Archivo de la etiqueta: continuidad

Variable Compleja I: Límites y continuidad en $\mathbb{C}$

Por Pedro Rivera Herrera

Introducción

A lo largo de nuestros cursos de Cálculo hemos trabajado el concepto de límite a detalle, pues como sabemos conceptos esenciales en la teoría de las funciones reales como el de continuidad y derivada, además de muchos otros, tienen sustento y se definen precisamente a tráves del límite. Intuitivamente sabemos que el límite de una función real, cuando existe, digamos $\lim_{x\to x_0} f(x) = L$, nos dice que los valores de la función $f$ estarán tan cercanos al número real $L$ siempre que $x$ esté próximo a $x_0$, pero sin llegar a ser igual a dicho valor.

En esta entrada veremos que al igual que en el caso real, el concepto de límite para funciones complejas nos permitirá hablar de la continuidad y la diferenciabilidad de una función compleja. Aunque el concepto de límite para funciones complejas será idéntico a nuestra idea de proximidad en el caso real, veremos que el caso complejo es mucho más rico ya que aquí consideraremos más de dos posibles direcciones en que un número complejo se aproxime a otro.

Es interesante cuestionarnos sobre cómo podríamos pensar de forma intuitiva el concepto de continuidad en el caso complejo, puesto que solíamos asociar la idea intuitiva de que una función real continua era aquella cuya gráfica no tenía huecos o saltos, sin embargo como hemos mencionado antes, en el caso complejo nos será imposible visualizar la gráfica de una función compleja. Por lo que, aunque tendremos definiciones similares a las del caso real, no debemos dar por hecho que el comportamiento de las funciones complejas será el mismo que el de las funciones reales y de hecho veremos que las funciones complejas se comportan distinto a las funciones vectoriales de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^2$.

Límites

Recordemos que para $S\subset\mathbb{C}$, el conjunto $S’$ denota al conjunto de los puntos de acumulación de $S$.

Definición 13.1. (Límite.)
Sea $S \subset \mathbb{C}$ y sea $z_0 \in S’$. Dada $f\in\mathcal{F}(S)$, diremos que el número complejo $L\in\mathbb{C}$ es el límite de $f(z)$ cuando z tiende a $z_0$, lo cual denotamos como $\lim_{z\to z_0} f(z) = L$, si para todo $\varepsilon>0$ existe un $\delta>0$ tal que si $z\in S$ y $0<|\,z – z_0\,|<\delta$ entonces $|\,f(z) – L\,|<\varepsilon$.

Observación 13.1.
Al igual que en el caso real, de existir dicho límite, este es único. Supongamos que $\lim_{z \to z_0} f(z) = L_1$ y $\lim_{z \to z_0} f(z) = L_2$. Por la definición 12.4 tenemos que dado $\varepsilon>0$ existen $\delta_1>0$ y $\delta_2>0$ tales que si $z\in S$ y $0<|\,z – z_0\,|<\delta_1$, $0<|\,z – z_0\,|<\delta_2$, entonces $|\,f(z) – L_1\,|<\frac{\varepsilon}{2}$ y $|\,f(z) – L_2\,|<\frac{\varepsilon}{2}$. Como $z_0 \in S’$, entonces para $\delta = \text{mín}\{\delta_1, \delta_2\} > 0$ existe $z^* \in S$ tal que $0<|\,z^* – z_0\,| < \delta$, por lo que: \begin{equation*} |\,L_1 – L_2\,| \leq |\,f(z^*) – L_1\,| + |\,f(z^*) – L_2\,| < \varepsilon. \end{equation*} Como se cumple para todo $\varepsilon>0$, entonces $L_1 = L_2$.

Observación 13.2.
Primeramente, notemos que la existencia del límite $L$ no depende de que la función $f$ esté definida en el punto $z_0$. Por otra parte, de acuerdo con la observación 12.6 tenemos que para garantizar la existencia de $\lim_{z \to z_0} f(z)$, debe suceder que la función $f$ evaluada en $z$ se aproxime siempre al mismo número complejo $L$, esto sin importar la forma en que $z$ se aproxime a $z_0$, figura~\ref{fig:f60}. Es decir, si $f$ se aproxima a dos números complejos distintos, digamos $L_1$ y $L_2$, cuando $z$ se aproxima a $z_0$ siguiendo dos trayectorias distintas, entonces $\lim_{z \to z_0} f(z)$ no existe.

Figura 60: Gráfica de los planos $z$ y $w$ donde se representan dos posibles formas en que $f(z)$ se aproxima a $L$ conforme $z$ se aproxima a $z_0$. La existencia del límite no depende de la forma en que $z$ se aproxime a $z_0$.

Ejemplo 13.1.
a) Consideremos la siguiente función: \begin{equation*} f(z)= \dfrac{z^2 + 4}{z-2i}. \end{equation*} Es claro que el dominio natural de $f$ es $S = \mathbb{C} \setminus \{2i\}$. Sin embargo, veamos que $\lim_{z \to 2i} f(z) = 4i$.

