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Álgebra Superior II: Inmersión de $\mathbb{N}$ en $\mathbb{Z}$

Introducción

Desde la educación básica pensamos al conjunto de los números enteros como aquél que está conformado por los naturales, sus negativos y el cero: $$\mathbb{Z} = \{ \ldots -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots \} .$$ Sin embargo, para poder fundamentar nuestra construcción, hasta ahora tenemos que el conjunto $\mathbb{Z}$ consiste por definición de ciertas clases de equivalencia de una relación en $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$. ¡Observa que ni siquiera $\mathbb{N}$ es un subconjunto de $\mathbb{Z}$ a partir de esta definición! ¿Cómo le hacemos para que estos dos puntos de vista coincidan?

En esta entrada veremos dos cosas muy importantes que nos permitirán unificar ambas ideas. Lo primero que haremos es ver que, en efecto, podemos pensar que $\mathbb{N}$ «es un subconjunto» de $\mathbb{Z}$. Esto lo ponemos entre comillas pues en realidad lo que demostraremos es que hay una copia de $\mathbb{N}$ dentro de $\mathbb{Z}$, con toda la estructura que tenía $\mathbb{N}$ originalmente: sus operaciones, sus identidades, su orden.

Después de esto, nos enfocaremos en ver que $\mathbb{Z}$ consiste exactamente de esta copia y de sus inversos aditivos. Así, habremos formalizado que $\mathbb{Z}$ consiste exactamente de los naturales, sus inversos aditivos y ningún otro elemento.

Inmersión de los naturales en los enteros

En la entrada anterior hablamos acerca del orden en $\mathbb{Z}$. Para ello hablamos del conjunto de enteros positivos $P$. También definimos las relaciones $<$ y $\leq$. En un sentido bastante formal, los enteros mayores o iguales a cero son exactamente los números naturales. La manera en la que enunciamos este resultado es la siguiente.

Teorema. Existe una función biyectiva $\gamma:\mathbb{N}\to P\cup \{\overline{(0,0)}\}$ que preserva las operaciones de suma, producto, el inverso aditivo, el inverso multiplicativo y el orden. Esta función está dada por $\gamma(n)=\overline{(n,0)}$.

Una vez que demostremos esto, la imagen $\gamma(\mathbb{N})$ será exactamente la «copia» de los naturales que vive en los enteros y que precisamente tiene todas las propiedades algebraicas de los naturales que nos interesaban.

Para hacer la demostración de este teorema, probaremos el resultado poco a poco, a través de varios lemas.

Lema 1. La función $\gamma$ está bien definida y es biyectiva.

Demostración. La función $\gamma$ está bien definida pues las clases del estilo $\overline{(n,0)}$ siempre están en $P\cup \{\overline{(0,0)}\}$: si $n=0$, entonces obtenemos la clase $\overline{(0,0)}$ y si $n\neq 0$, entonces $n>0$, lo cual justifica que $\overline{(n,0)}$ es un entero positivo, es decir, en $P$.

Veamos que la función $\gamma$ es biyectiva. Para ver que es inyectiva tomamos dos naturales $m$ y $n$ tales que $\gamma(m)=\gamma(n)$, es decir, tales que $\overline{(m,0)}=\overline{(n,0)}$. Esto quiere decir que $m+0=n+0$, pero entonces $m=n$. Para ver que es suprayectiva, ya sabemos que tomemos una clase $\overline{(a,b)}$ en $P\cup \{\overline{(0,0)}\}$. Por lo visto en la entrada anterior, esto nos dice que $a\geq b$, pero entonces existe un natural $k$ tal que $a=b+k$, de modo que $a+0=b+k$ y por lo tanto $\overline{(a,b)}=\overline{(k,0)}$. Con esto concluimos que $$\gamma(k)=\overline{(k,0)}=\overline{(a,b)}.$$

$\square$

Observa que, sin embargo, no sucede que $\gamma(\mathbb{N})$ sea todo $\mathbb{Z}$. Es decir, hay enteros diferentes de las clases $\overline{(n,0)}$, por ejemplo, el $\overline{(0,1)}$. Se puede verificar que la imagen de $\gamma$ cubre a los enteros no negativos y sólo a esos.

Regresando al enunciado del teorema, lo que veremos ahora es que $\gamma$ respeta las operaciones de suma y producto, así como sus respectivas identidades.

Lema 2. Para cualesquiera naturales $m$ y $n$ se cumple que $$\gamma(m)+\gamma(n)=\gamma(m+n)$$ y que $$\gamma(m)\gamma(n)=\gamma(mn).$$ Además, $\gamma(0)$ es la identidad aditiva en $\mathbb{Z}$ y $\gamma(1)$ es la identidad multiplicativa en $\mathbb{Z}$.

Demostración. Basta usar la definición de $\gamma$ y de la suma en $\mathbb{Z}$:
\begin{align*}
\gamma (m)+\gamma(n)&=\overline{(m,0)}+\overline{(n,0)}\\
&= \overline{(m+n,0)}\\
&=\gamma{m+n}.
\end{align*}

De modo similar, para el producto usamos la definición de $\gamma$ y la del producto en $\mathbb{Z}$:

\begin{align*}
\gamma (m)\gamma(n)&=\overline{(m,0)}\overline{(n,0)}\\
&= \overline{(mn+0\cdot 0,m\cdot 0 + 0 \cdot n)}\\
&= \overline{(mn,0)}\\
&=\gamma{mn}.
\end{align*}

La parte de las identidades es sencilla de hacer y queda como tarea moral.

$\square$

Ya vimos que $\gamma$ respeta las operaciones. Ahora veamos que también respeta el orden.

Lema 3. Para cualesquiera naturales $m$ y $n$, sucede que $m < n$ si y sólo si $\gamma(m) < \gamma(n)$.

Demostración. Por definición de $\gamma$, tenemos que $\gamma(m)<\gamma(n)$ si y sólo si $\overline{(m,0)}<\overline{(n,0)}$. En la entrada anterior vimos que esto sucede si y sólo si en $\mathbb{N}$ tenemos que $m+0<n+0$. Pero esto es justo $m<n$.

$\square $

Los lemas 1, 2 y 3 conforman la demostración del teorema de esta sección.

Caracterización de los enteros

En vista del teorema de la sección anterior, dentro de $\mathbb{Z}$ hay metida una copia de $\mathbb{N}$. ¿Cuáles son los otros elementos de $\mathbb{Z}$? ¿Hay muchos más enteros que eso? La respuesta es que no. Para acabar de tener a todos los elementos de $\mathbb{Z}$ basta con tomar esta copia de los enteros y considerar a sus inversos aditivos.

Proposición. Para cualquier entero $\overline{(a,b)}$, tenemos que sucede una y exactamente una de las afirmaciones siguientes:

  • $\overline{(a,b)}=\overline{(0,0)}$.
  • $\overline{(a,b)}=\overline{(n,0)}$ para algún natural $n\neq 0$.
  • $\overline{(a,b)}=\overline{(0,n)}$ para algún natural $n\neq 0$.

Demostración. Por el principio de tricotomía en $\mathbb{N}$, sabemos que se cumple una y exactamente una de las afirmaciones siguientes:

  • $a=b$
  • $a>b$
  • $a<b$

Si pasa la primera, entonces $\overline{(a,b)}=\overline{(0,0)}$. Si pasa la segunda, es porque existe un natural $n\neq 0$ tal que $a=b+n$, pero entonces $a+0=b+n$ y así $\overline{(a,b)}=\overline{(n,0)}$. Si pasa la tercera, es porque existe un natural $n,0$ tal que $a+n=b=b+0$, y entonces $\overline{(a,b)}=\overline{(0,n)}$.

