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Álgebra Lineal I: Problemas de combinaciones lineales, generadores e independientes

Introducción

En entradas anteriores ya hablamos de combinaciones lineales, de conjuntos generadores y de conjuntos independientes. Lo que haremos aquí es resolver problemas para reforzar el contenido de estos temas.

Problemas resueltos

Problema. Demuestra que el polinomio p(x)=x^2+x+1 no puede ser escrito en el espacio vectorial \mathbb{R}[x] como una combinación lineal de los polinomios

    \begin{align*} p_1(x)=x^2-x\\ p_2(x) = x^2-1\\ p_3(x) = x-1.\end{align*}

Solución. Para resolver este problema, podemos plantearlo en términos de sistemas de ecuaciones. Supongamos que existen reales a, b y c tales que

    \[p(x)=ap_1(x)+bp_2(x)+cp_3(x).\]

Desarrollando la expresión, tendríamos que

    \begin{align*}x^2+x+1 &= a(x^2-x)+b(x^2-1)+c(x-1)\\&= (a+b)x^2+(-a+c)x+(-b-c),\end{align*}

de donde igualando coeficientes de términos del mismo grado, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

    \[\begin{cases}a+b & = 1\\ -a + c &= 1 \\ -b-c &= 1.\end{cases}\]

Para mostrar que este sistema de ecuaciones no tiene solución, le aplicaremos reducción gaussiana a la siguiente matriz extendida:

    \[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.\]

Tras la transvección R_2+R_1, obtenemos

    \[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.\]

Tras la transvección R_3+R_2, obtenemos

    \[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.\]

De aquí se ve que la forma escalonada reducida tendrá un pivote en la última columna. Por el teorema de existencia y unicidad el sistema original no tiene solución.

\square

En el problema anterior usamos un argumento de reducción gaussiana para mostrar que el sistema no tiene solución. Este es un método general que funciona en muchas ocasiones. Una solución más sencilla para ver que el sistema del problema no tiene solución es que al sumar las tres ecuaciones se obtiene 0=3.

Problema. Sea n un entero positivo. Sea W el subconjunto de vectores en \mathbb{R}^n cuya suma de entradas es igual a 0. Sea Z el espacio generado por el vector (1,1,\ldots,1) de \mathbb{R}^n. Determina si es cierto que

    \[\mathbb{R}^n=W\oplus Z.\]

Solución. El espacio Z está generado por todas las combinaciones lineales que se pueden hacer con el vector v=(1,1,\ldots,1). Como sólo es un vector, las combinaciones lineales son de la forma av con a en \mathbb{R}, de modo que Z es precisamente

    \[Z=\{(a,a,\ldots,a): a\in\mathbb{R}\}.\]

Para obtener la igualdad

    \[\mathbb{R}^n=W\oplus Z,\]

tienen que pasar las siguientes dos cosas (aquí estamos usando un resultado de la entrada de suma y suma directa de subespacios):

  • W\cap Z = \{0\}
  • W+Z=\mathbb{R}^n

Veamos qué sucede con un vector v en W\cap Z. Como está en Z, debe ser de la forma v=(a,a,\ldots,a). Como está en W, la suma de sus entradas debe ser igual a 0. En otras palabras, 0=a+a+\ldots+a=na. Como n es un entero positivo, esta igualdad implica que a=0. De aquí obtenemos que v=(0,0,\ldots,0), y por lo tanto W\cap Z = \{0\}.

Veamos ahora si se cumple la igualdad \mathbb{R}^n=W+Z. Por supuesto, se tiene que W+Z\subseteq \mathbb{R}^n, pues los elementos de W y Z son vectores en \mathbb{R}^n. Para que la igualdad \mathbb{R}^n\subseteq W+Z se cumpla, tiene que pasar que cualquier vector v=(x_1,\ldots,x_n) en \mathbb{R}^n se pueda escribir como suma de un vector w uno con suma de entradas 0 y un vector z con todas sus entradas iguales. Veamos que esto siempre se puede hacer.

Para hacerlo, sea S=x_1+\ldots+x_n la suma de las entradas del vector v. Consideremos al vector w=\left(x_1-\frac{S}{n},\ldots, x_n-\frac{S}{n} \right) y al vector z=\left(\frac{S}{n},\ldots,\frac{S}{n}).

