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Definiciones y ejemplos de CAMPO y SUBCAMPO

El ser humano ha hecho un fascinante trabajo construyendo modelos para facilitar la resolución de problemas concretos. Muchos de estos problemas tienen un carácter lineal, es decir, pueden plantearse mediante ecuaciones lineales con coeficientes en algún «conjunto especial» de números y con unas cuantas variables.

Así es, nos facilitamos la vida reduciendo casi todo a «talachita»: operaciones. Y como buena rama de las matemáticas, esto de «operar» vamos a abstraerlo. Ya no sólo se tratará de números, si no de conjuntos (de «lo que sea») y operaciones («las que sean») que cumplan ciertas condiciones.

CAMPO

Definición: Sea $K$ un conjunto con dos operaciones binarias $+: K \times K \longrightarrow K$ y $\cdot: K \times K \longrightarrow K$. Decimos que $K$ es un campo (y a sus elementos los llamamos escalares) si se cumplen las siguientes propiedades:

  • $+$ es asociativa
    $\forall \alpha ,\beta ,\gamma \in K:$
    $\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma$
  • $+$ es conmutativa
    $\forall \alpha,\beta \in K:$
    $\alpha+\beta=\beta+\alpha$
  • Existe un neutro aditivo
    $\exists 0_K \in K:$
    $\forall \alpha \in K (0_K + \alpha = \alpha + 0_K = \alpha)$
  • Todo elemento $\alpha \in K$ tiene un inverso aditivo
    $\forall \alpha \in K:$
    $\exists (-\alpha) \in K (\alpha+ (-\alpha) = (-\alpha)+\alpha = 0_K)$
  • $\cdot$ distribuye a $+$
    $\forall \alpha,\beta,\gamma \in K:$
    $\alpha\cdot(\beta + \gamma)=\alpha\cdot\beta + \alpha\cdot\gamma$
  • $\cdot$ es asociativa
    $\forall \alpha,\beta,\gamma \in K:$
    $\alpha\cdot(\beta\cdot\gamma)=(\alpha\cdot\beta)\cdot\gamma$
  • $\cdot$ es conmutativa
    $\forall \alpha,\beta \in K:$
    $\alpha\cdot\beta=\beta\cdot\alpha$
  • Existe un neutro multiplicativo
    $\exists 1_K \not= 0_K \in K:$
    $\forall \alpha \in K (1_K \cdot \alpha = \alpha \cdot 1_K = \alpha)$
  • Todo elemento $\alpha \not= 0_K \in K$ tiene un inverso multiplicativo
    $\forall \alpha \not= 0_K \in K:$
    $\exists \alpha^{-1} \in K (\alpha \cdot \alpha^{-1} = \alpha^{-1} \cdot \alpha = 1_K)$

Nota: En un campo vectorial: los neutros (aditivo y multiplicativo) y los inversos (aditivos y multiplicativos) son únicos. Por ello, desde la definición se han denotado de esa manera. Como parte de la tarea moral al final de esta entrada encontrarás ideas para realizar las demostraciones de estas unicidades.

Nota: Para simplificar notación, el producto $\alpha\cdot\beta$ se suele denotar como $\alpha\beta$.

Nota: Si es necesario aclarar que las operaciones con las que se está trabajando están definidas en el campo $K$, se suelen denotar como $+_K$ y $\cdot_K$.

Ejemplos:

  • $\mathbb{R} , \mathbb{Q} , \mathbb{C}$
    con la suma y producto usual respectivamente
  • $\{y+y\sqrt{2} : x,y \in \mathbb{Q}\}$
    con la suma y el producto usual
  • $\mathbb{Z}_p = \{\overline {0},\overline {1},…,\overline {p-1}\}$
    donde $p$ es primo y $\forall \overline {x}, \overline {y} \in \mathbb{Z}_p$ las operaciones son
    $\overline {x} + \overline {y} = \overline {x+y}$
    $\overline {x} \cdot \overline{y} = \overline {x \cdot y}$
    con $x+y$ la suma usual en $\mathbb{Z}$, $x \cdot y$ el producto usual en $\mathbb{Z}$

¿Cómo funciona $\mathbb{Z}_n$ con $n \in \mathbb{N}$?

$\mathbb{Z}_n$ con $n\in\mathbb{N}^+$ es el conjunto llamado enteros módulo $n$ cuyos $n$ elementos son de la forma $\overline {k}$ $= \{a \in \mathbb{Z} | a \equiv k (mód\, n) \} = \{a \in \mathbb{Z} | a – k = mn, m \in \mathbb{Z} \}$. Es decir, la clase de $k$, con $k \in \mathbb{Z}$ es el conjunto de los números enteros $a$ tales que $a-k$ es múltiplo de $n$.

