada daremos una definición formal que contemple este caso y estudiaremos varias de sus propiedades.

Definición de divisibilidad

La noción fundamental que estudiaremos en esta entrada es la de divisibilidad. La definición crucial es la siguiente.

Definición. Sean $m$ y $n$ enteros. Diremos que $m$ divide a $n$ si existe un entero $k$ tal que $n=km$. En notación, escribiremos $m|n$. También diremos que $n$ es un múltiplo de $m$, o bien que $n$ es divisible entre $m$.

Ejemplo. El número $35$ es divisible entre $5$ pues podemos encontrar un entero $k$ tal que $35=k\cdot 5$. Concretamente, podemos escribir $35=7\cdot 5$. Así mismo, este número también es divisible entre $-7$ pues podemos encontrar un entero $k$ tal que $35=k\cdot (-7)$, en concreto, podemos escribir $35=(-5)(-7)$.

Por otro lado, el $35$ no es múltiplo de $8$. ¿Cómo sabemos esto? Al hacer el algoritmo de la división obtenemos que $35=4\cdot 8 + 3$. Como esta es la única forma de escribir a $35$ como un múltiplo de $8$ más un residuo entre $0$ y $7$, entonces es imposible escribirlo como un múltiplo de $8$ más residuo $0$. En otras palabras, no es múltiplo de $8$.

$\square$

Propiedades básicas de divisibilidad

La siguiente proposición habla de algunas de las propiedades básicas de la divisibilidad. Las enunciaremos y daremos sus demostraciones para poner en práctica nuestra definición de divisibilidad.

Proposición. La noción de divisibilidad cumple las siguientes propiedades.

  • Los enteros $1$ y $-1$ dividen a cualquier otro entero.
  • El entero $0$ es divisible por cualquier entero.
  • Es reflexiva, es decir para cualquier entero $n$ se tiene que $n|n$.
  • Es transitiva, es decir si $l,m,n$ son enteros tales que $l|m$ y $m|n$, entonces $l|n$.

Demostración. A continuación demostramos la demostración, inciso por inciso.

  • Recordemos que si $n$ es un entero, entonces $n=n\cdot 1$. Esto nos dice que $1$ divide a $n$. Además, por las propiedades de las operaciones en los números enteros tenemos lo siguiente:
    \begin{align*}
    n&=n\cdot 1\\
    &=n\cdot ((-1)\cdot (-1))\\
    &=(n\cdot (-1))\cdot (-1)\\
    &=(-n)\cdot (-1).
    \end{align*}
    Aquí estamos usando que $(-1)(-1)=1$, la asociatividad del producto en los números enteros y que $(-1)n=-n$. En resumen, obtenemos que $n=(-n)(-1)$, lo cual nos dice que $-1|n$.
  • Aquí notamos que para cualquier entero $n$ tenemos que $0=0\cdot n$. Así, $n|0$.
  • Anteriormente usamos que $n=n\cdot 1$ para concluir $1|n$. Así mismo, al usar $n=1\cdot n$ obtenemos que $n|n$.
  • Veamos la transitividad. Supongamos que $l,m,n$ son enteros tales que $l|m$ y $m|n$. Por definición de divisibilidad podemos encontrar enteros $q$ y $r$ tales que $m=ql$ y $n=rm$. Substituyendo el valor de $m$ de la primera igualdad en la segunda y usando asociatividad obtenemos que: $$n=rm=r(ql)=(rq)l.$$ Esto precisamente nos dice que $l|n$.

$\square$

Divisibilidad y operaciones en los enteros

La divisibilidad se comporta bien con las operaciones en los números enteros. En la siguiente proposición encontramos algunas de las propiedades que vuelven esto un poco más preciso.

Proposición. La noción de divisibilidad cumple las siguientes propiedades.

  • Para enteros $l,m,n$, si $l|m$ y $l|n$, entonces $l|m+n$.
  • Para enteros $l,m,n$, si $l|m$, entonces $l|mn$.
  • Para enteros $l$, $a$, $b$, $c$, $d$ se cumple que si $l|m$ y $l|n$, entonces $l|am+bn$.

Demostración. Daremos la demostración inciso por inciso:

  • Como $l|m$ y $l|n$, por definición existen enteros $r$ y $s$ tales que $m=rl$ y $n=sl$. Al hacer la suma y usar la distributividad del producto sobre la suma obtenemos que $$m+n=rl+sl=(r+s)l.$$ Esto por definición está diciendo que $l$ divide a $m+n$.
  • Aquí podemos utilizar una propiedad anterior. Tenemos que $mn=nm$, por lo cual $mn$ es divisible entre $m$. Es decir, tenemos $l|m$ y $m|mn$. Así, por la transitividad de la divisibilidad, que ya probamos anteriormente, tenemos que $l|mn$.
  • Este inciso es consecuencia de los dos anteriores y, de hecho, ya no tenemos que usar la definición. Por el segundo inciso, como $l|m$, entonces $l|am$. Así mismo, como $l|n$, entonces $l|bn$. Finalmente, por el primer inciso, como $l|am$ y $l|bn$, entonces $l|am+bn$.

$\square$

Observa que si ponemos $a=1$ y $b=-1$ en la última propiedad obtenemos el siguiente corolario: si $l|m$ y $l|n$, entonces $l|m-n$.

Divisibilidad y orden en los enteros

Hay una tercera clase de propiedades que cumple la noción de divisibilidad: aquellas relacionadas con el orden en los enteros. Veamos esto.

