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Geometría Analítica I: Recordatorio de funciones

Introducción

En la entrada anterior [Enlace entrada anterior] se introdujo la esencia del concepto de transformaciones y que estaremos viendo diversos tipos de transformaciones, pero para que no trabajemos en un espacio desconocido, en ésta entrada hablaremos de nociones básicas de funciones que debemos tener presentes para luego definir formalmente el concepto de qué es una transformación.

Funciones

Sean $E$ y $F$ dos conjuntos no vacíos, denominaremos función de un conjunto $E$ en un conjunto $F$ (o función definida en $E$ con valores en $F$) a una regla o ley $f$ que a todo elemento $x \in E$ le pone en correspondencia un determinado elemento $f(x) \in F$.

Al conjunto de los elementos $x \in E$ les llamamos dominio o argumento de la función $f$ y normalmente su notación es $Dom(f)$. Al conjunto de los elementos $f(x) \in F$ le llamamos rango o imagen y se denota por $Im(f)$. Además se encuentra el conjunto $F$ del contradominio, el cual contiene al rango.

A una función la designamos por lo general con la letra $f$ o con el símbolo $f: E \longrightarrow F$, que nos señala que $f$ aplica el conjunto $E$ en $F$. También podemos emplear la notación $x \mapsto f(x)$ para indicarnos que al elemento $x$ le corresponde el elemento $f(x)$. Cabe mencionar que en la mayoría de los casos las funciones se definen mediante igualdades, las cuales describen la ley de correspondencia.

Ejemplo 1. Podemos decir que la función $f$ está definida mediante la igualdad $f(x) = \sqrt{ x^2 + 1}$, $x \in [a,b]$. Si $y$ es la notación general de los elementos del conjunto $F$, o sea $F = \{y\}$, la aplicación $f: E \longrightarrow F$ se escribe en forma de la igualdad $y = f(x)$, y decimos entonces que la función se encuentra dada en su forma explícita.

Ejemplo 2. Mediante la siguiente imagen vamos a obtener $Domf$, $Imf$ y el $Codf$.

Podemos ver que $Domf$ es el conjunto formado por $\{1, -2, 2, -3, 3, 4\} $. La $Imf$ es $\{2, -4, 4, -6, 6, 8\}$ y el $Codf$ es $\{-2,2,-4,4,-6,6,8,-8\}$. Podemos darnos cuenta que no necesariamente la $Imf$ debe coincidir siempre con el $Codf$.

Ejemplo 3. Sea la función definida por la ecuación $y = \sqrt{3 – 9x}$. Debido a que la función es una raíz cuadrada, $y$ es función de $x$ sólo para $3-9x \geq 0$; pues para cualquier $x$ que satisfaga esta desigualdad, se determina un valor único de $y$. Procedemos a resolver la desigualdad:

\begin{align*}
3-9x & \geq 0,\\
3 & \geq 9x,\\
\dfrac{3}{9} & \geq x,\\
\dfrac{1}{3} & \geq x.
\end{align*}

Sin embargo si $x > \dfrac{1}{3}$, obtenemos la raíz cuadrada de un número negativo y en consecuencia no existe un número real $y$. Por tanto $x$ debe estar restringida a $\dfrac{1}{3} \geq x $. Concluimos que el $Domf$ es el intervalo $\left(- \infty, \dfrac{1}{3}\right]$ y la $Imf$ es $[0, + \infty).$

Gráfica de $f(x) = \sqrt{3-9x}$

Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva

Definición. Una función $f: E \longrightarrow F$ se denomina:

  • Inyectiva si $f(x) = f(x’)$ implica que $x = x’$. Otra forma de expresarlo es que no existen dos elementos de $E$ con una misma imagen ($x \neq x $ implica que $f(x) \neq f(x’)$).
  • Suprayectiva o sobreyectiva si $\forall y \in F$ existe $x \in E$ tal que $f(x)=y$. Es decir que todos los elementos del conjunto $F$ son imagen de algún elemento de $E$.
  • Biyectiva si la función cumple ser inyectiva y suprayectiva.

Problema 1. Consideren la función $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} $ definida por $f(x) = \dfrac{3x-1}{x+3}$ y determinen su dominio y si es biyectiva.

Solución. Veamos el dominio de la función, para que la función racional $f(x) = \dfrac{3x-1}{x+3}$ no se indetermine debe cumplirse que:

\begin{align*}
x+3 & \neq 0,\\
x & \neq -3,\\
\therefore Domf & = \mathbb{R} – \{-3 \}.\\
\end{align*}

Ahora veamos si $f$ es biyectiva. Sean $a,b \in \mathbb{R} – \{ -3 \}$, para que $f$ sea inyectiva debe cumplir que $f(x) = f(x’)$ implica que $x = x’$, por ello:

\begin{equation*}
f(a) = f(b) \hspace{0.5cm} \Longrightarrow \hspace{0.5cm} \dfrac{3a-1}{a+3} = \dfrac{3b-1}{b+3}.\\
\end{equation*}

Resolviendo:

\begin{align*}
(3a-1)(b+3) &= (3b-1)(a+3),\\
3ab + 9a – b -3 &= 3ab +9b -a -3,\\
10a &= 10b,\\
a &= b.
\end{align*}