Por un lado, z está en Z, pues todas sus entradas son iguales. Por otro lado, la suma de las entradas de w es

    \begin{align*}\left(x_1-\frac{S}{n}\right)+\ldots + \left(x_n-\frac{S}{n}\right)&=(x_1+\ldots+x_n)-n\cdot \frac{S}{n}\\ &= S-S=0,\end{align*}

lo cual muestra que w está en W. Finalmente, notemos que la igualdad w+z=v se puede comprobar haciendo la suma entrada a entrada. Con esto mostramos que cualquier vector de V es suma de vectores en W y Z y por lo tanto concluimos la igualdad \mathbb{R}^n=W\oplus Z.

\square

En el problema anterior puede parecer algo mágico la propuesta de vectores w y z. ¿Qué es lo que motiva la elección de \frac{S}{n}? Una forma de enfrentar los problemas de este estilo es utilizar la heurística de trabajar hacia atrás. Sabemos que el vector w debe tener todas sus entradas iguales a cierto número a y queremos que z=v-w tenga suma de entradas igual a 0. La suma de las entradas de v-w es

    \[(x_1-a)+\ldots+(x_n-a)= S -na.\]

La elección de a=\frac{S}{n} está motivada en que queremos que esto sea cero.

Problema. Considera las siguientes tres matrices en M_2(\mathbb{C}):

    \begin{align*} A&= \begin{pmatrix} -i & -3 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\\B&= \begin{pmatrix} 2i& 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}\\C&= \begin{pmatrix} i & -7  \\ 12 & 7 \end{pmatrix}.\end{align*}

Demuestra que A, B y C son matrices linealmente dependientes. Da una combinación lineal no trivial de ellas que sea igual a 0.

Solución. Para mostrar que son linealmente dependientes, basta dar la combinación lineal no trivial buscada. Buscamos entonces a,b,c números complejos no cero tales que aA+bB+cC=O_2, la matriz cero en M_2(\mathbb{C}). Para que se de esta igualdad, es necesario que suceda entrada a entrada. Tenemos entonces el siguiente sistema de ecuaciones:

    \[\begin{cases}-i a + 2i b + ic &= 0\\-3a + b -7c &=0\\2a + 3b + 12c &= 0\\3a -b +7c &=0.\end{cases}\]

En este sistema de ecuaciones tenemos números complejos, pero se resuelve exactamente de la misma manera que en el caso real. Para ello, llevamos la matriz correspondiente al sistema a su forma escalonada reducida. Comenzamos dividiendo el primer renglón por -i y aplicando transvecciones para hacer el resto de las entradas de la columna iguales a 0. Luego intercambiamos la tercera y cuarta filas.

    \begin{align*}&\begin{pmatrix}-i & 2i & i \\-3 & 1 & -7 \\2 & 3 & 12 \\3 & -1 & 7\end{pmatrix}\\\to&\begin{pmatrix}1 & -2 & -1 \\0 & -5 & -10 \\0 & 7 & 14 \\0 & 5 & 10\end{pmatrix}\end{align*}

Ahora reescalamos con factor -\frac{1}{5} la segunda fila y hacemos transvecciones para hacer igual a cero el resto de entradas de la columna 2:

    \begin{align*}&\begin{pmatrix}1 & 0& 3 \\0 & 1 & 2 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{align*}

Con esto llegamos a la forma escalonada reducida de la matriz. De acuerdo al procedimiento que discutimos en la entrada de sistemas lineales homogéneos, concluimos que las variables a y b son pivote y la variable c es libre. Para poner a a y b en términos de c, usamos la primera y segunda ecuaciones. Nos queda

    \begin{align*} a &= -3c \\ b &= -2c. \end{align*}

En resumen, concluimos que para cualqueir número complejo c en \mathbb{C} se tiene la combinación lineal

    \[-3c\begin{pmatrix} -i & -3 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} - 2c \begin{pmatrix} 2i& 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}  + c\begin{pmatrix} i & -7 \\ 12 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.\]

Una posible combinación lineal no trivial se obtiene tomando c=1.

\square

En el problema anterior bastaba encontrar una combinación lineal no trivial para acabar el ejercicio. Por supuesto, esto también se puede hacer por prueba y error. Sin embargo, la solución que dimos da una manera sistemática de resolver problemas de este estilo.

Problema. Consideremos el espacio vectorial V de funciones f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}. Para cada real a en (0,\infty), definimos a la función f_a\in V dada por

    \[f_a(x)=e^{ax}.\]

Tomemos reales distintos 0<a_1<a_2<\ldots<a_n. Supongamos que existe una combinación lineal de las funciones f_{a_1},\ldots,f_{a_n} que es igual a 0, es decir, que existen reales \alpha_1,\ldots,\alpha_n tales que

    \[\alpha_1 e^{a_1x} + \alpha_2e^{a_2x} + \ldots + \alpha_n e^{a_nx} = 0\]

para todo real x\geq 0.

