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Álgebra Lineal I: Algunas aclaraciones sobre las formas lineales

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Introducción

Uno de los momentos del curso de Álgebra Lineal I en el que se da un brinco de abstracción es cuando se introduce el espacio dual. En ese momento, empiezan a aparecer objetos que tratamos simultáneamente como funciones y como vectores: las formas lineales. De repente puede volverse muy difícil trasladar incluso conceptos muy sencillos (como el de suma vectorial, o el de indepencia lineal) a este contexto. En esta entrada intentaremos dejar esto mucho más claro.

Igualdad de funciones

Para hablar del dual de un espacio vectorial $V$ sobre un campo $F$, necesitamos hablar de las funciones $l:V\to F$. Antes de cualquier cosa, debemos de ponernos de acuerdo en algo crucial. ¿Cuándo dos funciones son iguales?

Definición. Dos funciones $f:A\to B$ y $g:C\to D$ son iguales si y sólo si pasan las siguientes tres cosas:

  • $A=C$, es decir, tienen el mismo dominio.
  • $B=D$, es decir, tienen el mismo codominio
  • $f(a)=g(a)$ para todo $a\in A$, es decir, tienen la misma regla de asignación.

Los dos primeros puntos son importantes. El tercer punto es crucial, y justo es lo que nos permitirá trabajar y decir cosas acerca de las funciones. Implica dos cosas:

  • Que si queremos demostrar la igualdad de dos funciones, en parte necesitamos demostrar que se da la igualdad de las evaluaciones para todos los elementos del conjunto.
  • Que si ya nos dan la igualdad de las funciones, entonces nos están dando muchísima información, pues nos están diciendo la igualdad de todas las evaluaciones posibles.

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo. Tomemos las funciones $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ y $g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ con las reglas de asignación $f(x,y)=2x+3y$ y $g(x,y)=6x-y$. ¿Son iguales? Los primeros dos puntos en la definición de igualdad se cumplen, pues tienen el mismo dominio y codominio. Entonces, debemos estudiar si tienen la misma regla de asignación.

Al evaluar en $(1,1)$ obtenemos que $f(1,1)=2+3=5$ y que $g(1,1)=6-1=5$. Al evaluar en $(2,2)$ obtenemos que $f(2,2)=4+6=10$ y que $g(2,2)=12-2=10$. Hasta aquí parecería que todo va bien, pero dos ejemplos no son suficientes para garantizar que $f=g$. Necesitaríamos la igualdad en todos los valores del dominio, es decir, en todas las parejas $(x,y)$.

Al evaluar en $(2,0)$ obtenemos que $f(2,0)=4+0=4$ y que $g(2,0)=12-0=12$. Los valores de las funciones fueron distintos, así que las funciones son distintas.

$\square$

Ejemplo. Imagina que $A$ y $B$ son dos números tales que las dos funciones $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ y $g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ con las siguientes reglas de asignación son iguales:

\begin{align*}
f(x,y)&=2x-5y+A\\
g(x,y)&=Bx-5y+3.
\end{align*}

¿Cuáles tendrían que ser los valores de $A$ y $B$? Por supuesto, una exploración «a simple vista» sugiere que tendríamos que poner $B=2$ y $A=3$. Pero, ¿cómo vemos formalmente esto? ¿Cómo nos aseguramos de que sea la única posibilidad? Lo que tenemos que hacer es usar nuestra definición de igualdad de funciones. Para ello, podemos utilizar los valores $(x,y)$ que nosotros queremos pues la igualdad de funciones garantiza la igualdad en todas las evaluaciones. Así, podemos ponernos creativos y proponer $(3,5)$ para obtener que:

\begin{align*}
f(3,5)&=6-25+A=-19+A\\
g(3,5)&=3B-25+3=3B-22.
\end{align*}

Como las funciones son iguales, debe pasar que $f(3,5)=g(3,5)$, por lo que $-19+A=3B-22$. ¿Esto es suficiente para saber quién es $A$ y $B$? Todavía no, aún hay muchas posibiliades. Propongamos entonces otro valor de $(x,y)$ para evaluar. Veamos qué sucede con $(-2,1)$. Obtenemos:

\begin{align*}
f(-2,1)&=-4-5+A=-9+A\\
g(-2,1)&=-2B-5+3=-2B-2.
\end{align*}

Ahora tenemos más información de $A$ y $B$. Sabemos que $-9+A=-2B-2$. Reordenando ambas cosas que hemos obtenido hasta ahora, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

\begin{align*}
A-3B=-3\\
A+2B=7.
\end{align*}

Restando la primera de la segunda obtenemos $5B=10$, de donde $B=2$. Sustituyendo en la segunda obtenemos $A+4=7$, de donde $A=3$, justo como queríamos.

$\square$

En el ejemplo anterior pudimos haber sido más astutos y evitarnos el sistema de ecuaciones. Recordemos que la igualdad $f(x,y)=g(x,y)$ se tiene para todas todas las parejas $(x,y)$, así que nos conviene usar parejas que 1) Sean sencillas de usar y 2) Nos den suficiente información.

Ejemplo. En el ejemplo anterior hicimos un par de sustituciones que finalmente sí nos llevaron a los valores que queríamos. Pero hay «mejores» sustituciones. Si hubiéramos usado la pareja $(0,0)$ obtendríamos inmediatemente $A$ pues: $$A=0-0+A=f(0,0)=g(0,0)=0-0+3=3,$$ de donde $A=3$. Ya sabiendo $A$, pudimos usar la pareja $(1,0)$ para obtener $$B+3=B-0+3=g(1,0)=2-0+3=5.$$ De aquí se obtene nuevamente $B=2$.

$\square$

Veamos un último ejemplo, en el que es imposible encontrar un valor fijo que haga que dos funciones que nos dan sean iguales.

Ejemplo. Veamos que es imposible encontrar un número real $A$ para el cual las dos funciones $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ y $g:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ con las siguientes reglas de asignación sean iguales:

\begin{align*}
f(x,y)&=x^2+Ay^2\\
g(x,y)&=Axy.
\end{align*}

Imaginemos, de momento, que esto sí es posible. Entonces, tendríamos la igualdad de funciones y por lo tanto tendríamos la igualdad para todas las evaluaciones. Evaluando en $(1,0)$ obtendríamos que $$0=A\cdot 1 \cdot 0 = g(1,0)=f(1,0)=1^2+A\cdot 0^2=1.$$ Esto nos lleva a la contradicción $0=1$, lo cual muestra que ningún valor de $A$ podría funcionar.

$\square$

La forma lineal cero

Otra noción básica, pero que es importante de entender, es la noción de la forma lineal cero.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $F$. Sea $0$ el neutro aditivo del campo $F$. La forma lineal cero es la función $L_0:V\to F$ que manda a cualquier vector $v$ de $V$ a $0$, es decir, cuya regla de asignación es $L_0(v)=0$ para todo $v$ en $V$.

En álgebra lineal rápidamente nos queremos deshacer de notación estorbosa, pues muchas cosas son claras a partir del contexto. Pero esto tiene el problema de introducir amgüedades que pueden ser confusas para alguien que apenas está comenzando a estudiar la materia. Lo que prácticamente siempre se hace es que a la forma lineal cero le llamamos simplemente $0$, y dejamos que el contexto nos diga si nos estamos refiriendo al neutro aditivo de $F$, o a la forma lineal cero $L_0$.

En esta entrada intentaremos apegarnos a llamar a la forma lineal cero siempre como $L_0$, pero toma en cuenta que muy probablemente más adelante te la encuentres simplemente como un $0$. Combinemos esta noción con la de igualdad.

Ejemplo. ¿Cómo tienen que ser los valores de $A$, $B$ y $C$ para que la función $l:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ con la siguiente regla de asignación sea igual a la forma lineal cero $L_0$? $$f(x,y,z)=(A+1)x+(B+C)y+(A-C)z$$

Debemos aprovechar la definición de igualdad de funciones: sabemos que la igualdad se da para las ternas que nosotros queramos. Evaluando en $(1,0,0)$ obtenemos $$A+1 = f(1,0,0)=L_0(1,0,0)=0.$$

Aquí a la derecha estamos usando que la forma lineal cero siempre es igual a cero. De manera similar, evaluendo en $(0,1,0)$ y $(0,0,1)$ respectivamente obtenemos que \begin{align*}B+C&=f(0,1,0)=L_0(0,0,0)=0\\A-C&=f(0,0,1)=L_0(0,0,0)=0.\end{align*}

Ya tenemos información suficiente para encontrar $A$, $B$ y $C$. De la primer ecuación que obtuvimos, se tiene $A=-1$. De la tercera se tiene $C=A=-1$ y de la segunda se tiene $B=-C=1$.