Por tanto $f$ es inyectiva. Ahora veamos si $f$ es suprayectiva, sean $x, y \in E$ entonces:

\begin{align*}
f(x) = f(y) \hspace{0.5cm} &\Longrightarrow \hspace{0.5cm} y = \dfrac{3x-1}{x+3},\\
\end{align*}

Resolviendo

\begin{align*}
y(x+3) &= 3x-1,\\
yx +3y &= 3x-1,\\
yx-3x &= -3y-1,\\
x(y-3) &= -3y-1,
\end{align*}

y despejando a $x$

\begin{align*}
x &= \dfrac{-3y-1}{y-3},\\
x &= \dfrac{3y+1}{3-y},
\end{align*}

y como $3-y \neq 0$, entonces $y \neq 3$. En consecuencia $y \in \mathbb{R} – \{3 \}$. Pero al estar definida $f$ por $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$, tenemos que $f$ no es suprayectiva.

\begin{align*}
\therefore f \text{ no es biyectiva}.
\end{align*}

Composición de funciones y funciones inversas.

Definición. Dadas las funciones $f: A \longrightarrow B$ y $g: B \longrightarrow C$ , donde la imagen de $f$ está contenida en el dominio de $g$, se define la función composición $(g \circ f): A \longrightarrow C$ como $(g \circ f)(x) = g(f(x)),$ para todos los elementos $x$ de $A$.

La composición de funciones se realiza aplicando dichas funciones en orden de derecha a izquierda, de manera que en $(g \circ f)(x)$ primero actúa la función $f$ y luego la $g$ sobre $f(x)$.

Ejemplo 4. Sean las funciones $f$ y $g$ tales que $f(x)=x+1$ y $g(x) = x^2 +2$, calcularemos las funciones composición $(g \circ f)(x)$ y $(f \circ g)(x)$. Tenemos para $(g \circ f)(x)$

\begin{align*}
(g \circ f)(x) = g[f(x)] &= g(x+1),\\
&= (x+1)^2 + 2,\\
&= x^2 +2x +1 +2,\\
&= x^2 + 2x +3.
\end{align*}

Y para $(f \circ g)(x)$

\begin{align*}
(f \circ g)(x) = f[g(x)] &= f(x^2+2),\\
&= (x^2 + 2) + 1,\\
&= x^2 + 3.\\
\end{align*}

Observemos que la composición no es conmutativa pues las funciones $(f \circ g)$ y $(g \circ f)$ no son iguales.

Definición. Llamaremos función inversa de $f$ a otra función $f^{-1}$ que cumple que si $f(x)=y$, entonces $f^{-1}(y)=x$.

Sólo es posible determinar la función inversa $f^{-1}: B \longrightarrow A$ si y sólo si $f: A \longrightarrow B$ es biyectiva.

Notemos que la función inversa $f^{-1}: B \longrightarrow A$ también es biyectiva y cumple:

\begin{align*}
f^{-1}(f(x)) &= x, \hspace{0.2cm} \forall x \in A,\\
f(f^{-1}(y)) &= y, \hspace{0.2cm} \forall y \in B.
\end{align*}

Dicho de otro modo,

\begin{align*}
f^{-1} \circ f &= id_{A},\\
f \circ f^{-1} &= id_{B},
\end{align*}

donde $id_{A}$ e $id_{B}$ son las funciones identidad de $A$ y $B$ respectivamente. Es decir, son las funciones $id_{A}: A \longrightarrow A$ definida por $id_{A}(x) = x$ e $id_{B}: B \longrightarrow B$ definida por $id_{B}(y) = y$.

Concepto formal de transformación

Ahora hemos llegado a la definición de nuestro interés.

Definición. Una transformación en un plano A es una función biyectiva $f: A \longrightarrow A$ del plano en sí mismo.

Llamaremos transformación en el plano, a toda función que hace corresponder a cada punto del plano, otro punto del mismo.

Tarea moral

Vamos a realizar unos par de ejercicios para repasar y practicar los conceptos que vimos en esta entrada.

Ejercicio 1. Consideren la siguiente función $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \dfrac{3x-1}{x+3}$ y determinen su dominio, si ella es inyectiva, suprayectiva y la inversa de $f$.

Ejercicio 2. Sean $f: X \longrightarrow Y$ y $g: Y \longrightarrow Z$ funciones, demuestren que

(1) Si $f$ y $g$ son inyectivas, entonces $g \circ f$ es inyectiva.

(2) Si $g \circ f$ es suprayectiva, entonces $g$ es suprayectiva.

Más adelante

En esta entrada vimos las nociones básicas de funciones que nos llevaron a definir formalmente el concepto de una transformación. Dicho concepto nos permitirá comenzar a trabajar en la siguiente entrada con unos primeros conjuntos cuyas propiedades hacen que tengan un nombre especial: los grupos de transformaciones.

Enlaces

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Álgebra Superior I: Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas

Introducción

En la entrada anterior, hemos revisado la definición de las funciones matemáticas. Siguiendo con este tema, ahora vamos a estudiar tres tipos de funciones: las inyectivas, suprayectivas y finalmente las inyectivas. Hemos hablado anteriormente de las primeras dos, ahora estudiaremos algunas equivalencias de las definiciones vistas en un principio y algunos resultados interesantes.

Inyectividad entre funciones

Las definiciones que daremos al estar hablando de inyectividad y supreyactividad de funciones serán las mismas que dimos al hablar de los tipos de relaciones. Primero empezaremos hablando de la inyectividad.

