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Cálculo Diferencial e Integral I: Definición de continuidad y sus propiedades

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

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Introducción

En esta entrada definiremos la continuidad de una función, es probable que hayas estudiado antes tal concepto y la manera en que se suele definir de forma intuitiva es mediante la siguiente sentencia: «Si puedes dibujar la función sin levantar el lápiz, entonces es una función continua». Nosotros revisaremos el tema con mayor formalidad, pero notarás que tal enunciado será de ayuda para interpretar la definición.

Definición de continuidad

En palabras sencillas, una función es continua en un punto $x_0$ si el límite en tal punto es igual a evaluar la función en $x_0$.

Definición. Sean $f: A \to \mathbb{R}$ con $A \subset \mathbb{R}$ y $x_0 \in A$. La función $f$ es continua en $x_0$ si para todo $\varepsilon > 0$, existe $\delta > 0$ tal que para todo $x \in A$ que satisface que $0<|x-x_0|< \delta$, entonces se cumple que $|f(x)-f(x_0)|< \varepsilon$.

Observación. Si además $x_0$ es un punto de acumulación de $A$, entonces se dice que $f$ es continua en $x_0$ si $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).$$

En la entrada de definición formal de límite se vieron algunos ejemplos de funciones continuas; específicamente se dejaron dos ejercicios como tarea moral que procederemos a probar en esta entrada.

Ejemplo 1. La función $f(x) = c$, es continua en $x_0$ para todo $x_0 \in \mathbb{R}$.

Demostración.

Sea $\varepsilon > 0$. Dado que la función es constante, cualquier valor de delta nos funciona, así consideremos $\delta = 1$.

Si $0<|x-x_0|< \delta$, entonces

\begin{align*}
|f(x)-f(x_0)| & = |c-c|\\
& = 0 \\
& < \varepsilon.
\end{align*}

$$\therefore \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).$$

$\square$

Ejemplo 2. La función $f(x) = x$ es continua en $x_0$ para todo $x_0 \in \mathbb{R}$.

Demostración.

Sea $\varepsilon > 0$. Consideremos $\delta = \varepsilon$.

Si $0<|x-x_0|<\delta$, entonces
\begin{align*}
|f(x)-f(x_0)| & = |x-x_0|\\
& < \delta \\
& = \varepsilon.
\end{align*}

$$\therefore \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).$$

Antes de revisar el siguiente ejemplo, demostraremos un resultado que nos será muy útil al momento de calcular límites.

Proposición. Sea $f: A \to \mathbb{R}$, entonces

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{h \to 0} f(x_0+h) = L.$$

Demostración.

$\Rightarrow]$ Supongamos que $$\lim_{x \to x_0} f(x) = L.$$

Sea $\varepsilon > 0$. Existe $\delta > 0 $ tal que si $0 < |x-x_0| < \delta$, entonces $|f(x)-L| < \varepsilon.$

Notemos que si $0 < |h| < \delta$, entonces $0 < |(h+x_0)-x_0| < \delta$. Por lo tanto, $|f(x_0+h)-L| < \varepsilon.$

$$\therefore \lim_{h \to 0} f(x_0+h) = L.$$

$\Leftarrow]$ Supongamos que $$\lim_{h \to 0} f(x_0+h) = L.$$

Sea $\varepsilon>0$. Existe $\delta >0$ tal que si $0<|h|<\delta$, entonces $|f(x_0+h)-L|< \varepsilon.$

Notemos que si $0<|x−x_0|<\delta$, entonces $|f(x_0+(x−x_0))−L|=|f(x)−L|<\varepsilon$.

$$\therefore \lim_{x \to x_0} f(x) = L.$$

$\square$

Ejemplo 3. La función $f(x) = sen(x)$ es continua en $x_0$ para todo $x_0 \in \mathbb{R}.$

Demostración.

Para probar la continuidad de esta función, procederemos a calcular sus límites laterales y emplearemos el hecho de que las funciones seno y coseno son continuas en $x = 0$, lo cual se demostró en esta entrada. Además, usaremos las siguientes identidades trigonométricas:

  1. $$sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b).$$
  2. $$sen(a-b) = sen(a)cos(b) – cos(a)sen(b).$$

Calculando el límite por la derecha, usando la primera identidad y empleando la proposición anterior, tenemos

\begin{align*}
\lim_{x \to x_0^+} sen(x) & = \lim_{h \to 0^+} sen(x_0+h) \\
& = \lim_{h \to 0^+} sen(x_0)cos(h) + cos(x_0)sen(h) \text{, pues $h > 0$} \\
& = sen(x_0)cos(0) + cos(x_0)sen(0) \\
& = sen(x_0).
\end{align*}

Calculando el límite por la izquierda, usando la segunda identidad y empleando la proposición anterior, tenemos

\begin{align*}
\lim_{x \to x_0^-} sen(x) & = \lim_{h \to 0^-} sen(x_0+h) \\
& = \lim_{h \to 0^-} sen(x_0)cos(h) – cos(x_0)sen(h) \text{, pues $h < 0$} \\
& = sen(x_0)cos(0) + cos(x_0)sen(0)\\
& = sen(x_0).
\end{align*}

Como los límites laterales existen y coinciden, se concluye que

$$\lim_{x \to x_0} sen(x) = sen(x_0).$$

Por lo tanto, la función es continua.

$\square$

Propiedades básicas de la continuidad

A continuación revisaremos tres propiedades aritméticas de las funciones continuas.

Teorema. Si $f$ y $g$ son funciones continuas en $x_0$, entonces

  1. $f+g$ es continua en $x_0$.
  2. $f \cdot g$ es continua en $x_0$.
  3. Si además $g(x_0) \neq 0$, entonces $\frac{1}{g}$ es continua en $x_0$.

Demostración.

Como $f$ y $g$ son continuas en $x_0$, entonces
$$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to x_0} g(x) = g(x_0).$$
Por las propiedades del límite, tenemos lo siguiente
\begin{align*}
\lim_{x \to x_0} (f + g)(x) & = \lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] \\
& = \lim_{x \to x_0} f(x) + \lim_{x \to x_0} g(x) \\
& = f(x_0) + g(x_0) \\
& = (f+g)(x_0).
\end{align*}

$$\therefore \lim_{x \to x_0} (f + g)(x) = (f+g)(x_0).$$

Por lo tanto, $f+g$ es continua en $x_0$.

Podemos notar que los incisos siguientes tienen demostraciones análogas ocupando las propiedades demostradas para el límite de una función, por lo cual su prueba se omitirá.

$\square$

Gracias al teorema anterior y los ejemplos vistos, tenemos una gama de funciones continuas, las funciones polinomiales: $p(x) = \alpha_n x^n + \alpha_{n-1} x^{n-1} + \ldots + \alpha_1 x +\alpha_0$.

La siguiente propiedad que veremos hace referencia a la composición de funciones continuas.

Teorema. Si $g$ es continua en $x_0$ y $f$ es continua en $g(x_0)$, entonces la composición de funciones $f \circ g$ es continua en $x_0.$

Demostración.

Queremos probar que $$\lim_{x \to x_0} (f \circ g)(x) = (f \circ g)(x_0)$$
y para demostrarlo procederemos mediante la definición épsilon-delta.

Sea $\varepsilon > 0$.

Como $f$ es continua en $g(x_0)$, existe $\delta’ > 0$ tal que para todo $y$ que cumpla $|y-g(x_0)|< \delta’$, entonces $|f(y)-f(g(x_0))|< \varepsilon$.