Pero, ¡momento! Estos valores de $A$, $B$, $C$ funcionan para las tres ternas que dimos. ¿Funcionarán para cualquier otra terna? Si elebimos $A=-1$, $B=1$ y $C=-1$ entonces tendríamos $$f(x,y,z)=0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z.$$ En efecto, sin importar qué valores de $(x,y,z)$ pongamos, la expresión anterior dará cero. Así, se daría la igualdad de reglas de correspondencia entre $f$ y $L_0$ y como tienen el mismo dominio y codominio concluiríamos que $f=L_0$.

$\square$

Suma y producto escalar de formas lineales

Otro aspecto que puede causar confusión es la suma de funciones y el producto escalar. En la duda, siempre hay que regresar a la definición. Enunciaremos los conceptos para formas lineales. Pero en realidad podemos definir la suma de funciones de manera similar siempre que el codominio sea un lugar en donde «se puede sumar». Similarmente, podríamos definir el producto escalar de un elemento con una función siempre que sepamos cómo multiplicar a ese elemento con cada elemento del codominio.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $F$. Sean $l:V\to F$ y $m:V\to F$ formas lineales. Definimos la suma de $l$ con $m$, a la cual denotaremos por $l+m$, como la función $l+m:V\to F$ con la siguiente regla de asignación:$$(l+m)(v)=l(v)+m(v),$$ para cualquier $v$ en $V$.

De nuevo nos estamos enfrentando a un posible problema de ambigüedad de símbolos: por un lado estamos usando $+$ para referirnos a la suma en el campo $F$ y por otro lado para referirnos a la suma de funciones que acabamos de definir.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $F$. Sea $l:V\to F$ una forma lineal y sea $r$ un elemento de $F$. Definimos el producto escalar de $r$ con $F$, al cual denotaremos por $r\cdot l$ como la función $r\cdot l:V\to F$ con la siguiente regla de asignación:$$(r\cdot l)(v)=r\cdot (l(v))$$ para cualquier $v$ en $V$.

Así, estamos usando tanto la suma en $F$ como el producto en $F$ para definir una nueva suma de funciones y un nuevo producto entre un real y una función. En el caso del producto escaler, como con muchos otros productos, usualmente quitamos el punto central y ponemos $rl$ en vez de $r\cdot l$.

Ejemplo. Tomemos las funciones $f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ y $g:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ con las siguientes reglas de asignación:

\begin{align*}
f(x,y,z)&=2x-y+z\\
g(x,y,z)&=3x+y-5z.
\end{align*}

Mostraremos que la función $3f+(-2)g$ es igual a la función $h:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ con regla de asignación $h(x,y,z)=-5y+13z$. Lo haremos con todo el detalle posible. Primero, notamos que las dos funciones tienen dominio $\mathbb{R}^3$ y codominio $\mathbb{R}$ así que nos podemos enfocar en la regla de asignación. Debemos ver que ambas coinciden para todas las ternas $(x,y,z)$ en $\mathbb{R}^3$. Tomemos entonces una de estas ternas $(x,y,z)$.

Por definición de producto escalar de funciones, tenemos que $$(3f)(x,y,z)=3(f(x,y,z))=3(2x-y+z)=6x-3y+3z.$$. Aquí estamos usando la distributividad en los reales. Por definición de producto escalar de funciones, tenemos que $$ ((-2)g)(x,y,z)=(-2)(g(x,y,z))=(-2)(3x+y-5z)=-6x-2y+10z.$$ Una vez más estamos usando distributividad. Luego, por definición de suma de funciones obtenemos que

\begin{align*}
(3f+(-2)g)(x,y,z)&=(3f)(x,y,z)+(-2g)(x,y,z)\\
&= (6x-3y+3z)+(-6x-2y+10z)\\
& = -5y+13z\\
&= h(x,y,z).
\end{align*}

$\square$

Usualmente tomamos atajos para seguir simplificando la notación. Por ello, típicamente a veces vemos escrito todo lo anterior simplemente como: $$3(2x-y+z)-2(2x+y-5z)=-5y+13z.$$ De hecho esto es muy práctico, pues se puede mostrar que las funciones «sí podemos operarlas como si fueran expresiones en $x$, $y$, $z$ y usáramos las reglas usuales». Así, podemos «trabajar simbólicamente» y concluir rápidamente que $$(x+y)+(3x+2z)-3(x+y-z)$$ en verdad tiene la misma regla de asignación que $-2y+5z$.

Ahora sí, ¿quién es el espacio dual?

Si tenemos un espacio vectorial $V$ sobre un campo $F$ podemos construirnos otro espacio vectorial con otro conjunto base y otras operaciones que no son las del espacio original. Una forma de hacer esto es construir el espacio dual, al que llamaremos $V^\ast$. Los elementos de $V^\ast$ son las formas lineales de $V$, es decir, funciones lineales con dominio $V$ y codominio $F$. Debemos acostumbrarnos a pensar simultáneamente a un elemento de $V^\ast$ tanto como un vector (de $V^\ast$) como una función (de $V$ a $F$).

Para verdaderamente pensar a $V^\ast$ como un espacio vectorial, debemos establecer algunas cosas especiales:

  • La suma vectorial de $V^\ast$ será la suma de funciones que platicamos en la sección anterior.
  • El producto escalar vectorial de $V^\ast$ será el producto escalar que platicamos en la sección anterior.
  • El neutro aditivo vectorial de $V^\ast$ será la forma lineal $L_0$, y se puede verificar que en efecto $l+L_0=l$ para cualquier forma lineal $l$.

Por supuesto, típicamente a la suma vectorial le llamaremos simplemente «suma» y al producto escalar vectorial simplemente «producto escalar». Aquí estamos haciendo énfasis en lo de «vectorial» sólo para darnos cuenta de que nuestras operaciones de funciones se transformaron en operaciones para el espacio vectorial que estamos definiendo.

El espacio dual cumple muchas propiedades bonitas, pero ahorita no nos enfocaremos en enunciarlas y demostrarlas. Esto se puede encontrar en la página del curso de Álgebra Lineal I en el blog. Lo que sí haremos es irnos a los básicos y entender cómo se verían algunas definiciones básicas de álgebra lineal en términos de lo que hemos discutido hasta ahora.

Combinaciones lineales de formas lineales

Para hablar de las nociones de álgebra lineal para formas lineales, hay que pensarlas como vectores y como funciones. ¿Qué sería una combinación lineal de las formas lineales $l_1,\ldots,l_r$ del espacio vectorial, digamos, $\mathbb{R}^n$. Debemos tomar elementos $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ en $\mathbb{R}$ y construir la función $\ell=\alpha_1l_1+\ldots+\alpha_rl_r$. Aquí estamos usando la suma vectorial y el producto escalar vectorial que quedamos que serían la suma como funciones y el producto escalar como funciones. Así, obtenemos un elemento $\ell$ que por un lado es un vector del espacio dual, y por otro es una función $\ell:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$. ¿Cuál es la regla de asignación? Es precisamente la dada por las definiciones de suma y producto escalar para funciones. Para ser muy precisos, se puede mostrar inductivamente que su regla de asignación es:

\begin{align*}
(\alpha_1l_1+&\ldots+\alpha_rl_r)(x_1,\ldots,x_n)=\\
&\alpha_1(l_1(x_1,\ldots,x_n))+\ldots+\alpha_r(l_r(x_1,\ldots,x_n)).
\end{align*}

Entendiendo esto, ahora sí podemos preguntarnos si una forma lineal es combinación lineal de otras.