Obs *. $\overline {k} = \overline {l}$ para toda $l \equiv k$ $(mód\, n)$ pues los elementos de $\overline {k}$ son aquellos congruentes entre sí, módulo $n$.

Ejemplo concreto: $\mathbb{Z}_3$

Tenemos que $\mathbb{Z}_3 = \{ \overline {0}, \overline {1}, \overline {2} \} = \{ \{…, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, … \}, \{…, -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10, …\}, \{…, -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11, … \} \}$

Comprobemos que $\mathbb{Z}_3$ es un campo con las operaciones definidas anteriormente.

Tabla de Cauley de $\mathbb{Z}_3$:

$+$$\overline {0}$$\overline {1}$$\overline {2}$
$\overline {0}$$\overline {0+0} = \overline {0}$$\overline {0+1} = \overline {1}$$\overline {0+2} = \overline {2}$
$\overline {1}$$\overline {1+0} = \overline {1}$$\overline {1+1} = \overline {2}$ $\overline {1+2} = \overline {3} = \overline {0}$
$\overline {2}$$\overline {2+0} = \overline {2}$$\overline {2+1} = \overline {3} = \overline {0}$$\overline {2+2} = \overline {4} = \overline {1}$
$\cdot$$\overline {0}$$\overline {1}$$\overline {2}$
$\overline {0}$$\overline {0 \cdot 0} = \overline {0}$$\overline {0 \cdot 1} = \overline {0}$$\overline {0 \cdot 2} = \overline {0}$
$\overline {1}$$\overline {1 \cdot 0} = \overline {0}$$\overline {1 \cdot 1} = \overline {1}$ $\overline {1 \cdot 2} = \overline {2} = \overline {2}$
$\overline {2}$$\overline {2 \cdot 0} = \overline {0}$$\overline {2 \cdot 1} = \overline {2}$$\overline {2 \cdot 2} = \overline {4} = \overline {1}$

Así, es fácil ver que:

  • $+$ y $\cdot$ son asociativas y conmutativas.
  • El único neutro aditivo es $\overline {0}$.
  • El único neutro multiplicativo es $\overline {1}$.
  • Dado $\overline {k} \in \mathbb{Z}_3$ su único inverso aditivo es $\overline {-k}$.
  • Dado $\overline {k} \not= \overline {0} \in \mathbb{Z}_3$ su único inverso multiplicativo es $\overline {k}$

Existencia y exhibición de inversos multiplicativos en $\mathbb{Z}_p$

Ahora veamos un resultado que será muy útil para entender por qué $\mathbb{Z}_n$ con $n \in \mathbb{N}^+$ es un campo si y sólo si $n$ es un primo y para saber cómo obtener el inverso multiplicativo de un elemento dado.

Sea $K=\mathbb{Z}_n$.
Sea $\overline{k}\not= 0_K\in K$. Con el fin de simplificar la demostración, tomaremos $k\in\{0,1,…,n-1\}$ recordando que, de este modo, estamos considerando cualquier posible elemento de $\mathbb{Z}_n$.
$\overline{k}$ tiene inverso $\overline{j}\in K$ si y sólo si
\begin{align*}
&\overline{k}\cdot\overline{j}=\overline{1}\\
\Leftrightarrow &\overline{k\cdot j}=\overline{1}\tag{def. $\cdot_K$}\\
\Leftrightarrow &k\cdot j\,\equiv 1 (mód\, n)\tag{Obs *}\\
\Leftrightarrow &k\cdot j \,-\, 1 = qn, q \in \mathbb{Z}\tag{def. $a \equiv b (mód\, n)$}\\
\Leftrightarrow &k \cdot j + (-q) \cdot n = 1, (-q) \in \mathbb{Z}\\
\Leftrightarrow &(k,n)\text{ divide a } 1\tag{Prop.del máximo común divisor}\\
\therefore (k,n) = 1
\end{align*}

Para que $K = \mathbb{Z}_n$ sea un campo, necesitamos que cada $\overline {k} \not= 0_K \in K$ tenga inverso multiplicativo. Por lo tanto se debe cumplir que $(k,n) = 1$ para toda $k \in \{ 0, 1, …, n-1 \}$. Notamos que si $n$ no fuera primo, entonces $n = ab$ con $2 \le a,b \le n-1$. De modo que existe $a \in \{ 1, …, n-1 \}$ tal que $(a,n) = a \not= 1$ y entonces en este caso $K = \mathbb{Z}_n$ no es un campo. A la inversa, si $K = \mathbb{Z}_p$ con $p$ un primo, entonces para cada $a \in \{1, …, n-1 \}$ tenemos que $(a,p)=1$, y por lo anterior $\overline {a}$ tiene un inverso multiplicativo. Así, $K = \mathbb{Z}_p$ es un campo.