Dado que estamos viendo la composición, podemos considerar particularmente $y = g(x)$, de esta manera se tiene que si $|g(x)-g(x_0)|< \delta’$, entonces
\begin{align*}|f(g(x))-f(g(x_0))| <\varepsilon. \tag{1} \end{align*}

Como $g$ es continua en $x_0$, para cualquier valor positivo arbitrario, en este caso consideraremos $\delta’>0$, existe $\delta > 0$ tal que si $0<|x-x_0|<\delta$, entonces
\begin{align*} |g(x)-g(x_0)| < \delta’. \tag{2} \end{align*}

De (1) y (2), se sigue que $$\text{si } 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |g(x)-g(x_0)| < \delta’ \Rightarrow |f(g(x))-f(g(x_0))| <\varepsilon.$$

Es decir, si $0<|x-x_0|<\delta$, entonces $|f(g(x))-f(g(x_0))| <\varepsilon$.

$\square$

El teorema anterior nos permite extender aún más el almacén de funciones continuas. Por ejemplo, sabemos que $g(x) = x^2+x-10$ es continua en $x_0$ para todo $x_0 \in \mathbb{R}$ y la función $f(x) = sen(x)$ es continua en cualquier punto, particularmente en $g(x_0)$, entonces la composición $(f \circ g) (x) = sen(x^2+x-10)$ también es continua en $x_0$.

Existen cierto tipo de funciones que no están definidas en algún punto en particular. Por ejemplo $f(x) = xsen(\frac{1}{x})$, no está definida en $x_0=0$ y, por tanto, no puede ser continua en tal punto, pero a partir de ella podemos construir una nueva función que sí sea continua en $x_0=0$. En una entrada anterior, vimos que $$\lim_{x \to 0} xsen \left( \frac{1}{x} \right) = 0.$$

De esta forma, podemos definir una nueva función:

$$f(x) = \begin{cases} xsen(\frac{1}{x}) & \text{si } x \neq 0 \\
0 & \text{si } x = 0. \end{cases}$$

Esta nueva función $f$ es continua en $x_0 = 0$. A este tipo de funciones que podemos convertirlas en funciones continuas en $x_0$ redefiniéndolas en tal punto, se dice que tienen una discontinuidad removible o evitable.


Por otro lado, también hay funciones cuya discontinuidad es no removible. Consideremos la función $f(x) = sen\left( \frac{1}{x} \right)$, revisamos anteriormente que el límite de tal función no existe. Por lo cual, aunque la definiéramos en $x_0$, seguiría siendo discontinua en dicho punto.

Hasta ahora estuvimos empleando la definición de continuidad en un punto, sin embargo, para la mayoría de los ejemplos revisados probamos la continuidad para todo $\mathbb{R}$, puesto que consideramos un $x_0$ arbitrario. Es conveniente tener una definición para la continuidad en un intervalo. Y, como podrás imaginarlo, para que una función sea continua en un intervalo $(a,b)$, se requiere que la función sea continua en cada punto del intervalo (con una pequeña particularidad para intervalos cerrados).

Definición (Continuidad en un intervalo abierto). Si $f$ es continua en todo $x$ con $x \in (a,b)$, se dice que $f$ es continua en el intervalo $(a,b)$.

Definición (Continuidad en un intervalo cerrado). Si $f$ es continua en todo $x$ con $x \in (a,b)$ y se cumple que

$$\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to b^-} f(x) = f(b).$$

Entonces se dice que $f$ es continua en el intervalo $[a,b]$.

Terminaremos esta entrada probando un teorema que nos dice que si $f$ es continua en $x_0$ y $f(x_0)$ es mayor a cero (o menor a cero), entonces existe todo un intervalo en el que es mayor a cero (o menor a cero).

Teorema. Supongamos que $f$ es continua en $x_0$ y $f(x_0)>0$. Entonces $f(x) >0$ para todo $x$ en un intervalo que contiene a $x_0$, es decir, existe $\delta > 0$ tal que $f(x) >0$ para todo $x$ tal que $|x-x_0|< \delta$.

De forma análoga, si $f(x_0) <0$, entonces existe $\delta > 0$ tal que $f(x) < 0$ para todo $x$ tal que $|x-x_0|< \delta$.

Demostración.

Supongamos que $f$ es continua en $x_0$ y $f(x_0)>0$, entonces para $\varepsilon = \frac{1}{2}f(x_0) > 0$, existe $\delta>0$ tal que si $|x-x_0|< \delta$, entonces
\begin{gather*}
& |f(x)-f(x_0)|< \frac{1}{2}f(x_0). \\
\Leftrightarrow & -\frac{1}{2}f(x_0) < f(x)-f(x_0) < \frac{1}{2}f(x_0). \\
\Leftrightarrow & -\frac{1}{2}f(x_0) + f(x_0) < f(x) < \frac{1}{2}f(x_0) + f(x_0). \\
\Leftrightarrow & f(x) > \frac{1}{2}f(x_0) > 0.
\end{gather*}

La demostración para cuando $f(x_0)< 0$ es análoga usando $\varepsilon = – \frac{1}{2}f(x_0) > 0.$

$\square$

Más adelante…

Tras revisar las propiedades básicas de las funciones continuas, estamos listos para revisar resultados muy interesantes derivados de la continuidad. En la siguiente entrada revisaremos el popular teorema del valor intermedio, que nos indica que si una función continua en un intervalo $[a,b]$ y que al evaluarla en $a$ toma un valor negativo, $f(a) < 0$, y al evaluarla en $b$ toma un valor positivo, $f(b) > 0$, entonces dicha función necesariamente toma el valor cero, es decir, existe un $x_0$ en el intervalo $[a,b]$ tal que $f(x_0) = 0$. Para probar este resultado, se hará uso del último teorema revisado en esta entrada.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Prueba que la función $f(x) = cos(x)$ es continua en cualquier punto $x_0 \in \mathbb{R}$.
  • Sea $f: A \to \mathbb{R}$. Prueba que si $f$ es continua en un punto $x_0 \in A$, entonces la función $|f|(x):= |f(x)|$ también es continua en $x_0$. ¿Se cumple el regreso? Es decir, ¿si $|f|$ es continua en $x_0$ entonces $f$ también es continua en tal punto?
  • Se dice que una función $f$ es aditiva si $f(x+y) = f(x)+f(y)$ para todo $x$, $y$ en $\mathbb{R}$. Prueba que para una función aditiva $f$ tal que es continua en algún punto $x_0$, entonces es continua en todo su dominio.
  • Da un ejemplo de dos funciones $f$ y $g$ discontinuas en $x_0$ tales que la suma $f+g$ sea continua en $x_0.$
  • Da un ejemplo de dos funciones $f$ y $g$ discontinuas en $x_0$ tales que el producto $f \cdot g$ sea continuo en $x_0.$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Superior II: Continuidad y diferenciabilidad de polinomios reales

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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Introducción

Al inicio de esta unidad, hablamos de las propiedades algebraicas de $\mathbb{R}[x]$, definimos sus operaciones y argumentamos por qué se puede usar la notación de potencias. Luego hablamos de las propiedades aritméticas de los polinomios cuando hablamos de divisibilidad, máximo común divisor y factorización en irreducibles. Vimos una aplicación de esto a la solución de desigualdades. Lo que queremos hacer ahora es pensar a los polinomios como funciones de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ y entender las propiedades analíticas que tienen, es decir en términos de cálculo. Nos interesa saber qué les sucede cuando su entrada es grande, la continuidad y la diferenciabilidad de polinomios.

Estas propiedades tienen consecuencias algebraicas importantes. La continuidad de polinomios nos permite encontrar raíces reales en ciertos intervalos. La diferenciabilidad de polinomios nos ayuda a encontrar la multiplicidad de las raíces. Supondremos que manejas conocimientos básicos de cálculo y de manipulación de límites, pero de cualquier forma recordaremos algunas definiciones y daremos esbozos de la demostración de algunos resultados.