Ejemplo. La forma lineal $h:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ con regla de asignación $h(x,y)=2x-y$ es combinación lineal de las formas lineales $f(x,y):\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ y $g(x,y):\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ con reglas de asignación

\begin{align*}
f(x,y)&=x+y\\
g(x,y)&=x-y.
\end{align*}

En efecto, tenemos que es igual a la combinación lineal $\frac{1}{2}f + \frac{3}{2} g$, pues su regla de asignación es:

$$\left(\frac{1}{2}f + \frac{3}{2} g\right)(x,y)=\left(\frac{x+y}{2}\right)+\left(\frac{3x-3y}{2}\right)=2x-y,$$

que es justo la regla de asignación de $h$. Así, $h=\frac{1}{2}f+\frac{3}{2}g$.

$\square$

Independencia lineal de formas lineales

Veamos un ejemplo más de cómo entender nociones de álgebra lineal cuando hablamos de formas lineales (o funciones en general). ¿Cómo sería el concepto de independencia lineal para formas lineales $l_1,\ldots,l_r$? A partir de una combinación lineal de ellas igualada a la forma lineal cero $L_0$, debemos mostrar que todos los coeficientes son iguales a cero. Es decir, a partir de $$\alpha_1l_1+\ldots+\alpha_rl_r=L_0,$$ debemos mostrar que $\alpha_1=\ldots=\alpha_r=0.$$ Usualmente el truco en estas situaciones es que ya nos están dando una igualdad de funciones. Entonces, podemos evaluar en los valores que nosotros queramos de ambos lados de la igualdad pues funciones iguales tienen todas sus evaluaciones iguales. Esto se parece a los ejemplos de la sección de igualdad de funciones.

Ejemplo. Vamos a demostrar que las formas lineales de $\mathbb{R}^4$ dadas por $f(w,x,y,z)=4w+2x+z$, $g(w,x,y,z)=4w+2z+y$, $h(w,x,y,z)=4w+2y+x$, $k(w,x,y,z)=w+x+y+z$ son linealmente independientes. Tomemos una combinación lineal de ellas igualda a cero (¡recordemos que en este espacio vectorial el cero es la forma lineal $L_0$!):

$$Af+Bg+Ch+Dk=L_0.$$

Debemos demostrar que $A=B=C=D=0$. ¿Cómo hacemos esto? Lo que haremos es evaluar: pondremos valores convenientes de $(w,x,y,z)$ en la igualdad anterior para obtener información de $A$, $B$, $C$, $D$. Poniendo $(1,0,0,0)$ obtenemos que:

\begin{align*}
0&=L_0(1,0,0,0)\\
&= (Af+Bg+Ch+Dk)\\
&=Af(1,0,0,0)+ Bg(1,0,0,0) +Ch(1,0,0,0) +Dk(1,0,0,0) \\
&=4A + 4B + 4C + D.
\end{align*}

Así, $4A+4B+4C+D=0$. Usando esta ecuación y las evaluaciones $(0,1,0,0)$, $(0,0,1,0)$ y $(0,0,0,1)$, obtenemos todo lo siguiente:

\begin{align*}
4A+4B+4C+D&=0\\
2A+C+D&=0\\
B+2C+D&=0\\
A+2B+D&=0.
\end{align*}

De aquí se puede mostrar (como puedes verificar como ejercicio) que la única solución posible es $A=B=C=D=0$. De este modo, las formas lineales $f,g,h,k$ son linealmente independientes.

$\square$

Más adelante

Esta es más una entrada auxiliar que una entrada que forma parte del flujo de la teoría principal. Sin embargo, espero que te haya servido para dejar más claros los conceptos de cuándo tenemos formas lineales iguales, cómo se operan, cuándo varias formas lineales son linealmente independientes, etc.

Tarea moral…

  1. Verifica que para cualquier forma lineal $l:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ y la forma lineal cero $L_0:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ en efecto se tiene que $l+L_0=l$. Usa las definiciones de la forma lineal cero, de la igualdad de funciones y de la suma de funciones.
  2. Verifica que $V^\ast$ con las operaciones de suma, producto escalar y el neutro aditivo que dimos en efecto es un espacio vectorial. ¿Cómo tendrían que ser los inversos aditivos?
  3. Considera las formas lineales $f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ y $g:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ dadas por $f(x,y,z)=x+3y+z$ y $g(x,y,z)=-x+5y-z$.
    1. Demuestra que es imposible encontrar reales $A$ y $B$ ambos distintos de cero tales que $Af+Bg$ sea la forma lineal cero.
    2. Encuentra reales $A$ y $B$ tales que $Af+Bg$ sea la forma lineal $h:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ con regla de asignación $h(x,y,z) = -x + 21 – z$.
    3. Demuestra que es imposible encontrar reales $A$ y $B$ tales que $Af+Bg$ sea la forma lineal $j:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ con regla de asignación $j(x,y,z)= -2x + 4y -3z$.
    4. ¿Será posible encontrar reales $A$ y $B$ tales que $Af+Bg$ sea la forma lineal $k:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ con regla de asignación $k(x,y,z)=5x+5y+5z$?
  4. Para cada uno de los siguientes casos, determina si las formas lineales son linealmente independientes:
    1. $f(x,y)=5x+3y$, $g(x,y)=x-3y$.
    2. $f(x,y,z)=5x+2y-z$, $g(x,y,z)=z$, $h(x,y,z)=x-y-z$.
    3. $f(w,x,y,z)=w+y$, $g(w,x,y,z)=3x-2z$, $h(w,x,y,z)=x+y+z$, $k=(w,x,y,z)=w+2x-3z$.
  5. Considera el espacio vectorial de polinomios con coeficientes reales $\mathbb{R}[x]$. Considera la función $\text{ev}_k:\mathbb{R}[x]\to \mathbb{R}$ que a cada polinomio lo manda a su evaluación en $k$, es decir, con regla de asignación $\text{ev}_k(p)=p(k)$.
    1. Demuestra que cualquier $\text{ev}_k$ es una forma lineal.
    2. Sean $k_1,\ldots,k_r$ reales distintos. Muestra que $\text{ev}_{k_1},\ldots,\text{ev}_{k_r}$ son formas lineales linealmente independientes.

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Teoría de los Conjuntos I: Funciones suprayectivas y biyectivas

Por Gabriela Hernández Aguilar

Introducción

En esta entrada hablaremos acerca de funciones suprayectivas, este tipo de funciones serán aquellas cuya imagen sea todo el codominio. Tras esto podremos definir el concepto de función biyectiva, este último será de gran utilidad pues haremos uso de él cuando queramos estudiar un conjunto a través de otros conjuntos que tengan la misma cantidad de elementos.

Función suprayectiva

Definición. Sea $f:X\to Y$ una función. Si $f[X]=Y$, entonces decimos que $f$ es suprayectiva.

$\square$

Teorema. Sea $f:X\to Y$ una función. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes:

  1. $f$ es suprayectiva.
  2. Para cualquier $y\in Y$, existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$.
  3. Para cualesquiera $h,k:Y\to Z$ tales que $h\circ f= k\circ f$, se tiene que $h=k$.

Demostración.

$1)\rightarrow 2)$

Supongamos que $f$ es suprayectiva, es decir que $f[X]=Y$. Sea $y\in Y$, entonces $y\in f[X]$ por lo que existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$. Por lo tanto, para cualquier $y\in Y$ existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$.

$2)\rightarrow 3)$

Sean $h,k:Y\to Z$ tales que $h\circ f=k\circ f$. Veamos que $h=k$. Sea $y\in Y$, veamos que $h(y)=k(y)$. Dado que $y\in Y$, por hipótesis tenemos que existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$, por lo que $h(y)= h(f(x))$ y $k(y)= k(f(x))$. Luego, como $(h\circ f)(x)= h(f(x))= k(f(x))= (k\circ f)(x)$, tenemos que $h(y)= k(y)$.

$3)\rightarrow 1)$

Supongamos que $f$ no es suprayectiva en busca de una contradicción. Sean $h: Y\to \set{0}$ y $k: Y\to \set{0,1}$ funciones dadas por $h(y)=0$ para todo $y\in Y$ y

\begin{align*}
k(y) = \left\{ \begin{array}{lcc}
0 &  \text{si} & y\in f[X]\\
1 &  \text{si}  & y \notin f[X] \\
\end{array}
\right.
\end{align*}

respectivamente. Notemos que $k\not=h$ pues dado que $f$ no es suprayectiva, entonces existe $y_0\in Y$ tal que $y_0\notin f[X]$. Así, $h(y_0)=0$ y $k(y_0)=1$, por lo tanto, $h\not=k$.