Además, dado $\overline {k} \not= \overline {0} \in \mathbb{Z}_p$ con $p$ primo, sabemos, por ser $\mathbb{Z}_p$ un campo, que existe su inverso multiplicativo $\overline {j} \in \mathbb{Z}_p$ y se cumple que $(k,n) = 1$. Para encontrar el inverso multiplicativo de $\overline {k}$ bastaría encontrar $l,m \in \mathbb{Z}$ tales que $k \cdot l + m \cdot n = 1$, para lo cual podemos usar el algorimo de Euclides, y así obtendremos que si tomamos $j=l$, entonces $\overline {j}$ es el elemento que queríamos.

SUBCAMPO

Definición: Sean $K$ un campo y $\tilde {K} \subseteq K$. Decimos que $\tilde {K}$ es un subcampo de $K$ si $\tilde {K}$ con las operaciones restringidas de $K$ es por sí mismo un campo.

Ejemplos:

  • $\mathbb{Q}$ es un subcampo de $\mathbb{R}$
  • $\mathbb{R}$ es un subcampo de $\mathbb{C}$

Propiedad

  • Si $K$ es un campo, entonces cualquiera de sus elementos $\alpha$ cumple que
    $\alpha \cdot 0_K = 0_K$.

Demostración: Sea $\alpha \in K$.
Sea $(-\alpha) \in K$ su inverso aditivo.
Como $0_K$ es el neutro aditivo, $0_K + 0_K = 0_K$.
De donde,
\begin{align*}
&\alpha \cdot (0_K + 0_K) = \alpha \cdot 0_K\\
\Rightarrow &\alpha \cdot 0_K + \alpha \cdot 0_K = \alpha \cdot 0_K\tag{distrib.}\\
\Rightarrow &(\alpha \cdot 0_K + \alpha \cdot 0_K) + (-(\alpha \cdot 0_K)) = \alpha \cdot 0_K + (-(\alpha \cdot 0_K))\tag{inv. ad.}\\
\Rightarrow &\alpha \cdot 0_K + (\alpha \cdot 0_K +( -(\alpha \cdot 0_K))) = \alpha \cdot 0_K + (-(\alpha \cdot 0_K))\tag{asociat.}\\
\Rightarrow &\alpha \cdot 0_K + 0_K = 0_K\tag{inv. ad.}\\
\Rightarrow &\alpha \cdot 0_K = 0_K\tag{neutro ad.}\\
\end{align*}

Nota: Es por esta afirmación que se definen los inversos multiplicativos para los elementos distintos de $0_K$.

Característica de un campo

Definición: Sea $K$ un campo. Se le llama característica de $K$, y se denota como $car(K)$ al menor número natural $n$ tal que $\underbrace{1_K + … + 1_K}_{n} = 0_K$ si acaso existe.
En caso contrario, decimos que $car(K)$ es cero.

Obs. La característica de un campo no puede ser 1 (es decir, si no es cero, entonces es mayor o igual a $2$) pues por definición $1_K \not= 0_K$. Y más que eso, resulta que si no es cero, entonces es un número primo.

Ejemplos:

  • $car(\mathbb{Z}_p) = p$
    donde $p$ es primo.

Justificación:
Sea $K = \mathbb{Z}_p = \{\overline {0},\overline {1},…,\overline {p-1}\}$ con cada uno de esos elementos distintos entre sí.
De modo que $p$ es el mínimo natural tal que $\underbrace{1_K + … + 1_K}_{p} = \underbrace{\overline{1} + … + \overline{1}}_{p}$
$= \overline {\underbrace{1 + … + 1}_{p}} = \overline{p} = \overline{0}$

  • $car(\mathbb{Q}) = car(\mathbb{R}) = car(\mathbb{C}) = 0$

Justificación:
Sea $K\in \{\mathbb{Q}, \mathbb{R},\mathbb{C} \}$.
$\underbrace{1_K + … + 1_K}_{n} = n \cdot (1_K) = n \not= 0_K$ $\forall n \in \mathbb{N}, n \not=0$

Propiedades

  • Si $K$ es un campo tal que $car(K) = 0$, entonces $K$ no tiene cardinalidad finita.