Límites a reales y límites a infinito

Recordemos dos definiciones de cálculo, que se aplican para funciones arbitrarias definidas en todos los reales.

Definición. Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función y $a, b$ reales. Decimos que $$\lim_{x\to a} f(x) = b$$ si para todo $\epsilon >0$ existe un $\delta > 0 $ tal que cuando $0<|x-a|<\delta$, entonces $|f(x)-b|<\epsilon$. En palabras, decimos que el límite de $f$ cuando $x$ tiende a $a$ es $b$.

Definición. Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función. Decimos que $$\lim_{x\to \infty} f(x) = \infty$$ si para todo $M>0$ existe un $r > 0 $ tal que cuando $x>r$, entonces $f(x)>M$. En palabras, decimos que el límite de $f$ cuando $x$ tiende a infinito es infinito.

De manera análoga se pueden definir límites cuando $x$ tiende a menos infinito, y definir qué quiere decir que el límite sea menos infinito. La siguiente proposición se prueba en textos de cálculo.

Proposición (propiedades de límites). Sean $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ y $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ funciones y $a$, $b$, $c$ reales. Si $$\lim_{x\to a} f(x) = b \quad \text { y } \quad \lim_{x\to a} g(x)= c,$$ entonces:

  • «El límite de la suma es la suma de los límites», en símbolos, $$\lim_{x\to a} (f+g)(x) = b+c.$$
  • «El límite del producto es el producto de los límites», en símbolos, $$\lim_{x\to a} (fg)(x)=bc.$$

La proposición anterior es sólo para cuando los límites son reales. Hay resultados para cuando algunos de los límites son infinitos, pero en general hay que tener cuidado.

La primer propiedad analítica de los polinomios es saber cómo es su comportamiento cuando $x$ se hace infinito o menos infinito. Si el polinomio es constante, entonces este límite es simplemente su valor en cualquier punto. Para polinomios de grado mayor o igual a $1$, su comportamiento queda resumido en la siguiente proposición.

Proposición (límites a infinito). Tomemos al polinomio $p(x)$ en $\mathbb{R}[x]$ dado por $$p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n,$$ en donde $n\geq 1$ y $a_n\neq 0$.

  • Si $a_n>0$ y $p(x)$ es de grado par entonces $$\lim_{x\to \infty} p(x) = \lim_{x\to-\infty} p(x)= \infty,$$
  • Cuando $a_n>0$ y $p(x)$ es de grado impar entonces $$\lim_{x\to \infty} p(x) = \infty \quad \text { y } \quad \lim_{x\to -\infty} p(x)=-\infty$$
  • Si $a_n<0$ y $p(x)$ es de grado par entonces $$\lim_{x\to \infty} p(x) = \lim_{x\to-\infty} p(x)= -\infty,$$
  • Cuando $a_n<0$ y $p(x)$ es de grado impar entonces $$\lim_{x\to \infty} p(x) = -\infty \quad \text { y } \quad \lim_{x\to -\infty} p(x)=\infty.$$

Demostración. Vamos a hacer una de las demostraciones. Mostraremos que para cuando $a_n>0$ y el grado es par, entonces $$\lim_{x\to \infty} p(x) = \infty.$$ Las demás se siguen haciendo cambios de signo cuidadosos y usando que una potencia impar de un real negativo es un real negativo, y una potencia par es siempre un real positivo. Pensar en estas demostraciones queda como tarea moral.

Tomemos entonces $p(x)$ un polinomio de grado par y con coeficiente principal $a_n>0$. Intuitivamente, tenemos que mostrar que si $x$ es muy grande, entonces $p(x)$ es tan grande como queramos. Tomemos un real $M>0$. Como haremos $x$ grande, podemos suponer que $x>1$.

Como el término $a_nx^n$ es positivo, basta mostrar como resultado auxiliar que si $x$ es suficentemente grande, entonces $$a_nx^n >M+|a_0+a_1x+\ldots+a_{n-1}x^{n-1}|,$$ ya que si esto sucede, tendríamos que:
\begin{align*}
a_nx^n&>M+|a_0+a_1x+\ldots+a_{n-1}x^{n-1}|\\
&=M+|-a_0-a_1x-\ldots-a_{n-1}x^{n-1}|\\
&>M-a_0-a_1x-\ldots-a_{n-1}x^{n-1},
\end{align*}

y de aquí, pasando todo excepto a $M$ a la izquierda, tendríamos $p(x)>M$.

Para probar el resultado auxiliar, tomemos $A$ como el máximo de los valores absolutos $|a_0|,\ldots,|a_{n-1}|$. Por la desigualdad del triángulo y usando $x>1$ tenemos que

\begin{align*}
M+|a_0&+a_1x+\ldots+a_{n-1}x^{n-1}|\\
&\leq M+|a_0|+|a_1 x| + \ldots + |a_{n-1}x^{n-1}|\\
&\leq M+A(1+x+\ldots+x^{n-1})\\
&< M+nA\\
&<(M+nA)x^{n-1}
\end{align*}

De esta forma, para mostrar nuestra desigualdad auxiliar basta mostrar que para $x$ suficientemente grande, tenemos que $(M+nA)x^{n-1}<a_nx^n$. Pero como $x>0$, esta desigualdad es equivalente a $x>\frac{M+nA}{a_n}$.

Recapitulando, para cualquier $M>0$, si $x>\frac{M+nA}{a_n}$, entonces $p(x)>M$. Esto termina la demostración.

$\square$

Podemos usar la proposición anterior para comparar polinomios cuando su variable tiende a infinito.

Ejemplo. Mostraremos que existe una $M$ suficientemente grande tal que si $x>M$, entonces $$\frac{1}{2}x^7-x^6-x-1>x^6+1000x^5+1000000.$$ Pasando todo del lado izquierdo, nos queda la desigualdad equivalente $$\frac{1}{2}x^7-2x^6-1000x^5-x-999999>0.$$ Aquí tenemos un polinomio $p(x)$ de grado impar y coeficiente principal positivo. Por la proposición anterior, $\lim_{x\to \infty} p(x) = \infty$, de modo que la $M$ que estamos buscando existe.

$\triangle$

Continuidad de polinomios

Antes de llegar a diferenciabilidad de polinomios, haremos un paso intermedio. Recordemos otra definición de cálculo.

Definición. Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función y $a$ un real. Decimos que $f$ es continua en $a$ si $$\lim_{x\to a} f(x) = f(a).$$ Decimos que $f$ es continua si es continua en todo real.

Por la proposición de propiedades de límites, la suma o producto de funciones continuas es continua. Las funciones constantes son continuas. La función identidad $I:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por $I(x)=x$ es continua. Estos tres hechos nos ayudan a demostrar que todos los polinomios son funciones continuas sin tener que recurrir a la definición de límite.

Teorema. Cualquier polinomio $p(x)$ en $\mathbb{R}[x]$ pensado como una función $p:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es una función continua.

Demostración. Supongamos que $p(x)$ está dado por $$p(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n.$$

Para toda $i$ de $0$ a $n$ tenemos que la función $x\mapsto a_i$ es constante y por lo tanto es continua. Si $i>0$, la función $x\mapsto x^i$ es producto de $i$ veces la identidad consigo misma. Como la identidad es continua y producto de continuas es continua, entonces $x\mapsto x^i$ es continua.

De nuevo, usando que producto de funciones continuas es continua, tenemos que $x\mapsto a_ix^i$ es una función continua. De esta forma, $p(x)$ es la suma de $n+1$ funciones continuas, y por lo tanto es una función continua.

$\square$

El resultado anterior nos ayuda a usar teoremas versátiles de cálculo en nuestro estudio de polinomios. Recordemos el teorema del valor intermedio.