Solución. Sea $z \in S$. Notemos que: \begin{equation*} |\,f(z) \,-\, 4i\,| = \left|\, \dfrac{z^2 + 4}{z-2i} \, – \, 4i \,\right| = |\,z – 2i\,|. \end{equation*} Por lo que para $\varepsilon>0$ definimos $\delta = \varepsilon$, entonces $|\,f(z) – 4i\,|<\varepsilon$ si $0<|\,z – 2i\,|<\delta$, es decir $\lim_{z \to 2i} f(z) = 4i$.

b) Consideremos a la función $f(z) = \overline{z}^2 – 2$. Es claro que la función $f$ está definida en todo $\mathbb{C}$. Veamos que $\lim_{z\to 1-i} f(z) = -2 + 2i$.

Solución. Sean $z\in\mathbb{C}$ y $\varepsilon>0$. Notemos que: \begin{align*} |\,\overline{z}^2 – 2 -(-2+2i)\,| & = |\,\overline{z}^2 – 2i\,| = |\,\overline{\overline{z}^2 – 2i}\,| = |\,z^2 + 2i\,|\\ & = |\,z-(1-i)\,| \, |\,z+(1-i)\,|\\ &\leq |\,z-(1-i)\,| \, \bigg( |\,z-(1-i)\,| + 2|\,1-i\,| \bigg). \end{align*}

Haciendo $0<|\,z-(1-i)\,|<1$ tenemos que: \begin{align*} |\,\overline{z}^2 – 2 -(-2+2i)\,| &\leq |\,z-(1-i)\,| \, \bigg( 1 + 2\sqrt{2} \bigg) \end{align*} Por lo que tomando $\delta= \text{mín}\left\{1, \dfrac{\varepsilon}{1+2\sqrt{2}}\right\}>0$, se sigue que si $0<|\,z-(1-i)\,|<\delta$ entonces: \begin{equation*} |\,f(z) – (-2+i)\,| = |\,\overline{z}^2 – 2 -(-2+2i)\,| < \varepsilon. \end{equation*} Por lo tanto $\lim_{z\to 1-i} f(z) = -2 + 2i$.

c) Sea $c\in\mathbb{C}$ una constante. Consideremos a las funciones $f(z) = c$, $g(z)=z$ y $h(z)=\overline{z}$. Es claro que dichas funciones complejas están definidas en todo $\mathbb{C}$. Entonces para todo $z_0\in\mathbb{C}$ se cumple que para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta = \varepsilon>0$ tal que: \begin{align*} \lim_{z \to z_0} f(z) = c,\\ \lim_{z \to z_0} g(z) = z_0,\\ \lim_{z \to z_0} h(z) = \overline{z_0}. \end{align*}

Ejemplo 13.2.
Consideremos a la función: \begin{equation*} f(z) = \dfrac{z}{\overline{z}},\end{equation*} cuyo dominio es $S =\mathbb{C}\setminus\{0\}$. Veamos que $\lim_{z\to 0} f(z)$ no existe.

Solución. De acuerdo con la observación 12.7, basta encontrar dos trayectorias por las que $z$ se aproxime a $0$ que nos den valores distintos para dicho límite.

Notemos que si nos acercamos a $0$ a través del eje real, es decir tomando $z=x+i0$, con $x\rightarrow 0$, entonces: \begin{equation*} \lim_{z \to 0} f(z) = \lim_{z \to 0} \dfrac{z}{\overline{z}} = \lim_{x \to 0} \dfrac{x+i0}{x-i0} = \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{x} = 1. \end{equation*}

Mientras que si nos acercamos a $0$ a través del eje imaginario, es decir tomando $z=0+iy$, con $y\rightarrow 0$, entonces: \begin{equation*} \lim_{z \to 0} f(z) = \lim_{z \to 0} \dfrac{z}{\overline{z}} = \lim_{y \to 0} \dfrac{0+iy}{0-iy} = \lim_{y \to 0} \dfrac{iy}{-iy} = -1. \end{equation*}

Por lo que $\lim_{z\to 0} f(z)$ no existe.

Proposición 13.1.
Sean $f\in\mathcal{F}(S)$, $z_0\in S’$ y $L\in\mathbb{C}$. Se tiene que:
\begin{align*} \lim_{z \to z_0} f(z) = L \quad & \text{si y solo si}\\ &\lim_{z \to z_0} \operatorname{Re}(f(z)) = \operatorname{Re}(L) \,\,\, \text{y} \,\, \lim_{z \to z_0} \operatorname{Im}(f(z)) = \operatorname{Im}(L) \end{align*}

Demostración. De acuerdo con la observación 3.1 tenemos que para todo $z\in S$ se cumple que: \begin{equation*} |\,\operatorname{Re}(f(z)) – \operatorname{Re}(L)\,| \leq |\,f(z) – L\,| \leq |\,\operatorname{Re}(f(z)) – \operatorname{Re}(L)\,| + |\,\operatorname{Im}(f(z)) – \operatorname{Im}(L)\,|, \end{equation*} \begin{equation*} |\,\operatorname{Im}(f(z)) – \operatorname{Im}(L)\,| \leq |\,f(z) – L\,| \leq |\,\operatorname{Re}(f(z)) – \operatorname{Re}(L)\,| + |\,\operatorname{Im}(f(z)) – \operatorname{Im}(L)\,|. \end{equation*} De donde se sigue el resultado.