Proposición. La noción de divisibilidad cumple las siguientes propiedades.

  • Si $m$ y $n$ son enteros distintos de cero tales que $m|n$, entonces $|m|\leq |n|$.
  • Si $m$ y $n$ son enteros positivos tales que $m|n$, entonces $m\leq n$.
  • Si $m$ y $n$ son enteros tales que $m|n$ y $n|m$, entonces $|m|=|n|$.

Demostración. Demostraremos la primera afirmación a detalle, pues a partir de ella salen las otras dos de manera prácticamente inmediata.

Tomemos dos enteros $m$ y $n$ tales que $m|n$. Por definición de divisibilidad, tenemos que existe un entero $k$ tal que $n=km$. Al tomar valor absoluto de esta expresión, obtenemos que $|n|=|km|$. Por propiedades del valor absoluto, tenemos que $|km|=|k||m|$. Como $n$ es distinto de cero, entonces $k$ también es distinto de cero, así que $|k|\geq 1$. De esta manera, tenemos la siguiente cadena de igualdades y desigualdades: $$|n|=|km|=|k||m|\geq 1\cdot |m| = |m|.$$

Esto es lo que queríamos demostrar.

Para el segundo inciso, como $m$ y $n$ son positivos, entonces entran en el caso del primer inciso. Además, por ser positivos tenemos $|m|=m$ y $|n|=n$. De este modo, por el primer inciso tenemos $m\leq n$.

En el tercer inciso primero tenemos que descartar algunos casos. Si $m=0$, entonces la divisibilidad $0|n$ nos dice que $n=k\cdot 0$ para alguna $k$ entera, pero entonces $n=0$ también, y entonces se cumple $|m|=0=|n|$. El caso $n=0$ es análogo. Ya descartados estos casos, podemos suponer que $m$ y $n$ son distintos de cero. Por el primer inciso tendríamos entonces $|m|\leq |n|$ y $|m|\geq |n|$. Así, $|m|=|n|$, como queríamos.

$\square$

Un ejemplo que usa varias propiedades de divisibilidad

¿Por qué es bueno recordar y saber cuándo usar propiedades de la divisibilidad? Porque nos permite simplificar ciertos problemas y resolverlos más fácilmente. Veamos un ejemplo.

Problema. Encuentra todos los divisores del número $12$.

Solución. Supongamos que $d$ es un divisor de $12$. Tenemos entonces que $|d|\leq |12|=12$, así, $d$ es un número entre $-12$ y $12$. Fuera de este rango no pueden existir divisores de $12$.

Por reflexividad tenemos que $12|12$. Por la propiedad de $1$ y $-1$ tenemos que $1|12$ y $-1|12$. Es fácil ver $12=2\cdot 6$ y $12=3\cdot 4$, así que $2$, $3$, $4$ y $6$ son todos ellos divisores de $12$. Los negativos de estos números también serán divisores entonces pues, por ejemplo, como $12=3\cdot 4$, también tenemos $12=(-3)(-4)$.

De este modo, hasta ahora hemos visto que $-12,-6,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,6,12$ son todos ellos divisores de $12$.

El $5$ claramente no es, pues al hacer el algoritmo de la división obtenemos $12=2\cdot 5 +2$, con residuo $2$. Entonces el $-5$ tampoco puede ser divisor.

Podríamos hacer lo mismo con $7,8,9,10,11$. Pero una forma fácil de ver que ninguno de ellos va a funcionar es que si intentáramos escribir $12=7k$, por ejemplo, se tiene que $k$ no puede ser $1$ (pues $12\neq 7$) y si ponemos $k\geq 2$ entonces el producto es al menos $14$, que ya se pasa de $12$. Así, ni estos números, ni $-7,-8,-9,-10,-11$ son divisores de $12$.

$\square$

Tarea moral

  1. Encuentra todos los divisores del número $24$ (tanto los positivos, como los negativos) y verifica que en efecto cumplen con la definición dada en esta entrada.
  2. Encuentra contraejemplos para las siguientes afirmaciones:
    1. Si $l$, $m$ y $n$ son enteros tales que $l|m$ y $n|m$, entonces $l+n|m$.
    2. Si $l,m,n$ son enteros tales que $l|mn$, entonces o bien $l|m$ o bien $l|n$.
  3. Demuestra las siguientes dos propiedades de la noción de divisibilidad:
    1. Si $m$ y $n$ son enteros positivos tales que $m|n$ y $n|m$, entonces $m=n$.
    2. Si $m$ es divisor de $n$ con $n=km$, entonces $k$ también es divisor de $n$.
  4. Sean $m$ y $n$ enteros. Demuestra que $m$ divide a $n$ si y sólo si $m^2$ divide a $n^2$.
  5. Sea $n$ un entero positivo, $m$ un entero, $a_1,\ldots,a_n$ enteros y $b_1,\ldots,b_n$ enteros. Demuestra que si $m|b_i$ para todo $i=1,\ldots,n$, entonces $m| \sum_{i=1}^n a_ib_i$.

Más adelante…

La noción de divisibilidad da pie a varios otros conceptos en la teoría de números enteros. Dentro de algunas entradas hablaremos de dos conceptos importantes: el de máximo común divisor y mínimo común múltiplo en los enteros. Sin embargo, antes de hacer esto tomaremos una pequeña desviación para hablar de un concepto un poco abstracto pero bastante útil: los ideales.

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