Teorema (del valor intermedio). Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función continua. Sean $a<b$ dos reales. Entonces entre $a$ y $b$, la función $f$ toma todos los valores entre $f(a)$ y $f(b)$.

Veamos cómo el teorema del valor intermedio nos permite encontrar raíces de polinomios.

Problema 1. Muestra que el polinomio $p(x)=x^7-5x^5+x^2+3$ tiene por lo menos una raíz en el intervalo $[0,2]$.

Solución. Al evaluar al polinomio en cero, obtenemos $p(0)=3$. Al evaluarlo en $2$, obtenemos
\begin{align*}
p(2)&=2^7-5\cdot 2^5+x^2 + 3\\
&=128-160+4+3\\
&=-25.
\end{align*}

Como los polinomios son funciones continuas, podemos aplicar el teorema del valor intermedio. Concluimos que $p(x)$ toma todos los valores de $-25$ a $2$ en el intervalo $[0,2]$. En particular, existe un real $r$ en $[0,2]$ tal que $p(r)=0$.

$\triangle$

El teorema del valor intermedio nos ayuda a demostrar que un polinomio tiene una raíz en cierto intervalo. Sin embargo, no es de tanta utilidad para decir exactamente cuál es esa raíz. Es un resultado existencial en vez de ser constructivo. Veamos un ejemplo más, que muestra una proposición que quedó pendiente en una entrada anterior.

Problema 2. Sea $p(x)$ un polinomio cuadrático, mónico e irreducible en $\mathbb{R}[x]$. Muestra que $p(r)>0$ para todo real $r$.

Solución. Procedamos por contradicción. Supongamos que $p(r)\leq 0$ para algún real $r$.

Como $p(x)$ es mónico, su coeficiente principal es $1$, que es positivo. Como $p(x)$ es cuadrático, es de grado par. Por la proposición de límites a infinito, existe un real $t>r$ tal que $p(t)>0$. Por el teorema del valor intermedio, existiría un real $s$ en el intervalo $[r,t]$ tal que $p(s)=0$. Pero esto es imposible, pues entonces por el teorema del factor $x-s$ divide a $p(x)$ y esto contradice que $p(x)$ es irreducible.

$\triangle$

Como muestra el problema anterior, se pueden combinar los límites de polinomios a infinito y menos infinito, y sus propiedades de continuidad. Otra aplicación es mostrar que todo polinomio de grado impar tiene por lo menos una raíz real. Esto se verá en otra entrada.

Por supuesto, otros resultados de continuidad también se pueden usar en todos los polinomios, como el teorema del valor extremo. Aplicándolo directamente, concluimos lo siguiente.

Proposición. Sean $a<b$ reales y $p(x)$ un polinomio en $\mathbb{R}$. Entonces $p(x)$ está acotado en el intervalo $[a,b]$ y existen reales $r$ y $s$ en dicho intervalo tales que $p(r)$ y $p(s)$ son el mínimo y máximo de $p(x)$ en $[a,b]$, respectivamente.

Diferenciabilidad de polinomios

Es momento de hablar de diferenciabilidad de polinomios. Recordemos una última definición de cálculo.

Definición. Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función. Decimos que $f$ es diferenciable en $a$ si el límite $$\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$ existe. En este caso, a ese límite lo denotamos por $f'(a)$. Una función es diferenciable si es diferenciable en todo real. A la función $f’:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ le llamamos la derivada de $f$.

Al igual que en el caso de continuidad, la suma y producto de funciones diferenciales es diferenciable. Si $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ y $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ son diferenciables, entonces la derivada de $f+g$ está dada por $$(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$$ y la derivada de $fg$ está dada por la regla de la cadena $$(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).$$

Las funciones constantes son diferenciables, y su derivada es la función constante $0$. La función identidad es diferenciable, y su derivada es la función constante $1$. Esto es sencillo de mostrar y queda como tarea moral.

Proposición. Sea $n\geq 1$ un entero. El polinomio $p(x)=x^n$ es diferenciable, y su derivada es la función $p'(x)=nx^{n-1}$.

Demostración. Haremos la prueba por inducción. Si $n=1$, el polinomio es $p(x)=x$, y su derivada es $p'(x)=1=1\cdot x^0$, como queremos. Supongamos que el resultado es cierto para el entero $n\geq 1$ y tomemos $p(x)=x^{n+1}=x^n\cdot x$. Por hipótesis inductiva, $x\mapsto x^n$ es diferenciable. Como $p(x)$ es producto de dos funciones diferenciables, entonces es diferenciable.

Usando la regla de la cadena, la hipótesis inductiva de la fórmula y la derivada de $x\mapsto x$, tenemos que $$p'(x)=(nx^{n-1})(x)+(x^n)(1)=(n+1)x^n.$$ Esto termina la demostración.

$\square$

Con todos estos ingredientes podemos mostrar la diferenciabilidad de todos los polinomios. Los detalles quedan como tarea moral.

Teorema (diferenciabilidad de polinomios). Sea $p(x)$ un polinomio en $\mathbb{R}[x]$ dado por $$p(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n,$$ Entonces $p(x)$ pensado como función es diferenciable y su derivada es un polinomio. Si $p(x)$ es constante, su derivada es el polinomio $0$. En otro caso, su derivada es el polinomio $$a_1+2a_2x+3a_3x^2+\ldots+na_nx^{n-1}.$$

Ejemplo. El polinomio $x^7+3x^2-1$ es diferenciable. Su derivada es el polinomio $7x^6+6x$.

$\triangle$

Ya que sabemos que los polinomios son diferenciables, podemos usar todas las herramientas de cálculo diferencial, como:

No profundizaremos en esto, pues es el contenido de un buen curso de cálculo, o bien de material de algún texto en el área, como el libro de Cálculo de Spivak.

A nosotros nos interesa una consecuencia algebraica de que los polinomios tengan derivada. Como la derivada de un polinomio es otro polinomio, entonces la derivada es diferenciable. Por ello, un polinomio $p(x)$ se puede derivar iteradamente tantas veces como se quiera. Al polinomio obtenido de derivar $n$ veces le llamamos la $n$-ésima derivada y lo denotamos por $p^{(n)}(x)$. En la siguiente entrada veremos cómo la repetida diferenciabilidad de polinomios nos ayuda a detectar la multiplicidad de sus raíces.

Más adelante…

En la siguiente sección nos encargaremos de realizar varios problemas para repasar las definiciones y propiedades que acabamos de enunciar, y posteriormente ocuparemos todo lo aprendido para explotar el conocimiento que tenemos de los polinomios.

En particular, nos será útil el concepto de diferenciabilidad pues con este podemos dar una definición precisa de lo que significa que la raíz de un polinomio sea múltiple.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Estudia el resto de los casos de la proposición de límites de polinomios cuando la entrada va a menos infinito y a infinito.
  2. Muestra usando la definición de límite que las funciones constantes y la función identidad son continuas.
  3. Demuestra por definición que las funciones constantes son diferenciables y que su derivada es la función constante $0$. Demuestra por definición que la función identidad es diferenciable y que su derivada es la función constante $1$.
  4. Muestra que existe un real $x$ en el cual los polinomios $p(x)=x^5+x^3+x$ y $q(x)=100x^4+10x^2$ son iguales. Sugerencia. Reescribe esta igualdad en términos de encontrar una raíz de un sólo polinomio.
  5. Completa los detalles del teorema de diferenciabilidad de polinomios.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Lineal I: Formas bilineales, propiedades, ejemplos y aclaraciones

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

9 respuestas

Introducción

En entradas anteriores hemos platicado de dualidad, ortogonalidad y transformaciones transpuestas. Es importante que repases esas entradas y nos escribas si tienes dudas, pues ahora pasaremos a un tema un poco diferente: formas bilineales y cuadráticas. Estas nociones nos permitirán seguir hablando acerca de la geometría de espacios vectoriales en general.