Sin embargo, veamos que $h\circ f= k\circ f$. Sea $x\in X$, entonces $f(x)\in Y$ y así, $(h\circ f)(x)= h(f(x))=0$ y $(k\circ f)(x)= k(f(x))=0$. Por lo tanto, por hipótesis debe ocurrir que $h=k$, lo cuál es una contradicción con lo encontrado arriba.

Así, $f$ es suprayectiva.

$\square$

Algunas funciones suprayectivas

Ejemplo.

La función identidad es suprayectiva. En efecto, sea $Id_X:X\to X$ la función identidad y sea $y\in X$, entonces existe $y\in X$ tal que $Id_X(y)= y$.

Por lo tanto, $Id_X$ es suprayectiva.

$\square$

Ejemplo.

Sea $X$ un conjunto no vacío y $f:X\to \set{c}$ una función dada por $f(x)=c$ para todo $x\in X$. Tenemos que $f$ es suprayectiva.

En efecto, sea $y\in \set{c}$. Dado que $y\in \set{c}$, entonces $y=c$. Como $X$ no es vacío, existe $x\in X$ y es tal que que $f(x)=c$.

$\square$

Ejemplo.

Sea $X$ un conjunto y $A\subseteq X$ un subconjunto propio de $X$ (distinto de $X$ y no vacío). La función característica de $A$ es una función suprayectiva.

Dado que el codominio de la función característica es el conjunto $\set{0,1}$, deseamos ver que para cualquier $y\in \set{0,1}$ existe $x\in X$ tal que $\chi_A(x)=y$.

Caso 1: Si $y=0$, entonces tomamos $x\in X\setminus A$. Como $x\notin A$, se tiene $\chi_A(x)=0$.

Caso 2: Si $y=1$, entonces tomamos $x\in A$, de modo que $\chi_A(x)=1$.

Por lo tanto, $\chi_A$ es suprayectiva.

$\square$

Composición de funciones y suprayectividad

Así como lo hicimos en la entrada anterior con respecto a la inyectividad, también podemos averiguar qué pasa con la composición de funciones con respecto a la suprayectividad. Tenemos el siguiente teorema.

Teorema. Sean $f:X\to Y$ y $g:Y\to Z$ funciones suprayectivas, $g\circ f$ es suprayectiva.

Demostración.

Sea $z\in Z$, veamos que existe $x\in X$ tal que $(g\circ f)(x)=z$.
Dado que $g$ es suprayectiva y $z\in Z$, entonces existe $y\in Y$ tal que $g(y)=z$. Luego, como $f$ es suprayectiva y $y\in Y$, entonces existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$, así $z=g(y)=g(f(x))$. Por lo tanto, $g\circ f$ es suprayectiva.

$\square$

Funciones biyectivas

Definición. Decimos que $f:X\to Y$ es una función biyectiva si y sólo si $f$ es inyectiva y suprayectiva.

Ejemplo.

La función identidad es biyectiva.

Verificamos en la entrada de funciones inyectivas que la función identidad es una función inyectiva, además de que en esta entrada verificamos que es suprayectiva.

$\square$

Ejemplo.

Sean $X=\set{1,2,3}$ y $Y=\set{2,4,6}$ y sea $f:X\to Y$ la función dada por $f(x)=2x$. Tenemos que $f$ es inyectiva pues es una función uno a uno, es decir, elementos distintos van a dar a elementos distintos. Más explícitamente $1$ va a dar a $2$, $2$ a $4$ y $3$ a $6$.

Además $f$ es suprayectiva, pues para cualquier $y\in Y$, existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$. En efecto, esto sucede ya que para $2\in Y$ existe $1\in X$ tal que $f(1)=2$; para $4\in Y$ existe $2\in X$ tal que $f(2)=4$ y por último para $6\in Y$ existe $3\in X$ tal que $f(3)=6$.

$\square$

Tarea moral

Realiza la siguiente lista de ejercicios que te ayudará a fortalecer los conceptos de función inyectiva, suprayectiva y biyectiva.

  1. Sean $f:X\to Y$ y $g:Y\to Z$ funciones. Demuestra que si $g\circ f$ es suprayectiva, entonces $g$ es suprayectiva.
  2. Demuestra o da un contraejemplo del siguiente enunciado: Si $f:X\to Y$ y $g:Y\to Z$ son funciones tales que $g\circ f$ es suprayectiva, entonces $f$ es suprayectiva.
  3. Sean $X=\set{1,2,3, \cdots}$ y $Y=\set{3,4,5,\cdots}$ y sea $f:X\to Y$ dada por $f(x)=2x+3$. ¿$f$ es suprayectiva? Argumenta tu respuesta. Quizás a estas alturas tengas que ser un poco informal en términos de teoría de conjuntos, pero usa lo que conoces de las operaciones de números.

Más adelante…

Ahora que aprendimos el concepto de función inyectiva y suprayectiva tenemos las bases suficientes para hablar de funciones invertibles. Veremos funciones invertibles por la derecha e invertibles por la izquierda, cuyos conceptos resultarán equivalentes al de función suprayectiva y función inyectiva respectivamente.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Teoría de los Conjuntos I: Funciones inyectivas

Por Gabriela Hernández Aguilar

Introducción

En esta entrada abordaremos el concepto de función inyectiva. Una función inyectiva será que mande elementos distintos del dominio a elementos distintos del codominio.

Función inyectiva

Definición. Sea $f: X \to Y$ una función. Decimos que $f$ es una función inyectiva si para cualesquiera $x_1$, $x_2 \in X$ tales que $x_1\not=x_2$, se tiene que $f(x_1)\not= f(x_2)$.

Ejemplo.

Sean $X=\set{1,2,3,4}$ y $Y=\set{1,2,3,4,5}$ y sea $f:X\to Y$ una función dada por $f=\set{(1,2), (2,1), (3,3), (4,5)}$. Decimos que $f$ es inyectiva pues cada elemento de $X$ bajo la función va a dar a un elemento distinto de $Y$, como se muestra en la siguiente imagen:

Ejemplo.

La función identidad es una función inyectiva.

En efecto, dado que $Id_X:X\to X$ esta dada por $Id_X(x)=x$, entonces si $x_1,x_2\in X$ son tales que $Id_X(x_1)=Id_X(x_2)$, entonces tendríamos $x_1=Id_X(x_1)=Id_X(x_2)=x_2$. Así, $x_1=x_2$ y por lo tanto $Id_X$ es inyectiva.

$\square$

Ejemplo.

La función constante no es inyectiva.

Consideremos $X=\set{1,2,3}$ y $Y=\set{1}$. Sea $f:X\to Y$ la función dada por $f(x)=1$ para toda $x\in X$. Consideremos $x_1=1$ y $x_2=2$ elementos de $X$. Sabemos que $1\not=2$ por lo que para que nuestra función sea inyectiva esperamos que $f(x_1)\not=f(x_2)$, sin embargo, $f(1)=1=f(2)$. Esto demuestra que en general las funciones constantes no son inyectivas.

$\square$

Equivalencias de inyectividad

Aunque la definición de inyectividad es muy intuitiva («mandar elementos distintos a elementos distintos»), en la práctica nos conviene tener una serie de equivalencias de esta definición que podamos usar en situaciones variadas.

Teorema. Sea $f:X\to Y$ una función tal que $X\not=\emptyset$. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes:

  1. $f$ es inyectiva.
  2. Para cualesquiera $x_1,x_2\in X$ tales que $f(x_1)=f(x_2)$ entonces $x_1=x_2$.
  3. Para cualesquiera $h,k:Z\to X$ tales que $f\circ h= f\circ k$, se tiene que $h=k$.
  4. Para cualesquiera $A,B$ subconjuntos de $X$, se cumple que $f[B\setminus A]= f[B]\setminus f[A]$.
  5. Para cualesquiera $A,B$ subconjuntos de $X$ se cumple que $f[A\cap B]= f[A]\cap f[B]$.

Demostración.

$1)\rightarrow 2)$
Supongamos que $f$ es inyectiva, esto es, para cualesquiera $x_1, x_2\in X$ tales que $x_1\not=x_2$ se tiene que $f(x_1)\not=f(x_2)$. Luego, sabemos que la implicación es equivalente a la contrapositiva por lo que podemos concluir que para cualesquiera $x_1, x_2\in X$, si $f(x_1)=f(x_2)$ entonces $x_1=x_2$.