Cuando estemos hablando de funciones, diremos que una función inyectiva es aquella que manda a elementos distintos en el dominio a elementos distintos en el contradominio.

Definición. Diremos que una función $f: X \rightarrow Y$ es inyectiva, si $f$ es una relación inyectiva. Es decir para cada elemento $y \in Im[f]$, existe un único $x$ tal que $(x,y) \in f$

Nota que esta es la definición de inyectividad que dimos anteriormente. El hecho de que $f$ sea una función, nos permitirá tener otra forma de ver la inyectividad, para darte cuenta de ello, observa la siguiente proposición:

Proposición. Sea $f: X \rightarrow Y$ una función. Entonces son equivalentes:

  1. $f$ es inyectiva.
  2. Para cualesquiera tres elementos $x,w \in X$ y $y \in Im[f]$ sucede que si $f(x) = y \land f(w) = y$ entonces $x=w$.

Demostración.

$1) \Rightarrow 2)$. Recordemos que una equivalencia de la inyectividad en relaciones es que si $(x,y) \in f$ y $(w,y) \in R$ entonces $x=w$. Usaremos esta equivalencia para nuestra demostración. Ahora nota que si $f(x)=y$ y $f(w)=y$ entonces $(x,f(x)) \in f$ y $(w,f(w)) \in f$. Como $f$ es inyectiva entonces $x=w$.

$2) \Rightarrow 1)$.Sean $(x,y) \in f$ y $(w,y) \in f$. Para demostrar el inciso, bastará demsotrar que $x=w$, para ello note que como $f$ es una función entonces $(x,y) = (x,f(x))$ y $(w,y) =(w,f(w))$. Ahora notemos que $f(x)=f(w)$, por hipótesis, esto significa que $x=w$.

$\square$

.

Esta última equivalencia deja más claro que una función inyectiva es aquella que envía a elementos distintos en el dominio a elementos distintos en el contradominio.

Ejemplos de funciones inyectivas son:

  • La función $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ donde $f(x)=x+1$, esto es debido a que si $f(x)=f(w)$ entonces $x+1=w+1$, lo que implicaría que $x=w$.
  • La función $f:\{1,2,3\} \rightarrow \{a,b,c,d,e\}$ dada por: $f=\{(1,e),(2,b),(3,c)\}$.
  • La función identidad entre cualquier conjunto $X$, dada por $f: X \Rightarrow X $ donde $f(x)=x$.

Suprayectividad entre funciones

Siguiendo con la lista de conceptos a revisar hoy, nos encontramos nuevamente con la suprayectividad, el concepto en donde todo el contradominio de la función coincide con su imagen:

Definición. diremos que una función $f:X \rightarrow Y$ es suprayectiva si $f$ es una relación suprayectiva. Es decir, si para cada $y \in Y$, existe un $x \in X$ tal que $f(x)=y$

Esta última definición es una derivación de una equivalencia que mostramos con anterioridad. Puesto que decir que para cada $y \in Y$, existe un $x \in X$ tal que $f(x)=y$, es equivalente a decir que para cada elemento $y \in Y$, existe un elemento $x \in X$ tal que $(x,y) \in f$, basta con notar que $f(x)=y$ produce la equivalencia deseada.

Algunos ejemplos de funciones suprayectivas son:

  • La función identidad $f: X \rightarrow X$. Para ello, nota que para cada $y \in X$, sucede que $(y,f(y)) \in f$, por lo que es suprayectiva, pues $f(y)=y$.
  • Sea $X =\{0\}$, entonces la función $f: \mathbb{Z} \rightarrow X$ dada por $f(n)=0$ es una función suprayectiva.
  • La función proyección $f: \mathbb{Z}^2 \rightarrow \mathbb{Z}$ dada por $f((x,y)) = x$ es suprayectiva.

Funciones biyectivas

El último concepto que revisaremos será el de funciones biyectivas. Estas funciones serán importantes porque en pocas palabras podrán «trasladar» un conjunto a otro. Definiremos a estas funciones como aquellas que son inyectivas y suprayectivas al mismo tiempo.

Definición. Sea $f: X \rightarrow Y$ una función. Diremos que $f$ es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.

Si una función es inyectiva, entonces manda distintos elementos del dominio a distintos elementos del contradominio. Mientras que si es suprayectiva, entonces todo el contradominio tiene su correspondencia. Así que si una función es biyectiva, entonces todo elemento del contradominio vendrá de uno y solamente un elemento del dominio. Esto significa que una función biyectiva «transforma» un conjunto en otro. A cada elemento del dominio lo vuelve uno del contradominio.

Por ejemplo, considera la función $f: X \rightarrow Y$ donde $X=\{1,2,3\}$ y $Y=\{a,b,c\}$ donde $f = \{(1,a),(2,b),(3,c)\}$. Nota que la función va de un conjunto $X$ y «traduce» cada uno de sus elementos a un elemento del conjunto $Y$. Esta es una forma en que las biyecciones nos dan información de cómo «traducir» un conjunto en otro.

Ahora considera la función $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ dada por $f(n)=n+1$. Esta es una función biyectiva. Y «traduce» cada número a su sucesor.