$\blacksquare$

Por la proposición 13.1 tenemos que la existencia de un límite en $\mathbb{C}$ está garantizada por la existencia de los límites de dos funciones escalares, por lo que podemos utilizar los resultados que conocemos para límites de funciones escalares de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}$ para verificar si dicho límite existe en $\mathbb{C}$.

Ejemplo 13.3.
Consideremos a la función $f(z) = z^2$, la cual está definida en todo $\mathbb{C}$. Veamos que para todo $z_0\in\mathbb{C}$ se cumple: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = z_0^2. \end{equation*}

Solución. Procediendo por la definición 13.1 es fácil probar la existencia de dicho límite. Sin embargo, podemos hacer uso de la proposición 13.1 para probar el resultado. Sean $z=x+iy$ y $z_0 = x_0+iy_0$. Entonces tenemos que:\begin{equation*} f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y), \end{equation*}

donde $\operatorname{Re}(f(z)) = u(x,y) = x^2 -y^2$ e $\operatorname{Im}(f(z))=v(x,y) = 2xy$.

Tenemos que: \begin{align*} \lim_{z \to z_0} \operatorname{Re}(f(z)) = \lim_{\substack{x \to x_0 \ y \to y_0}} u(x,y) = x_0^2 – y_0^2,\\ \lim_{z \to z_0} \operatorname{Im}(f(z)) = \lim_{\substack{x \to x_0 \ y \to y_0}} v(x,y) = 2x_0 y_0. \end{align*} Por lo tanto $\lim_{z \to z_0} f(z) = x_0^2 – y_0^2 + i2x_0y_0 = z_0^2$.

Observación 13.3.
Notemos que para la función $f(z)=z^n$, con $n\in\mathbb{N}^+$ y $z\in\mathbb{C}$, se puede probar por inducción que para todo $z_0\in\mathbb{C}$: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = \lim_{z \to z_0} z^n = z_0^n. \end{equation*}

Proposición 13.2. (Álgebra de límites.)
Sean $f,g\in\mathcal{F}(S)$, sea $z_0 \in S’$ y sean $c, L_1, L_2 \in \mathbb{C}$. Supongamos que $\lim_{z \to z_0} f(z) = L_1$, $\lim_{z \to z_0} g(z) = L_2$. Entonces:

  1. $\lim_{z \to z_0} \left[f(z) \pm c g(z)\right] = L_1 \pm c \, L_2$.
  2. $\lim_{z \to z_0} \left[f(z)g(z)\right] = L_1L_2$.
  3. Si $L_2 \neq 0$, entonces $\lim_{z \to z_0} \left[\dfrac{f(z)}{g(z)}\right] = \dfrac{L_1}{ L_2}$.

Demostración.

  1. Dadas las hipótesis, tenemos que si $c = 0$ entonces se sigue el resultado. Supongamos que $c\neq 0$ y sea $\varepsilon>0$, entonces existen $\delta_1>0$, $\delta_2>0$ tales que si $z\in S$ y $0<|\,z-z_0\,|<\delta_1$, $0<|\,z-z_0\,|<\delta_2$, entonces: \begin{align*} |\,f(z) – L_1\,| < \frac{\varepsilon}{2},\\ |\,g(z) – L_2\,| < \frac{\varepsilon}{2|c|}. \end{align*} Por lo que tomando $\delta = \text{mín}\{\delta_1, \delta_2\}>0$, tenemos que si $z\in S$ y $0<|\,z-z_0\,|<\delta$, entonces: \begin{equation*} |\,f(z) \pm cg(z) – (L_1 \pm c \, L_2) \,| \leq |\,f(z) – L_1\,| + |\,c\,| \, |\,g(z) – L_2\,| < \varepsilon. \end{equation*}
  2. Se deja como ejercicio al lector.
  3. Se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Observación 13.4.
De acuerdo con la proposición 13.2 y el inciso (c) del ejemplo 13.1, podemos calcular de forma inmediata el límite de un polinomio en cualquier punto, o el límite de una función racional en un punto donde dicha función esté definida, simplemente evaluando el polinomio o la función racional en el punto dado.

Ejemplo 13.4.
Hallar cada uno de los siguientes límites:
a) $\lim_{z \to 3i} \dfrac{z^2 + 9}{z-3i}$.
b) $\lim_{z \to 2+3i} (z-5i)^2$.
c) $\lim_{z \to i} 3z^2 + 2z -1$.