Para esta parte del curso, nos vamos a enfocar únicamente en espacios vectoriales sobre $\mathbb{R}$. Se pueden definir los conceptos que veremos para espacios vectoriales en otros campos. Sobre todo, es posible definir conceptos análogos en $\mathbb{C}$ y obtener una teoría muy rica. Pero por ahora consideraremos sólo el caso de espacios vectoriales reales.

Aunque hablaremos de formas bilineales en general, una subfamilia muy importante de ellas son los productos interiores, que nos permiten hablar de espacios euclideanos. El producto interior es el paso inicial en una cadena muy profunda de ideas matemáticas:

  • Un producto interior nos permite definir la norma de un vector.
  • Con la noción de norma, podemos definir la distancia entre dos vectores.
  • A partir de un producto interior y su norma podemos mostrar la desigualdad de Cauchy-Schwarz, con la cual podemos definir ángulos entre vectores (por ejemplo, ¡podremos definir el ángulo entre dos polinomios!).
  • De la desigualdad de Cauchy-Schwarz, podemos probar que la noción de norma satisface la desigualdad del triángulo, y que por lo tanto la noción de distancia define una métrica.
  • Aunque no lo veremos en este curso, más adelante verás que una métrica induce una topología, y que con una topología se puede hablar de continuidad.

En resumen, a partir de un producto interior podemos hacer cálculo en espacios vectoriales en general.

Una forma bilineal con la cual probablemente estés familiarizado es el producto punto en $\mathbb{R}^n$, que a dos vectores $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ y $(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ los manda al real $$x_1y_1+x_2y_2+\ldots+x_ny_n.$$ Este es un ejemplo de una forma bilineal que es un producto interior. También puede que estés familiarizado con la norma en $\mathbb{R}^n$, que a un vector $(x_1,\ldots,x_n)$ lo manda al real $$\sqrt{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}.$$ Lo que está dentro de la raíz es un ejemplo de una forma cuadrática positiva definida. Incluyendo la raíz, este es un ejemplo de norma en espacios vectoriales.

Hay muchas otras formas bilineales y formas cuadráticas, pero los ejemplos mencionados arriba te pueden ayudar a entender la intuición detrás de algunos de los conceptos que mencionaremos. Para marcar algunas cosas en las que la intuición puede fallar, pondremos algunas «Aclaraciones» a lo largo de esta entrada.

En el futuro, tener una buena noción de la geometría de espacios vectoriales te ayudará a entender mucho mejor los argumentos de cursos de análisis matemático, de variable compleja y de optativas como geometría diferencial. Dentro de este curso, entender bien el concepto de forma bilineal te será de gran utilidad para cuando más adelante hablemos de formas multilineales y determinantes.

Formas bilineales

La definición fundamental para los temas que veremos en estas entradas es la siguiente, así que enunciaremos la definición, veremos varios ejemplos y haremos algunas aclaraciones.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$. Una forma bilineal es una función $b:V\times V \to \mathbb{R}$ tal que:

  • Para todo $x$ en $V$, la función $b(x,\cdot):V\to \mathbb{R}$ que manda $v\in V$ a $b(x,v)$ es una forma lineal.
  • Para todo $y$ en $V$, la función $b(\cdot, y):V\to \mathbb{R}$ que manda $v\in V$ a $b(v,y)$ es una forma lineal.

Ejemplo 1. Considera el espacio vectorial de polinomios $\mathbb{R}_3[x]$ y considera la función $$b(p,q)=p(0)q(10)+p(1)q(11).$$ Afirmamos que $b$ es una forma bilineal. En efecto, fijemos un polinomio $p$ y tomemos dos polinomios $q_1$, $q_2$ y un real $r$. Tenemos que
\begin{align*}
b(p,q_1+rq_2)&=p(0)(q_1+rq_2)(10)+p(1)(q_1+rq_2)(11)\\
&= p(0)q_1(10)+p(1)q_1(11) + r ( p(0)q_2(10)+p(1)q_2(11))\\
&= b(p,q_1)+rb(p,q_2),
\end{align*}

De manera similar se puede probar que para $q$ fijo y $p_1$, $p_2$ polinomios y $r$ real tenemos que $$b(p_1+rp_2,q)=b(p_1,q)+rb(p_2,q).$$ Esto muestra que $b$ es una forma bilineal.

$\triangle$

Si $v=0$, entonces por el primer inciso de la definición, $b(x,v)=0$ para toda $x$ y por el segundo $b(v,y)=0$ para toda $y$, en otras palabras:

Proposición. Si $b$ es una forma bilineal en $b$, y alguno de $x$ o $y$ es $0$, entonces $b(x,y)=0$.

De la linealidad de ambas entradas de $b$, se tiene la siguiente proposición.

Proposición. Tomemos $b:V\times V\to \mathbb{R}$ una forma bilineal, vectores $x_1,\ldots,x_n$, $y_1,\ldots,y_m$ y escalares $a_1,\ldots,a_n,c_1,\ldots,c_m$. Tenemos que $$b\left(\sum_{i=1}^n a_ix_i, \sum_{j=1}^m c_j y_j\right)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m a_ic_jb(x_i,y_j).$$

La proposición anterior muestra, en particular, que para definir una forma bilineal en un espacio vectorial $V$ de dimensión finita $n$, basta tomar una base $\{e_1,\ldots,e_n\}$ de $V$ y definir $b(e_i,e_j)$ para toda $1\leq i,j \leq n$.

Hagamos algunas aclaraciones acerca de las formas bilineales.

Aclaración 1. No es lo mismo una forma bilineal en $V$, que una transformación lineal de $V\times V$ a $\mathbb{R}$.

Ejemplo 2. La transformación $b((w,x),(y,z))=w+x+y+z$ sí es una transformación lineal de $\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, lo cual se puede verificar fácilmente a partir de la definición. Sin embargo, no es una forma bilineal. Una forma de verlo es notando que $$b((0,0),(1,1))=0+0+1+1=2.$$ Aquí una de las entradas es el vector cero, pero el resultado no fue igual a cero.

$\triangle$

Aclaración 2. Puede pasar que ninguna de las entradas de la forma bilineal sea $0$, pero que evaluando en ella sí de $0$.

Ejemplo 3. Consideremos la transformación $b:\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ tal que $$b((w,x),(y,z))=wy-xz.$$ Verificar que esta es una forma bilineal es sencillo y se deja como tarea moral. Además, se tiene que $b((1,0),(0,1))=0$.

$\triangle$

Más adelante, cuando definamos producto interior, nos van a importar mucho las parejas de vectores $v$, $w$ para las cuales $b(v,w)=0$.

Aclaración 3. Si $b$ es una forma bilineal, no necesariamente es cierto que $b(x,y)=b(y,x)$.

Ejemplo 4. Consideremos la transformación $b:\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ tal que $$b((w,x),(y,z))=wz-xy.$$ Verificar que esta es una forma bilineal es sencillo y se deja como tarea moral. Notemos que $b((2,1),(2,3))=6-2=4$, mientras que $b((2,3),(2,1))=2-6=-4$.

$\triangle$

Aquellas formas para las que sí sucede que $b(x,y)=b(y,x)$ son importantes y merecen un nombre especial.

Definición. Una forma bilineal $b:V\times V\to \mathbb{R}$ es simétrica si $b(x,y)=b(y,x)$ para todo par de vectores $x,y$ en $V$.