Otro ejemplo sería la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x)=2x$. Nota que lo que hace esta función es «alejar» puntos del origen. Mientras que $f(0)=0$, a todos los números positivos los «aleja» más del origen del lado derecho, y a los número negativos los «aleja» del origen por la izquierda. Así que esta función biyectiva se podría pensar como una liga que pegamos a la mitad y jalamos por ambos lados hasta que cada lado mida el doble de lo que medía antes. Esta es una forma en que pasamos de una liga normal a una liga estirada, si cada punto de la recta real, fuera un pedazo de la liga, entonces «traducimos» ese punto estirando la liga.

Con estos ejemplos, vimos como una función biyectiva es una traductora de puntos, mandando cada punto del dominio a uno del contradominio, y cada punto del dominio tiene su propia traducción en el contradominio sin que otro punto del dominio comparta su traducción.

Así es como hemos revisado los tres tipos de funciones principales que usarás en muchas áreas de las matemáticas. La inyectividad nos dice que a cada elemento de la imagen de una función solo le corresponde una del dominio. La supreyactividad nos dice que la imagen de una función es igual al contradominio de la función. Mientras que la biyectividad nos habla de traducciones, o formas de ver un conjunto reflejado en otro conjunto.

Tarea moral

  1. Da un ejemplo de una función inyectiva pero no suprayectiva.
  2. Sea $X$ un conjunto y $Y$ un subconjunto de $X$. La función inclusión está dada por $f: Y \rightarrow X$ donde $f(y)=y$.
    1. Demuestra que la función inclusión es inyectiva.
    2. Da condiciones necesarias para que la función inclusión sea biyectiva.
  3. Considera la función $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ dada por $f(n) = an +b$. ¿Para qué valores $a,b$ la función es biyectiva?
  4. Demuestra que una función $f: X \rightarrow Y$ es biyectiva si y solo si para cualquier subconjunto $A \subset X$ sucede que $f[X \setminus A] = Y \setminus f[A] $.

Más adelante…

En la siguiente entrada daremos el paso de hablar de una función a más de una función, y esto lo haremos componiendo funciones. En un principio se pueden pensar las composiciones como mandar un elemento de un conjunto a otro conjunto mediante una función y después mandar este elemento a otro conjunto mediante otra función. Verás que será útil las composiciones cuando estemos hablando de distintas funciones entre conjutnos.

Entradas relacionadas

Álgebra Superior I: Introducción a funciones

Introducción

En esta entrada empezaremos a estudiar un tipo de relación muy específica, que son las funciones. Este concepto es fundamental en casi todas las áreas de las matemáticas, y aprender su uso será fundamental a partir de ahora.

La importancia de las funciones

Antes de empezar a hablar de las funciones, es importante que desde ahora entiendas que el concepto de la función es un concepto casi omnipresente en la tarea de estudiar las matemáticas. Para tener idea de la profundidad de esto, observa los siguientes ejemplos:

  • La base del cálculo son las funciones en una variable.
  • La base del cálculo en varias variables son las funciones de distintas variables.
  • En análisis se estudian las funciones entre espacios numéricos.
  • En probabilidad, se trabaja con las funciones entre espacios de probabilidad.
  • Las secuencias numéricas son funciones.
  • En álgebra moderna, el concepto de grupo es un tipo de función.
  • En topología muchas veces se estudian familias de funciones.

Los ejemplos podrían seguir y seguir, y es que nosotros al estudiar las matemáticas, es muy importante entender que la mayor parte de estudiarla será el analizar funciones.

La primera noción que daremos de lo que son las funciones son unas máquinas que reciben una entrada y devuelven una salida.

Un ejemplo de esto es una función que toma de entrada cualquier número entero y devuelve el número multiplicado por dos. Para traducir cómo escribiremos esto, recordemos que al principio hemos dicho que las funciones van a ser relaciones, entonces la forma en que definirimos esta función será con una pareja ordenada $(x,y)$. Como tenemos la idea de que las funciones son máquinas que reciben una entrada y arrojan una salida, entonces diremos que $x$ es la variable de entrada y $y$ la de salida. De manera que podemos representar a la función que toma cualquier número entero y devuelve el número multiplicado por dos, es de la siguiente manera: $$f = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2: y = 2x\} $$ En donde al mencionar que $y=2x$, estamos diciendo que la salida es dos veces la entrada.

Algunos de los elementos que pertenecen a la función son $$\{(0,0),(1,2),(-1,-2),(5,10),(-7,-14), \dots\}.$$

Cuando hablemos de funciones habrán dos cosas importantes que tendrá que cumplir la relación:

  • Deberemos de usar todo el dominio para crear la relación. Esto quiere decir que si estamos hablando de una función entre números enteros, entonces no importa de qué número entero estemos hablando, siempre podrá tener su correspondencia según la función. En nuestro ejemplo, nota que dijimos que la función toma «cualquier número entero», no estamos diciendo que solo toma algunos números enteros.
  • Cada elemento del dominio tendrá uno y solo un correspondiente del contradominio. Esto quiere decir que si $(x,y)$ pertenecen a la función, entonces no existe otra pareja distinta $(x,w)$ en la función. En nuestro ejemplo, nota que las parejas son de la forma $(x,2x)$, y esto implica que cada elemento del dominio solo aparece una vez, si no fuera así, habría dos elementos $(x,2x),(x,w)$ en la función en donde $2x \neq w$, lo cual es imposible, puesto que los elementos del contradominio son los elementos del dominio multiplicados por $2$, es decir $w = 2x$, generando una contradicción.