$2)\rightarrow 3)$
Supongamos que para cualesquiera $x_1, x_2\in X$ tales que $f(x_1)=f(x_2)$ entonces $x_1= x_2$ y supongamos que $h,k:Z\to X$ son funciones tales que $f\circ h= f\circ k$ y veamos que $h=k$.

Sea $z\in Z$, entonces $h(z)\in X$ y $k(z)\in X$, luego como $f\circ h=f\circ k$ tenemos que $(f\circ h)(z)= (f\circ k)(z)$, de donde $f(h(z))= f(k(z))$ y como $f$ es inyectiva entonces $h(z)=k(z)$. Por lo tanto, $h=k$.

$3)\rightarrow 4)$

Supongamos que $h,k:Z\to X$ son funciones tales que si $f\circ h= f\circ k$, entonces $h=k$. Supongamos también que para cualesquiera $A,B$ conjuntos tales que $A\subseteq B\subseteq X$ y veamos que $f[B\setminus A]= f[B]\setminus f[A]$.

En la entrada de funciones vimos que siempre ocurre que $f[B]\setminus f[A]\subseteq f[B\setminus A]$ por lo que basta ver la otra contención.

Sea $y\in f[B\setminus A]$, entonces existe $x\in B\setminus A$ tal que $f(x)=y$. Luego, $x\in B\setminus A$ por lo que $x\in B$ y $x\notin A$, de modo que $f(x)\in f[B]$. Resta ver que $f(x)\notin f[A]$. Supongamos que sí ocurre, es decir que $f(x)\in f[A]$. Entonces existe $z\in A$ tal que $f(z)=f(x)$.

Sean $h:X\to X$ dada por $h(a)=x$ para todo $a\in X$ y $k:X\to X$ dada por $k(a)=z$ para todo $a\in X$. Notemos que $h\not=k$ pues $z\not=x$ ya que $z\in A$ y $x\notin A$. Luego, $(f\circ h)(a)=f(h(a))= f(x)$ y $(f\circ k)(a)= f(k(a))= f(z)=f(x)$, por lo que $f\circ h=f\circ k$. Así, por hipótesis se sigue que $h=k$ lo cuál es una contradicción, por lo tanto, no debe ocurrir que $f(x)\in f[A]$. Así, $f(x)\in f[B]\setminus f[A]$.

$4)\rightarrow 5)$

Supongamos que para cualesquiera $A, B$ subconjuntos de $X$, se cumple que $f[B\setminus A]=f[B]\setminus f[A]$. Veamos que $f[A\cap B]= f[A]\cap f[B]$.

En la entrada de funciones probamos que $f[A\cap B]\subseteq f[A]\cap f[B]$, por lo que basta ver que $f[A]\cap f[B]\subseteq f[A\cap B]$.

Sea $y\in f[A]\cap f[B]$, entonces $y\in f[A]$ y $y\in f[B]$, así existe $x\in A$ tal que $f(x)=y$. Queremos demostrar que $x\in B$. Supongamos que no es así, es decir $x\notin B$, entonces existe $x\in A\setminus B$ tal que $f(x)=y$, por lo que $y\in f[A\setminus B]= f[A]\setminus f[B]$.

Se sigue que $y\in f[A]$ y $y\notin f[B]$ lo cual es una contradicción. Por lo tanto, debe ocurrir que $x\in B$, así existe $x\in A\cap B$ tal que $f(x)=y$.

Por lo tanto, $f[A]\cap f[B]= f[A\cap B]$.

$5)\rightarrow 1)$

Supongamos que para cualesquiera $A, B\subseteq X$ se cumple que $f[A]\cap f[B]= f[A\cap B]$.

Sean $x_1, x_2\in X$ tales que $x_1\not= x_2$, veamos que $f(x_1)\not= f(x_2)$.

Consideremos $\set{x_1}$ y $\set{x_2}$ subconjuntos de $X$. Luego,

\begin{align*}
\emptyset&=f[\emptyset]\\
&=f[\set{x_1}\cap \set{x_2}]\\
&=f[\set{x_1}]\cap f[\set{x_2}]\ \text{por hipótesis}\\
&=\set{f(x_1)}\cap \set{f(x_2)}.
\end{align*}

Luego, como $\set{f(x_1)}\cap \set{f(x_2)}=\emptyset$, se tiene $\set{f(x_1)}\not=\set{f(x_2)}$ y por lo tanto, $f(x_1)\not=f(x_2)$.

Por lo tanto, $f$ es inyectiva.

Por lo tanto, todos los enunciados anteriores son equivalentes.

$\square$

Aunque existen muchas equivalencias de función inyectiva, para estas notas usaremos con mayor frecuencia la equivalencia dos del resultado anterior.

¿Qué pasa con la composición y la inyectividad?

Anteriormente vimos que la composición de funciones (pensándolas como relaciones) resulta ser una función. Podemos preguntarnos qué ocurre si las funciones que conforman a la composición son inyectivas. ¿Será que eso implica que la composición es inyectiva? Esto lo responde el siguiente teorema.

Teorema. Sean $f:X\to Y$ y $g:Y\to Z$ funciones inyectivas. Se cumple que $g\circ f$ es inyectiva.

Demostración.

Sean $f$ y $g$ funciones inyectivas y sean $x_1, x_2\in X$ tales que $(g\circ f)(x_1)= g(f(x_1))=g(f(x_2))= (g\circ f)(x_2)$. Dado que $f(x_1), f(x_2)\in Y$ y $g$ es inyectiva, entonces $ g(f(x_1))=g(f(x_2)) $ implica que $f(x_1)=f(x_2)$. Por la inyectividad de $f$ podemos concluir que $x_1=x_2$. Por lo tanto, $g\circ f$ es una función inyectiva.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitirá reforzar el tema de funciones inyectivas.

  • Demuestra que la función inclusión es inyectiva.
  • Sean $A=\set{1,2,3}$, $B=\set{1,2}$ y $C=\set{1,2}$ conjuntos. Sean $f:A\to B$ y $g:B\to C$ funciones dadas por $f=\set{(1,1), (2,1), (3,2)}$ y $g=\set{(1,2), (2,1)}$ respectivamente. Escribe al conjunto $g\circ f$ y ve si la función correspondiente es inyectiva. Argumenta tu respuesta.
  • Si $f\circ g$ es inyectiva, ¿es cierto que $f$ y $g$ son inyectivas? ¿Será cierto que por lo menos una de ellas siempre es inyectiva?
  • Demuestra que la función $\emptyset$ es inyectiva.
  • Demuestra que $f:X\to Y$ una función constante es inyectiva si y sólo si $X=\set{x}$ para algún conjunto $x$.

Más adelante…

En la siguiente entrada abordaremos el tema de funciones suprayectivas. Con este tema tendremos los conceptos necesarios para comenzar a hablar acerca de funciones biyectivas e invertibles.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Teoría de los conjuntos I: Funciones (parte II)

Por Gabriela Hernández Aguilar

Introducción

En esta sección hablaremos acerca de algunas propiedades de la imagen y la imagen inversa de un conjunto bajo una función, dichas propiedades hablan de cómo se comportan estos conjuntos con respecto a la unión, la intersección y la diferencia.

Propiedades de la imagen de un conjunto

A continuación enunciamos algunas propiedades de la imagen de conjuntos bajo una función.

Teorema. Sean $X$ y $Y$ conjuntos y sea $f:X\to Y$ una función. Sean $X_1,X_2\subseteq X$ y $Y_1, Y_2\subseteq Y$. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

  1. Si $X_1\subseteq X_2$, entonces $f[X_1]\subseteq f[X_2]$,
  2. $f[X_1\cup X_2]=f[X_1]\cup f[X_2]$,
  3. $f[X_1\cap X_2]\subseteq f[X_1]\cap f[X_2]$,
  4. $f[X_1]\setminus f[X_2]\subseteq f[X_1\setminus X_2]$,
  5. Si $Y_1\subseteq Y_2$, entonces $f^{-1}[Y_1]\subseteq f^{-1}[Y_2]$,
  6. $f^{-1}[Y_1\cup Y_2]=f^{-1}[Y_1]\cup f[Y_2]$.

Demostración.