De esta manera, se ve que siempre se cumple al menos una de las afirmaciones del enunciado. Ver que se cumple a lo más una es sencillo y queda como tarea moral.

$\square$

Siguiendo la demostración anterior con cuidado, nos damos cuenta que los casos corresponden precisamente al entero cero, a los positivos y a los negativos. La proposición anterior es una manera de ilustrar, en particular, que hay que hay el mismo número de números naturales positivos como números enteros negativos: a cada uno de ellos le podemos asociar (de manera biyectiva), un natural. Otra forma de dar esta biyección es mandar el entero positivo $\overline{(n,0)}$ al entero negativo $\overline{(0,n)}$, que es precisamente su inverso aditivo.

Re-etiquetando a los enteros

Estamos listos para abandonar la notación de parejas y clases de equivalencia. En vista de los resultados anteriores, cualquier entero positivo $\overline{(a,b)}$ es el mismo que un entero de la forma $\overline{(n,0)}$. Y los enteros de esta forma justo conforman una copia de $\mathbb{N}$ con toda la estructura algebraica que nos interesa. Así, ya nunca más tenemos que llamar a $\overline{(a,b)}$ con este nombre: basta simplemente llamarlo $n$.

Si tenemos un entero de la forma $\overline{(a,b)}$ con $a=b$, entonces simplemente lo llamaremos $0$. Y finalmente, si el entero $\overline{(a,b)}$ es negativo, podemos escribirlo de la forma $\overline{(0,n)}$ y en vista de lo anterior simplemente lo llamaremos $-n$. Todo esto funciona bien, porque también sabemos que justo $\overline{(n,0)}$ y $\overline{(0,n)}$ son inversos aditivos entre sí.

Pero, ¿cómo sabremos si al usar el símbolo $1$ nos estamos refiriendo al natural $\{\emptyset\}$ o al entero $\overline{(\{\emptyset\},\emptyset)}$? En realidad ya no es relevante, pues tenemos la total garantía de que los enteros no negativos se comportan exactamente como $\mathbb{N}$.

De esta manera, $$\mathbb{Z} = \{ \ldots -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots \}$$ y además tenemos la total garantía de que los enteros no negativos se comportan exactamente como los naturales.

Tarea moral

  1. Muestra que en efecto no existe ningún natural $m$ tal que $\gamma(m)=\overline{(0,1)}$.
  2. Verifica que $\gamma(0)$ es la identidad aditiva de $\mathbb{Z}$ y $\gamma(1)$ es su identidad multiplicativa.
  3. Explica por qué para un entero $\overline{(a,b)}$ no puede suceder más de una de las siguientes afirmaciones:
    • $\overline{(a,b)}=\overline{(0,0)}$.
    • $\overline{(a,b)}=\overline{(n,0)}$ para algún natural $n\neq 0$.
    • $\overline{(a,b)}=\overline{(0,n)}$ para algún natural $n\neq 0$.
  4. La función $\gamma$ no es una biyección entre $\mathbb{N}$ y $\mathbb{Z}$. Pero sí existen biyecciones entre estos dos conjuntos. Construye una y demuestra que en efecto es una biyección.
  5. Da una biyección que muestre que el conjunto de los enteros no negativos pares, $\{0, 2, 4, 6, \ldots\}$ y el conjunto de los enteros no negativos positivos, $\{ 0, 1, 2, 3, \ldots \}$ tienen la misma cardinalidad. ¿Será posible construir la biyección de modo que se preserve la operación de suma? ¿Será posible construirla de modo que se preserve la operación de producto?

Más adelante

Después de liberar la gran carga que teníamos de usar la notación de parejas y de relaciones de equivalencia, ahora ya podemos usar a los enteros tal y como los conocíamos desde educación básica: como el cero, los enteros que no son cero, y sus negativos. Además, gracias a todo lo que demostramos, ya podemos utilizar las propiedades de la suma, el producto y el orden con la confianza de que están bien fundamentadas.

Lo que sigue es estudiar con más profundidad al conjunto $\mathbb{Z}$. Aunque no haya propiamente «divisiones exactas» en este conjunto, sí podemos preguntarnos qué sucede cuando dividimos un entero por otro, y cuánto queda. Esto lleva a las nociones de divisibilidad y residuos, que a su vez llevan a áreas muy interesantes de las matemáticas como el álgebra moderna y la teoría de números.

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Álgebra Superior II: El orden en los enteros

Introducción

En las entradas anteriores introdujimos al conjunto de los números enteros, así como sus operaciones de suma y producto. Lo que haremos ahora es ver cómo ordenar a los elementos en $\mathbb{Z}$. Lo haremos de una forma similar a la que hicimos lo de las operaciones: usando las nociones que ya teníamos definidas en $\mathbb{N}$.

Como recordatorio, en $\mathbb{N}$ dijimos que $a<b$ cuando $a\subseteq b$. De esta noción de «menor que» dimos la noción de «menor o igual que», diciendo que $a\leq b$ cuando ya sea que $a<b$ o bien $a=b$. Vimos que esta relación $\leq$ define un orden parcial en $\mathbb{N}$ que además es tricotómico. Quizás los resultados más importantes para trabajar con esta noción de desigualdad fue ponerla en términos de suma de elementos en $\mathbb{N}$:

  • En $\mathbb{N}$ se cumple que $a<b$ si y sólo si existe un natural $k>0$ tal que $a+k=b$.
  • En $\mathbb{N}$ se cumple que $a\leq b$ si y sólo si existe un natural $k$ tal que $a+k=b$.

Con esto en mente, veamos ahora cómo construir un orden en $\mathbb{Z}$. Antes de hacer eso, conviene primero pensar en números positivos, negativos y el cero.

Los positivos, los negativos y el cero en $\mathbb{Z}$

Ya sabemos que la identidad aditiva en $\mathbb{Z}$ es la clase $\overline{(0,0)}$, que también se puede pensar como la clase $\overline{(a,a)}$ para cualquier $a$ en $\mathbb{N}$. Si tenemos cualquier otra clase $\overline{(a,b)}$, por tricotomía del orden en $\mathbb{N}$ nos quedan sólo otras dos opciones: o bien $a<b$, o bien $b<a$. Esto nos ayudará a definir la noción de positividad y negatividad.

Definición. Sea $\overline{(a,b)}$ un entero. Diremos que ${(a,b)}$ es:

  • Cero si $a=b$,
  • Positivo si $a>b$ y
  • Negativo si $a<b$.

Una vez más, por la tricotomía del orden en $\mathbb{N}$, siempre sucede exactamente una de las posibilidades anteriores. Es importante ver que esta definición está bien hecha, es decir, que no depende de la clase de equivalencia que se eligió. Por ejemplo, si $\overline{(a,b)}$ es positivo, sucede que $a>b$. Si tomamos $(c,d)$ tal que $(a,b)\sim (c,d)$, nos gustaría ver que también sucede $c>d$. Esto se debe a que $a+d=b+c$. Si tuviéramos $c\leq d$, entonces nos pasaría que $a+d>b+c$ y tendríamos una contradicción. Así, por tricotomía debe pasar $c>d$. El caso de la negatividad se verifica de manera análoga.