Estas serán las propiedades que le pediremos a una relación para ser función.

Definición. Sea $f$ una relación entre dos conjuntos $X,Y$. Diremos que $f$ es una función si cumple las siguientes propiedades:

  • $Dom(f) = X$
  • Si $(x,y) \in f$ y $(x,w) \in f$, entonces $y=w$.

Esta última propiedad quiere decir que solo existe una pareja que tenga a $x$ en el lugar de los elementos del dominio.

Como hemos dicho antes, una función será una correspondencia entre elementos de $X$ con elementos de $Y$ de manera que a cada elemento de $X$ le corresponderá uno y únicamente un elemento del contradominio.

Ejemplos de funciones

Algunos ejemplos de funciones son:

  • La función identidad. Esta función de un conjunto $X$ en sí mismo, es el conjunto $$\{(x,y) \in X^2:x=y\}.$$ Y son las parejas de la forma $(x,x)$.
  • Si $X = \{1,2,3\}, Y=\{a,b\}$, entonces $\{(1,a),(2,a),(3,b)\}$ es una función.
  • La función que corresponde a cada persona de la tierra con su cumpleaños, es una función.
  • La función proyección. Supongamos que tenemos dos conjuntos $X,Y$, la proyección es la función entre el producto cartesiano $X \times Y$ y el conjunto $X$ que asocia cada pareja ordenada $(x,y)$ con el primer elemento de la pareja $x$. Esto quiere decir que la función «se olvida» del elemento $y$. De esta forma, $f$ toma elementos del producto $X \times Y$ y su contradominio es el conjunto $X$ que manda cada pareja ordenada a su proyección sobre la primer entrada, esto quiere decir que $f((x,y)) = x$. Así, observa que los elementos de esta función son de la forma $((x,y),x).$ Esta es una función que se utiliza en áreas como la geometría analítica, cuando se tiene el plano cartesiano y se define la proyección de un vector sobre algún eje o incluso sobre la dirección de otro vector.

Un ejemplo de una relación que no es función es la función entre $X = \{1,2,3\}$ y $Y=\{a,b\}$, donde la relación es $\{(1,a),(2,a),(1,b)\}$. Esto es por dos razones: Se utiliza más de una vez el elemento del dominio $1$, aparecen las parejas $(1,a),(1,b)$, pero no es cierto que $a=b$, además nota que no se utiliza el elemento $3$ del dominio, por lo que se rompen las dos condiciones que pedimos para que fuera función.

Más sobre funciones

Al momento de estar hablando de una función $f$ entre dos conjuntos $X$ y $Y$ , es común hacer uso de la notación $f:X \rightarrow Y$ que se lee como «$f$ es una función que va de $X$ a $Y$». Y si $x \in X$, al único elemento $y$ tal que $(x,y) \in f$, lo podremos denotar por $f(x)$ de manera que las parejas serán de la forma $(x,f(x))$.

A continuación definiremos algunos conceptos que usaremos al hablar de funciones.

Definición. Diremos que dos funciones $f: X \rightarrow Y$ y $g: W \rightarrow Z$ son iguales si las relaciones son la misma, es decir si $X=W$ y $Y=Z$ y para cada elemento $x \in X$, $f(x)=g(x)$.

Esto nos quiere decir que si dos funciones son iguales, entonces mandan a todo elemento $x$ al mismo elemento en el contradominio.

Con esto, hemos cubierto la noción de las funciones. Lo importante que recuerdes ahora es que las funciones son un tipo de relación que usan todo el contradominio y que mandan cualquier elemento del dominio a uno y solamente un elemento del contradominio. Verás que conforme avances en distintas ramas de la matemática, serán muy importante saber qué son las funciones.

Tarea moral

  1. Demuestra que la relación «ser menor o igual» en los números enteros no es una función.
  2. Dado cualquier conjunto $X$ no vacío, ¿Cuál es la única función que es relación de equivalencia?
  3. Demuestra que no existe ninguna función $f:X \rightarrow \emptyset$
  4. Sean $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ y $g: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$. Definamos $f(x) = x ^2$ y $g(x) = (x+1)(x-1)+1$. Demuestra que $f=g$.

Más adelante…

Hasta ahora hemos hablado únicamente de la definición de las funciones y cuándo dos funciones son iguales. En las siguiente entrada platicaremos acerca de las funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas. Que si recuerdas los términos, alguna vez definimos los dos primeros en el contexto de relaciones. Volveremos a explorar estos términos pero ahora desde el punto de vista de las funciones.

Entradas relacionadas

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Cálculo Diferencial e Integral I: Funciones exponenciales y logarítmicas

Introducción

En esta entrada veremos un par de tipos de funciones muy particular: las exponenciales y las logarítmicas. Probablemente en alguno de tus cursos anteriores te encontraste con funciones del tipo:
\begin{align*}
f(x)&= 3^{x} & g(x)&= ln(x)\\
\end{align*}

Aquí veremos su representación gráfica, ejercicios relacionados y algunos resultados importantes cómo las leyes de los exponentes y de los logaritmos. Se verá un desarrollo más detallado sobre este conjunto de funciones en el curso de Cálculo Diferencial e Integral II.