Para definir una forma bilineal $b$ simétrica en un espacio $V$ de dimensión finita $n$, basta tomar una base $\{e_1,\ldots,e_n\}$ y definir $b$ en aquellas parejas $b(e_i,e_j)$ con $1\leq i \leq j \leq n$.

Más ejemplos de formas bilineales

A continuación enunciamos más ejemplos de formas bilineales, sin demostración. Es un buen ejercicio verificar la definición para todas ellas.

Ejemplo 1. Si $a_1, a_2,\ldots, a_n$ son números reales y $V=\mathbb{R}^n$, entonces podemos definir $b:V\times V \to \mathbb{R}$ que manda a $x=(x_1,\ldots,x_n)$ y $y=(y_1,\ldots,y_n)$ a $$b(x,y)=a_1x_1y_1+\ldots+a_nx_ny_n.$$

Este es un ejemplo de una forma bilineal simétrica. Si todos los $a_i$ son iguales a $1$, obtenemos el producto punto o producto interior canónico de $\mathbb{R}^n$.

Ejemplo 2. Tomemos $V$ como el espacio vectorial de matrices $M_n(\mathbb{R})$. La transformación $b:V\times V\to \mathbb{R}$ tal que $b(A,B)=\text{tr}(AB)$ es una forma bilineal. Además, es simétrica, pues la traza cumple la importante propiedad $\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)$, cuya verificación queda como tarea moral.

Ejemplo 3. Tomemos $V$ el conjunto de funciones continuas y de periodo $2\pi$ que van de $\mathbb{R}$ a sí mismo. Es decir, $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ está en $V$ si es continua y $f(x)=f(x+2 \pi)$ para todo real $x$. Se puede mostrar que $V$ es un subespacio del espacio de funciones continuas, lo cual es sencillo y se queda como tarea moral. La transformación $b:V\times V \to \mathbb{R}$ tal que $$b(f,g)=\int_{-\pi}^\pi f(x) g(x)\, dx$$ es una forma bilineal.

Ejemplo 4. Consideremos $V=\mathbb{R}[x]$, el espacio vectorial de polinomios con coeficientes reales. Para $P$ y $Q$ polinomios definimos $$b(P,Q)=\sum_{n=1}^\infty \frac{P(n)Q(2n)}{2^n}.$$

La serie de la derecha converge absolutamente, de modo que esta expresión está bien definida. Se tiene que $b$ es una forma bilineal, pero no es simétrica.

Formas cuadráticas

Otra definición fundamental es la siguiente

Definición. Una forma cuadrática es una transformación $q:V\to \mathbb{R}$ que se obtiene tomando una forma bilineal $b:V\times V \to \mathbb{R}$ y definiendo $$q(x)=b(x,x).$$

Aclaración 4. Es posible que la forma bilineal $b$ que define a una forma cuadrática no sea única.

Ejemplo. Consideremos a la forma bilineal de $\mathbb{R}^2$ tal que $$b((x,y),(w,z))=xz-yw.$$ La forma cuadrática dada por $b$ es $$q(x,y)=b((x,y),(x,y))=xy-yx=0.$$ Esta es la misma forma cuadrática que la dada por la forma bilineal $$b'((x,y),(w,z))=yw-xz.$$ Pero $b$ y $b’$ son formas bilineales distintas, pues $b((1,0),(0,1))=1$, mientras que $b'((1,0),(0,1))=-1$.

$\triangle$

La aclaración anterior dice que puede que haya más de una forma bilineal que de una misma forma cuadrática. Sin embargo, resulta que la asignación es única si además pedimos a la forma bilineal ser simétrica. Este es el contenido del siguiente resultado importante.

Teorema (identidad de polarización). Sea $q:V\to \mathbb{R}$ una forma cuadrática. Existe una única forma bilineal simétrica $b:V\times V \to \mathbb{R}$ tal que $q(x)=b(x,x)$ para todo vector $x$. Esta forma bilineal está determinada mediante la identidad de polarización $$b(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2}.$$

En la siguiente entrada mostraremos el teorema de la identidad de polarización. Por el momento, para tomar más intuición, observa como la identidad se parece mucho a la igualdad $$xy=\frac{(x+y)^2-x^2-y^2}{2}$$ en números reales.

Más adelante…

En esta entrada estudiamos una extensión de la noción de transformaciones lineales que ya habíamos discutido en la unidad anterior. Enunciamos algunos teoremas muy importantes sobre las transformaciones bilineales e hicimos algunos ejemplos de cómo podemos verificar si una transformación es bilineal. La noción de transformación bilineal, nos permitirá abordar un concepto muy importante: el producto interior.

En las siguientes entradas hablaremos del producto interior y cómo éste nos ayuda a definir ángulos y distancias entre vectores de un espacio vectorial.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Completa los detalles de la segunda parte del primer ejemplo.
  • Verifica que en efecto las transformaciones de los ejemplos de las aclaración 2 y 3 son formas bilineales.
  • Muestra que el subconjunto de funciones continuas $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ y de cualquier periodo $p$ es un subespacio del espacio vectorial $\mathcal{C}(\mathbb{R})$ de funciones continuas reales.
  • Demuestra que para $A$ y $B$ matrices en $M_{n}(F)$ se tiene que $\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)$.
  • Encuentra una forma cuadrática en el espacio vectorial $\mathbb{R}_3[x]$ que venga de más de una forma bilineal.
  • Muestra que el conjunto de formas bilineales de $V$ es un subespacio del espacio de funciones $V\times V \to \mathbb{R}$. Muestra que el conjunto de formas bilineales simétricas de $V$ es un subespacio del espacio de formas bilineales de $V$.
  • Piensa en cómo la igualdad $$xy=\frac{(x+y)^2-x^2-y^2}{2}$$ de números reales está relacionada con la identidad de polarización para el producto punto en $\mathbb{R}^n$.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Seminario de Resolución de Problemas: El teorema del valor medio

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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Introducción

Las funciones continuas son bonitas pues tienen la propiedad del valor intermedio y además alcanzan sus valores extremos. Las funciones diferenciables en un intervalo también tienen un par de teoremas que hablan acerca de algo que sucede «dentro del intervalo». Estos son el teorema de Rolle, del cual platicamos en la entrada anterior, y el teorema del valor medio. Ambos nos permiten encontrar en el intervalo un punto en el que la derivada tiene un valor específico.

Teorema de Rolle. Sean $a<b$ reales y $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una función continua en el intervalo $[a,b]$ y diferenciable en el intervalo $(a,b)$. Supongamos que $f(a)=f(b)$. Entonces existe un punto $c\in (a,b)$ tal que $f'(c)=0$.

Teorema del valor medio. Sean $a<b$ reales y $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una función continua en el intervalo $[a,b]$ y diferenciable en el intervalo $(a,b)$. Entonces existe un punto $c\in (a,b)$ tal que $$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

En la entrada anterior vimos aplicaciones del teorema de Rolle a resolución de problemas matemáticos. En esta entrada hablaremos brevemente de la intuición geométrica del teorema del valor medio, de algunas de sus consecuencias inmediatas y de cómo usar al teorema y sus consecuencias para resolver problemas concretos.

La intuición geométrica del teorema del valor medio

El teorema del valor medio dice que una función diferenciable en $(a,b)$ y continua en $[a,b]$ cumple que hay un punto $c$ tal que el valor de la derivada en $c$ es igual a la pendiente de la recta que une los puntos del plano $(a,f(a))$ y $(b,f(b))$. En la siguiente figura, se marca en azul el punto $c$ en donde la pendiente de la tangente es lo que queremos, es decir, la pendiente entre los puntos rojos.