Recuerda que el inverso aditivo de un entero $\overline{(a,b)}$ es el entero $-\overline{(a,b)}=\overline{(b,a)}$. Así, si $\overline{(a,b)}$ es positivo, entonces su inverso aditivo es negativo y viceversa.

Definición. Usaremos la letra $P$ para referirnos al conjunto de todos los enteros positivos. Usaremos $-P$ para referirnos al conjunto de todos los enteros negativos.

¿Cómo se comportan estas definiciones con las operaciones que ya tenemos en $\mathbb{Z}$? Ahora tenemos todo lo necesario para poder formalizar oraciones como «negativo por negativo es positivo», o «positivo más positivo es positivo.

Proposición. En $\mathbb{Z}$ se cumple todo lo siguiente:

  • Si $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ están en $P$, entonces su suma está en $P$ y su producto también.
  • Si $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ están en $-P$, entonces su suma está en $-P$ y su producto está en $P$.

Demostración. Todas estas afirmaciones se traducen a proposiciones que debemos demostrar en $\mathbb{N}$. En el caso de la primera, debemos ver que si $a>b$ y $c>d$, entonces $a+c>b+d$ y que $ac+bd>ad+bc$. Lo primero es sencillo, pues sale de la compatibilidad de $>$ con la suma de $\mathbb{N}$. Demostremos entonces que $ac+bd>ad+bc$.

Como $a>b$, existe un natural $k>0$ tal que $a=b+k$. Como $c>d$, existe un natural $l>0$ tal que $c=d+l$. Haciendo estas substituciones de $a$ y $c$ en $ac+bd>ad+bc$, obtenemos la siguiente cadena de desigualdades que son equivalentes a lo que debemos demostrar:

\begin{align*}
ac+bd&>ad+bc\\
(b+k)(d+l)+bd&>(b+k)d+b(d+l)\\
bd+bl+kd+kl+bd&>bd+kd+bd+bl.
\end{align*}

La última de estas desigualdades se cumple pues a la izquierda tenemos todos los sumandos que del lado derecho, y además el sumando $kl$ que como $k>0$ y $l>0$, entonces cumple $kl>0$.

Las demostraciones para cuando los elementos son negativos quedan como tarea moral.

$\square$

Al conjunto de enteros positivos también se le conoce en ocasiones como $\mathbb{Z}^+$, y al de enteros positivos también se le conoce como $\mathbb{Z}^-$.

El orden en $\mathbb{Z}$

Estamos listos para definir el orden en $\mathbb{Z}$. Aprovecharemos que ya podemos restar para poner la definición de orden en términos de esta operación.

Definición. Para $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ elementos en $\mathbb{Z}$ diremos que $\overline{(c,d)}<\overline{(a,b)}$ si $\overline{(a,b)}-\overline{(c,d)}$ es un entero positivo.

En realidad la expresión $\overline{(a,b)}-\overline{(c,d)}$ es simplemente $\overline{(a+c,b+d)}$, así que otra forma de escribir la condición de la definición es simplemente pedir que $a+c>b+d$. Como siempre sucede que o bien $a+c>b+d$, o que $a+c<b+d$, o que $a+c=b+d$ (y sólo una de ellas), entonces de manera inmediata obtenemos la tricotomía en $\mathbb{Z}$.

Proposición. Para $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ elementos en $\mathbb{Z}$ siempre sucede exactamente alguna de las siguientes:

  • $\overline{(a,b)}<\overline{(c,d)}$
  • $\overline{(c,d)}<\overline{(a,b)}$
  • $\overline{(a,b)}=\overline{(c,d)}$

Como en el caso de los naturales, a partir de la definición de «menor estricto» es sencillo obtener la noción de «menor o igual».

Definición. Para $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ elementos en $\mathbb{Z}$ diremos que $\overline{(c,d)}\leq \overline{(a,b)}$ si o bien $\overline{(a,b)}-\overline{(c,d)}$ es un entero positivo, o bien $\overline{(a,b)}=\overline{(c,d)}$.

Lo anterior es equivalente a pedir que $a+c\geq b+d$.

Proposición. La relación $\leq$ es un orden parcial en $\mathbb{Z}$.

Demostración. Es inmediato que esta relación $\leq$ es reflexiva, pues $\overline{(a,b)}\leq \overline{(a,b)}$ se obtiene de manera inmediata de la segunda parte de la definición.

Para ver que es antisimétrica, si tuviéramos $\overline{(c,d)}\leq \overline{(a,b)}$ y $\overline{(a,b)}\leq \overline{(c,d)}$, entonces tendríamos las desigualdades $a+c\geq b+d$ y $b+d\geq a+c$, que por la antisimetría en $\mathbb{N}$ implican que $a+c=b+d$, que justo es $\overline{(a,b)}=\overline{(c,d)}$.

Finalmente, para ver que $\leq$ es una relación transitiva, comenzamos con enteros $\overline{(a,b)}, \overline{(c,d)}, \overline{(e,f)}$ tales que $\overline{(e,f)}\leq \overline{(c,d)}$ y $\overline{(c,d)}\leq \overline{(a,b)}$.

De la primer desigualdad obtenemos $c+f\geq e+d$ y de la segunda obtenemos que $a+d\geq b+c$. Sumando ambas desigualdades, obtenemos que $c+f+a+d\geq b+c+e+d$. De aquí podemos deducir que $a+f\geq b+e$. Esto precisamente nos dice que $\overline{(e,f)}\leq \overline{(a,b)}$, como queríamos.

$\square$

Las dos proposiciones anteriores se pueden resumir en el siguiente enunciado.

Teorema. La relación $\leq$ es un orden total en $\mathbb{Z}$.

Compatibilidad del orden con las operaciones en $\mathbb{Z}$

Lo último que nos queda por mencionar es cómo se comporta la relación $\leq$ en $\mathbb{Z}$ con sus operaciones de suma y producto. A continuación mencionamos algunas de las propiedades que se cumplen, aunque hay varias cosas más que se pueden demostrar.

Proposición. En $\mathbb{Z}$ se cumple lo siguiente:

  • Si $\overline{(a,b)}\leq \overline{(c,d)}$ y $\overline{(e,f)}\leq \overline{(g,h)}$, entonces $$\overline{(a,b)}+\overline{(e,f)}\leq \overline{(c,d)}+\overline{(g,h)}.$$
  • Si $\overline{(a,b)}\leq \overline{(c,d)}$ y $\overline{(e,f)}$ es positivo, entonces $$\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}\leq \overline{(c,d)}\overline{(e,f)}.$$
  • Si $\overline{(a,b)}\leq \overline{(c,d)}$ y $\overline{(e,f)}$ es negativo, entonces $$\overline{(c,d)}\overline{(e,f)}\leq \overline{(a,b)}\overline{(e,f)}$$

Demostración.

  • Las hipótesis se pueden escribir como $a+d\leq b+c$ y $e+h\leq f+g$. Sumando ambas y asociando de un modo que nos convenga, obtenemos que $(a+e)+(d+h)\leq (b+f)+(c+g)$. Esto lo que nos dice es que $\overline{(a+e,b+f)}\leq $\overline{(c+g,d+h)}$, que es precisamente lo que queríamos demostrar.
  • Por la hipótesis, tenemos que $\overline{(c,d)}-\overline{(a,b)}$ es positivo y que $\overline{(e,f)}$ también. Por lo que ya vimos antes, el producto de estos dos enteros debe ser entonces positivo. Por distributividad, este producto es $\overline{(c,d)}\overline{(e,f)}-\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}$. Así, $\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}\leq \overline{(c,d)}\overline{(e,f)},$ como queríamos.
  • Por la hipótesis, tenemos que $\overline{(c,d)}-\overline{(a,b)}$ es positivo y que $\overline{(e,f)}$ es negativo. Entonces $\overline{(f,e)}=-\overline{(e,f)}$ es positivo. Por lo que ya vimos antes, el producto de estos dos enteros debe ser entonces positivo. Por distributividad, este producto es $\overline{(c,d)}\overline{(f,e)}-\overline{(a,b)}\overline{(f,e)}$. Esta expresión se puede escribir de manera alternativa como $\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}-\overline{(c,d)}\overline{(e,f)}$. Como es positiva, obtenemos justo lo que queríamos.