Demostración: Como $car(K) = 0$, entonces $\underbrace{1_K + … + 1_K}_{n} \not= 0_K \in K$ para cualquier $n \in \mathbb{N}$.
Así, $\{ 1_K, 1_K + 1_K, …, \underbrace{1_K + … + 1_K}_{n}, … \} \subseteq K$ y no es difícil concluir que cada uno de los elementos de este subconjunto son distintos, de modo que tiene cardinalidad no finita.

  • Si $K$ es un campo tal que $car(K) = 2$, entonces $\alpha + \alpha = 0_K$ para cualquier $\alpha \in K$.

Demostración: Por ser $1_K \in K$ el neutro aditivo de $K$ y por las propiedades de campo obtenemos que
$\alpha + \alpha = 1_K \cdot (\alpha + \alpha) = 1_K \cdot \alpha + 1_K \cdot \alpha = \alpha \cdot 1_K + \alpha \cdot 1_K = \alpha \cdot (1_K + 1_K)$
Como $car(K) = 2$, entonces $1_K + 1_K = 0_K$, por lo cual $\alpha \cdot (1_K + 1_K) = \alpha \cdot 0_K = 0_K$

  • En general, si $K$ es un campo tal que $car(K) = n \not= 0_K$, entonces $\underbrace{\alpha +…+ \alpha}_{n} = 0_K$ para cualquier $\alpha \in K$.

Demostración: Por ser $1_K \in K$ el neutro aditivo de $K$ y por las propiedades de campo obtenemos que
$\underbrace{ \alpha + … + \alpha }_{n} = 1_K \cdot (\underbrace{ \alpha + … + \alpha }_{n}) = \underbrace{ 1_K \cdot \alpha +…+ 1_K \cdot \alpha}_{n}$
$= \underbrace{ \alpha \cdot 1_K +…+ \alpha \cdot 1_K}_{n} = \alpha \cdot ( \underbrace{ 1_K +…+ 1_K}_{n})$.
Como $car(K) = n$, entonces $\underbrace{ 1_K +…+ 1_K}_{n} = 0_K$, por lo cual $\alpha \cdot ( \underbrace{ 1_K +…+ 1_K}_{n}) = \alpha \cdot 0_K = 0_K$

Tarea Moral

Sea $K$ un campo. Demuestra la unicidad de:

  1. El neutro aditivo en $K$.
    Para lograrlo, se te sugiere realizar lo siguiente:
    • Sabemos por la definición de campo, que existe $0_K$ neutro aditivo.
    • Primero sup. que existe ${0_K}’ \in K$ que también lo es. Con el objetivo de demostrar que $0_K = {0_K}’$.
    • Ahora justifica cada una de las siguientes igualdades:
      $0_K = 0_K + {0_K}’ = {0_K}’$
  1. Los inversos aditivos en $K$.
    Para lograrlo, se te sugiere realizar lo siguiente:
    • Sea $\alpha \in K$. Sabemos por la definición de campo, que existe $(-\alpha) \in K$ inverso aditivo de $\alpha$.
    • Primero sup. que existe $(-\alpha)’ \in K$ que también lo es. Con el objetivo de demostrar que $(-\alpha) = (-\alpha)’$.
    • Ahora justifica cada una de las siguientes igualdades:
      $(-\alpha) = (-\alpha) + 0_K = (-\alpha) + (\alpha + (-\alpha)’) = ((-\alpha) + (\alpha)) + (-\alpha)’$
    • Completa la demostración con las igualdades necesarias y justifícalas.
  1. El neutro multiplicativo en $K$.
    Para lograrlo, se te sugiere realizar igualdades análogas al neutro aditivo y justificar cada una.
  1. Los inversos multiplicativos en $K$.
    Para lograrlo, se te sugiere realizar igualdades análogas a los inversos aditivos y justificar cada una.

Más adelante…

Ahora el concepto de campo vamos a usarlo para obtener un nuevo concepto básico y central en este curso: espacio vectorial.

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Seminario de Resolución de Problemas: Grupos, anillos y campos

Introducción

En estas entradas hemos visto cómo distintas herramientas de álgebra nos pueden ayudar en la resolución de problemas. En las primeras dos entradas, hablamos de identidades algebraicas básicas y un par de avanzadas. Luego, hablamos de factorización en polinomios y del teorema de la identidad. Ahora platicaremos de cómo estructuras un poco más abstractas nos pueden ayudar. De manera particular, nos enfocaremos en aplicaciones de teoría de grupos a la resolución de problemas. Sin embargo, hacia el final de la entrada también hablaremos un poco acerca de anillos, dominios enteros y campos.