Solución. Considerando la observación 13.4 y las propiedades de los límites tenemos:
a) \begin{align*} \lim_{z \to 3i} \dfrac{z^2 + 9}{z-3i} & = \lim_{z \to 3i} \dfrac{(z+3i)(z-3i)}{z-3i}\\ & = \lim_{z \to 3i} z+3i\\ & = \lim_{z \to 3i} z + \lim_{z \to 3i} 3i \\ & = 3i + 3i \\ & = 6i. \end{align*}
b) \begin{align*} \lim_{z \to 2+3i} (z-5i)^2 & = \lim_{z \to 2+3i} (z-5i)(z-5i) \\ & = \left(\lim_{z \to 2+3i} z-5i\right)^2 \\ & = \left(\lim_{z \to 2+3i} z – \lim_{z \to 2+3i} 5i\right)^2 \\ & = \left(2+3i – 5i\right)^2\\ & = \left(2-2i\right)^2\\ & = -8i. \end{align*}
c) \begin{align*} \lim_{z \to i} 3z^2 + 2z -1 & = 3 \lim_{z \to i} z^2 + 2\lim_{z \to i} z – \lim_{z \to i} 1\\ & = 3\left( \lim_{z \to i} z\right)^2 + 2i – 1\\ & = 3i^2 + 2i – 1 \\ & = -4 + 2i. \end{align*}

Consideremos ahora a la función $f(z) = 1/z$, dada en el ejemplo 12.1(d). Al pensarla como una función compleja definida en $\mathbb{C}$, es claro que el dominio $S$ de dicha función es $S = \mathbb{C}\setminus{0}$. Sin embargo, considerando al plano complejo extendido tomemos $f:S\subset\mathbb{C}_\infty \to\mathbb{C}_\infty$, por lo que podemos definir a la imagen de $z=0$ bajo dicha función como el punto al infinito, es decir $w = f(z) = \infty$. Es claro que al trabajar con $\mathbb{C}_\infty$ la función f es biyectiva, por lo que podemos pensar en la inversa de $f$, es decir en $z = f^{-1}(w) = 1/w$. Entonces ¿qué pasa con $\lim{w\to 0} f(f^{-1}(w))$? ¿y con $\lim_{z \to \infty} f(z)$? ¿Qué relación hay entre dichos límites?

Por otra parte, como vimos en la entrada 11, cuando pensamos en que un número complejo tiende a infinito, lo cual denotamos como $z \to \infty$, estamos considerando que su módulo crece de manera arbitraria, es decir $|\,z\,| \to \infty$. Del mismo modo al hablar de una función $f$ que tiende a infinito, lo cual denotamos como $f(z) \to \infty$, estamos considerando que el módulo de dicha función crece de forma arbitraria, es decir $|\,f(z)\,| \to \infty$.

Para formalizar todo lo anterior consideremos la siguientes definiciones.

Definición 13.2. ($\rho$-vecindad de $\infty$.)
Sea $\rho>0$ suficientemente pequeño. En el plano complejo extendido $\mathbb{C}_\infty$, una $\rho$-vecindad de $\infty$ o simplemente una vecindad de $\infty$, es el conjunto: \begin{equation*} B(\infty, \rho) = \left\{z\in\mathbb{C} \,: \, \frac{1}{\rho} < |\,z\,| \right\}. \end{equation*}
Un conjunto $U\subset\mathbb{C}\infty$ abierto que contenga a una $\rho$-vecindad de $\infty$, para algún $\rho>0$, es también una $\rho$-vecindad de $\infty$.

Definición 13.3. (Límites al infinito e infinitos.)
Sea $f:S\subset\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ una función.

  1. Diremos que $\lim_{z\to \infty} f(z) = w_0$ si para todo $\varepsilon>0$, existe $\delta>0$ tal que si $z\in S$ y $|\,z\,|>\frac{1}{\delta}$, entonces: \begin{equation*} |\,f(z) – w_0\,| < \varepsilon. \end{equation*}
  2. Diremos que $\lim_{z\to z_0} f(z) = \infty$ si para todo $\varepsilon>0$ existe un $\delta>0$ tal que si $z\in S$ y $0<|\,z-z_0\,|<\delta$, entonces: \begin{equation*} |\,f(z)\,| > \frac{1}{\varepsilon}. \end{equation*}
  3. Diremos que $\lim_{z\to \infty} f(z) = \infty$ si para todo $\varepsilon>0$, existe $\delta>0$ tal que si $z\in S$ y $|\,z\,|>\frac{1}{\delta}$, entonces: \begin{equation*} |\,f(z)\,| > \frac{1}{\varepsilon}. \end{equation*}