1) Supongamos que $X_1\subseteq X_2$ y veamos que $f[X_1]\subseteq f[X_2]$.
Sea $y\in f[X_1]$, entonces existe $x\in X_1$ tal que $f(x)=y$. Dado que $X_1\subseteq X_2$, entonces existe $x\in X_2$ tal que $f(x)=y$, esto es $y\in f[X_2]$.
Por lo tanto, $f[X_1]\subseteq f[X_2]$.

2) Veamos que $f[X_1\cup X_2]=f[X_1]\cup f[X_2]$.

$\subseteq$] Sea $y\in f[X_1\cup X_2]$, entonces existe $x\in X_1\cup X_2$ tal que $f(x)= y$. Entonces existe $x\in X_1$ o $x\in X_2$ tal que $f(x)=y$.

  • Si $x\in X_1$, entonces $y\in f[X_1]$ y por lo tanto $y\in f[X_1]\cup f[X_2]$.
  • Si $x\in X_2$, entonces $y\in f[X_2]$ y por lo tanto $y\in f[X_1]\cup f[X_2]$.

Por lo tanto, $f[X_1\cup X_2]\subseteq f[X_1]\cup f[X_2]$.

$\supseteq$] Sea $y\in f[X_1]\cup f[X_2]$, entonces $y\in f[X_1]$ o $y\in f[X_2]$.

Si $y\in f[X_1]$, entonces existe $x\in X_1$ tal que $f(x)=y$. Luego, como $X_1\subseteq X_1\cup X_2$, tenemos que $x\in X_1\cup X_2$. Por lo tanto, existe $x\in X_1\cup X_2$ tal que $f(x)=y$, esto es $y\in f[X_1\cup X_2]$.

Si $y\in f[X_2]$, entonces existe $x\in X_2$ tal que $f(x)=y$. Luego, como $X_2\subseteq X_1\cup X_2$, tenemos que $x\in X_1\cup X_2$. Por lo tanto, existe $x\in X_1\cup X_2$ tal que $f(x)=y$, esto es $y\in f[X_1\cup X_2]$.

Por lo tanto, $f[X_1]\cup f[X_2]\subseteq f[X_1\cup X_2]$.

De las contenciones que demostramos tenemos que $f[X_1]\cup f[X_2]=f[X_1\cup X_2]$.

3) Ahora veamos que $f[X_1\cap X_2]\subseteq f[X_1]\cap f[X_2]$.

Sea $y\in f[X_1\cap X_2]$, entonces existe $x\in X_1\cap X_2$ tal que $f(x)= y$. Entonces existe $x\in X_1$ y $x\in X_2$ tal que $f(x)=y$.

Entonces existe $x\in X_1$ tal que $f(x)=y$ y existe $x\in X_2$ tal que $f(x)=y$, de donde $y\in f[X_1]$ y $y\in f[X_2]$. Por lo tanto, $y\in f[X_1]\cap f[X_2]$.

Así, $f[X_1\cap X_2]\subseteq f[X_1]\cap f[X_2]$.

4) A continuación mostraremos que $f[X_1]\setminus f[X_2]\subseteq f[X_1\setminus X_2]$.

Sea $y\in f[X_1]\setminus f[X_2]$, entonces $y\in f[X_1]$ y $y\notin f[X_2]$.

Dado que $y\in f[X_1]$, entonces existe $x\in X_1$ tal que $f(x)=y$. Luego, como $y\notin f[X_2]$ entonces para cualquier $a\in X_2$, $f(a)\not=y$. Resulta que $x\notin X_2$ pues de lo contrario $f(x)\not=y$ lo cual no puede ocurrir.

Por lo tanto, existe $x\in X_1\setminus X_2$ tal que $f(x)=y$, esto es, $y\in f[X_1\setminus X_2]$.

5) Supongamos que $Y_1\subseteq Y_2$ y veamos que $f^{-1}[Y_1]\subseteq f^{-1}[Y_2]$.
Sea $x\in f^{-1}[Y_1]$, entonces existe $y\in Y_1$ tal que $f(x)=y$. Dado que $Y_1\subseteq Y_2$, entonces existe $y\in Y_2$ tal que $f(x)=y$, esto es $x\in f^{-1}[Y_2]$.
Por lo tanto, $f^{-1}[Y_1]\subseteq f^{-1}[Y_2]$.

6) Finalmente veamos que $f^{-1}[Y_1\cup Y_2]=f^{-1}[Y_1]\cup f^{-1}[Y_2]$.

Sea $x\in f^{-1}[Y_1\cup Y_2]$, entonces existe $y\in Y_1\cup Y_2$ tal que $f(x)=y$. Luego, como $y\in Y_1\cup Y_2$ se tiene que $y\in Y_1$ o $y\in Y_2$.

Si $y\in Y_1$, entonces existe $y\in Y_1$ tal que $f(x)=y$, es decir, $x\in f^{-1}[Y_1]$. Por lo tanto $x\in f^{-1}[Y_1]\cup f^{-1}[Y_2]$.

Si $y\in Y_2$, entonces existe $y\in Y_2$ tal que $f(x)=y$, es decir, $x\in f^{-1}[Y_2]$. Por lo tanto $x\in f^{-1}[Y_1]\cup f^{-1}[Y_2]$.

$\square$

¿Por qué $f[X_1\cap X_2]\not=f[X_1]\cap f[X_2]$?

Ya vimos que $f[X_1\cap X_2]\subseteq f[X_1]\cap f[X_2]$, por lo que al igual que con la unión podríamos pensar que se da la igualdad entre los conjuntos. Sin embargo, a continuación veremos un contraejemplo en donde $f[X_1]\cap f[X_2]\not\subseteq f[X_1\cap X_2]$.

Ejemplo.

Sean $X=\set{0,1,2}$ y $Y=\set{1,2,3}$ conjuntos y sea $f:X\to Y$ una función dada por el conjunto $f(x)=2$. Sean $X_1=\set{0,1}$ y $X_2=\set{2}$ subconjuntos de $X$.

Por un lado tenemos que $X_1\cap X_2=\set{0,1}\cap \set{2}=\emptyset$, por lo que $f[X_1\cap X_2]=f[\emptyset]= \emptyset$.

Por otro lado, $f[X_1]=f[\set{0,1}]=\set{2}$ y $f[X_2]=f[\set{2}]=\set{2}$. Así, $f[X_1]\cap f[X_2]=\set{2}$.

Por lo tanto, $f[X_1]\cap f[X_2]\not\subseteq f[X_1\cap X_2]$.

$\square$

¿Por qué $f[X_1\setminus X_2]\not=f[X_1]\setminus f[X_2]$?

Ya vimos que $f[X_1]\setminus f[X_2]\subseteq f[X_1\setminus X_2]$, pero va a resultar que la contención de regreso no es posible, es decir, no necesariamente sucede que $f[X_1\setminus X_2] \subseteq f[X_1]\setminus f[X_2]$. Un ejemplo de esto se muestra a continuación.

Ejemplo.

Sean $X=\set{0,1,2}$ y $Y=\set{1,2,3}$ conjuntos y sea $f:X\to Y$ una función dada por $f(x)=2$ Sean $X_1=\set{0,1}$ y $X_2=\set{1,2}$ subconjuntos de $X$.

Por un lado tenemos que $X_1\setminus X_2=\set{0,1}\setminus \set{1,2}=\set{0}$, por lo que $f[X_1\setminus X_2]=f[\set{0}]= \set{2}$.

Por otro lado, $f[X_1]=f[\set{0,1}]=\set{2}$ y $f[X_2]=f[\set{1,2}]=\set{2}$. Así, $f[X_1]\setminus f[X_2]=\emptyset$.

Por lo tanto, $f[X_1\setminus X_2]\not\subseteq f[X_1]\setminus f[X_2]$.

$\square$

Composición de funciones

Recuerda que podemos pensar a una función $f:X\to Y$ como una «regla de correspondencia» que manda a cada elemento de $X$ a uno y sólo un elemento de $Y$. Si tenemos otra función $g:Y\to Z$ entonces también $g$ da una «regla de correspondencia», pero para mandar elementos de $Y$ a $Z$. Entonces, suena a que podríamos combinar a $f$ con $g$ de alguna manera para enviar elementos de $X$ a $Z$. Esto lo hará la composición de relaciones.Reescribamos la definición que teníamos de relaciones, pero ahora para funciones.