$\square$

En los ejercicios de la tarea moral explorarás más propiedades de la relación $\leq$ y cómo interactúa con las operaciones en $\mathbb{Z}$.

Tarea moral

  1. Completa las demostraciones de las nociones de positivo, negativo y orden en $\mathbb{Z}$ están bien definidas.
  2. Demuestra que la suma de dos enteros negativos es un entero negativo y que su producto es un entero positivo. Haz una demostración que funcione en general, pero luego verifícalo «a mano» para los enteros $\overline{(3,7)}$ y $\overline{(9,11)}$.
  3. En la entrada dimos la definición formal de $<$ y de $\leq$ en $\mathbb{Z}$, pero aún no hemos definido ni usado los símbolos $>$ y $\geq$ en $\mathbb{Z}$. Formaliza una definición para ellos. Demuestra que $\geq$ también es un orden total en $\mathbb{Z}$.
  4. Demuestra que en $\mathbb{Z}$, si $\overline{(a,b)}\leq \overline{(c,d)}$ y $\overline{(e,f)}$ es negativo, entonces $$\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}\geq \overline{(c,d)}\overline{(e,f)}.$$
  5. Determina si la siguiente propiedad del producto y el orden en $\mathbb{Z}$ siempre es verdadera, o bien si hay ocasiones en las que falla: «Si $\overline{(a,b)}\leq \overline{(c,d)}$ y $\overline{(e,f)}\leq \overline{(g,h)}$, entonces $$\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}\leq \overline{(c,d)}\overline{(g,h)}.»

Más adelante

Ya tenemos todo lo que necesitamos en los enteros: su definición, sus operaciones y su noción de orden. Sin embargo, aún tenemos una gran dificultad: es muy difícil escribirlos. Cada que queremos referirnos a un entero, debemos usar la clase de equivalencia de una pareja de naturales. Nos gustaría que los enteros fueran algo mucho más intuitivo: los naturales y sus negativos. Lo que haremos en la siguiente entrada es ver cómo formalizar esta idea para que podamos, finalmente, abandonar la notación de parejas de naturales y relaciones de equivalencia. Esto será bastante útil para después entrar en muchas otras propiedades que nos interesan de los enteros como la noción de divisibilidad y otras propiedades aritméticas.

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Álgebra Superior II: El producto en los enteros

Introducción

En la entrada anterior hablamos de cómo se construye el conjunto $\mathbb{Z}$ de los números enteros y cómo definir una operación de suma en él. Vimos que esta operación de suma tenía cuatro propiedades clave: asociatividad, conmutatividad, existencia de un neutro y de inversos. A partir de ello definimos también la operación de resta. En esta entrada continuaremos con la construcción de las operaciones en $\mathbb{Z}$. Ahora definiremos el producto de números enteros.

Intuición del producto de enteros y su definición formal

La definición de la suma de los enteros resultó ser muy sencilla. Si tenemos enteros $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ entonces para hacer la suma simplemente «sumamos entrada a entrada» para obtener $\overline{(a+c,b+d)}$. Uno podría pensar que para hacer el producto de enteros esto debe ser igual de fácil, definiendo al producto simplemente como $\overline{(ac,bd)}$. Sin embargo, esta definición no funciona, pues no tiene muchas de las propiedades valiosas que debería tener una operación de producto.

Antes de dar la definición, recordemos nuestra intuición de qué quería decir cada pareja $(a,b)$. En la entrada anterior, a cada pareja la asociábamos con la ecuación $a=x+b$. La relación de equivalencia que dimos consistía en asociar a las parejas cuyas ecuaciones daban la misma solución. De manera informal, podemos pensar entonces a la pareja $(a,b)$ como si fuera $a-b$. Pero ojo: esto sólo es intuición, pues $a$ y $b$ son elementos de $\mathbb{N}$ y ahí no hay operación de resta.

De cualquier forma, esta intuición es valiosa, pues nos sugiere cuál debería de ser la definición de producto. De manera intuitiva, queremos que suceda $(a-b)(c-d)=ac-ad-bc+bd=(ac+bd)-(ad+bc)$, y aquí cada término entre paréntesis sí es un natural válido: $ac+bd$ y $ad+bc$, así que el resultado correspondería a la pareja $(ac+bd,ad+bc)$. Es muy interesante que esta intuición informal en verdad da una buena definición de producto.

Definición. El producto en $\mathbb{Z}$ es la función $\star:\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ tal que para enteros $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$, se tiene que $$\overline{(a,b)} \star \overline{(c,d)}=\overline{(ac+bd),(ad+bc)}.$$

Como en el caso de la suma, estamos usando un símbolo especial para el producto en $\mathbb{Z}$, de modo que podamos distinguirlo del producto en $\mathbb{N}$. Así como en el caso de la suma, sólo haremos la distinción explícita en este momento. Usualmente nos referiremos al producto de enteros $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ como $\overline{(a,b)}\cdot \overline{(c,d)}$, o simplemente como $\overline{(a,b)} \overline{(c,d)}$. Esto será claro por el contexto.

El producto en $\mathbb{Z}$ está bien definido

Nuestra definición de producto en $\mathbb{Z}$ es un poco extraña, así que debemos dedicar algo de trabajo a verificar que en realidad es el producto tal y como siempre lo habíamos conocido. La primer cosa que debemos hacer es ver que el producto en $\mathbb{Z}$ está bien definido, es decir, que el resultado es el mismo independientemente de los representantes que se elijan para realizar la multiplicación.

Proposición. El producto en $\mathbb{Z}$ está bien definido.

Demostración. Comencemos con parejas $(a,b)\sim (e,f)$ y $(c,d)\sim (g,h)$. Como $(a,b) \sim (e,f)$, entonces $$ a + f = b + e.$$ También, $(c,d) \sim (g,h)$, implica que $$c + h = d + g.$$

Usando la definición de producto de dos enteros, se tiene por un lado que
$$\overline{(a,b)}\overline{(c,d)} = \overline{(ac + bd, ad + bc)}.$$

Por otro lado, tenemos

$$\overline{(e,f)}\overline{(g,h)} = \overline{(eg + fh, eh + fg )}.$$

Así, debemos demostrar que $\overline{(ac + bd, ad + bc)} = \overline{(eg + fh, eh + fg )}$. Poniendo en términos de la relación de equivalencia, se deberá cumplir que $$ (ac + bd) + (eh + fg) = (ad + bc) + (eg + fh).$$

Multiplicando las primeras igualdades que encontramos, tenemos lo siguiente:
\begin{align*}
(a + f) (c+h) &= (b+e)(d +g) \\
ac + ah + fc + fh &= bd + bg + ed + eg.
\end{align*}

Sumemos $bd + fh$ en ambos lados de la ecuación y usemos nuevamente las hipótesis para obtener las siguientes igualdades:

\begin{align*}
(bd + fh) + ac + ah + fc + fh &= (bd + fh) + bd + bg + ed + eg \\
(ac + bd) + h(a + f) + f(c + h) &= b(d + g) + d(b +e) + (eg + fh) \\
(ac + bd) + h (b + e) + f (d + g) &= b(c + h) + d(a + f) + (eg + fh) \\
(ac + bd + eh + fg) + hb + df &= (bc + ad + eg + fh) + hb + df \\
ac + bd + eh + fg &= ad + bc + eg + fh.
\end{align*}

Esto es justo lo que queríamos mostrar.