Muestra que \alpha_1=\ldots=\alpha_n=0. Concluye que la familia (f_a)_{a\in \mathbb{R}} es linealmente independiente en V.

Solución. Procedemos por inducción sobre n. Para n=1, si tenemos la igualdad \alpha e^{ax}=0 para toda x, entonces \alpha=0, pues e^{ax} siempre es un número positivo. Supongamos ahora que sabemos el resultado para cada que elijamos n-1 reales cualesquiera. Probaremos el resultado para n reales cualesquiera.

Supongamos que tenemos la combinación lineal

    \[\alpha_1 e^{a_1x} + \alpha_2e^{a_2x} + \ldots + \alpha_n e^{a_nx} = 0\]

para todo real x\geq 0.

Dividamos esta igualdad que tenemos entre e^{a_nx}:

    \[\alpha_1 e^{(a_1-a_n)x} + \alpha_2e^{(a_2-a_n)x} + \ldots + \alpha_{n-1}e^{(a_{n-1}-a_n)x}+\alpha_n = 0.\]

¿Qué sucede cuando hacemos x\to \infty? Cada uno de los sumandos de la forma \alpha_i e^{(a_i-a_n)x} se hace cero, pues a_i<a_n y entonces el exponente es negativo y se va a -\infty. De esta forma, queda la igualdad \alpha_n=0. Así, nuestra combinación lineal se ve ahora de la forma

    \[\alpha_1 e^{a_1x} + \alpha_2e^{a_2x} + \ldots + \alpha_{n-1} e^{a_{n-1}x} = 0.\]

Por la hipótesis inductiva, \alpha_1=\ldots=\alpha_{n-1}=0. Como también ya demostramos \alpha_n=0, hemos terminado el paso inductivo.

Concluimos que la familia (infinita) (f_a)_{a\in \mathbb{R}} es linealmente independiente en V pues cualquier subconjunto finito de ella es linealmente independiente.

\square

El problema anterior muestra que la razón por la cual ciertos objetos son linealmente independientes puede deberse a una propiedad analítica o de cálculo. A veces dependiendo del contexto en el que estemos, hay que usar herramientas de ese contexto para probar afirmaciones de álgebra lineal.

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Álgebra Superior II: Problemas de exponencial, logaritmo y trigonometría en los complejos

Introducción

En entradas anteriores, vimos la construcción de los números complejos, sus operaciones y varias de sus características algebraicas. Conociendo ya las funciones exponencial y logaritmo, así como las funciones trigonométricas seno y coseno, vamos a iniciar con un breve análisis geométrico de la función exponencial. Posteriormente pasaremos a hacer unos ejercicios simples de operar dichas funciones en números complejos concretos.

Geometría de la exponencial compleja

Para empezar, estudiamos qué le hace la función exponencial al plano complejo de manera geométrica. Para hacer esto, tomamos varias rectas en el plano complejo para entender en qué se transforman tras aplicarles la función exponencial.

A grandes rasgos, cuando tomamos una recta vertical, la imagen de esta le da la vuelta al origen repetidamente. Cuando tomamos una recta horizontal, su imagen es un rayo que emana del origen (sin tocarlo).

En este video se explican estas ideas de manera visual.

Calcular una exponencial compleja

Lo siguiente que haremos es resolver un ejercicio de calcular la exponencial de un número complejo. Recuerda que, por definición, se tiene que

    \[e^{x+iy}=e^x\text{cis}(y).\]

Ejercicio. Expresa e^{4+\frac{\pi}{6}i} en la forma x+iy.

Problema de logaritmo complejo

Recuerda que el logaritmo complejo funciona como inverso de la función exponencial. Para que esto sea cierto, tenemos que restringir la exponencial a una franja del plano complejo.

Por definición, tenemos que

    \[L(z)=\ln \norm{z} + \text{arg}(z)i.\]

Para que la definición funcione bien, es necesario que tomemos el argumento en el intervalo (-\pi,\pi].

Resolveremos el siguiente ejercicio.

Ejercicio. Calcula L\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\right).

Problema de trigonometría compleja

Por último, haremos un ejercicio de calcular una función trigonométrica compleja. Sólo necesitaremos la definición de la función coseno, pero por conveniencia, a continuación recordamos tanto la definición de seno, como la de coseno.

    \begin{align*}\cos(z)=\frac{e^{zi}+e^{-zi}}{2},\sin(z)=\frac{e^{zi}-e^{-zi}}{2}.\end{align*}

Con esto en mente, resolveremos el siguiente ejercicio.