Definición. Sean $f$ y $g$ relaciones de $X$ en $Y$ y de $Y$ en $Z$ respectivamente. Definimos a la composición de $f$ con $g$ como el siguiente conjunto:

$g\circ f=\set{(x,z): \exists y\in Y \text{ tal que } (x,y)\in f \text{ y } (y,z)\in g}$.

Observa que en esta definición $(x,y)\in f$ lo podemos reescribir como $f(x)=y$, y que $(y,z)\in f$ lo podemos reescribir como $f(y)=z$. Entonces, estamos pidiendo que si estas dos igualdades pasan, entonces $g\circ f$ tiene a la pareja $(x,z)$. Como enuncia el siguiente teorema, esto impicará que $g\circ f$ es función, y que su regla de correspondencia será $(g\circ f)(x)=g(f(x))$.

Teorema. Si $f:X\to Y$ y $g:Y\to Z$ son funciones, entonces $g\circ f:X\to Z$ es función. Además, cumplirá que $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ para toda $x\in X$.

Demostración.

En la sección de composición de relaciones vimos que si $f$ y $g$ son relaciones, entonces $g\circ f$ es relación, por lo que resta ver que $g\circ f$ es funcional y total.

Para ver que es funcional, supongamos que hay parejas $(x,z)$ y $(x,z’)$ en $g\circ f$. Por definición, esto implica que existen $y$ y $y’$ en $Y$ tales que $(x,y),(x,y’)\in f$ y $(y,z), (y’,z’) \in g$. Como $f$ es funcional, se tiene $y=y’$. Así, $(y,z), (y,z’)\in g$. Como $g$ es funcional, se tiene $z=z’$.

Para ver que es total, como $f$ es total, existe $y\in Y$ con $(x,y)\in f$. Como $g$ es total, existe $z$ con $(y,z)\in g$. Así, por definición de composisión tenemos $(x,z)\in g\circ f$ y por lo tanto $g\circ f$ es total.

El párrafo anterior justo nos dice que si $f(x)=y$ y $g(y)=z$, entonces $$(g\circ f)(x)=z=g(y)=f(g(x)).$$

$\square$

Ejemplo.

Sean $f:\set{1,2}\to \set{2,4}$ y $g:\set{2,4}\to \set{3,5}$ las funciones dadas por $f(x)= 2x$ y $g(x)=x+1$ respectivamente (con tu entendimiento actual de $2x$ y $x+1$, posteriormente formalizaremos estas operaciones). Entonces $g\circ f:\set{1,2}\to \set{3,5}$ está dada por:

$(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(2x)=2x+1$.

Por lo que,

  • $(g\circ f)(1)=2(1)+1=2+1=3$,
  • $(g\circ f)(2)= 2(2)+1=4+1=5$.

De modo que los elementos de $g\circ f$ son $(1,3)$ y $(2,5)$.

$\square$

Tarea moral

  1. Demuestra que si $X$ y $Y$ son conjuntos, $X_1\subseteq X$, $Y_1, Y_2\subseteq Y$ y $f:X\to Y$ una función, entonces se cumplen las siguientes propiedades:
    • $f^{-1}[Y_1\cap Y_2]=f^{-1}[Y_1]\cap f^{-1}[Y_2]$,
    • $f^{-1}[Y_1\setminus Y_2]=f^{-1}[Y_1]\setminus f{-1}[Y_2]$,
    • $X_1\subseteq f^{-1}[f[X_1]]$,
    • $f[f^{-1}[B_1]]\subseteq B_1$.
  1. Demuestra que la composición de funciones es asociativa.
  2. ¿Será cierto que si $R$ es una función, entonces la relación inversa $R^{-1}$ también es función?
  3. ¿Será cierto que si $R$ de $A$ en $B$ y $S$ de $B$ en $C$ son relaciones tal que ninguna de ellas es función, entonces $S\circ R$ nunca es función?

Más adelante…

La siguiente sección estará dedicada a funciones inyectivas. Este tipo de funciones empezarán a estudiar cómo se comportan los elementos del codominio de una función. Específicamente, las funciones inyectivas serán aquellas para las que cada elemento del codominio viene de a lo más un elemento del dominio. Este tema será de gran importancia pues en muchas ocasiones tendremos que verificar si se satisface esta propiedad.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Teoría de los Conjuntos I: Funciones

Por Gabriela Hernández Aguilar

Introducción

Esta entrada estará dedicada a un tipo de relaciones a las que llamaremos funciones. Este tema es de gran importancia pues utilizaremos funciones con mucha frecuencia a partir de ahora. Por ello, dedicaremos una serie de entradas para tratarlas. En esta primera parte abordaremos la definición de función, algunas de sus propiedades y ejemplos.

¿Qué es una función?

La motivación de la definición de función es la siguiente. Tomemos conjuntos $A$ y $B$. Queremos poder asignar a cualquier elemento de $A$ uno y sólo un elemento de $B$, de manera que inequívocamente para cada $a\in A$ podamos hablar de él elemento que se le asignó en $B$. Las relaciones ayudan a emparejar elementos de $A$ y $B$, pero podemos tener dos problemas 1) Que no todo elemento de $A$ esté en alguna pareja de la relación o 2) Que algún elemento de $A$ quede emparejado con más de un elemento de $B$. Las siguientes definiciones nos permiten evitar estos problemas.

Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos y $f$ una relación de $A$ en $B$.

  • Diremos que $f$ es total si para cada $a\in A$ existe por lo menos un $b\in B$ tal que $(a,b)\in R$.
  • Diremos que $f$ es funcional si para cada $a\in A$ existe a lo más un $b\in B$ tal que $(a,b)\in R$.
  • Diremos que $f$ es una función de $A$ en $B$ si $f$ es total y funcional.

Otra manera de decir que $f$ es total es que su dominio activo sea igual a su dominio. Así mismo, notemos que $f$ es funcional si y sólo si para todo $a\in A$ y $b,c\in B$, se tiene que $(a,b)\in R$ y $(a,c)\in R$ implican que $b=c$.

La definición de función nos dice que dados dos conjuntos y una relación $f$ de $A$ en $B$, podremos decir que la relación es función si y sólo si a cada uno de los elementos $a\in A$ le corresponde (bajo la relación) a uno y sólo un elemento $b\in B$. A este elemento $b$ lo denotamos por $f(a)$

El siguiente diagrama muestra cómo podría verse una función.

Los siguientes ejemplos ayudarán a entender mejor cada uno de los conceptos anteriores.

Ejemplo.

Sea $A=\set{1,2}$ y $B=\set{1,2,3}$. Sea $f$ la relación de $A$ en $B$ dada por $f=\set{(1,1), (1,2), (2,1)}$.

Resulta que $f$ no es función pues $(1,1)\in f$ y $(1,2)\in f$, sin embargo no es cierto que $1=2$. Aquí el problema es entonces que la relación no es funcional. Puedes verificar por tu cuenta que $f$ sí es total.

Sea $g$ la relación de $A$ en $B$ dada por $g=\set{(1,2)}$.

Resulta que $g$ no es función pues no tiene parejas de la forma $(2,b)$ con $b\in B$. Aquí el problema es entonces que la relación no es total. Puedes verificar por tu cuenta que $g$ sí es funcional.

Finalmente, sea $h$ la relación de $A$ en $B$ dada por $h=\{(1,3),(2,3)\}$. Aquí la relación sí es total, pues para $1\in A$ existe $3\in B$ con $(1,3)\in h$ y para $2\in A$ existe $3\in B$ con $(2,3)\in h$. La relación también es funcional, pues para $1\in A$ el único $b\in B$ con $(1,3)\in h$ es $b=3$ y para $2\in A$ el único $b\in B$ con $(2,b)\in h$ es $b=3$. Podemos decir entonces que $h(1)=3$ y que $h(2)=3$.

$\square$

Veamos otro ejemplo de una relación que sí es función.

Ejemplo.

Sea $A=\set{1,2,3}$ y $B=\set{1,2}$. Sea $f$ la relación de $A$ en $B$ dada por $f=\set{(1,1), (2,1), (3,1)}$.

En este ejemplo tenemos que $f$ es función pues cada elemento de $A$ va a dar a uno y sólo uno de $B$.