$\square$

En la demostración anterior estamos usando las propiedades de las operaciones en $\mathbb{N}$ ya prácticamente sin enunciarlas. A estas alturas ya podemos hacer eso, pues hemos trabajado bastante con ellas. Sin embargo, es importante que de vez en cuando te preguntes por qué se vale cada una de las igualdades.

Propiedades del producto en $\mathbb{Z}$

Ya que hemos definido el producto en los enteros, es importante verificar que hay algunas propiedades que se cumplen. Esto nos permitirá más adelante trabajar sin problema con el producto de enteros, como se ha hecho desde la educación básica.

Proposición. Se satisfacen las siguientes propiedades para la operación de producto en $\mathbb{Z}$.

  • Asociatividad. Para enteros $\overline{(a,b)}$, $\overline{(c,d)}$ y $\overline{(e,f)}$ se satisface que $$(\overline{(a,b)}\overline{(c,d)})\overline{(e,f)}=\overline{(a,b)}(\overline{(c,d)}\overline{(e,f)}).$$
  • Conmutatividad. Para enteros $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ se satisface que $$\overline{(a,b)}\overline{(c,d)}=\overline{(c,d)}\overline{(a,b)}.$$
  • Neutro. Existe un elemento neutro, es decir, existe un entero $\overline{(m,n)}$ tal que para cualquier entero $\overline{(a,b)}$ se cumple que $$\overline{(a,b)}\overline{(m,n)}=\overline{(a,b)}.$$
  • Los únicos elementos que tienen inverso multiplicativo son $\overline{(1,0)}$ y $\overline{(0,1)}$.

Demostración. Las demostraciones de la asociatividad y la conmutatividad quedan como tarea moral. La sugerencia es desarrollar ambos lados de las igualdades usando la definición de producto, y luego utilizar propiedades del producto y la suma en $\mathbb{N}$.

El elemento que sirve como neutro para el producto es el $\overline{(1,0)}$. En efecto, usando la definición tenemos que: $$\overline{(a,b)}\overline{(1,0)}=\overline{(a\cdot 1+b\cdot 0, a\cdot 0 + b\cdot 1)}=\overline{(a,b)}.$$

Es sencillo ver que los elementos indicados sí tienen inverso. El inverso de $\overline{(1,0)}$ es él mismo y el inverso de $\overline{(0,1)}$ también es él mismo. En efecto:

\begin{align*}
\overline{(1,0)}\overline{(1,0)}&=\overline{(1\cdot 1+0\cdot 0,1\cdot 0+0\cdot 1)}=\overline{(1,0)}\\
\overline{(0,1)}\overline{(0,1)}&=\overline{(0\cdot 0+1\cdot 1,0\cdot 1+1\cdot 0)}=\overline{(1,0)}.
\end{align*}

Para ver que estos son los únicos elementos que tienen inversos, supongamos que algún otro entero $\overline{(a,b)}$ tiene inverso multiplicativo $\overline{(c,d)}$. Esto querría decir que $\overline{(ac+bd,ad+bc)}=\overline{(1,0)}$, que en términos de la relación de equivalencia se traduce a $$ac+bd=ad+bc+1.$$

Si $a=b$, la igualdad no se puede dar pues tendríamos $ac+ad=ad+ac+1$, que es imposible. Por tricotomía en $\mathbb{N}$, tenemos entonces que $a>b$ o $a<b$. Resolveremos el caso $a>b$ y el caso $a<b$ quedará como tarea moral.

Si $a=b+1$, entonces la igualdad queda como $(b+1)c+bd=(b+1)d+bc+1$, que se simplifica a $c=d+1$. Esto nos da la solución $\overline{(a,b)\}=\overline{(c,d)\}=\overline{(1,0)\}$.

En otro caso, tenemos $a\geq b+2$ y por lo tanto podemos escribir $a=b+1+k$ con $k\geq 1$. La igualdad queda entonces como $$(b+1+k)c+bd=(b+1+k)d+bc+1.$$ Desarrollando y simplificando tenemos que $$c+kc=d+kd+1.$$ Si $d\geq c$, el lado derecho claramente es más grande, así que no hay solución. De este modo, $d<c$ y por lo tanto podemos escribir $c=d+l$ con $l\geq 1$. Usando esta igualdad en $c+kc=d+kd+1$, llegamos a la igualdad $$d+l+kd+kl=d+kd+1,$$ que se simplifica a $$l(k+1)=1.$$ Pero como $k\geq 1$, entonces $k+1\geq 2$ y como además $l\geq 1$, tenemos $l(k+1)\geq 2$, así que en este caso no tenemos soluciones.

$\square$

Las propiedades anteriores se pueden enunciar únicamente en términos de la operación de producto. Además de estas propiedades, hay otra que nos dice cómo el producto interactúa con la operación suma en $\mathbb{Z}$.

Proposición. Se cumple la ley distributiva para la suma y el producto, es decir, para enteros $\overline{(a,b)}$, $\overline{(c,d)}$ y $\overline{(e,f)}$ se cumple que $$\overline{(a,b)}(\overline{(c,d)}+\overline{(e,f)})=\overline{(a,b)}\overline{(c,d)}+\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}.$$

Demostración. Realizando la operación correspondiente al lado izquierdo tenemos:

\begin{align*}
\overline{(a,b)}(\overline{(c,d)}+\overline{(e,f)})&=\overline{(a,b)}\overline{(c+e,d+f)}\\
&=\overline{(a(c+e)+b(d+f),a(d+f)+b(c+e))}\\
&=\overline{(ac+ae+bd+bf,ad+af+bc+be)}.
\end{align*}

Observa cómo aquí se está usando la propiedad distributiva, pero en $\mathbb{N}$.

Realizando la operación correspondiente al lado derecho tenemos:

\begin{align*}
\overline{(a,b)}\overline{(c,d)}+\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}&=\overline{(ac+bd,ad+bc)}+\overline{(ae+bf,af+be)}\\
&=\overline{(ac+bd+ae+bf,ad+bd+af+be)}.
\end{align*}

Usando la conmutatividad de la suma en $\mathbb{N}$, obtenemos que esta expresión es igual a la del lado izquierdo, como queríamos.

$\square$

Divisores de cero y cancelación

Hasta donde hemos platicado, los enteros tienen suma, resta y producto. Sin embargo, en los enteros todavía no tenemos una operación de división. Esto causa un par de dificultades. Una de estas es que cuando queremos resolver ecuaciones del estilo $a=bx$ con $a$ y $b$ enteros y $x$ un entero por determinar, no podemos simplemente «pasar la $b$ dividiendo» y obtener $x=a/b$. Otra dificultad es que cuando tenemos una igualdad del estilo $ab=ac$ tampoco podemos simplemente «dividir entre $a$».

La primer dificultad la estudiaremos más a detalle cuando entremos a teoría de números qué es lo que sí se puede hacer en $\mathbb{Z}$. Para la segunda, resulta que de cualquier forma podemos concluir casi siempre que $b=c$.