Ejercicio. Calcula \cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2} i\right).

Más tarde les subo fotos por si alguien tiene dificultades para ver los videos.

Seminario de Resolución de Problemas: Sucesiones monótonas y acotadas

Introducción

En entradas anteriores hablamos de sucesiones aritméticas y geométricas. También hablamos de sucesiones periódicas y pre-periódicas. Cuando una sucesión es de cualquiera de estos tipos, entonces no es tan compleja pues depende de pocos parámetros. Hay otros dos sentidos en los que podemos restringir una sucesión: orden y en tamaño. Esto nos da, respectivamente, las definiciones de sucesiones monótonas y acotadas.

Por un lado, para hablar de sucesiones acotadas se necesita una noción de distancia. Por otro, para hablar de sucesiones monótonas se necesita de una noción de orden. En las siguientes secciones veremos ejemplos numéricos, pero mucho de lo que discutimos en esta entrada es generalizable a espacios métricos o conjuntos ordenados arbitrarios.

A menos que digamos lo contrario, supondremos que las sucesiones de las que hablamos empiezan con un término de subíndice 0, aunque esto en realidad no afecta las ideas que discutimos.

Sucesiones acotadas

Las sucesiones acotadas son aquellas que siempre están “cerca de un punto”. Cuando estamos hablando de sucesiones de reales, o de elementos en un conjunto linealmente ordenado, podemos hablar de cotas por arriba y por abajo.

Definición. Sea \{x_n\} una sucesión de reales. Decimos que \{x_n\} es:

  • Inferiormente acotada si existe un real m tal que x_n\geq m para todo entero n\geq 0.
  • Superiormente acotada si existe un real M tal que x_n\leq M para todo entero n\geq 0.
  • Acotada si es inferiormente acotada y superiormente acotada.

Se puede usar como definición alternativa del tercer punto la conclusión de siguiente proposición. Esto permite definir sucesiones acotadas en cualquier espacio normado.

Proposición. Sea \{x_n\} una sucesión de reales. Se tiene que \{x_n\} es acotada si y sólo si existe un real A\geq 0 tal que |x_n|\leq A para todo entero n\geq 0.

Cualquier sucesión periódica de reales toma sólo una cantidad finita de valores, así que es acotada. ¿Cómo son las sucesiones aritméticas y geométricas que son acotadas?

Problema. La sucesión \{x_n\} está definida para n\geq 1 y está dada por

    \[x_n=3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{\ldots\sqrt{3+\sqrt{3}}}}},\]

en donde tenemos n signos de raíz cuadrada. Muestra que esta sucesión es acotada.

Sugerencia pre-solución. La notación es algo difícil. Usa una mejor notación, conjetura una cota superior trabajando hacia atrás, y pruébala por inducción.

Solución. El primer término es 3+\sqrt{3} y para n\geq 1 tenemos

    \[x_{n+1}=3+\sqrt{x_n} \geq 0.\]

Falta ver que la sucesión está acotada superiormente.

Trabajemos hacia atrás, suponiendo que podemos mostrar por inducción que un real C es cota superior. Al hacer el paso inductivo, nos bastaría que

    \[3+\sqrt{C}\leq C.\]

Esto se cumple para muchos valores de C, por ejemplo, podemos tomar C=9.

Hagamos la prueba formalmente. Mostraremos que \{x_n\} está acotada superiormente por 9. El primer término es 3+\sqrt{3}, que está acotado por 9. Si x_n está acotado por 9, entonces

    \[x_{n+1}=3+\sqrt{x_n}\leq 3+\sqrt{9}\leq 3+3 \leq 9.\]

Esto termina la inducción y muestra que \{x_n\} es acotada.

\square

Sucesiones monótonas

Otra forma de limitar los “movimientos” de una sucesión es a través de una noción de orden. Las siguientes definiciones son para sucesiones de reales, pero es sencillo extenderlas a cualquier conjunto parcialmente ordenado.

Definición. Sea \{x_n\} una sucesión de reales. Decimos que \{x_n\} es:

  • Creciente si para todo par de enteros enteros k>l\geq 0 se tiene que x_k\geq x_l.
  • Estrictamente creciente si para todo par de enteros enteros k>l\geq 0 se tiene que x_k> x_l.
  • Decreciente si para todo par de enteros enteros k>l\geq 0 se tiene que x_k\leq x_l.
  • Estrictamente decreciente si para todo par de enteros enteros k>l\geq 0 se tiene que x_k<x_l.