Funciones exponenciales

Definición (función exponencial): Sea $f$ una función. Decimos que $f$ es una función exponencial si está definida como:
$$f: \r \rightarrow (0, \infty)$$
$$f(x)=a^{x}$$
con $a \in {\r}$ y $a>0$.
En este tipo de funciones tenemos que la variable $x$ está como exponente.
Observemos que tenemos los siguientes casos:

Veamos que al tomar $a=1$ tenemos que su gráfica se vería:
$$f(x)=1^{x}$$

Leyes de los exponentes

Teorema (Leyes de los exponentes): Consideremos a $a, m, n \in \r$ y $a>0$. Vemos que se cumplen las siguientes propiedades:

  1. $a^{m}a^{n}=a^{m+n}$
  2. $(a^{n})^{m}=a^{(n\cdot m)}$
  3. $a^{0}=1$
  4. $a^{-1}=\frac{1}{a}$
  5. $a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$
  6. $a^{n-m}=\frac{a^{n}}{a^{m}}$
  7. $a^{\frac{1}{q}}=\sqrt[q]{x}$
  8. $a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{x^{p}}$

Por el momento no daremos las pruebas pertinentes, ya que las herramientas necesarias se verán durante el próximo curso de cálculo. Así pasaremos a revisar otros resultados relacionados a las funciones exponenciales.

Otros resultados sobre funciones exponenciales

Proposición: Consideremos $a>0$ y $r=\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$.

  1. Si $a>1$ y $r>0$ entonces $a^{r}>1$
  2. Si $0<a<1$ y $r>0$ entonces $a^{r}<1$
  3. Si $a>1$ y $r<0$ entonces $a^{r}<1$
  4. Si $0<a<1$ y $r<0$ entonces $a^{r}>1$

Demostración:

  1. Cómo $a>1$ se sigue que:
    \begin{align*}
    a>1 &\Rightarrow \sqrt[q]{a}>\sqrt[q]{1}\\
    &\Rightarrow (\sqrt[q]{a})^{p}>(\sqrt[q]{1})^{p}\\
    &\Rightarrow a^{\frac{p}{q}}>1\\
    &\Rightarrow a^{r}>1
    \end{align*}
  2. Ahora tenemos que $0<a<1$:
    \begin{align*}
    &\Rightarrow \sqrt[q]{a}< \sqrt[q]{1}\\
    &\Rightarrow (\sqrt[q]{a})^{p}<(\sqrt[q]{1})^{p}\\
    &\Rightarrow a^{r}<1
    \end{align*}
  3. Tarea moral
  4. Ya que $0<a<1$ observamos que:
    $$1< \frac{1}{a}$$
    Adicionalmente como $r<0$ se sigue:
    \begin{align*}
    &\Rightarrow (\frac{1}{a})^{r}<1\\
    &\Rightarrow (a^{-1})^{r}<1\\
    &\Rightarrow a^{-r}<1\\
    &\Rightarrow \frac{1}{a^{r}}<1\\
    &\Rightarrow 1<a^{r}
    \end{align*}

$\square$

Teorema: Sea $f: A \subseteq \r \rightarrow \r$.

  1. Si $f$ es una función creciente $\Rightarrow f$ es inyectiva.
  2. Si $f$ es una función decreciente $\Rightarrow f$ es inyectiva.

Demostración de 1:
Tomemos $x_{1},x_{2} \in A$ tales que $x_{1} \neq x_{2}$ por lo que tenemos los siguientes casos:
Caso 1: Si $x_{1}>x_{2}$ entonces al aplicar la función $f$ tenemos
$$f(x_{1})>f(x_{2})$$
Por lo que:
$$f(x_{1}) \neq f(x_{2})$$

Caso 2: Ahora si $x_{1}<x_{2}$ y aplicamos la función $f$
$$f(x_{1})< f(x_{2})$$
Así:
$$f(x_{1}) \neq f(x_{2})$$
De los casos anteriores concluimos que:
$f$ es inyectiva

$\square$

Afirmación: Si tenemos $a>0$ y $f: \r \rightarrow \r^{+}$
$$f(x)=a^{x}$$

  1. Si $a>1$ entonces $f$ es creciente.
  2. Si $0<a<1$ entonces $f$ es decreciente.

Demostración:

  1. Si $a>1$ y tomamos $x<y$ entonces $y-x>0$
    \begin{align*}
    &\Rightarrow a^{y-x}>1\\
    &\Rightarrow \frac{a^{y}}{a^{x}}>1\\
    &\Rightarrow a^{y}>a^{x}
    \end{align*}
  2. En cambio si $0<a<1$ y ahora consideramos $x<y$. Queremos probar que:
    $f(x)>f(y)$
    \begin{align*}
    x<y &\Rightarrow y-x>0\\
    &\Rightarrow a^{y-x}<1\\
    &\Rightarrow \frac{a^{y}}{a^{x}}<1\\
    &\Rightarrow a^{y}< a^{x}\\
    &\Rightarrow f(y)<f(x)
    \end{align*}

$\square$

Observación: Si $a>0$ y $a \neq 1$ entonces $f(x)=a^{x}$ es inyectiva.
Observación: $f(x)=a^{x}$ es sobreyectiva.

Ahora hablemos del número $e$

Si consideramos $a= e$ donde:
$$e=2.718282 \ldots$$
que es llamado el número de Euler.
Obtenemos la función:
$$f(x)=e^{x}$$
llamada función exponencial, ésta es quizá las más conocida de este tipo de funciones.

Su gráfica se ve del siguiente modo:

¿Y su función inversa?