Antes de demostrar esto, veamos un resultado intermedio auxiliar. La siguiente proposición a veces se enuncia como que $\mathbb{Z}$ no tiene divisores de cero, o bien como que si el producto de dos enteros es cero, entonces alguno de ellos debe de ser cero.

Proposición. Si $\overline{(a,b)}$, $\overline{(c,d)}$ pertenecen a $\mathbb{Z}$ y $\overline{(a,b)}\overline{(c,d)}=\overline{(0,0)}$, entonces $\overline{(a,b)}=\overline{(0,0)}$ o $\overline{(c,d)}=\overline{(0,0)}$.

Demostración. Para que el producto $$\overline{(a,b)}\overline{(c,d)}=\overline{(ac+bd,ad+bc)}$$ sea igual al entero $\overline{(0,0)}$, debe suceder que $$ac+bd+0=ad+bc+0,$$ es decir, que $ac+bd=ad+bc$. A partir de esto, debemos de demostrar que o bien $a=b$, o bien que $c=d$. Supongamos que $a\neq b$ (en otro caso, ya tenemos lo buscado). Por tricotomía, debe pasar $a>b$ ó $a<b$.

Si $a>b$, entonces existe un entero $k>1$ tal que $a=b+k$, de modo que tenemos las siguientes igualdades:

\begin{align*}
ac+bd&=ad+bc\\
(b+k)c+bd&=(b+k)d+bc\\
bc+kc+bd&=bd+kd+bc\\
kc&=kd.
\end{align*}

Como $k>=1$, podemos usar la cancelación del producto en $\mathbb{N}$ para obtener $c=d$, como queríamos. Falta el caso $a<b$, pero es análogo al anterior. Los detalles quedan como tarea moral.

$\square$

Ahora sí podemos demostrar que en $\mathbb{Z}$ se vale cancelar factores distintos de cero.

Proposición. Sean $\overline{(a,b)}$, $\overline{(c,d)}$, $\overline{(e,f)}$ elementos en $\mathbb{Z}$. Supongamos que $\overline{(a,b)}\neq \overline{(0,0)}$ y que $$\overline{(a,b)}\overline{(c,d)}=\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}.$$

Entonces $\overline{(c,d)}=\overline{(e,f)}$.

Demostración. Tenemos las siguientes igualdades:

\begin{align*}
\overline{(a,b)}\overline{(c,d)}&=\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}\\
\overline{(a,b)}\overline{(c,d)}-\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}&=0\\
\overline{(a,b)}(\overline{(c,d)}-\overline{(e,f)})&=0.\\
\end{align*}

Para pasar de la primera a la segunda, estamos restando de ambos lados, lo cual es válido en $\mathbb{Z}$. De la segunda igualdad a la tercera se está usando la ley distributiva para la resta (ver Tarea moral). A partir de aquí podemos usar la proposición anterior. Como $\overline{(a,b)}$ no es cero, entonces $\overline{(c,d)}-\overline{(e,f)}=0$. De aquí se obtiene $\overline{(c,d)}=\overline{(e,f)}$, que es lo que queríamos mostrar.

$\square$

Tarea moral

  1. Realiza por definición el producto de los enteros $\overline{(8,3)}$ y $\overline(3,5)$. ¿Lo que obtienes tiene sentido con el hecho de que $5\cdot (-2)=-10$?
  2. Demuestra que el producto en $\mathbb{Z}$ es asociativo y conmutativo.
  3. Para terminar la demostración de que $\mathbb{Z}$ no tiene divisores de cero, muestra que si se tienen naturales $a,b,c,d$ tales que $ac+bd=ad+bc$ y $a<b$, entonces $c=d$. Recuerda que debes trabajar todo en $\mathbb{N}$, en donde no se pueden restar elementos.
  4. Termina la demostración de que en $\mathbb{Z}$ los únicos elementos con inversos multiplicativos son $\overline{(1,0)}$ y $\overline{(0,1)}$. Tendrás que llegar a que en el caso faltante la única solución es $\overline{(a,b)}=\overline{(c,d)}=\overline{(0,1)}$.
  5. Enuncia y demuestra una ley distributiva para la resta.
  6. Si definiéramos al producto de dos enteros $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ como el entero $\overline{(ac,bd)}$, ¿cuáles de las propiedades que hemos discutido en esta entrada fallarían?

Más adelante

Ya tenemos las operaciones para los números enteros. Aún nos falta introducir un concepto muy importante: el de orden. Esto lo haremos en la siguiente entrada. Además, veremos que la noción de orden en $\mathbb{Z}$ es compatible con sus operaciones.

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Álgebra Superior II: Compatibilidad del orden con las operaciones de los naturales

Introducción.

En las entradas anteriores, nos encargamos de definir con toda formalidad la estructura con la que hemos estado familiarizados desde hace mucho; sin embargo, en principio, la forma en que definimos el orden y las distintas operaciones, no parece ser que

Para finalizar con el estudio de los números naturales, veremos las importantes relaciónes que hay entre el orden que definimos para $\mathbb{N}$ en la entrada anterior, y las operaciones que hemos trabajado a lo largo de este tema. Para esto, nuevamente ocuparemos el Principio de Inducción.

Una equivalencia del orden

Aunque como mencionamos en la introducción, la forma en que definimos el orden, no parece tener mucha relación con las operaciones definidas, usando la definición de la suma, podemos dar una definición equivalente del orden en $\mathbb{N}$, en el siguiente teorema, demostramos que en efecto, ambas caracterizaciones son equivalentes.

Teorema.Si $n,m$ son números naturales, se tiene que $n<m$ si y sólo si existe $k\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ tal que n+k=m

Demostración. Procedamos por inducción sobre $n$.

Si $n=0$, si $0<m$, entonces $m\in \mathbb{N}\setminus\{0\}$ y $n+m=0+m=m$. Recíprocamente, si existe $k\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ tal que $0+k=m$, tendremos que $k=m$, por lo que $m\neq 0$ y por lo tanto $0<m$. Con esto probamos la base de inducción.

Supongamos que el resultado es válido para alguna $n$ y probemos que el resultado para $\sigma(n)$ es decir, que si $m\in\mathbb{N}$ se tiene que $\sigma(n)<m\Leftrightarrow$ existe $k\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ tal que $\sigma(n)+k=m$.

Verifiquemos la ida de la demostración. Supongamos que $\sigma(n)<m$, entonces $n<m$, por lo que por la hipótesis de inducción concluimos que existe $k\neq 0$ tal que $n+k=m$, como $k\neq0$, existe $k’$ tal que $\sigma(k’)=k$, entonces tenemos que

\begin{align*}
m&=n+k\\
&=n+\sigma(k’)\\
&=\sigma(n)+k’
\end{align*}

Notemos además que $k’\neq 0 $, ya que si $k’=0$, entonces $m=\sigma(n)$ lo cual es un contradicción.

Para el regreso, supongamos que existe $k\neq 0$ tal que $\sigma(n)+k=m$ y demostremos que $\sigma(n)\in m$. Como $\sigma(n)+k=m$, concluimos que $n+ \sigma(k)=m$, por lo que $n<m$ y por lo visto en la entrada de La relación de orden en los naturales, tendremos que $\sigma(n)\leq m$. Si $\sigma(n)=m$, entonces cancelando, obtenemos que $k=0$, lo cual es absurdo, entonces solo queda que $\sigma(n)<m$. Con esto concluimos la inducción y la prueba

$\square$

El orden y las operaciones

Con el anterior resultado, es más fácil ver las relaciones que tendrán el orden con las operaciones, por ejemplo, la siguiente.