Las sucesiones monótonas son aquellas que cumplen alguna de las definiciones anteriores.

Aunque la definición requiere que cierta desigualdad se cumpla para todo par de índices k>l\geq 0, basta con demostrar que se cumple para k=n+1 y l=n, es decir, para índices consecutivos. Esto típicamente se reduce a demostrar una desigualdad. Hablaremos más adelante de técnicas para resolver desigualdades, pero por el momento veremos un ejemplo sencillo.

Problema. Muestra que la sucesión \{x_n\} dada por

    \[x_n=\left(1 +\frac{1}{n}\right)^n\]

es estrictamente creciente.

Sugerencia pre-solución. Basta con que pruebes la desigualdad para subíndices consecutivos. Para hacer esto, usa el binomio de Newton y modifica el problema a comparar ciertos términos.

Solución. Tenemos que mostrar que

    \[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \leq \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}.\]

Para mostrar esto, primero demostraremos la siguiente desigualdad auxiliar para 0\leq k \leq n+1:

(1)   \begin{equation*}\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}\leq \binom{n+1}{k}\frac{1}{(n+1)^k}.\end{equation*}

Si k=n+1, la desigualdad se cumple pues el término izquierdo es 0. Para 0\leq k \leq n, esta desigualdad es equivalente a la desigualdad

    \[\frac{\binom{n+1}{k}}{\binom{n}{k}}\geq \left(\frac{n+1}{n}\right)^k.\]

Usando la expresión en términos de factoriales y simplificando el lado izquierdo, tenemos que

    \begin{align*}\frac{\binom{n+1}{k}}{\binom{n}{k}}&=\frac{\frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!}}{\frac{n!}{k!(n-k)!}}\\&=\left(\frac{n+1}{n}\right)\cdot\left(\frac{n}{n-1}\right)\cdot \ldots\cdot\left(\frac{n+2-k}{n+1-k}\right)\end{align*}

Afirmamos que cada uno de los k términos de la derecha es mayor o igual a \frac{n+1}{n}. Para ello, basta mostrar que la sucesión \left\{\frac{m+1}{m}\right\} definida para m\geq 1 es decreciente. Pero esto es fácil de ver, pues cada término es \frac{m+1}{m}=1+\frac{1}{m} que claramente decrece conforme m crece. Con esto terminamos la prueba de la desigualdad auxiliar (1).

Sumando la desigualdad (1) para todos los valores de k de 0 a n+1 y usando el binomio de Newton, obtenemos la desigualdad deseada.

\square

Más allá de sucesiones monótonas

De entre las sucesiones monótonas, hay algunas que podemos entender mejor. Una sucesión de reales puede ser estrictamente creciente, y no irse a infinito. Por ejemplo, considera la sucesión:

    \[0.3, 0.33, 0.333, 0.3333,\ldots\]

en donde de un término al siguiente se agrega un dígito 3. Esta sucesión es estrictamente creciente, pero todos los términos son menores a \frac{1}{3}.

Hay diferentes grados de información que podemos tener de una sucesión con respecto a cuánto crece. En cada uno de los siguientes puntos, cada vez sabemos mejor qué tanto crece la sucesión:

  • Saber que la sucesión es creciente
  • Saber que es estrictamente creciente
  • Determinar si es acotada superiormente
  • Conocer qué tan rápido crece

Por supuesto, hay una jerarquía análoga para funciones decrecientes.

Veamos un ejemplo de entender bien el crecimiento de una sucesión. El siguiente problema apareció en uno de los concursos de matemáticas Pierre Fermat que organiza el IPN.

Problema. Considera una sucesión \{a_n\} de reales tal que a_0>0 y para cada n\geq 0 se cumple que a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}. Muestra que a_{200}>20.

Sugerencia pre-solución. En vez de entender la sucesión \{a_n\}, modifica el problema a entender la sucesión \{a_n^2\}, que es más fácil de estudiar cómo crece. En cierta forma, tendrás que generalizar el problema, entendiendo qué tan grande es cada término.

Solución. Es fácil ver que la sucesión es creciente. Para ello podemos probar simultáneamente por inducción que cada término es positivo y mayor que el anterior. Sin embargo, esto es todavía muy débil para nuestros fines: aún no sabemos si la sucesión superará 20 y, peor aún, no sabemos si sucederá antes del término 200.