Ejemplo 13.5.
a) Sea $f(z) = \dfrac{1}{z^2}$, con $z\neq 0$, entonces: \begin{equation*} \lim_{z\to \infty} f(z) = 0. \end{equation*}
Solución. Sea $\varepsilon>0$. Notemos que para $\delta=\sqrt{\varepsilon}>0$, si $z\neq 0$ y $|\,z\,| > \dfrac{1}{\delta}$, entonces: \begin{equation*} \left|\,f(z) – 0\,\right| = \left|\,\frac{1}{z^2} – 0\,\right| = \frac{1}{|\,z^2\,|} = \frac{1}{|\,z\,|^2} < \varepsilon. \end{equation*} Por lo que $\lim_{z\to \infty} f(z) = 0$.
b) Sea $f(z) = \dfrac{1}{z-3}$, con $z\neq 3$, entonces: \begin{equation*} \lim_{z\to 3} f(z) = \infty. \end{equation*}
Solución. Sea $\varepsilon>0$. Notemos que para $\delta=\varepsilon>0$, si $z\neq 3$ y $0<|\,z-3\,|<\delta$, entonces: \begin{equation*} \left|\,f(z)\,\right| = \left|\,\frac{1}{z-3}\,\right| = \frac{1}{|\,z-3\,|} > \frac{1}{\varepsilon}.\end{equation*} Por lo que $\lim_{z\to 3} f(z) = \infty$.

De lo anterior tenemos que los valores $z_0$ y $L$ en la definición 13.1 pueden ser sustituidos de forma indistinta por el punto al infinito, es decir en: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = L, \end{equation*} podemos remplazar a $z_0$ y/o $L$ por $\infty$, para ello solo habría que remplazar apropiadamente sus vecindades por vecindades de $\infty$. Para tener más claro esto y poder trabajar de manera más sencilla con estos límites tenemos el siguiente resultado.

Proposición 13.3.
Sea $f:S \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ una función y sean $z_0$ en el plano $z$, que corresponde al del dominio de $f$, y $w_0$ en el plano $w$, que corresponde al plano de la imagen de $f$, observación 12.1, entonces:

  1. \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = \infty \quad \text{si y solo si} \quad \lim_{z \to z_0} \frac{1}{f(z)} = 0. \end{equation*}
  2. \begin{equation*} \lim_{z \to \infty} f(z) = w_0 \quad \text{si y solo si} \quad \lim_{z \to 0} f\left(\frac{1}{z}\right) = w_0. \end{equation*}
  3. \begin{equation*} \lim_{z \to \infty} f(z) = \infty \quad \text{si y solo si} \quad \lim_{z \to 0} \frac{1}{f(1/z)} = 0. \end{equation*}

Demostración.

  1. Sea $z\in S$. Si $\lim_{z \to z_0} f(z) = \infty$ existe, entonces de la definición 13.3(2) tenemos que para todo $\varepsilon>0$, existe $\delta>0$ tal que: \begin{equation*} |\,f(z)\,| > \frac{1}{\varepsilon} \quad \text{si} \quad 0<|\,z-z_0\,|<\delta. \end{equation*} Notemos que para el punto $w=f(z)$ se tiene que $|\,w\,| > 1/\varepsilon$, es decir $w$ pertenece a un $\varepsilon$-vecindario de $\infty$, siempre que $0<|\,z-z_0\,|<\delta$. De lo anterior tenemos que: \begin{equation*} \left|\,\frac{1}{f(z)} – 0 \,\right| = \left|\,\frac{1}{f(z)}\,\right| = \frac{1}{|f(z)|} < \varepsilon \quad \text{si} \quad 0<|\,z-z_0\,|<\delta. \end{equation*} Por lo que $\lim_{z \to z_0} \dfrac{1}{f(z)} = 0$.
  2. Se deja como ejercicio al lector.
  3. Se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

La proposición 13.3 es de gran utilidad al trabajar con el punto al infinito. La idea de dicha proposición es representar al punto al infinito y su entorno mediante sus imágenes en la función $w = f(z) = 1/z$. Esto es, el punto $z=\infty$ corresponde con el punto $w=0$ y un $\varepsilon$-vecindario de $\infty$ corresponde con un $\varepsilon$-vecindario de $0$. Por lo que la existencia de un límite de una función $f(z)$ que considere al punto $z=\infty$ dependerá de la existencia de un límite que considere al punto $w=0$.