Teoría de grupos básica

Una de las nociones de álgebra abstracta más básicas, y a la vez más flexibles, es la de grupo. La teoría de grupos es muy rica y se estudia a profundidad en un curso de álgebra abstracta o álgebra moderna. Aquí veremos únicamente un poco de esta teoría y algunas aplicaciones a resolución de problemas. Comenzamos con la definición.

Definición. Un grupo es un conjunto no vacío $G$ con una operación binaria $\cdot$ que cumple lo siguiente:

  • Asociatividad: Para cualesquiera elementos $x,y,z$ en $G$ tenemos que $x\cdot (y\cdot z) = (x\cdot y) \cdot z$.
  • Neutro: Existe un elemento $e$ en $G$ tal que $x\cdot e = x = e\cdot x$ para todo elemento x.
  • Inversos: Para cada elemento $x$ en $G$, existe un elemento $y$ en $G$ tal que $x\cdot y = e = y\cdot x$.

Usualmente se simplifica la notación de la siguiente manera. Por un lado, en vez de poner el símbolo de producto, simplemente se ponen elementos consecutivos, por ejemplo $a\cdot b = ab$. Además, por la asociatividad, muchas veces no se ponen los paréntesis, de modo que expresiones como $(a\cdot b)\cdot c$ se escriben simplemente como $abc$, a menos que los paréntesis ayuden a entender un argumento.

Hay que tener cuidado con invertir el orden de factores. En grupos, no necesariamente sucede que la operación es conmutativa, es decir, que $ab=ba$ para todo par de elementos $a$ y $b$. Si $ab=ba$ decimos que $a$ y $b$ conmutan y si todo par de elementos de $G$ conmutan, decimos que $G$ es conmutativo. Un elemento siempre conmuta consigo mismo. Para $n$ un entero positivo definimos $a^n$ como el producto formado por $n$ veces el elemento $a$.

A partir de la definición se puede ver que el neutro es único, pues si hubiera dos neutros $e$ y $e’$ tendríamos $e=e\cdot e’=e’$, en donde primero usamos que $e’$ es neutro y después que $e$ lo es. Para $a$ en $G$, definimos $a^0$ como $e$.

En grupos se vale «cancelar». Por ejemplo, si $ab=ac$, entonces podemos multiplicar esta igualdad a la izquierda por un inverso $d$ de $a$ y obtendríamos $$b=eb=dab=dac=ec=c.$$ Del mismo modo, la igualdad $ba=ca$ implica $b=c$.

En particular, si $d$ y $d’$ son inversos de $a$, tenemos $da=e=d’a$, de donde $d=d’$. Esto muestra que los inversos también son únicos, así que al inverso de $a$ le llamamos $a^{-1}$. Observa que $e^{-1}=e$. Nota que si $a$ y $b$ son elementos de $G$, entonces $$ab(b^{-1}a^{-1})=aea^{-1}=aa^{-1}=e,$$ de modo que el inverso de un producto $ab$ es el producto $b^{-1}a^{-1}$. Para $n$ un entero positivo, definimos $a^{-n}$ como el inverso de $a^n$, que por lo anterior, es precisamente $(a^{-1})^n$. De hecho, ya definido $a^n$ para todo entero, se puede verificar que se satisfacen las leyes usuales de los exponentes.

Problema. Sean $a$ y $b$ dos elementos en un grupo $G$ con neutro $e$ tales que $aba=ba^2b$, $a^3=e$ y $b^{2021}=e$. Muestra que $b=e$.

Sugerencia pre-solución. Observa que si $a$ y $b$ conmutaran, entonces el resultado se deduce fácilmente de la primer igualdad. Así, intenta modificar el problema a demostrar que $a$ y $b$ conmutan. Para ello tienes que hacer un paso intermedio que necesita inducción.

Solución. Lo primero que veremos es que $a$ y $b^2$ conmutan. Poniendo una identidad entre ambas $b$ en el producto $ab^2$, tenemos que $$ab^2=abaa^{-1}b=ba^2ba^{-1}b.$$ De $a^3=e$, tenemos $a^{-1}=a^2$, así que siguiendo con la cadena de igualdades, \begin{align*}
ba^2ba^{-1}b&=ba^2ba^2b\\
&=ba^2aba\\
&=bba=b^2a.
\end{align*} Así, $ab^2=b^2a$.

