Cálculo Diferencial e Integral I: Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Función inversa.

Introducción

Anteriormente vimos las operaciones que podemos llevar a cabo entre las funciones. Ahora revisaremos las características que debe cumplir una función para poder decir si es: inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. De igual manera definiremos el concepto de función inversa.

Definición de función inyectiva

Definición (1): Sea $f: A \rightarrow B$ una función. Decimos que $f$ es inyectiva si para cualesquiera dos elementos distintos en $A$, la función le asocia elementos distintos en $B$, es decir,
$$x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2})$$
para cualesquiera $x_{1}, x_{2} \in A$.

Definición (2): Sea $f: A \rightarrow B$ una función. Decimos que $f$ es inyectiva si para cualesquiera dos elementos iguales en $B$, provienen de dos elementos iguales en $A$ bajo la función, es decir,
$$f(x_{1}) = f (x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2}$$
para cualesquiera $x_{1}, x_{2} \in A$.

Ejemplo

Sea $f: (-\infty,-1] \rightarrow \r$ definida como:
$$f(x)=11- \sqrt{x^{2}-4x-5}$$

Tomemos $x_{1}, x_{2} \in (-\infty,-1]$ tales que $f(x_{1}) = f(x_{2})$. Así queremos probar que $x_{1}=x_{2}$.
Cómo $f(x_{1}) = f(x_{2})$ tenemos que:
\begin{align*}
11- \sqrt{x_{1}^{2}-4x_{1}-5} &=11- \sqrt{x_{2}^{2}-4x_{2}-5}\\
– \sqrt{x_{1}^{2}-4x_{1}-5} &=- \sqrt{x_{2}^{2}-4x_{2}-5} \quad \text{sumando $11$}\\
\sqrt{x_{1}^{2}-4x_{1}-5} &=\sqrt{x_{2}^{2}-4x_{2}-5} \quad \text{multiplcando por $-1$}\\
\sqrt{(x_{1}-2)^{2}-9} &=\sqrt{(x_{2}-2)^{2}-9} \quad \text{factorizando}\\
\sqrt{(x_{1}-2)^{2}} &=\sqrt{(x_{2}-2)^{2}}\\
|x_{1}-2| &=|x_{2}-2|\quad \text{quitando la raíz cuadrada}\\
x_{1}-2 &= x_{2}-2\\
x_{1}&= x_{2}\quad \text{sumando 2}
\end{align*}

De lo anterior vemos que $f$ es inyectiva.

Definición de función sobreyectiva

Definición (1): Sea $f: A \rightarrow B$ una función. Decimos que $f$ es sobreyectiva si todo elemento en $B$ proviene de algún elemento en $A$ bajo la función, es decir, para todo $y \in B$ existe $x \in A$ tal que:
$$f(x)=y$$

Definición (2): Sea $f: A \rightarrow B$ una función. Decimos que $f$ es sobreyectiva si
$$Im_{f}=Codom_{f}$$

Ejemplo

Un ejemplo sería la función tangente, más adelante veremos su definición con mayor detenimiento:
$$f(x)=tan(x)$$

Definición de función biyectiva

Definición: Sea $f: A \rightarrow B$ una función. Decimos que $f$ es biyectiva si cumple con ser inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo

Sea $f: \r \rightarrow \r$ definida cómo:
$$Id(x)=x$$

Veremos que esta función es inyectiva:
Tomemos $x_{1}, x_{2} \in \r$ distintos, queremos ver que $f(x_{1}) \neq f(x_{2})$. Como tenemos que:
$$f(x_{1})= x_{1}$$
$$f(x_{2})= x_{2}$$
Y cómo sabemos $x_{1} \neq x_{2}$ se sigue así:
$$f(x_{1})\neq f(x_{2})$$
Por lo que $Id(x)$ es inyectiva.

Ahora vemos que también cumple ser sobreyectiva:
Consideremos $y \in \r$. Por definición de la función identidad tenemos que:
$$y=Id(y)$$
Así vemos que cumple ser sobreyectiva.

De lo anterior podemos concluimos que $Id(x)$ es una función biyectiva.

Proposición

Proposición: Si tomamos las funciones $g: A \rightarrow B$ y $f: B \rightarrow C$ se cumple que:

  1. $f$ inyectiva y $g$ inyectiva $\Rightarrow \quad f \circ g$ es inyectiva.
  2. $f$ sobreyectiva y $g$ sobreyectiva $\Rightarrow \quad f \circ g$ es sobreyectiva.
  3. $f$ biyectiva y $g$ biyectiva $\Rightarrow \quad f \circ g$ es biyectiva.

Demostración:

  1. Tomemos $x_{1}, x_{2} \in A$ tales que $f \circ g (x_{1})= f \circ g (x_{2})$. Queremos probar que:
    $x_{1}=x_{2}$.
    Observemos que por hipótesis tenemos que:
    $$f(g(x_{1}))= f(g(x_{2}))$$
    donde $g(x_{1}), g(x_{2}) \in B$.
    Como $f$ es una función inyectiva entonces se cumple:
    $$g(x_{1})=g(x_{2})$$
    Y al ser $g$ inyectiva obtenemos:
    $$x_{1}=x_{2}$$
  2. Como $f \circ g : A \rightarrow C$ por lo que tomemos $c \in C$. Queremos ver que existe $a \in A$ tal que $f(a)=c$.
    Ya sabemos que $f: B \rightarrow C$ es sobreyectiva entonces existe $b \in B$ tal que:
    $$f(b)=c$$
    Recordemos que $g: A \rightarrow B$ al ser sobreyectiva ocurre que existe $a \in A$ tal que:
    $$g(a)=b$$
    De lo anterior al sustituir en la composición de funciones se sigue:
    \begin{align*}
    f \circ g(a)&=f(g(a))\\
    &=f(b)\\
    &=c
    \end{align*}
  3. Se queda cómo ejercicio de tarea moral.