Teorema. Si $n<m$ y $l\in\mathbb{N}$, entonces $n+l<m+l$

Demostración. Como $n<m$, entonces existe $k\neq 0$ tal que $n+k=m$, de donde $n+l+k=m+l$, pero justo esa es la definición de que $n+l<m+l$

$\square$

Corolario. Si $a<b$ y $c<d$, entonces $a+c<b+d$

Demostración. Como $a<b$, entonces $a+c<b+c$, y como $c<d$, tenemos que $b+c<b+d$. Por la transitividad del orden, obtenemos el resultado

$\square$

Finalizamos la entrada, marcando la relación entre el orden y la multiplicación.

Teorema. Si $n<m$ y $l\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$, entonces $n\cdot l<m\cdot l$

Demostración. Como $n<m$ entonces existe $k\neq 0$ tal que $n+k=m$, por lo que $nl+lk=ml$, sin embargo, como $l$ y $k$ son distintos de cero, entonces $lk$ también es distinto de cero, por lo que $nl<ml$ justo como debíamos probar.

$\square$

Tarea moral

  • Demuestra que si $a<b$ y $c<d$, entonces $ac<bd$, no es necesario suponer que los números son distintos de cero
  • Si $n<m$ y $l\neq 0$, entonces $n^l<m^l$. Sugerencia, usa inducción sobre $l$
  • Si $n<m$ y $l\neq 0$, entonces $l^n<l^m$
  • Si $n<m$, entonces $n!<m!$
  • Demuestra que si $n,m\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$, entonces $(1+m)^n\geq 1+nm$

Más adelante

Con esta entrada, terminamos el estudio de los números naturales, por lo que en la siguiente entrada empezaremos con el estuidio de los números enteros, sin embargo, toda la teoría que hemos desarrollado hasta el momento, será la base para poder dar una definición precisa de qué son los números enteros, y sus operaciones, por lo que es importante seguir practicando.

Hay que hacer una especial mención a los principios de inducción y de buen orden, ya que jugarán un papel crucial a la hora de estudiar las propiedades de los enteros, que nos servirán para desarrollar lo que conocemos como teoría de números.

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Ecuaciones Diferenciales I: Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

Introducción

¡Bienvenidos al curso de ecuaciones diferenciales I!. En esta primera clase conoceremos qué son las ecuaciones diferenciales, cómo clasificarlas y presentaremos una parte de la terminología elemental que usaremos a lo largo del curso.

Las leyes del universo están escritas en el lenguaje de las matemáticas. Muchos de los fenómenos naturales que ocurren en el universo involucran cambios y si logramos crear modelos matemáticos que describan estos fenómenos, sin duda, la derivada será una herramienta fundamental que estará presente. Como seguramente sabrás, la derivada $\dfrac{dx}{dt} = f'(t)$ de la función $f$ es la razón a la cual la cantidad $x = f(t)$ está cambiando respecto de la variable independiente $t$, es natural, entonces, que las ecuaciones que involucran derivadas se usen frecuentemente para describir el universo cambiante. Una ecuación que relacione una función desconocida con una o más de sus derivadas se llama ecuación diferencial.

Ecuaciones diferenciales

Definición: Una ecuación diferencial (ED) es cualquier ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.

Debido a que este es un curso de iniciación a las ecuaciones diferenciales se va a trabajar con ecuaciones que sólo contienen una variable independiente, estas ecuaciones tienen un nombre especial.

Definición: Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es una ecuación diferencial que contiene únicamente derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente.

El reto que tenemos con las ecuaciones diferenciales es hallar la función involucrada que depende de la variable independiente. Supongamos que tenemos la función $y = f(x) = 2e^{x^{2}}$, esta función es derivable en todo $\mathbb{R}$, si la derivamos obtenemos otra función dada como $\dfrac{dy}{dx} = f'(x) = 4xe^{x^{2}}$, este resultado se puede reescribir como $\dfrac{dy}{dx} = 2x(2e^{x^{2}})$, podemos observar que lo que está entre paréntesis es de nuevo la función $y = 2e^{x^{2}}$ , si la sustituimos obtenemos como resultado: $\dfrac{dy}{dx} = 2xy$. Este resultado corresponde a una ecuación diferencial ordinaria pues contiene la derivada de la variable dependiente $y$ con respecto a la variable independiente $x$, esto es $\dfrac{dy}{dx}$. Ahora imagina que lo primero que ves es la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = 2xy$ y te pido que me des la función $f(x) = y$, ¿cómo la obtendrías?. ¡Ves el reto!.

Básicamente el objetivo del curso será desarrollar los distintos métodos que existen para resolver los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias que se puedan presentar, analizaremos las circunstancias en las que aparecen y la forma en que surgen con el fin de describir o modelar fenómenos físicos en términos matemáticos.

Notación

A lo largo de curso utilizaremos la notación de Leibniz:

\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}, \frac{d^{2}y}{dx^{2}}, \frac{d^{3}y}{dx^{3}}, …,
\end{equation*}

y en ocasiones para ser más compactos utilizaremos la notación prima:

$y^{\prime}$, $y^{\prime \prime}$, $y^{\prime \prime\prime}$,…

En el caso de la notación prima a partir de la cuarta derivada ya no se colocan primas sino números entre paréntesis, dicho número indica el grado de la derivada $y^{(4)}$, $y^{(5)}$, …, $y^{(n)}$. En este curso se hará mayor uso de la notación de Leibniz debido a que indica con mayor claridad las variables independientes y dependientes. Por ejemplo, en la ecuación $\dfrac{dx}{dt} + 8x = 0$ se observa de forma inmediata que el símbolo $x$ representa a la variable dependiente mientras que $t$ es la variable independiente.

Clasificación de las ecuaciones diferenciales

Para comenzar será importante clasificar las ecuaciones diferenciales por tipo, orden y linealidad.

  • Clasificación por tipo

Un primer tipo de ecuaciones diferenciales son las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) que, como se definieron anteriormente, son aquellas que relacionan una función desconocida de una variable independiente con sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinaras son:

\begin{equation*}
\frac{dy}{dx} + 5y = e^{x}, \hspace{1cm} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} -\frac{dy}{dx} + 6y = 0 \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \frac{dx}{dt} + \frac{dy}{dt} = 2x + y
\end{equation*}

Otro tipo de ecuaciones diferenciales son las ecuaciones diferenciales parciales (EDP), estas ecuaciones presentan las derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales son:

\begin{equation*}
\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}} = 0, \hspace{1cm} \frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}} = \frac{\partial^{2}z}{\partial t^{2}} -2\frac{\partial z}{\partial t} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \frac{\partial u}{\partial y} = – \frac{\partial v}{\partial x} \end{equation*}

Este tipo de ecuaciones se estudiarán en tus cursos de ecuaciones diferenciales posteriores a este.

  • Clasificación por orden

El orden de una ecuación diferencial representa el orden de la derivada más alta presente en la ecuación. Así, la ecuación

\begin{equation*}
\frac{d^{2} y}{dx^{2}} + 5 \left( \frac{dy}{dx}\right) ^{3} -4y = e^{x}
\end{equation*}

es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. Ojo, no confundir orden de la derivada con el grado o potencia de las derivadas.