Si tomas la función $f(x)=a^{x}$, la función identidad y reflejamos su gráfica, obtenemos que $f^{-1}$ se ve cómo:

Observamos que $f^{1}$ esta definida como:
$$f^{-1}: (0, \infty) \rightarrow \r$$
que vemos también cumple ser inyectiva.
A $f^{-1}(x)$ la denotaremos por:
$$f^{-1}(x)= log_{a}(x)$$

Funciones logarítmicas

Definición (función logarítmica): Sea $g$ una función en los reales. Decimos que $g$ es una función logarítmica si:
$$g: (0, \infty) \rightarrow \r$$
$$g(x)=log_{a}(x)$$
donde $log_{a}(x)$ se lee como logaritmo base $a$ de $x$.
Notación:

  • Si tomamos $a=e$:
    $$log_{e}(x):= ln(x)$$
    llamado logaritmo natural de $x$.
  • Si tomamos $a=10$ escribiremos:
    $$log_{10}(x):= log(x)$$

Leyes de los logaritmos

Teorema (Leyes de los logaritmos): Sean $a \in (0, \infty)$ con $a\neq 1$, $x,y \in (0, \infty)$ y $r \in \r$. Tenemos que se cumplen las siguientes igualdades:

  1. $log_{a}(x \cdot y)=log_{a}(x)+log_{b}(y)$
  2. $r log_{a}(x)= log_{a}(x^{r})$
  3. $log_{a}(\frac{x}{y})= log_{a}(x)- log_{a}(y)$

Demostración:
Tomemos $log_{a}(x)=z$ y $log_{a}(y)=w$ y notemos que:
\begin{align*}
a^{z}&= x & a^{w}&=y
\end{align*}

  1. Para este punto consideremos el producto de $x$ con $y$:
    \begin{align*}
    x \cdot y &= a^{z}\cdot a^{w}\\
    &= a^{z+w}
    \end{align*}
    Así sustituyendo al logaritmo del producto tenemos:
    \begin{align*}
    log_{a}(x \cdot y)&= log_{a}(a^{z+w})\\
    &= z+w\\
    &=log_{a}(x)+ log_{a}(y)
    \end{align*}
  2. Ahora si elevamos $a^{z}=x$ a la $r$ obtenemos:
    $$(a^{z})^{r}= x^{r} \Rightarrow a^{rz}=x^{r}$$
    Tomando el $log_{a}(x^{r})$ se sigue:
    \begin{align*}
    log_{a}(x^{r})&= log_{a}(a^{rz})\\
    &= rz\\
    &=r log_{a}(x)
    \end{align*}
  3. Por último veamos que:
    $$x=\frac{x}{y}\cdot y$$
    Tomando lo anterior y aplicando logaritmo:
    \begin{align*}
    log_{a}(x)&= log_{a}\left(\frac{x}{y}\cdot y \right)\\
    &= log_{a}\left(\frac{x}{y }\right)+ log_{a}(y)
    \end{align*}
    Reacomodando obtenemos:
    $$log_{a} \left(\frac{x}{y}\right)= log_{a}(x)- log_{a}(y)$$

$\square$

Cambio de base de logaritmos

Proposición (Cambio de base): Consideremos $a,b \in (0, \infty)$ donde $a\neq 1, b \neq 1$, $x \in \r$ y $y>0$. Se cumplen las siguientes propiedades:

  1. $a^{x}=b^{x log_{b}(a)}$
  2. $log_{a}(y)=\frac{log_{b}(y)}{log_{b}(a)}$

Demostración:

  1. Si aplicamos la segunda ley de los logaritmos en la siguiente igualdad y simplificamos tenemos:
    \begin{align*}
    b^{x log_{b}(a)}&= b^{log_{b}(a^{x})}\\
    &= a^{x}
    \end{align*}
  2. Cómo $y>0$ entonces podemos considerar $x=log_{a}(y)$. Así sustituyendo en el punto 1:
    \begin{align*}
    a^{log_{a}(y)}&= b^{log_{a}(y)log_{b}(a)}
    \end{align*}
    De lo anterior tenemos:
    $$y=b^{log_{a}(y)log_{b}(a)}$$
    Tomando el logaritmo base $b$ en ambos lados de la igualdad:
    \begin{align*}
    log_{b}(y)&= log_{b}(b^{log_{a}(y)log_{b}(a)})\\
    &= log_{a}(y)\cdot log_{b}(a)
    \end{align*}
    $$\therefore log_{a}(y)=\frac{log_{b}(y)}{log_{b}(a)}$$

$\square$

Ejercicio

Resuelve la ecuación:
\begin{equation*}
log_{4}(log_{3}(log_{2}(x)))=0
\end{equation*}
Solución:
Comenzaremos realizando un cambio de variable considerando:
$$\beta =log_{3}(log_{2}(x))$$
Por lo que tendríamos:
\begin{equation*}
log_{4}(\beta)=0
\end{equation*}
Lo anterior ocurre implica que:
\begin{equation*}
4^{log_{4}(\beta)}=4^{0}=1
\end{equation*}
$$\therefore \beta = 1$$
$$\therefore log_{3}(log_{2}(x))=1$$
Procedemos con un razonamiento similar para $log_{3}(log_{2}(x))=1$:
\begin{equation*}
3^{log_{3}(log_{2}(x))}=3^{1}=3
\end{equation*}
Por lo que concluimos:
$$log_{2}(x)=3$$
Finalmente de $log_{2}(x)=3$ obtenemos:
\begin{equation*}
2^{log_{2}(x)}=2^{3}=8
\end{equation*}
Así tenemos que el valor para $x$ sería:
$$x=8$$