$\square$

Después de revisar estos ejemplos es importante mencionar que aunque no toda relación es función, siempre ocurrirá que una función es una relación.

Algunas funciones importantes

Ahora discutiremos algunos ejemplos importantes de funciones.

  1. Función vacía
    Sea $X=\emptyset$ y $Y$ un conjunto cualquiera. Definimos a la función vacía de $X$ en $Y$ como $f=\emptyset$. En la sección de relaciones vimos que el conjunto vacío en efecto es una relación. Además, como $X$ es vacío se cumple por vacuidad que esta relación es total y funcional. Por lo tanto, la relación vacía es función.
  2. Función constante
    Sean $X$, $Y$ conjuntos y $c\in Y$. Definimos la función constante $f$ de $X$ en $Y$ como $f(x)=c$ para toda $x\in X$. Nuestra función se verá de la siguiente forma:
  1. Función identidad
    Sea $X$ un conjunto. La relación identidad en $X$ es función. Recordemos que la relación identidad $Id_X$ esta definida como sigue:

$Id_X=\set{(x,y): x,y\in X\ y\ x=y}$

Por esta definición, para cada $x\in X$ el único elemento relacionado con $x$ es $x$ mismo. Así concluimos que $Id_X$ es función.

  1. Función característica
    Sean $A$ y $X$ conjuntos tales que $A\subseteq X$. Definimos a la función característica como $\chi_A$ de $A$ en $\set{0,1}$ dada por:

\begin{align*}
\chi_A(x) = \left\{ \begin{array}{lcc}
1 &  \text{si}  & x \in A \\
0 &  \text{si} & x\notin A
\end{array}
\right.
\end{align*}

Recuerda que $0=\emptyset$ y $1=\{\emptyset\}$. Debemos tener un poco de cuidado con las definiciones por casos, pues si una $x$ cae en dos casos cuyas evaluaciones son distintas, podría pasarnos que perdamos la funcionalidad. La función característica sí es función pues para cualquier $x\in X$ pasa uno y sólo uno de los casos $x\in A$ y $x\not \in A$.

  1. Función inclusión. Sea $X$ un conjunto cualquiera y $A\subseteq X$. Definimos a la función inclusión $\iota:A\to X$ como el siguiente conjunto:

$\iota_A= \set{(x,x):x\in A}$.

Restricción de una función

Si ya tenemos una función que va de un conjunto $X$ a otro conjunto $Y$, podemos «limitar» a la función a un subconjunto de $X$ mediante la siguiente definición.

Definición. Sea $f:X\to Y$ una función y sea $A\subseteq X$. Decimos que la restricción de $f$ en $A$ es la función $f\upharpoonright_{A} :A\to Y$ dada por $f\upharpoonright_{A} (x)= f(x)$ para todo $x\in A$.

Aunque las funciones $f$ y $f\upharpoonright$ tengan la misma regla de correspondencia, típicamente son funciones distintas pues casi siempre tienen dominios distintos (a menos que $X=A$).

Ejemplo.

Sean $X=\set{1,2,3,4}$ y $Y=\set{1,2,3,4,5}$. Sea $f:X\to Y$ la función dada por $\set{(1,1), (2,2), (3,3), (4,1)}$. Si restringimos $f$ al subconjunto $\{1,2,3\}$ obtenemos la función identidad en este subconjunto. En efecto, $f\upharpoonright_A=\set{(1,1), (2,2), (3,3)}$.

$\square$

Dominio activo, imagen e imagen de un subconjunto

De manera similar que con las relaciones, también para las funciones trataremos las definiciones de dominio activo, imagen e imagen de un subconjunto. Además, hablaremos de la imagen inversa de una función.

Definición. Sea $f$ una función de $A$ en $B$, definimos el dominio activo de $f$ como:

$\text{DomAct}(f)=\set{x\in A:\exists y\in B\ tal\ que\ f(x)=y}$.

Ejemplo.

Sea $A=\set{1,2,3,4}$ y $B=\set{1,2,3,4}$. Sea $f:A\to B$ la función dada por el conjunto $f=\set{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)}$.

Tenemos que,

$\text{DomAct}(f)=\set{x\in \set{1,2,3,4}:\exists y\in \set{1,2,3,4}\ tal\ que\ f(x)=y}=\set{1,2,3,4}$.

$\square$

En este ejemplo el dominio activo coincidió con el dominio. Esto siempre es cierto. Como una función debe ser total, entonces el dominio siempre es igual al dominio activo. Es por esta razón que para funciones prácticamente nunca usamos el término dominio activo.

Definición. Sea $f$ una función de $A$ en $B$, definimos la imagen de la función $f$ como:

$\text{Im}(f)=\set{y\in B:\exists x\in A\ tal\ que\ f(x)=y}$.

Ejemplo.

Sea $A=\set{1,2,3,4}$ y $B=\set{1,2,3}$. Sea $f:A\to B$ la función dada por $f(x)=1$ para todo $x\in A$.

Tenemos que,

$\text{Im}(f)=\set{y\in B: \exists x\ tal\ que\ f(x)=y}=\set{1}$.

$\square$

Observa que en este caso la imagen y el codominio no coinciden. En general, para una función no es cierto que la imagen y el codominio coincidan. Las funciones para las cuales pasa esto son especiales y las definiremos y estudiaremos posteriormente.

Definición. Sea $f$ una función de $A$ en $B$ y sea $C\subseteq A$. Definimos la imagen de $C$ bajo la función $f$ como el conjunto:

$f[C]=\set{f(x)\in B: \exists x\in C\ tal\ que\ f(x)=y}$.

Ejemplo.

Sea $A=\set{1,2,3,4}$ y $B=\set{2,4,6,8}$. Sea $f:A\to B$ la función dada por $f(x)=2x$ para todo $x\in A$. Sea $C=\set{2,4}\subseteq A$.

Tenemos que,

$f[C]=\set{y\in B: \exists x\in C\ tal\ que\ f(x)=y}=\set{4,8}$.

$\square$

En este ejemplo estamos siendo un poco informales, pues estrictamente hablando todavía no hemos definido quién es ni $6$, ni $8$, ni qué quiere decir la expresión $2x$. Pero probablemente a partir de las definiciones de $0,1,2,3,4$ que dimos en la entrada del axioma del par y de la unión puedas imaginarte quiénes serán $6$ y $8$. La expresión $2x$ puedes pensarla de momento que quiere decir que la función tiene a las parejas $(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)$. Esto mismo te ayudará a formalizar el ejemplo después de la siguiente definición.

Definición. Sea $f$ una función de $A$ en $B$ y sea $D\subseteq B$. Definimos la imagen inversa de $D$ bajo la función $f$ como el conjunto:

$f^{-1}[D]=\set{x\in A: \exists y\in D\ tal\ que\ f(x)=y}$.

Ejemplo.

Sea $A=\set{1,2,3,4}$ y $B=\set{2,4,6,8}$. Sea $f:A\to B$ la función dada por $f(x)=2x$ para todo $x\in A$. Sea $D=\set{2,4}\subseteq B$.

Tenemos que,

$f^{-1}[D]=\set{x\in A: \exists y\in D\ tal\ que\ f(x)=y}=\set{1,2}$.

$\square$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te ayudarán a reforzar los conceptos de función, dominio e imagen.

  • Así como anteriormente definimos $0,1,2,3,4$, define también $5,6,7,8,9$.
  • Sea $f$ una función de $\set{1,2}$ en $\set{2.4,5}$ dada por $f=\set{(1,2), (2,4)}$. Describe al dominio y la imagen de $f$.
  • Sean $A=\set{1,2,3,4,5,6,7,8}$ y $B=\set{1,2,3,4,5,6,7}$ conjuntos. Responde si las siguientes relaciones son o no funciones de $A$ en $B$:
    1. $f_1=\set{(1,1), (1,2), (2,1), (3,4)}$,
    2. $f_2=\set{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4) (5,5)}$,
    3. $f_3=\set{(1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1),(6,2),(7,3),(8,3)}$.

Más adelante…

La siguiente entrada estará dedicada a hablar acerca de algunas de las propiedades que tiene la imagen de un conjunto bajo una función respecto a la unión, la intersección y la diferencia. Además, hablaremos acerca de la composición de funciones, por lo que retomaremos el concepto de composición de relaciones.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»