Ejemplo 13.6.
a) Consideremos a la función $f(z) = \dfrac{2z^3-1}{z^2+1}$ definida en $S=\mathbb{C}\setminus\{i,-i\}$. Veamos que: \begin{equation*} \lim_{z \to \infty} f(z) = \infty. \end{equation*} Solución. Notemos que: \begin{equation*} f(1/z) = \frac{(2/z^3)-1}{(1/z^2)+1}, \quad \quad \frac{1}{f(1/z)} = \frac{(1/z^2)+1}{(2/z^3)-1}. \end{equation*} De acuerdo con la proposición 13.3 como: \begin{align*} \lim_{z \to 0} \frac{1}{f(1/z)} &= \lim_{z \to 0} \frac{(1/z^2)+1}{(2/z^3)-1}\\ &= \lim_{z \to 0} \frac{z^3\left[(1/z^2)+1\right]}{z^3\left[(2/z^3)-1\right]}\\ &= \lim_{z \to 0} \frac{z^3 + z}{2 – z^3} = 0. \end{align*} Entonces $\lim_{z \to \infty} f(z) = \infty$.
b) Consideremos a la función $g(z) = \dfrac{iz+3}{z+1}$ con dominio $S=\mathbb{C}\setminus\{-1\}$. Veamos que: \begin{equation*} \lim_{z \to -1} g(z) = \infty. \end{equation*} Solución. Notemos que: \begin{equation*} \lim_{z \to -1} \frac{1}{g(z)} = \lim_{z \to -1} \frac{z+1}{iz+3} = 0.\ \end{equation*} Por lo que se sigue de la proposición 13.3 que $\lim_{z \to \infty} g(z) = \infty$.
c) Sea $h(z) = \dfrac{2z+i}{z+1}$ una función definida en $S=\mathbb{C}\setminus\{-1\}$. Veamos que: \begin{equation*} \lim_{z \to \infty} h(z) = 2. \end{equation*} Solución. De acuerdo con la proposición 13.3 como:
\begin{equation*} \lim_{z \to 0} h(1/z) = \lim_{z \to 0} \frac{(2/z)+i}{(1/z)+1} = \lim_{z \to 0} \frac{2+iz}{1 + z} = 2. \end{equation*} Entonces $\lim_{z \to \infty} h(z) = 2$.

Continuidad

Definición 13.4. (Continuidad.)
Sea $f\in\mathcal{F}(S)$. Diremos que $f$ es continua en un punto $z_0\in S$ si para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que si $z\in S$ y $|\,z-z_0\,|<\delta$, entonces $|\,f(z)-f(z_0)\,|<\varepsilon$. Si $f$ es continua en todo punto $z_0 \in S$, entonces diremos que $f$ es continua en $S$. Si $f$ no es continua en $z_0\in S$, entonces diremos que es discontinua en $z_0$.

Ejemplo 13.7.
a) Veamos que las funciones $f(z) = \operatorname{Re}(z)$ y $g(z) = \operatorname{Im}(z)$ son continuas para todo $z_0\in\mathbb{C}$. Solución. Sea $z_0 \in \mathbb{C}$. De acuerdo con la observación 3.1 tenemos que: \begin{equation*} |\,\operatorname{Re}(z) – \operatorname{Re}(z_0)\,| \leq |\,z – z_0\,|, \end{equation*} \begin{equation*} |\,\operatorname{Im}(z) – \operatorname{Im}(z_0)\,| \leq |\,z – z_0\,|. \end{equation*} Por lo que para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta = \varepsilon >0$ tal que si $z\in\mathbb{C}$ y $|\,z – z_0\,| < \delta$, entonces: \begin{equation*} |\,f(z) – f(z_0)\,| = |\,\operatorname{Re}(z) – \operatorname{Re}(z_0)\,| < \varepsilon, \end{equation*} \begin{equation*} |\,g(z) – g(z_0)\,| = |\,\operatorname{Im}(z) – \operatorname{Im}(z_0)\,| < \varepsilon. \end{equation*} De donde se sigue el resultado.
b) Veamos que la función $h(z)=|\,z\,|$ es continua para todo $z_0 \in\mathbb{C}$. Solución. Sea $z_0\in\mathbb{C}$. Por la proposición 3.3 sabemos que: \begin{equation*} |\,|\,z\,| – |\,z_0\,| \,| \leq |\,z – z_0\,|. \end{equation*} Por lo que para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta = \varepsilon>0$ tal que si $z\in\mathbb{C}$ y $|\,z-z_0\,|<\delta$, entonces: \begin{equation*} |\,h(z) – h(z_0)\,| = |\,|\,z\,| – |\,z_0\,| \,| < \varepsilon. \end{equation*} Por lo que $f$ es continua para todo $z_0\in\mathbb{C}$.

Ejemplo 13.8.
De acuerdo con la observación 13.3, el ejemplo 13.1(c) y la proposición 13.2(2) es claro que para $c\in\mathbb{C}$ una constante y $z\in\mathbb{C}$ se tiene para toda $n\in\mathbb{N}^+$ que: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} c z^n = c z_0^n, \end{equation*} por lo que $f(z) = c z^n$ es una función continua en $\mathbb{C}$.

Observación 13.5.
Notemos que en la definición 13.4 se tiene implícita la condición de que:

  1. existe $f(z_0)$.

Además, si $z_0 \in S\cap S’$ también debe cumplirse que:

  1. existe $\lim_{z \to z_0} f(z)$,
  2. y $\lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)$.

Por lo que basta con que no se cumpla alguna de estas tres condiciones para que una función $f\in\mathcal{F}(S)$ sea discontinua en $z_0\in S\subset\mathbb{C}$.

