Archivo de la etiqueta: formula

Álgebra Superior II: Problemas de fórmula de De Moivre y raíces n-ésimas

Introducción

En una entrada anterior, vimos cómo se comporta la multiplicación en forma polar y cómo podemos aprovechar esto para hacer potencias. Concretamente, el teorema de De Moivre es muy útil para elevar complejos a potencias sin tener que hacer gran cantidad de productos.

Los primeros dos videos son ejercicios que ejemplifican lo anterior. Después, usamos lo que aprendimos en la entrada de raíces n-ésimas para resolver dos problemas más.

Al final, compartimos un enlace en el que puedes practicar más con operaciones de números complejos.

Problemas de fórmula de De Moivre

Para empezar, vemos dos problemas de exponenciación completa. El primero es una aplicación directa de la fórmula de De Moivre.

Problema. Usa el teorema de De Moivre para elevar a la potencia indicada

    \[\left(\sqrt{3}(\cos 25^\circ + i \sin 25^\circ\right)^6.\]

En algunos problemas es posible que sea necesario primero obtener la forma polar de un complejo antes de poder usar la fórmula de De Moivre. El segundo problema es un ejemplo de esto.

Problema. Encuentra el valor de (\sqrt{3}-i)^{12}.

Problemas de raíces n-ésimas

Si ahora, en vez de querer elevar a cierta potencia, queremos obtener raíces n-ésimas, con el uso de un poderoso teorema que dedujimos a partir de la fórmula de De Moivre, sabemos que son exactamente n raíces, y podemos calcularlas explícitamente. A continuación, vemos dos ejercicios que ejemplifican lo anterior.

Problema. Obtén las raíces cúbicas del complejo 3+4i.

Problema. Obtén las raíces quintas del complejo 16\sqrt{2}(-1+i).

Fotos de los ejercicios de hoy

Finalmente, les dejo fotos de lo resuelto en los videos, para quienes tengan dificultades para ver los videos. En la tercera foto no están tan desarrolladas las cuentas como en el video.

Problemas de fórmula de De Moivre, 1
Problemas de fórmula de De Moivre y de raíces
Problemas de raíces n-ésimas.

Más material de De Moivre y raíces

Puedes practicar más acerca de exponenciación y raíces complejas con los videos y ejercicios del tema en Khan Academy.

Contando combinaciones

CombinatoriaLas combinaciones nos permiten contar de cuántas formas podemos elegir algunos objetos de un cierto conjunto de objetos. Comenzamos por una introducción al principio de doble conteo, luego vemos un par de problemas, introducimos la noción de coeficiente binomial y finalmente encontramos una fórmula en términos de factoriales.

Ir a los videos…