Quedémonos con el hecho de que a_n es de términos positivos. Pero en vez de estudiar cómo crece \{a_n\}, mejor estudiamos cómo crece \{a_n^2\}. Observemos que

    \begin{align*}a_{n+1}^2&=\left(a_n+\frac{1}{a_n}\right)^2\\&=a_n^2+2+\frac{1}{a_n^2}\\&>a_n^2+2,\end{align*}

de modo que podemos probar inductivamente que a_n^2\geq 2n. De aquí, deducimos que a_n\geq \sqrt{2n}. En particular, a_{200}\geq \sqrt{400}=20.

\square

Descenso infinito

Una herramienta bastante útil para la resolución de problemas con enteros es el siguiente resultado. En cierto sentido, habla de cómo son las sucesiones monótonas y acotadas de enteros.

Teorema (principio del descenso infinito). No existen sucesiones estrictamente decrecientes e inferiormente acotadas de enteros.

De manera similar, no existen sucesiones estrictamente crecientes y superiormente acotadas de enteros.

Veamos un ejemplo de la Olimpiada Centroamericana de Matemáticas.

Problema. Aplicar un desliz a un entero positivo n\geq 5 consiste en cambiar a n por \frac{n+p^2}{p}, con p un divisor primo de n. Muestra que tras aplicar repetidamente deslices a un entero n\geq 5, siempre se llega a 5.

Sugerencia pre-solución. Usa el principio de descenso infinito.

Solución. Si comenzamos con n=5, la única opción es pasar a \frac{5+25}{5}=6. Si comenzamos con n=6, ambos deslices (con 2 ó 3) nos llevan a 5.

Veremos que a partir de cualquier entero n\geq 7, tras aplicar deslices siempre se llega a 5.

Afirmamos lo siguiente:

  • Si n es primo, sólo tiene un desliz que lo pasa a n+1.
  • Para n\geq 7 no primo, aplicar un desliz lo disminuye en al menos 2.
  • Para n\geq 5, aplicar un desliz lo lleva a un número mayor o igual a 5.

La primera afirmación es fácil de ver, pues si n=p, el único divisor primo que tiene es p y así, el único desliz que tiene lo manda a

    \[\frac{p^2+p}{p}=p+1=n+1.\]

Para la segunda afirmación, necesitamos mostrar que si n\geq 7 no es primo y p lo divide, entonces

    \[\frac{n+p^2}{p}\leq n-2.\]

Reescribiendo esta afirmación, necesitamos mostrar que

    \[np\geq p^2+n+2p.\]

Como n no es primo, n=pq con q\geq 2. Como p es primo, p\geq 2.

Reescribiendo la desigualdad que queremos mostrar en términos de p y q, y cancelando un factor p de ambos lados, lo que necesitamos es

    \[pq\geq p+q+2.\]

restando p+q-1 de ambos lados y factorizando el lado izquierdo, esto es equivalente a

    \[(p-1)(q-1)\geq 3.\]

Hagamos un análisis de casos para los primos p y q

  • Si p=q=2 entonces n=4, que no es un caso que nos interese.
  • Si p=2 y q=3, o p=3 y q=2, entonces n=6, pero para la segunda afirmación estamos suponiendo n\geq 7.
  • Así, p\geq 3 y q\geq 3, de modo que (p-1)(q-1)\geq 4, que implica la desigualdad que queremos.

Esto prueba la segunda afirmación.

La tercera afirmación se prueba notando que tras el desliz, un número se va a \frac{n}{p}+p \geq  2\sqrt{n}\geq 2\sqrt{5}>4, y como esta esta expresión es entera, se tiene \frac{n}{p}+p\geq 5.

Estamos listos para dar la prueba. Por la tercer afirmación, la sucesión siempre es \geq 5. Si acaso la sucesión crece, fue porque teníamos un primo p que pasó a p+1. Pero entonces p+1 no es primo y al paso siguiente es menor o igual a p-1 por la segunda afirmación. Así, cada dos pasos, la sucesión decrece estrictamente, a menos que pase por 6. Por el principio de descenso infinito, no es posible que siempre decrezca. Así, en algún momento pasa por 6, y entonces al paso siguiente será 5.

\square

Más problemas

Esta entrada es una extensión de las secciones 1, 2 y 3 del curso de sucesiones que impartí para los entrenadores de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas. Puedes consultar las notas de este curso en el siguiente PDF, en donde hay más problemas de práctica:

Álgebra Superior II: Exponencial, logaritmo y trigonometría en los complejos

Introducción

Con las entradas anteriores, ya hemos desarrollado un buen manejo de los números complejos. Sabemos cómo se construyen y cómo hacer operaciones básicas, incluyendo obtener conjugados, la forma polar, sacar normas y elevar a potencias. También hemos aprendido a resolver varias ecuaciones en los complejos: cuadráticas, sistemas lineales y raíces n-ésimas. Todo esto forma parte de los fundamentos algebraicos de \mathbb{C}. Ahora hablaremos un poco de la exponencial, el logaritmo y trigonometría en los complejos.