Ejemplo 13.9.
a) Verificar si la función $f(z) = z^2 – iz + 2$ es continua en $z_0 = 1 – i$.

Solución. De acuerdo con la observación 13.5 para ver si la función $f$ es continua en el punto $z_0$ basta con ver que se cumplan las tres condiciones establecidas en dicha observación.
1. Es claro que $f$ está definida en $z_0$, y es tal que: \begin{equation*} f(z_0) = (1-i)^2 – i(1-i) + 2 = 1 – 3i. \end{equation*} 2. Considerando la observación 13.4 tenemos que: \begin{align*} \lim_{z \to z_0} f(z) &= \left(\lim_{z \to z_0} z\right)^2 – i \left( \lim_{z \to z_0} z\right) + 2\\ & = \left(1-i\right)^2 – i \left(1-i\right) + 2\\ & = 1-3i. \end{align*} 3. Tenemos que: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0). \end{equation*} Por lo tanto $f$ es continua en $z_0 = 1-i$.

b) Consideremos a la siguiente función: \begin{equation*} f(z)= \left\{ \begin{array}{lcc} z^2 & \text{si} & z \neq i, \\ 0 & si & z = i. \end{array} \right. \end{equation*} Probar que $f$ no es continua en $z_0 = i$.

Solución. Notemos que:
1. $f$ está definida en $z_0$, y es tal que: \begin{equation*} f(z_0) = 0. \end{equation*} 2. Considerando la observación 13.4 tenemos que: \begin{align*} \lim_{z \to z_0} f(z) &= \left(\lim_{z \to i} z\right)^2\\ & = (i)^2 = -1. \end{align*} 3. Es claro que: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = -1 \neq 0 = f(z_0). \end{equation*} Por lo tanto, considerando la observación 13.5 tenemos que $f$ no es continua en $z_0 = i$.

Observación 13.6.
Dado que $\mathbb{C}$ dotado con el módulo es un espacio métrico, entonces son válidas las propiedades de continuidad para espacios métricos dados en la entrada 9.

Proposición 13.4.
Sea $H\subset \mathbb{C}$, $g\in\mathcal{F}(H)$ una función tal que $g(H) \subset S \subset\mathbb{C}$ y sea $f\in\mathcal{F}(S)$. Supongamos que $z_0$ es un punto de acumulación de $H$, que $\lim_{z \to z_0} g(z) = w_0 \in S$ y que $f$ es continua en $w_0$. Entonces $\lim_{z \to z_0} f(g(z)) = f(w_0)$, es decir: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(g(z)) = f\left(\lim_{z \to z_0} g(z) \right). \end{equation*}

Demostración. Dadas las hipótesis, tenemos que dado $\varepsilon>0$ existe $\eta>0$ tal que si $w\in S$ y $|\,w – w_0\,| < \eta $ entonces: \begin{equation*} |\,f(w) – f(w_0)\,| < \varepsilon. \end{equation*} Más aún, tenemos que para dicha $\eta>0$ existe un $\delta>0$ tal que si $z\in H$ y $0<|\,z-z_0\,|<\delta$ entonces: \begin{equation*} |\,g(z) – w_0\,| < \eta. \end{equation*} Por lo que considerando estas dos implicaciones se sigue que si $z\in H$ y $0<|\,z-z_0\,|<\delta$ entonces: \begin{equation*} |\,f(g(z)) – f(w_0)\,| < \varepsilon. \end{equation*} Por lo tanto $\lim_{z \to z_0} f(g(z)) = f(w_0)$.

$\blacksquare$

Proposición 13.5.
Sean $S\subset \mathbb{C}$ y $f,g\in\mathcal{F}(S)$ dos funciones continuas en $S$, entonces:

  1. $f \pm g$ es continua en $S$.
  2. $fg$ es continua en $S$. Si $g$ es constante, es decir si $g(z) = c\in\mathbb{C}$ para todo $z\in S$, entonces $cf$ es continua en $S$.
  3. Si $g(z) \neq 0$ para todo $z\in S$, entonces $\dfrac{f}{g}$ es continua en $S$.

Demostración. Utilizando la definición 13.4 y la proposición 13.2 es fácil probar el resultado, por lo que se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Corolario 13.1.
Los polinomios son continuos en $\mathbb{C}$. Las funciones racionales son continuas en su dominio de definición.

Demostración. Sea \begin{equation*} p(z) = c_0 + c_1 z + c_2 z^2 + \cdots + c_n z^n, \end{equation*} con $z\in\mathbb{C}$, un polinomio de coeficientes complejos, es decir $c_i \in\mathbb{C}$ para toda $i\in{0,1,\ldots, n}$, con $c_n\neq 0$.

Procedemos a realizar la prueba por inducción sobre $n$. Notemos que para $n=0$ se tiene que $p(z) = c_0\neq 0$ es una función constante, por lo que considerando el ejemplo 13.1 inciso (c) tenemos que: \begin{equation*} \lim_{z\to z_0} p(z) = \lim_{z\to z_0} c_0= c_0 = p(z_0), \end{equation*} por lo que en dicho caso $p(z)$ es continuo para todo $z_0\in\mathbb{C}$.

