Introducción
En entradas anteriores ya hablamos de combinaciones lineales, de conjuntos generadores y de conjuntos independientes. Lo que haremos aquí es resolver problemas para reforzar el contenido de estos temas.
Problemas resueltos
Problema. Demuestra que el polinomio no puede ser escrito en el espacio vectorial
como una combinación lineal de los polinomios
Solución. Para resolver este problema, podemos plantearlo en términos de sistemas de ecuaciones. Supongamos que existen reales ,
y
tales que
Desarrollando la expresión, tendríamos que
de donde igualando coeficientes de términos del mismo grado, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
Para mostrar que este sistema de ecuaciones no tiene solución, le aplicaremos reducción gaussiana a la siguiente matriz extendida:
Tras la transvección , obtenemos
Tras la transvección , obtenemos
De aquí se ve que la forma escalonada reducida tendrá un pivote en la última columna. Por el teorema de existencia y unicidad el sistema original no tiene solución.
En el problema anterior usamos un argumento de reducción gaussiana para mostrar que el sistema no tiene solución. Este es un método general que funciona en muchas ocasiones. Una solución más sencilla para ver que el sistema del problema no tiene solución es que al sumar las tres ecuaciones se obtiene .
Problema. Sea un entero positivo. Sea
el subconjunto de vectores en
cuya suma de entradas es igual a
. Sea
el espacio generado por el vector
de
. Determina si es cierto que
Solución. El espacio está generado por todas las combinaciones lineales que se pueden hacer con el vector
. Como sólo es un vector, las combinaciones lineales son de la forma
con
en
, de modo que
es precisamente
Para obtener la igualdad
Veamos qué sucede con un vector en
. Como está en
, debe ser de la forma
. Como está en
, la suma de sus entradas debe ser igual a
. En otras palabras,
. Como
es un entero positivo, esta igualdad implica que
. De aquí obtenemos que
, y por lo tanto
.
Veamos ahora si se cumple la igualdad . Por supuesto, se tiene que
, pues los elementos de
y
son vectores en
. Para que la igualdad
se cumpla, tiene que pasar que cualquier vector
en
se pueda escribir como suma de un vector
uno con suma de entradas
y un vector
con todas sus entradas iguales. Veamos que esto siempre se puede hacer.
Para hacerlo, sea la suma de las entradas del vector
. Consideremos al vector
y al vector
.
Por un lado, está en
, pues todas sus entradas son iguales. Por otro lado, la suma de las entradas de
es
lo cual muestra que está en
. Finalmente, notemos que la igualdad
se puede comprobar haciendo la suma entrada a entrada. Con esto mostramos que cualquier vector de
es suma de vectores en
y
y por lo tanto concluimos la igualdad
.
En el problema anterior puede parecer algo mágico la propuesta de vectores y
. ¿Qué es lo que motiva la elección de
? Una forma de enfrentar los problemas de este estilo es utilizar la heurística de trabajar hacia atrás. Sabemos que el vector
debe tener todas sus entradas iguales a cierto número
y queremos que
tenga suma de entradas igual a
. La suma de las entradas de
es

Problema. Considera las siguientes tres matrices en :
Demuestra que ,
y
son matrices linealmente dependientes. Da una combinación lineal no trivial de ellas que sea igual a
.
Solución. Para mostrar que son linealmente dependientes, basta dar la combinación lineal no trivial buscada. Buscamos entonces números complejos no cero tales que
, la matriz cero en
. Para que se de esta igualdad, es necesario que suceda entrada a entrada. Tenemos entonces el siguiente sistema de ecuaciones:
En este sistema de ecuaciones tenemos números complejos, pero se resuelve exactamente de la misma manera que en el caso real. Para ello, llevamos la matriz correspondiente al sistema a su forma escalonada reducida. Comenzamos dividiendo el primer renglón por y aplicando transvecciones para hacer el resto de las entradas de la columna iguales a
. Luego intercambiamos la tercera y cuarta filas.
Ahora reescalamos con factor la segunda fila y hacemos transvecciones para hacer igual a cero el resto de entradas de la columna 2:
Con esto llegamos a la forma escalonada reducida de la matriz. De acuerdo al procedimiento que discutimos en la entrada de sistemas lineales homogéneos, concluimos que las variables y
son pivote y la variable
es libre. Para poner a
y
en términos de
, usamos la primera y segunda ecuaciones. Nos queda
En resumen, concluimos que para cualqueir número complejo en
se tiene la combinación lineal
Una posible combinación lineal no trivial se obtiene tomando .
En el problema anterior bastaba encontrar una combinación lineal no trivial para acabar el ejercicio. Por supuesto, esto también se puede hacer por prueba y error. Sin embargo, la solución que dimos da una manera sistemática de resolver problemas de este estilo.
Problema. Consideremos el espacio vectorial de funciones
. Para cada real
en
, definimos a la función
dada por
Tomemos reales distintos . Supongamos que existe una combinación lineal de las funciones
que es igual a
, es decir, que existen reales
tales que

Muestra que . Concluye que la familia
es linealmente independiente en
.
Solución. Procedemos por inducción sobre . Para
, si tenemos la igualdad
para toda
, entonces
, pues
siempre es un número positivo. Supongamos ahora que sabemos el resultado para cada que elijamos
reales cualesquiera. Probaremos el resultado para
reales cualesquiera.
Supongamos que tenemos la combinación lineal

Dividamos esta igualdad que tenemos entre :
¿Qué sucede cuando hacemos ? Cada uno de los sumandos de la forma
se hace cero, pues
y entonces el exponente es negativo y se va a
. De esta forma, queda la igualdad
. Así, nuestra combinación lineal se ve ahora de la forma
Por la hipótesis inductiva, . Como también ya demostramos
, hemos terminado el paso inductivo.
Concluimos que la familia (infinita) es linealmente independiente en
pues cualquier subconjunto finito de ella es linealmente independiente.
El problema anterior muestra que la razón por la cual ciertos objetos son linealmente independientes puede deberse a una propiedad analítica o de cálculo. A veces dependiendo del contexto en el que estemos, hay que usar herramientas de ese contexto para probar afirmaciones de álgebra lineal.
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