Aunque mencionaremos un poco de las motivaciones detrás de las definiciones, no profundizaremos tanto como con otros temas. Varias de las razones para elegir las siguientes definiciones tienen que ver con temas de ecuaciones diferenciales y de análisis complejo, que no se estudian sino hasta semestres posteriores.

Función exponencial compleja

Recordemos que para un real y, definimos \cis(y)=\cos y + i \sin y. La función \cis y la exponenciación en los reales nos ayudarán a definir la exponencial compleja.

Definición. Definimos la función \exp:\mathbb{C}\to \mathbb{C} como

    \[\exp(x+yi)=e^x\cis(y).\]

Ejemplo. Se tiene que

    \[\exp\left(1+\frac{\pi}{2} i\right) = e^1 \cis\left(\frac{\pi}{2}\right) = ei.\]

\square

Ejemplo. Se tiene que

    \[\exp(\pi i) = e^0\cis(\pi) = (1)(-1)=-1.\]

Como veremos más abajo, esto lo podemos reescribir como la famosa identidad de Euler

    \[e^{\pi i}+1=0.\]

\square

Ejemplo. Se tiene que

    \[\exp(2+3i)=e^2\cis(3).\]

Como \cos(3) y \sin(3) no tienen ningún valor especial, esta es la forma final de la expresión.

\square

Propiedades de la función exponencial compleja

Una buena razón para definir la exponencial así es que si y=0, entonces la definición coincide con la definición en los reales:

    \[\exp(x)=e^x\cis(0)=e^x.\]

Si x=0, tenemos que \exp(iy)=\cis(y), de modo que si w tiene norma r y argumento \theta, podemos reescribir su forma polar como

    \[w=r\exp(\theta i),\]

y una forma alternativa de escribir el teorema de De Moivre es

    \[w^n=r^n\exp(n\theta i).\]

Otra buena razón para definir la exponencial compleja como lo hicimos es que se sigue satisfaciendo que las sumas en la exponencial se abren en productos.

Proposición. Para w y z complejos se tiene que

    \[E(w+z)=E(w)E(z).\]

Demostración. Escribamos w=a+bi y z=c+di con a,b,c,d reales. Tenemos que

    \begin{align*}\exp(w+z)&=\exp((a+c)+(b+d)i)\\&=e^{a+c}\cis(b+d).\end{align*}

Por propiedades de la exponencial en \mathbb{R}, tenemos que e^{a+c}=e^ae^c. Además, por cómo funciona la multiplicación compleja en términos polares, tenemos que \cis(b+d)=\cis(b)\cis(d). Usando estas observaciones, podemos continuar con la cadena de igualdades,

    \begin{align*}&=e^ae^c\cis(b)\cis(d)\\&=(e^a\cis(b)) (e^c\cis(d))\\&=\exp(a+bi)\exp(c+di)\\&=\exp(w)\exp(z).\end{align*}

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Como \exp extiende a la exponencial real, y se vale abrir las sumas de exponentes en productos, puede ser tentador usar la notación e^{x+yi} en vez de \exp(x+yi). Hay que tener cuidado con esta interpretación, pues hasta ahora no hemos dicho qué quiere decir “elevar a una potencia”. Cuando lo hagamos, veremos que usar la notación e^{x+yi} sí tiene sentido, pero por el momento hay que apegarnos a la definición.

Hay otras buenas razones para definir la exponencial compleja como lo hicimos. Una muy importante es que es la solución a una ecuación diferencial muy natural. Más adelante, en tu formación matemática, verás esto.

Función logaritmo complejo

Con el logaritmo natural \ln en \mathbb{R} y la multifunción argumento podemos extender el logaritmo a \mathbb{C}.

Definición. Definimos la función L:\mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{C} como

    \[L(z)=\ln \Vert z \Vert + \arg(z) i.\]

Hay que ser un poco más precisos, pues \arg(z) es una multifunción y toma varios valores. Cuando estamos trabajando con logaritmo, lo más conveniente por razones de simetría es que tomemos el argumento en el intervalo (-\pi,\pi]. En cursos posteriores hablarás de “otras” funciones logaritmo, y de por qué ésta es usualmente una buena elección.