Realizando la comprobación vemos que se cumple:
\begin{align*}
log_{4}(log_{3}(log_{2}(x)))&=log_{4}(log_{3}(log_{2}(8)))\\
&=log_{4}(log_{3}(3))\\
&=log_{4}(1)\\
&=0
\end{align*}

Tarea moral

  • Demuestra el punto 3 de la Proposición.
  • Gráfica las siguientes funciones:
    • $f(x)=ln(x-2)$
    • $f(x)=1-e^{x}$
  • Demuestra que dado $a \in (0, \infty)- \left\{1 \right\}$:
    \begin{equation*}
    log_{\frac{1}{a}}(x)=-log_{a}(x)
    \end{equation*}
  • Resuelve los siguientes ejercicios:
    • $log_{2}(log_{3}(log_{2}(x)))=1$
    • $log_{16}(x)+log_{4}(x)+log_{2}(x)=7$

Más adelante

Ahora que hemos terminado la unidad de funciones, en la próxima entrada comenzaremos con la unidad dedicada al estudio de un tipo especial de funciones: las sucesiones de números reales. Encontrarás una introducción intuitiva sobre el concepto de sucesión para pasar a su definición formal y una serie de ejemplos.

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Cálculo Diferencial e Integral I: Funciones trigonométricas. (Parte 2)

Introducción

Ahora que hemos comenzado a revisar las funciones trigonométricas de seno y coseno, en esta entrada veremos a las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante. De igual manera revisaremos las funciones inversas y su representación gráfica.

Hablemos de la tangente y la cotangente

Recordemos de la entrada anterior las definiciones:

\begin{align*}
tan(\theta)&=\frac{sen(\theta)}{cos(\theta)} & cot(\theta)&=\frac{cos(\theta)}{sen(\theta)}
\end{align*}

Para la función tangente tenemos que su gráfica se vería cómo:

Observación: La tangente presenta asíntotas en los valores $x=\frac{k \pi}{2}$ con $k \in \mathbb{Z}$.

Y su rama principal la consideramos definida en el dominio:
$$tan: \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \rightarrow \r$$

Y para la función cotangente su gráfica sería:

Observación: La cotangente presenta asíntotas en los valores $x=k \pi$ con $k \in \mathbb{Z}$.

Para esta función consideraremos como su rama principal en el siguiente dominio:
$$cot: (0,\pi) \rightarrow \r$$

Ahora la secante y la cosecante

Ya vimos que están definidas como:
\begin{align*}
sec(\theta)&= \frac{1}{cos(\theta)} & csc(\theta)&= \frac{1}{sen(\theta)}
\end{align*}

Comencemos con la gráfica para la función secante:

Observación: La secante presenta asíntotas en los valores $x=\frac{k \pi}{2}$ con $k \in \mathbb{Z}$.

Notemos que esta función se encuentra definida sobre cada cresta y por debajo de cada valle de la función $cos(\theta)$:

Tomaremos como domino donde la función es invertible a:
$$D= \left[0, \frac{\pi}{2} \right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\pi \right]$$

Para la función cosecante vemos que se encuentra definida sobre cada cresta y por debajo de cada valle de la función $sen(\theta)$:

Observación: La cosecante presenta asíntotas en los valores $x=k \pi$ con $k \in \mathbb{Z}$.

Para esta función consideraremos al dominio donde es invertible a:
$$D= \left[-\frac{\pi}{2}, 0 \right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2} \right]$$

¿Quiénes son las funciones inversas?

Para poder visualizar las gráficas de cada una de las funciones trigonométricas utilizaremos el método descrito previamente de reflejar la gráfica de la función respecto de la función identidad en el dominio donde es biyectiva o invertible.

Comenzaremos con la inversa de la función $f(x)=sen(x)$ en el dominio $D_{f}=\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$:

A $f^{-1}(x)$ la llamaremos arcoseno de $x$:
$$f^{-1}(x)=arcsen(x)$$
geométricamente esta función nos da el arco cuyo seno es $x$ valor.

Procederemos de la misma manera con $g(x)=cos(x)$ en el dominio $D_{g}=[0,\pi]$:

Ahora a $g^{-1}$ la llamaremos arcocoseno de $x$:
$$g^{-1}(x)=arccos(x)$$
y su interpretación geométrica sería el arco cuyo coseno es el valor $x$.

Dejaremos como ejercicio de Tarea moral realizar la gráfica para la función inversa de $h(x)= tan(x)$ en el dominio $D_{h}= \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$:
$$h^{-1}(x)= arctan(x)$$
la función arcotangente nos da el arco cuya tangente es el valor $x$.

Tarea moral

  • Obtener la gráfica de las siguientes funciones:
    • $f(x)=-tan(x)$
    • $f(x)=-2sec(x)+1$
    • $f(x)=arctan(x)$
    • $f(x)=3-csc(x)$

Más adelante

En la siguiente entrada veremos al conjunto de funciones exponenciales y logarítmicas, sus representaciones gráficas, la relación que existe entre ellas y algunos resultados que cumplen como las leyes de los exponentes y las leyes de los logaritmos.

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