Ahora veremos que $a$ y $b$ conmutan. Para ello, como $a$ y $b^2$ conmutan, tenemos que $a$ y $b^{2k}$ conmutan para cualquier entero $k$. Esto se puede probar por inducción. El caso $k=1$ es lo que ya probamos. Si es válido para cierta $k$, se sigue que $$ab^{2k+2}=b^{2k}ab^2=b^{2k+2}a.$$ Por hipótesis, $b^{2020}=b$, así que el resultado anterior nos dice que $a$ y $b$ conmutan.

Por esta razón, la primer hipótesis $aba=ba^2b$ se puede reescribir como $a^2b=a^2b^2$, que por cancelación izquierda da $e=b$, como queríamos mostrar.

$\square$

Subgrupos y órdenes

Dentro de un grupo pueden vivir grupos más pequeños.

Definición. Un subgrupo de un grupo $G$ es un subconjunto $H$ de $G$ que es un grupo con las operaciones de $G$ restringidas a $H$.

Para que $H$ sea subgrupo, basta con que no sea vacío y que sea cerrado bajo la operación de grupos y la operación «sacar inverso».

Por ejemplo, se puede ver que $\mathbb{Z}_{12}$, los enteros módulo $12$ con la suma, forman un grupo. De aquí, $H_1=\{0,3,6,9\}$ es un subgrupo y $H_2=\{0,4,8\}$ es otro.

Proposición. Si $a$ es un elemento de un grupo $G$, entonces o bien $$1,a, a^2, a^3,\ldots$$ son todos elementos distintos de $G$, o bien existe un entero positivo $n$ tal que $a^n=1$ y $1,a,\ldots,a^{n-1}$ son todos distintos. En este segundo caso, $\{1,a,\ldots,a^{n-1}\}$ es un subgrupo de $G$.

Sugerencia pre-demostración. Divide en casos. Luego, usa el principio de cancelación o las leyes de exponentes para grupos.

Demostración. Si todos los elementos son distintos, entonces no hay nada que hacer. De otra forma, existen $i<j$ tales que $a^j=a^i$, de donde por la ley de cancelación tenemos que $a^{j-i}=e$ y $j-i\geq 1$. Así, el conjunto de enteros positivos $m$ tales que $a^m=e$ es no vacío, de modo que por el principio de buen orden tiene un mínimo, digamos $n$.

Afirmamos que $$1,a,a^2,\ldots,a^{n-1}$$ son todos distintos. En efecto, de no ser así, como en el argumento de arriba existirían $0\leq i < j \leq {n-1}$ tales que $a^{j-i}=e$, pero $j-i\leq n-1$ sería una contradicción a la elección de $n$ como elemento mínimo.

Probemos ahora que $A=\{1,a,\ldots,a^{n-1}\}$ es subgrupo de $G$. Si tenemos $a^k$ y $a^l$ en $A$, su producto es $a^{k+l}$. Por el algoritmo de la división, $k+l=qn+r$, con $r\in \{0,\ldots,n-1\}$, de modo que $$a^ka^l=a^{qn+r}=(a^n)^qa^r=e^qa^r=a^r,$$ así que $A$ es cerrado bajo productos. Además, si $1\leq k\leq n-1$, entonces $1\leq n-k \leq n-1$ y $a^ka^{n-k}=a^n=e$. Así, $A$ es cerrado bajo inversos. Esto muestra que $A$ es subgrupo de $G$.

$\square$

En teoría de grupos, la palabra «orden» se usa de dos maneras. Por un lado si $G$ es un grupo, su orden $\text{ord}(G)$ es la cantidad de elementos que tiene. Por otro, dado un elemento $a$, el orden $\text{ord}(a)$ de $a$ es el menor entero positivo $n$ tal que $a^n=e$, si es que existe.

Definimos al subgrupo generado por $a$ como $$\langle a\rangle:=\{a^n:n\in \mathbb{Z}\}.$$ La proposición anterior dice que si $\langle a \rangle$ es finito, entonces es un subgrupo de $G$ de orden $\text{ord}(\langle a \rangle) = \text{ord}(a).$ A los grupos de la forma $\langle a \rangle$ se les llama cíclicos.

Teorema de Lagrange

Cuando estamos trabajando con grupos finitos, el orden de un subgrupo debe cumplir una condición de divisibilidad.

Teorema (de Lagrange). Sea $G$ un grupo finito y $H$ un subgrupo de $G$. Entonces $\text{ord}(H)$ divide a $\text{ord}(G)$.