Ejemplo. Los logaritmos de i y de -1 son, respectivamente,

    \begin{align*}L(i)&=\ln \Vert i \Vert + \arg(i) i = \ln(1) + \frac{\pi}{2} i =\frac{\pi}{2} i\\L(-1)&=\ln \Vert -1 \Vert + \arg(-1) i = \ln(1)+\pi i = \pi i.\end{align*}

Propiedades del logaritmo complejo

La función \exp restringida a los números con parte imaginaria en (-\pi,\pi] es invertible, y su inversa es L. Esto justifica en parte la definición de logaritmo. Demostrar esto es sencillo y queda como tarea moral.

La función L restringida a los reales positivos coincide con la función logaritmo natural, pues para z=x+0i=x, con x>0 se tiene que \arg(x)=0 y entonces

    \[L(z)=L(x)=\Vert x\Vert+\arg(x)i=x.\]

Como en el caso real, la función logaritmo abre productos en sumas, pero con un detalle que hay que cuidar.

Proposición. Para w y z complejos no 0, se tiene que L(wz) y L(w)+L(z) difieren en un múltiplo entero de 2\pi i.

Con la función logaritmo podemos definir potencias de números complejos.

Definición. Para w,z en \mathbb{C} con w\neq 0, definimos

    \[w^z=\exp(zL(w)).\]

Ejemplo. En particular, podemos tomar w=e, de donde

    \begin{align*}e^z&=\exp(zL(e))\\&=\exp(z\ln(e))\\&=\exp(z),\end{align*}

de donde ahora sí podemos justificar usar la notación e^{x+yi} en vez de \exp(x+yi).

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Esta definición de exponenciación en \mathbb{C} es buena, en parte, porque se puede probar que se satisfacen las leyes de los exponentes.

Proposición. Para w, z_1, z_2 en \mathbb{C}, con w\neq 0, se cumple que

    \[z^{w_1+w_2}=z^{w_1}z^{w_2}\]

y que

    \[(z^{w_1})^{w_2}=z^{w_1w_2}.\]

La demostración es sencilla y se deja como tarea moral.

Funciones trigonométricas complejas

Finalmente, definiremos las funciones trigonométricas en \mathbb{C}. Para ello, nos basaremos en la función exponencial que ya definimos.

Definición. Para z cualquier complejo, definimos

    \[\cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\]

y

    \[\sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2}.\]

Una de las razones por las cuales esta definición es buena es que extiende a las funciones trigonométricas reales. En efecto, si z=x+0i=x es real, entonces \cos(z) es

    \begin{align*}\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}&=\frac{\cis(x)+cis(-x)}{2}\\&=\frac{2\cos(x)}{2}\\&=\cos(x),\end{align*}

y de manera similar para \sin(z).

Las funciones trigonométricas en \mathbb{C} siguen cumpliendo varias propiedades que cumplían en \mathbb{R}.

Proposición. Para w y z complejos, se tiene que

    \begin{align*}\cos(w+z)=\cos(w)\cos(z)-\sin(w)\sin(z)\\\sin(w+z)=\sin(w)\cos(z)+\sin(z)\cos(w).\end{align*}

Demostración. Procedemos por definición. Tenemos que

    \begin{align*}4&\cos(w)\cos(z)\\&=(e^{iw}+e^{-iw})(e^{iz}+e^{-iz})\\&=(e^{i(w+z)}+e^{i(w-z)}+e^{i(z-w)}+e^{i(-z-w)})\end{align*}

y que

    \begin{align*}4&\sin(w)\sin(z)\\&=(e^{iw}-e^{-iw})(e^{iz}-e^{-iz})\\&=(e^{i(w+z)}-e^{i(w-z)}-e^{i(z-w)}+e^{i(-z-w)}),\end{align*}

de modo que

    \begin{align*}4(\cos(w)&\cos(z)-\sin(w)\sin(z))\\&=2(e^{i(w+z)}+e^{-i(w+z)})\\&=4\cos(w+z).\end{align*}

Dividiendo entre 4 ambos lados de la igualdad, obtenemos la primer identidad. La segunda se demuestra de manera análoga, y queda como tarea moral.

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Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Determina los valores de \exp(3+\frac{3\pi}{4}i) y de L(-i).
  • Muestra que para z con parte imaginaria en (-\pi,\pi] se tiene que L(\exp(z))=z.
  • Determina el valor de (1+i)^{1+i}.
  • Muestra las leyes de los exponentes para la exponenciación en \mathbb{C}.
  • Determina el valor de \sin(i) y de \cos(1+i).
  • Muestra la identidad de seno de la suma de ángulos en \mathbb{C}.
  • Investiga qué otras propiedades de las funciones trigonométricas reales se extienden al caso complejo.