$\square$

Función inversa

Definición (función invertible): Sea $f: A \rightarrow B$ una función. Decimos que $f$ es invertible si y sólo si existe una función $g: B \rightarrow A$ tal que cumple las siguientes condiciones:

  • $g \circ f = Id_{A}$
  • $f \circ g = Id_{B}$

A continuación veremos una equivalencia que nos será de utilidad para poder decir si una función es invertible:

Teorema: Consideremos a $f: A \rightarrow B$ una función. Decimos que:
$f$ es Invertible $\Leftrightarrow f$ es biyectiva.
Demostración:
$\Rightarrow ):$ Tomemos $f$ invertible, así por definición existe una función $g: B \rightarrow A$ tal que cumple:

  • $g \circ f = Id_{A}$
  • $f \circ g = Id_{B}$

Debemos probar que $f$ es biyectiva, por lo que debemos verificar que sea inyectiva y sobreyectiva:

Inyectiva: Sean $x_{1} , x_{2} \in A$ tales que $f(x_{1})= f (x_{2})$ por lo que $g(f(x_{1}))=g( f (x_{2}))$ al ser $g$ función. Reescribiendo lo anterior tenemos lo siguiente:
\begin{align*}
g(f(x_{1}))=g( f (x_{2})) &\Rightarrow (g \circ f)(x_{1})=(g \circ f)(x_{2})\\
&\Rightarrow Id_{A}(x_{1})=Id_{A}(x_{2}) \tag{por definición de $g$}\\
&\Rightarrow x_{1}= x_{2}
\end{align*}

$\therefore f$ es inyectiva
Sobreyectiva: Sea $y \in B$. Debido a que $Id_{B}$ es sobreyectiva tenemos que $Id_{B}(y)=y$. De lo anterior tenemos:
\begin{align*}
Id_{B}(y)=y &\Rightarrow f \circ g (y)= y\\
&\Rightarrow f(g(y))=y\\
&\Rightarrow g(y) \in A
\end{align*}
$\therefore f$ es sobreyectiva
De todo lo anterior concluimos que $f$ es biyectiva.

$\Leftarrow ):$ Sea $f: A \rightarrow B$ una función biyectiva. De este modo para todo $y \in B$ existe $x \in A$ tal que:
$$f(x)=y$$
ya que $f$ es sobreyectiva. De igual manera cumple ser inyectiva por lo que esa $x$ es única.

Consideremos la función $g: B \rightarrow A$ tal que:
$$g(y)=x \Leftrightarrow f(x)=y$$
Por lo que al realizar la siguiente composición de funciones tenemos:
$$ (g \circ f)(x)=g(f(x)) =g(y)=x = Id_{A}(x)$$
$$(f \circ g)(y)= f(g(y))= f(x)=y = Id_{B}(y)$$
Vemos que esto cumple la definición de ser invertible.
$\therefore f$ es una función invertible

$\square$

Definición (función inversa): Si $f: A \rightarrow B$ es invertible donde $g: B \rightarrow A$ que cumple lo anterior. Decimos que $f^{-1}=g$ es la inversa de $f$.

Corolario: Si $f: A \rightarrow B$ es una función invertible entonces $f^{-1}$ también es biyectiva.

Demostración:
Como $f$ es invertible por definición cumple:

  • $f^{-1} \circ f =Id_{A}$
  • $f \circ f^{-1}=Id_{B}$

Que nos dice que cumple ser inyectiva y sobreyectiva.

$\square$

Del resultado anterior observamos que $f^{-1}$ es función inversa al componer por la derecha y por la izquierda.

Teorema: Si $f: A \rightarrow B$ entonces es equivalente lo siguiente:

  • $f$ es una función inyectiva
  • $f$ tiene inversa izquierda

es decir, existe $g: B \rightarrow A$ tal que $g \circ f=Id_{A}$.

Teorema: Si $f: A \subseteq \r \rightarrow \r$ entonces es equivalente lo siguiente:

  • $f$ es una función suprayectiva
  • $f$ tiene inversa derecha

es decir, existe $h: B \rightarrow A$ tal que $g \circ f=Id_{B}$.

Tarea moral

  • Demuestra que $f: [0, \infty) \rightarrow [0, \infty)$ definida como:
    $$f(x)= x^{2}$$
    es inyectiva.
  • Argumenta porque la función $f: \r \rightarrow \r$ definida como:
    $$f(x)= x^{2}$$
    no es inyectiva.
  • Demuestra que $f: \r \rightarrow \r$ definida como:
    $$f(x)= -2x+1$$
    es inyectiva.
  • Prueba que si $f$ y $g$ son funciones biyectivas entonces $f \circ g$ es biyectiva.
  • Demuestra la siguiente igualdad:
    $$(f \circ g)^{-1}= f^{-1} \circ g^{-1}$$

Más adelante

En la siguiente entrada veremos otras características que las funciones pueden cumplir para clasificarse como pares o impares. Veremos su definición formal, algunos ejemplos y resultados.

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