No daremos la demostración de este teorema, pero veremos algunos corolarios que sirven en la resolución de problemas.

Proposición. Sea $G$ un grupo finito.

  • Si $\text{ord}(G)$ es un primo $p$, entonces $G$ es cíclico.
  • El orden de cualquier elemento $a$ de $G$ divide al orden de $G$, y por lo tanto $a^{\text{ord}(G)}=1$.
  • Si $a$ es un elemento de $G$ de orden $n$ y $a^m=e$, entonces $n$ divide a $m$.

Demostración. Para la primer parte, si tomamos un elemento $a$ de $G$ que no sea $e$, ya vimos que $\langle a \rangle$ es un subgrupo cíclico de $G$. Por el teorema de Lagrange, su orden debe dividir al primo $p$. Pero el orden de $\langle a \rangle$ es al menos $2$, así que el orden de $\langle a \rangle$ debe ser $p$ y por lo tanto $\langle a \rangle=G$.

Como vimos arriba, el orden de $a$ es el orden de $\langle a \rangle$, que divide a $G$. Así,
\begin{align*}
a^{\text{ord}(G)}&=(a^{\text{ord}{a}})^{\text{ord}(G)/ \text{ord}(a)}\\
&=e^{\text{ord}(G)/ \text{ord}(a)}\\
&=e.
\end{align*} Con esto queda probado el segundo punto.

Para el último punto, usamos el algoritmo de la división para escribir $m=qn+r,$ con $r$ entre $0$ y $n-1$. Tenemos que $$e=a^m=a^{qn+r}=a^r.$$ Por lo visto en la sección anterior, necesariamente $r=0$, así que $n$ divide a $m$.

$\square$

Veamos cómo se pueden aplicar algunas de las ideas anteriores a un problema de teoría de grupos concreto.

Problema. En un grupo $G$, tenemos elementos $a$ y $b$ tales que $a^7=1$ y $aba^{-1}=b^2$. Determina qué posibles valores puede tener el orden de $b$.

Sugerencia pre-solución. Conjetura una fórmula para $b^{2n}$ buscando un patrón. Establécela por inducción.

Solución. El orden de $a$ debe dividir a $7$, así que es o $1$ o $7$. Si es $1$, entonces $a=e$, por lo que por la hipótesis tenemos $b=b^2$. De aquí $b=e$, así que el orden de $b$ es $1$. La otra opción es que el orden de $a$ sea $7$.

Afirmamos que para todo entero $n$ se tiene que $a^nba^{-n}=b^{2^n}$. Esto se prueba inductivamente. Es cierto para $n=1$ por hipótesis. Si se cumple para cierta $n$ y elevamos la igualdad al cuadrado, tenemos que
\begin{align*}
b^{2^{n+1}}&=(b^{2n})^2\\
&=a^nba^{-n}a^nba^{-n}\\
&=a^nb^2a^{-n}\\
&=a^{n+1}ba^{-(n+1)},
\end{align*}

lo cual termina la inducción.

En particular, para $n=7$ tenemos que $a^7=a^{-7}=e$, por lo que $b=b^{2^7}$, y por lo tanto $b^{127}=e$. Como $127$ es primo, el orden de $b$ puede ser $1$ ó $127$.

$\square$

En realidad, en el problema anterior falta mostrar que en efecto existe un grupo que satisfaga las hipótesis, y para el cual el orden de $b$ sea exactamente $127$. Esto no lo verificaremos aquí.

Teoría de grupos en teoría de números

Lo que hemos platicado de teoría de grupos se vale para grupos en general. Cuando aplicamos estos resultados a grupos particulares, tenemos nuevas técnicas para resolver problemas. Uno de los casos que aparecen más frecuentemente es aplicar teoría de grupos en problemas de teoría de números.

Si tomamos un entero $n$, los enteros entre $1$ y $n-1$ que son primos relativos con $n$ forman un grupo con la operación de producto módulo $n$. Si llamamos $\varphi(n)$ a la cantidad de primos relativos con $n$ entre $1$ y $n-1$, el teorema de Lagrange da el siguiente corolario.

Teorema (de Euler). Para todo entero positivo $n$ y $a$ un entero primo relativo con $n$, se tiene que $$a^\varphi(n)\equiv 1\pmod n.$$

Como corolario al teorema de Euler, tenemos el pequeño teorema de Fermat, que hemos discutido previamente aquí en el blog.

