Introducción
En esta entrada veremos el criterio de la raíz racional. Este es un método que nos permite determinar las únicas raíces racionales que puede tener un polinomio con coeficientes enteros. Es una más de las herramientas que podemos usar cuando estamos estudiando polinomios en .
Si encontramos una raíz con este método, luego podemos encontrar su multiplicidad mediante el teorema de derivadas y multiplicidad. Esto puede ayudarnos a factorizar el polinomio. Otras herramientas que hemos visto que nos pueden ayudar son el algoritmo de Euclides, la fórmula cuadrática, el teorema del factor y propiedades de continuidad y diferenciabilidad de polinomios.
El criterio de la raíz racional
Si un polinomio en
cumple que todos sus coeficientes son números enteros, entonces decimos que es un polinomio sobre los enteros. Al conjunto de polinomios sobre los enteros se le denota
.
Teorema (criterio de la raíz racional). Tomemos un polinomio en
de la forma









Demostración. Por definición, si es una raíz, tenemos que
Multiplicando ambos lados de esta igualdad por , tenemos que
Despejando , tenemos que
Esto muestra que es múltiplo de
. Pero como
, tenemos que
debe dividir a
.
De manera similar, tenemos que
De aquí, divide a
, y como
, entonces
divide a
.
Como cualquier natural tiene una cantidad finita de divisores, el criterio de la raíz racional nos permite restringir la cantidad posible de raíces de un polinomio con coeficientes enteros a una cantidad finita de candidatos. Veamos un par de ejemplos.
Aplicación directa del criterio de la raíz racional
Ejercicio. Usa el criterio de la raíz racional para enlistar a todos los posibles números racionales que son candidatos a ser raíces del polinomio

Solución. El polinomio tiene coeficientes enteros, así que podemos usar el criterio de la raíz racional. Las raíces racionales son de la forma
con
divisor de
, con
divisor de
y además
. Los divisores enteros de
son

Pareciera que hay muchas posibilidades por considerar. Sin embargo, nota que basta ponerle el signo menos a uno de o
para considerar todos los casos. Así, sin pérdida de generalidad,
. Si
, obtenemos a los candidatos



En el peor de los casos, ya solo bastaría evaluar el polinomio en estos candidatos para determinar si son o no son raíz. Sin embargo, a veces podemos hacer algunos trucos para disminuir todavía más la lista.
Observa que si evaluamos
Si evaluamos en o
, entonces la parte de la expresión
es múltiplo de
, pero
no. De esta forma,
no sería un múltiplo de
, y por lo tanto no puede ser
. Si evaluamos en
o
, tendríamos que la parte de la expresión
sería par, pero
sería impar, de modo que
sería impar, y no podría ser cero. Así, ya sólo nos quedan los candidatos
Para ellos ya no hagamos trucos, y evaluemos directamente. Tenemos que
y que
Habiendo considerado todos los casos, llegamos a que la única raíz racional de es
.
Aplicación indirecta del criterio de la raíz racional
El criterio de la raíz racional lo podemos usar en algunos problemas, aunque en ellos no esté escrito un polinomio de manera explícita.
Problema. Muestra que no es un número racional.
Solución. Por definición, el número es el único real positivo
que cumple que
. Se puede mostrar su existencia usando que la función
dada por
es continua, que
, que
, y aplicando el teorema del valor intermedio. Se puede mostrar su unicidad mostrando que la función
es estrictamente creciente en los reales positivos. Lo que tenemos que mostrar es que este número real no es racional.
Si consideramos el polinomio , tenemos que
, de modo que
es raíz de
. Así, para terminar el problema, basta mostrar que
no tiene raíces racionales.
El polinomio tiene coeficientes enteros, así que podemos aplicarle el criterio de la raíz racional. Una raíz racional tiene que ser de la forma
con
divisor de
y
divisor de
.
Sin perder generalidad, , así que
. De esta forma, los únicos candidatos a ser raíces racionales de
son
. Sin embargo, una verificación de cada una de estas posibilidades muestra que ninguna de ellas es raíz de
. Por lo tanto,
no tiene raíces racionales, lo cual termina la solución del problema.
Aplicación en polinomio con coeficientes racionales
A veces un polinomio tiene coeficientes racionales, por ejemplo,
A un polinomio con todos sus coeficientes en se les conoce como polinomio sobre los racionales y al conjunto de todos ellos se le denota
. Para fines de encontrar raíces racionales, los polinomios en
y los polinomios en
son muy parecidos.
Si tenemos un polinomio en
, basta con multiplicar por el mínimo común múltiplo de los denominadores de los coeficientes para obtener un polinomio
con coeficientes enteros. Como
y
varían sólo por un factor no cero, entonces tienen las mismas raíces. Por ejemplo, el polinomio
de arriba tiene las mismas raíces que el polinomio
Ejemplo. Consideremos el polinomio








Los divisores de son
. Los divisores positivos de
son
y
. De esta forma, los candidatos a raíces racionales son
Si ponemos un número positivo en , como sus coeficientes son todos positivos, tenemos que la evaluación sería positiva, así que podemos descartar estos casos. Sólo nos quedan los candidatos
La evaluación en da
así que no es raíz.
La evaluación en da
así que tampoco es raíz.
Como tarea moral, queda verificar que tampoco es raíz, pero que
sí lo es.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Realiza las evaluaciones que faltan en el último ejemplo.
- Determina las raíces racionales del polinomio
- Muestra que
no es un número racional.
- Encuentra todos los candidatos a ser raíces racionales de
- Puede que un polinomio en
no tenga raíces racionales, pero que sí se pueda factorizar en
. Investiga acerca del criterio de irreducibilidad de Eisenstein.