Intuición geométrica del teorema del valor medio
Intuición geométrica del teorema del valor medio

En varios problemas en los que se usa el teorema del valor medio, o bien en los cuales se pide demostrar enunciados parecidos a lo que dice el teorema del valor medio, es conveniente hacer una figura para entender la intuición geométrica del problema.

Consecuencias del teorema del valor medio

Si $f$ y $g$ son funciones continuas en $[a,b]$ y diferenciables en $(a,b)$ entonces se pueden deducir los siguientes resultados a partir del teorema del valor medio. No profundizamos en las demostraciones, y dejamos su verificación como un ejercicio de práctica.

Proposición. Si $f'(x)=0$ para toda $x$ en $(a,b)$, entonces $f$ es constante.

Proposición. Si $f'(x)=g'(x)$ para toda $x$ en $(a,b)$, entonces existe una constante $c$ tal que $f(x)=g(x)+c$ para toda $x$.

Proposición. Si $f'(x)>0$ para toda $x$ en $(a,b)$, entonces $f$ es una función estrictamente creciente. Si $f'(x)<0$ en $(a,b)$, entonces $f$ es una función estrictamente decreciente.

Cuando $f'(x)\geq 0$ y $f'(x)\leq 0$, tenemos resultados análogos que dicen que es no decreciente y no creciente, respectivamente.

Veamos algunas aplicaciones de los resultados anteriores.

Problema. Sean $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ y $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ funciones tales que para todo par de reales $x$ y $y$ se cumple que $$|f(x)+g(y)-f(y)-g(x)|\leq (x-y)^2.$$ Demuestra que $f$ y $g$ varían sólo por una constante aditiva.

Sugerencia pre-solución. Identifica cuál de las proposiciones anteriores puedes usar. Hay que tener cuidado con las hipótesis, pues en el enunciado no se habla de la diferenciabilidad de ninguna de las funciones involucradas.

Solución. Podría ser tentador usar la segunda proposición que enunciamos arriba, pero no tenemos hipótesis acerca de la diferenciabilidad de $f$ o de $g$. Sin embargo, vamos a mostrar que sí se puede mostrar que $f-g$ es diferenciable en todo real, y que su derivada es $0$ en todo real. Para ello, definamos $h=f-g$ y notemos que la hipótesis dice que $|h(x)-h(y)|\leq (x-y)^2.$

A partir de aquí, notemos que por la hipótesis, para $x\neq y$, $$\frac{|h(y)-h(x)|}{|y-x|}\leq \frac{(y-x)^2}{|y-x|} = |y-x|,$$ y el límite de esta última expresión conforme $y\to x$ es $0$, de modo que $$\left|\lim_{y\to x} \frac{h(y)-h(x)}{y-x}\right|=\lim_{y\to x} \frac{|h(y)-h(x)|}{|y-x|} = 0.$$ Esto muestra que para cualquier $x$ se tiene que $h$ es diferenciable en $x$ y su derivada es igual $0$ en todo $x$. De este modo, $h$ es una función constante, y por lo tanto existe un $c$ tal que $f(x)=g(x)+c$ para todo $x$.

$\square$

Veamos cómo el teorema del valor medio nos puede ayudar a demostrar desigualdades.

Problema. Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función dos veces diferenciable tal que $f»(x)\geq 0$ para todo $x$. Demuestra que para todo par de reales $a$ y $b$ con $a<b$ se tiene que $$f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{f(a)+f(b)}{2}.$$

Sugerencia pre-solución. Haz una figura para convencerte de que el resultado es cierto. En el enunciado del problema, la función está siendo enunciada en tres valores, $a$, $b$ y $\frac{a+b}{2}$. Esto te dará una pista de dónde usar el teorema del valor medio.

Solución. Por el teorema del valor medio, existe un real $r$ en el intervalo $\left(a,\frac{a+b}{2}\right)$ para el cual $$\frac{f\left(\frac{a+b}{2}\right)-f(a)}{\frac{a+b}{2}-a} = f'(r).$$

De manera similar, existe un real $s$ en el intervalo $\left(\frac{a+b}{2},b\right)$ para el cual $$\frac{f(b)-f\left(\frac{a+b}{2}\right)}{b-\frac{a+b}{2}} = f'(s).$$

Como $f»(x)>0$ para todo real $x$, tenemos que $f’$ es una función creciente, y como $r<s$, tenemos entonces que $f'(r)<f'(s)$. De esta forma, $$ \frac{f\left(\frac{a+b}{2}\right)-f(a)}{\frac{a+b}{2}-a}<\frac{f(b)-f\left(\frac{a+b}{2}\right)}{b-\frac{a+b}{2}}.$$ Notemos que el denominador de ambos lados es $\frac{b-a}{2}$. Cancelando los denominadores y reacomodando los términos en esta desigualdad, obtenemos la desigualdad deseada.

$\square$

Problemas resueltos con el teorema del valor medio y otras técnicas

Veamos algunos problemas que combinan el teorema del valor medio con otras técnicas de solución de problemas.

Problema. Sea $f(x)$ una función diferenciable en $(0,1)$ y continua en $[0,1]$ con $f(0)=0$ y $f(1)=1$. Muestra que existen puntos distintos $a,b,c,d$ en el intervalo $[0,1]$ tales que $$\frac{1}{f'(a)}+ \frac{1}{f'(b)} + \frac{1}{f'(c)} + \frac{1}{f'(d)} = 4.$$

Sugerencia pre-solución. Para resolver el problema, hay que combinar el teorema del valor medio con el teorema del valor intermedio. El primer paso del problema es encontrar reales $p<q<r$ tales que $f$ valga en ellos $1/4$, $2/4$ y $3/4$.

Solución. Como $f(0)=0$, $f(1)=1$ y $0<1/4<1$, por el teorema del valor intermedio existe un real $p$ en $(0,1)$ tal que $f(p)=1/4$. De manera similar, existe un real $q$ en $(p,1)$ tal que $f(q)=2/4$ y un real $r$ en $(q,1)$ tal que $f(r)=3/4$.

Aplicando el teorema del valor medio a los intervalos $[0,p]$, $[p,q]$, $[q,r]$ y $[r,1]$ obtenemos reales $a,b,c,d$ respectivamente tales que

\begin{align*}
f'(a)&=\frac{f(p)-f(0)}{p-0}=\frac{1/4}{p}\\
f'(b)&=\frac{f(q)-f(p)}{q-p}=\frac{1/4}{q-p} \\
f'(c)&=\frac{f(r)-f(q)}{r-q}=\frac{1/4}{r-q} \\
f'(d)&=\frac{f(1)-f(r)}{1-r}=\frac{1/4}{1-r}.
\end{align*}

Estos son los valores de $a,b,c,d$ que queremos pues

\begin{align*}
\frac{1}{f'(a)}+ \frac{1}{f'(b)} + \frac{1}{f'(c)} + \frac{1}{f'(d)} &= 4(1-r+r-q+q-p+p)\\
&=4.
\end{align*}

$\square$

Problema. Sean $a$, $b$ y $c$ números distintos. Muestra que la siguiente expresión $$\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}+ \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-c)}$$ no depende del valor de $x$.

Sugerencia pre-solución. Encuentra la derivada de la expresión. Puedes aprovechar la simetría para hacer menos cuentas.

Solución. Usando la regla del producto, la derivada del primer sumando es
\begin{align*}
\frac{(x-a)+(x-b)}{(c-a)(c-b)}&=\frac{(2x-a-b)(b-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}\\
&=\frac{2x(b-a)+a^2-b^2}{(a-b)(b-c)(c-a)}.
\end{align*}

Por simetría, las derivadas de los otros dos términos tienen el mismo denominador que esta y en el numerador tienen, respectivamente,
\begin{align*}
&2x(c-b)+b^2-c^2\quad \text{y}\\
&2x(a-c)+c^2-a^2,
\end{align*} de modo que al sumar las tres expresiones obtenemos cero. Así, la derivada de la expresión es cero y por lo tanto es constante.