Teorema (pequeño teorema de Fermat). Para $p$ un primo y $a$ un entero que no sea múltiplo de $p$, se tiene que $$a^{p-1}\equiv 1 \pmod p.$$

Así, cuando $p$ es primo y $a$ no es múltiplo de $p$, se tiene que el orden de $a$ divide a $p-1$. Veamos un ejemplo en donde esta idea forma parte fundamental de la solución.

Problema. Muestra que para ningún entero $n>1$ se tiene que $n$ divide a $2^n-1$.

Sugerencia pre-solución. Procede por contradicción, suponiendo que sí existe. Considera un primo $p$ que divida a $n$ y que además sea extremo en algún sentido. Trabaja módulo $p$.

Solución. Supongamos que existe un entero $n>1$ tal que $n$ divide a $2^n-1$. Sea $p$ el primo más pequeño que divide a $n$. Tomemos $a$ el orden de $2$ en el grupo multiplicativo $\mathbb{Z}_p$.

Por un lado, como $p$ divide a $n$ y $n$ divide a $2^n-1$, se tiene que $p$ divide a $2^n-1$ y por lo tanto $$2^n\equiv 1 \pmod p.$$ De esta forma, $a$ divide a $n$.

Por otro lado, por el pequeño teorema de Fermat, tenemos que $$2^{p-1}\equiv 1 \pmod p,$$ así que $a$ divide a $p-1$ y por lo tanto $a\leq p-1$.

Si $a\neq 1$, entonces $a$ tiene un divisor primo que divide a $n$ y es menor que $a\leq p-1$, lo cual es imposible pues elegimos a $p$ como el menor divisor primo de $n$. De esta forma, $a=1$. Pero esto da la contradicción $2\equiv 1 \pmod p$.

$\square$

Anillos, dominios enteros y campos

Cuando se están resolviendo problemas, es importante tener en mente que existen otras estructuras algebraicas. Definiremos sólo las más comunes y veremos un problema ejemplo.

Definición. Un anillo es un conjunto $R$ con dos operaciones binarias suma y producto tales que:

  • $R$ con la suma es un grupo conmutativo.
  • El producto en $R$ es asociativo, es decir $(ab)c=a(bc)$ para $a,b,c$ en $R$.
  • Se cumple la ley distributiva, es decir $a(b+c)=ab+ac$ y $(b+c)a=ba+ca$ para $a,b,c$ en $R$.

El producto en $R$ no tiene por qué ser un grupo. De hecho, ni siquiera tiene que tener neutro.

Definición. Si un anillo $R$ tiene neutro, decimos que $R$ es un anillo con $1$. Si la multiplicación de $R$ es conmutativa, decimos que $R$ es conmutativo.

Definición. Un dominio entero es un anillo conmutativo con uno en donde además se vale cancelar, es decir, $ab=ac$ implica $b=c$ y $ba=ca$ implica $b=c$.

Definición. Un campo es un anillo conmutativo con uno en donde cada elemento distinto de la identidad aditiva tiene inverso multiplicativo. En otras palabras, es un anillo en donde la suma y el producto son grupos.

Problema. Muestra que todo dominio entero finito es un campo.

Sugerencia pre-solución. Usa el principio de las casillas.

Solución. Supongamos que $R=\{a_1,\ldots,a_n\}$ es un dominio entero con una cantidad finita de elementos. Lo único que falta para que sea campo es que los elementos tengan inversos multiplicativos.

Sea $a$ un elemento de $R$ y supongamos que $a$ no tiene inverso multiplicativo. Entonces, los números $$a_1a, a_2a,\ldots,a_n a$$ sólo pueden tomar a lo más $n-1$ valores diferentes, de modo que por principio de las casillas existen dos de ellos que son iguales, digamos $a_ia=a_ja$ para $i\neq j$.

Como $R$ es dominio entero, se vale cancelar, lo cual muestra $a_i=a_j$. Esto es una contradicción, pues $a_i$ y $a_j$ eran elementos distintos de $R$. Así, todo elemento tiene inverso multiplicativo.

$\square$

En cursos de matemáticas a nivel superior se ven muchos ejemplos de estas estructuras algebraicas. En cursos de Álgebra Superior se construye el dominio entero de enteros $\mathbb{Z}$. Se construyen los campos $\mathbb{R}$, $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{C}$. También, se construyen los anillos de polinomios $\mathbb{F}[x]$. La noción de campo es fundamental cuando se construye la teoría de Álgebra Lineal. Como se puede ver, la teoría de álgebra es muy amplia, así que esta entrada sólo queda como invitación al tema.

Más problemas

Puedes encontrar más problemas de estructuras algebraicas en la Sección 4.4 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.