Una EDO de $n$-ésimo orden se puede expresar como una variable dependiente empelando la forma general

\begin{equation}
F(x, y, y^{\prime}, \cdots , y^{(n)}) = 0 \tag{1} \label{1}
\end{equation}

donde $F$ es una función con valores reales de $n + 2$ variables. Por motivos teóricos debemos suponer que es posible resolver la EDO anterior únicamente para la derivada de mayor grado $y^{(n)}$ en términos de las $n + 1$ variables restantes, es decir, se puede resolver la siguiente ecuación

\begin{equation}
\frac{d^{n}y}{dx^{n}} = f(x, y, y^{\prime}, \cdots , y^{(n – 1)}) \tag{2} \label{2}
\end{equation}

donde $f$ es una función continua con valores reales. A la ecuación (\ref{2}) se le denomina forma normal de (\ref{1}). En ocasiones será útil utilizar las formas normales

\begin{equation*}
\frac{dy}{dx} = f(x, y) \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = f(x, y, y^{\prime}) \end{equation*}

para representar ecuaciones diferenciales ordinarias de primero y segundo orden respectivamente.

Por ejemplo, la forma normal de la ecuación de primer orden $4x \dfrac{dy}{dx} + y = x$ es $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x -y}{4x}$, en este caso la función $f$ sería: $f(x, y) = \dfrac{x -y}{4x}$.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden ocasionalmente se escriben en la forma diferencial

\begin{equation}
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 \tag{3} \label{3}
\end{equation}

Por ejemplo, en la ecuación $(y -x) dx + 4x dy = 0$, $y$ es la variable dependiente, al derivarla se obtiene $y^{\prime} = \dfrac{dy}{dx}$, si volvemos a la ecuación y «dividimos» entre el diferencial $dx$ obtenemos la forma alternativa $4x\dfrac{dy}{dx} + y = x$ que como ya vimos se puede escribir en su forma normal como $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x -y}{4x}$. Con este ejemplo encontramos tres formas distintas de representar a la misma ecuación diferencial, veremos más adelante que cada forma de representación nos será de utilidad cuando intentemos encontrar a la función dependiente.

  • Clasificación por linealidad

Una ecuación diferencial ordinaria de $n$-ésimo orden (\ref{1}) es lineal si $F$ es lineal en $y, y^{\prime}, …, y^{(n)}$, es decir, una EDO es lineal si

\begin{equation}
a_{n}(x) \frac{d^{n}y}{dx^{n}} + a_{n – 1}(x) \frac{d^{n – 1}y}{dx^{n – 1}} + … + a_{1}(x) \frac{dy}{dx} + a_{0}(x) y = g(x) \tag{4} \label{4}
\end{equation}

De acuerdo a esta ecuación se pueden concluir dos propiedades características de una EDO lineal:

  • La variable dependiente $y$ así como todas sus derivadas $y^{\prime}, y^{\prime \prime}, …, y^{(n)}$ son de primer grado, es decir, la potencia de cada uno de los términos que involucran a $y$ es $1$.
  • Los coeficientes $a_{0}, a_{1}, …, a_{n}$ de $y^{\prime}, y^{\prime \prime}, …, y^{(n)}$ así como la función $g(x)$dependen a lo sumo de la variable independiente $x$.

Una ecuación diferencial ordinaria no lineal simplemente es una ecuación que no es lineal.

Ejemplos: Clasificar las siguientes ecuaciones diferenciales.

  • $\dfrac{d^{3}y}{dx^{3}} + 3x \dfrac{dy}{dx} -5y = e^{x}$
  • $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + \sin (y) = 0$
  • $(1-y) y^{\prime} + 2y = e^{x}$

Solución:

  • En la ecuación $\dfrac{d^{3}y}{dx^{3}} + 3x \dfrac{dy}{dx} -5y = e^{x}$ observamos que se trata de una ecuación diferencial ordinaria pues la variable dependiente $y$ sólo depende de una variable independiente, en este caso de $x$. Por otro lado observamos que la derivada más alta es $\dfrac{d^{3}y}{dx^{3}}$ , por lo tanto el grado de la ecuación es $3$, es decir, es una ecuación diferencial de tercer orden. Finalmente vemos que se trata de una ecuación lineal pues la potencia de los términos que involucran a $y$ es $1$ y además la función $e^{x}$ sólo depende de la variable independiente.
  • En la ecuación $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + \sin (y) = 0$ vemos que corresponde a una ecuación diferencial ordinaria de orden $2$ ya que la derivada más alta es $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$. En este caso la ecuación es no lineal ya que la función $\sin(y)$ no es lineal e involucra a la variable dependiente.
  • En la ecuación $(1-y) y^{\prime} + 2y = e^{x}$ se observa que es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y que es no lineal ya que la función $(1 -y)$ se puede ver como un coeficiente de la ecuación (\ref{4}) y en este caso depende de la variable dependiente y como sabemos a lo sumo sólo debe depender de la variable independiente.

$\square$

Recuerda: Una ecuación de primer orden se puede escribir en su forma diferencial $M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$ así que si encuentras ecuaciones diferenciales en esta forma inmediatamente puedes deducir que es de primer orden. Por otro lado, para saber si una ecuación es lineal o no es conveniente que la ecuación la escribas en la forma de la ecuación (\ref{4}) y recuerdes las dos propiedades descritas en base a dicha ecuación.

De acuerdo a la ecuación (\ref{4}) las ecuaciones diferenciales de primer orden ($n = 1$) y segundo orden ($n = 2$) se pueden representar de forma general respectivamente como:

\begin{equation}
a_{1}(x) \frac{dy}{dx} + a_{0}(x) y = g(x) \tag{5} \label{5}
\end{equation}

y

\begin{equation}
a_{2}(x) \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + a_{1}(x) \frac{dy}{dx} + a_{0}(x) y = g(x) \tag{6} \label{6}
\end{equation}

Hasta aquí concluimos con esta entrada, te invito a realizar los siguientes ejercicios para poner en práctica lo aprendido y comiences a familiarizarte con los conceptos vistos.

Tarea Moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Definir el orden de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias y establecer si es lineal o no lineal.
  • $(1 -x) y^{\prime \prime} -4xy^{\prime} + 5y = cos (x)$
  • $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = \sqrt {1 + \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{2}}$
  • $x \dfrac{d^{3}y}{dx^{3}} -\left( \dfrac{dy}{dx} \right) ^{4} + y = 0$
  1. Determinar si las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden son lineales en la variable dependiente indicada comparándola con la ecuación (\ref{4}). (es decir, considera primero a una variable como dependiente de la otra y reescribe la ecuación en la forma general (\ref{4}) para deducir si es lineal o no, posteriormente intercambia al papel de las variables y vuelve a ver si la ecuación es lineal o no).
  • $(y^{2} -1) dx + x dy = 0$; $\hspace{0.5cm}$ en $y$; $\hspace{0.2cm}$ en $x$
  • $u dv + (v + uv -ue^{u}) du = 0$; $\hspace{0.5cm}$ en $v$; $\hspace{0.2cm}$ en $u$

Más adelante …

Como se mencionó, uno de los objetivos es hallar la función involucrada que depende de la variable independiente, a esta función formalmente se le conoce como la función solución a la ecuación diferencial. Antes de estudiar cómo obtener a las funciones solución de las ecuaciones diferenciales será conveniente primero estudiar las propiedades generales de éstas funciones solución. En la siguiente entrada comenzaremos a estudiar lo relacionado a la solución (o soluciones) de una ecuación diferencial.

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