$\square$

Hay otro argumento para resolver el problema anterior, que usa teoría de polinomios. A grandes rasgos, la expresión es un polinomio de grado $2$, que toma tres veces el valor $1$, de modo que debe ser igual al polinomio constante $1$.

Más problemas

Hay más ejemplos de problemas relacionados con el teorema del valor medio en la Sección 6.6 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Seminario de Resolución de Problemas: El teorema del valor extremo

Por Fabian Ferrari

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Introducción

En una entrada anterior, acerca de funciones continuas, mencionamos dos teoremas fundamentales que estas funciones satisfacen: el teorema del valor intermedio y el teorema del valor extremo. Ya hablamos acerca del teorema del valor intermedio en una entrada anterior. El objetivo de esta entrada es mencionar aplicaciones del teorema del valor extremo.

Como recordatorio, el teorema del valor extremo o teorema de los valores extremos nos dice que si una función $f(x)$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$, entonces existen valores $c$ y $d$ en $[a, b]$ tales que $f(c) \leq f(x) \leq f(d)$ para toda $x$ en el intervalo $[a, b]$.

En otras palabras, lo que nos dice el teorema es que si una función es continua en un intervalo cerrado, tenemos que la función debe alcanzar un valor máximo y un valor mínimo dentro del intervalo.

Dos teoremas para funciones derivables

Aprovecharemos para mencionar dos teoremas importantes que se ocuparán más adelante. Las demostraciones de dichos teoremas tienen que ver con la aplicación del teorema del valor extremo, estos teoremas son el teorema de Rolle y el teorema del valor medio (no confundir con el teorema del valor intermedio).

Teorema de Rolle. Sean $a<b$ reales y $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ una función continua en el intervalo $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$. Se tiene que si $f(a)=f(b)$, entonces existe $c$ en $(a, b)$ tal que $f^\prime(c)=0$.

Sugerencia pre-demostración. Por el teorema del valor extremo, la función debe alcanzar un máximo y un mínimo en el intervalo. Divide en casos de acuerdo a dónde están estos valores, si en los extremos o no.

Demostración: Como $f(x)$ es una función continua en $[a, b]$, por el teorema del valor extremo tenemos que $f(x)$ alcanza un valor máximo y un valor mínimo en el intervalo $[a, b]$. Tenemos entonces los siguientes casos.

  • Caso i: Si el valor máximo y mínimo se encuentran en los extremos del intervalo, tenemos que la función $f(x)$ tiene que ser constante dado que $f(a)=f(b)$. y se tiene que $f^\prime(c)=0$ para todo $c$ en $[a, b]$.
  • Caso ii: Si el valor mínimo o máximo no están en los extremos. Sean $c_1$ y $c_2$ en $(a, b)$, los valores en los que la función alcanza su mínimo y máximo respectivamente. Alguno de estos no está en los extremos. Como $f(x)$ es derivable en $(a, b)$, tenemos que también va a ser derivable en alguno de los puntos $c_1$ y $c_2$, teniendo que $f^\prime(c_1)=0$ o $f^\prime(c_2)=0$, así que basta con tomar $c=c_1$ o $c=c_2$.

$\square$

Teorema del valor medio. Sean $a<b$ reales y $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ una función continua en $[a, b]$ y diferenciable en $(a, b)$. Entonces existe un número $c$ en $(a, b)$ tal que

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^\prime(c)$.

Demostración: Consideremos la siguiente función auxiliar:

$g(x)=(f(b)-f(a))x-(b-a)f(x)$

Tenemos que $g(x)$ es continua en $[a, b]$ y además es derivable en $(a,b)$. La derivada de $g(x)$ está dada por

$g^\prime(x)=f(b)-f(a)-(b-a)f^\prime(x)$

Como $g(x)$ es continua en $[a, b]$, tenemos que por el teorema del valor extremo, la función alcanza un máximo y un mínimo en el intervalo $[a, b]$. Haciendo las cuentas, $g(a)=g(b)$, de modo que si el máximo y mínimo ocurren en los extremos, entonces $g$ es constante y toda $c\in (a,b)$ satisface $g'(c)=0$

En otro caso, sea $c\in(a, b)$ el valor en donde $g(x)$ alcanza su mínimo o su máximo. Tenemos que $g^\prime(c)=0$.

Así, como $g^\prime(c)=f(b)-f(a)-(b-a)f^\prime(c)$, tenemos que:

$0=f(b)-f(a)-(b-a)f^\prime(c)$

$(b-a)f^\prime(c)=f(b)-f(a)$

$f^\prime(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

$\square$

Alternativamente, en la función anterior pudimos haber aplicado el teorema de Rolle directamente a la función $g$. En las siguientes entradas veremos aplicaciones de estos resultados a problemas concretos.

Aplicación del teorema del valor extremo a un problema

Problema. Se tiene un circulo de radio $r$, y una tangente $L$ que pasa por un punto $P$ de la circunferencia. De un punto cualquiera $R$ en la circunferencia se traza una paralela a $L$ que corta a la circunferencia en $Q$. Determina el área máxima que puede tener el triángulo $PQR$.

Sugerencia pre-solución. Antes que nada, haz una figura. Usa el teorema del valor extremo para asegurar la existencia del valor máximo. Para ello, necesitarás construir una función continua cuyo valor sea el área buscada. Puedes usar argumentos de simetría para conjeturar cuándo se alcanza el valor máximo.

Solución. Hacemos el siguiente diagrama para entender mejor el problema.

Diagrama del enunciado del problema

Fijémonos que las condiciones de la altura y la base del triángulo $PQR$ se pueden describir mediante la siguiente figura:

Condiciones para la altura y base del triángulo

Notemos que la altura del triángulo está dada por $r+h$, donde $h$ puede variar entre $-r$ y $r$. Este dibujo también nos es de ayuda para determinar el valor de la base. Por el teorema de Pitágoras y sabiendo que la distancia del centro $C$ a los puntos $R$ y $Q$ es igual a $r$, tenemos que la base del triángulo es igual a $2\sqrt{r^2-h^2}$.

Así, el área del triángulo está dada por $(\sqrt{r^2-h^2})(r+h)$, pero como $h$ varía, nos conviene ver el área en función de $h$.

$A(h)=\sqrt{r^2-h^2}(r+h),$

La función $A(h)$ es una función continua en el intervalo $[-r, r]$.

Notemos que cuando $h$ toma los valores de $-r$ y $r$, el valor del área es nulo, es decir que en estos valores alcanza el mínimo, lo cual quiere decir que por el teorema del valor extremo, el valor máximo lo alcanza en algún valor en $(-r, r)$.

Si derivamos la función $A(h)$, tenemos

$A^\prime(h)=\frac{r^2-rh-2h^2}{\sqrt{r^2-h^2}}.$

Como sabemos que hay un máximo en el intervalo $(-r, r)$ y la derivada en este punto máximo debe ser igual a cero, hacemos $A^\prime(h)=0$.

Así,

$\frac{r^2-rh-2h^2}{\sqrt{r^2-h^2}}=0.$

Resolviendo la ecuación tenemos que

$h=\frac{r}{2}.$

Así, el área máxima del triángulo $PQR$ es $$A=\sqrt{r^2-\left(\frac{r}{2}\right)^2}\left(r+\frac{r}{2}\right)=\frac{3\sqrt{3}r^2}{4}.$$

$\square$

Más ejemplos

Se pueden encontrar más problemas de aplicación del teorema del vaalor extremo en la Sección 6.4 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.