Para $n=1$, tenemos que $p(z) = c_0 + c_1 z$, por lo que considerando la proposición 13.5(1), al ser $c_0$ y $c_1 z$ funciones continuas en $\mathbb{C}$, entonces $p(z) = c_0 + c_1 z$ es continuo para todo $z\in\mathbb{C}$. Supongamos que $p(z) = c_0 + \sum_{n = 1}^{k}c_n z^n$, para algún $k\in\mathbb{N}$ fijo, es continuo para todo $z\in\mathbb{C}$. Para $n=k+1$ tenemos que: \begin{align*} p(z) & = c_0 + \sum_{n = 1}^{k+1}c_n z^n\\ & = c_0 + \sum_{n = 1}^{k}c_n z^n + c_{k+1} z^{k+1}, \end{align*} por hipótesis de inducción tenemos que $c_0 + \sum_{n = 1}^{k}c_n z^n$ es continuo y al ser $c_{k+1} z^{k+1}$ una función continua, entonces por la proposición 13.5(1), es claro que para $n=k+1$ el polinomio $p(z)$ es continuo para todo $z\in\mathbb{C}$, por lo que el resultado es válido para todo $n\in\mathbb{N}$.

Por otra parte, consideremos a $f(z) = \dfrac{p(z)}{q(z)}$, la cual es una función racional definida como el cociente de dos polinomios. De acuerdo con la proposición 13.5(3), considerando que todo polinomio es continuo en $\mathbb{C}$ se sigue que $f$ es continua en todo su dominio de definición, es decir en $S =\{z\in\mathbb{C} \, : \, q(z)\neq 0\}$.

$\blacksquare$

Ejemplo 13.10.
Considera la siguiente función y determina dónde es continua. \begin{equation*} f(z) = \frac{z-i}{z^2 + 1}. \end{equation*}

Solución.
Tenemos que $z^2 + 1 = 0$ si y solo si $z=i$ o $z=-i$, por lo que el dominio natural de $f$ es el conjunto $S = \mathbb{C}\setminus\{i, -i\}$. De acuerdo con el corolario 13.1, dado que $f(z)$ es una función racional entonces $f(z)$ es continua en $S$.

Una pregunta que podemos hacernos es ¿se puede asignar un valor a la función $f(z)$ de tal modo que sea continua en $z=i$?

Notemos que:\begin{equation*} f(z) = \frac{z-i}{z^2 + 1} = \frac{z-i}{(z-i)(z+i)}. \end{equation*} Para $z\neq i$ tenemos que: \begin{align*} \lim_{z \to i} f(z) & = \lim_{z \to i} \frac{z-i}{z^2 + 1}\\ & = \lim_{z \to i} \frac{z-i}{(z-i)(z+i)}\\ & = \lim_{z \to i} \frac{1}{z+i}\\ & = \frac{1}{2i} = -\frac{i}{2}. \end{align*} Por lo que podemos definir a la función: \begin{equation*} g(z)= \left\{ \begin{array}{lcc} \dfrac{z-i}{z^2 + 1} & \text{si} & z \neq -i, \\ \ -\dfrac{i}{2} & si & z = i. \end{array} \right. \end{equation*} La cual claramente es una función continua en $z=i$, por lo que la discontinuidad de la función $f(z)$ en el punto $z=i$ pudo removerse.

Definición. 13.5. (Discontinuidad removible.)
Sea $f(z)$ una función discontinua en un punto $z_0$. Se dice que $f(z)$ tiene una f discontinuidad removible en $z_0$ si existe el límite de $f(z)$ en dicho punto y la función no está definida en $z_0$ o tiene un valor distinto asignado, en tal caso la función $f(z)$ puede hacerse continua definiendo el valor de la función en $z_0$ como el valor del límite.

Si un punto $z_0$ no es una discontinuidad removible, diremos que es una discontinuidad irremovible.

Ejemplo 13.11.
Muestra que la función $f(z) = \dfrac{\operatorname{Re}(z)}{z}$ tiene una discontinuidad irremovible en $z=0$.

Solución. Claramente la función $f(z)$ no es continua en $z=0$ por el corolario 13.1. Veamos que el límite de la función $f(z)$ cuando $z$ tiende a $0$ no existe.

Sea $z=x+iy \neq 0$. Si nos aproximamos a $0$ a lo largo del eje real, es decir si $y=0$ y $z=x$, entonces: \begin{align*} \lim_{z\to 0 } f(z) & = \lim_{z\to 0 } \frac{\operatorname{Re}(z)}{z}\\ & = \lim_{x\to 0 } \frac{x}{x}\\ & = \lim_{x\to 0 } 1\\ & = 1. \end{align*} Por otra parte, si nos aproximamos a $0$ a lo largo del eje imaginario, es decir si $x=0$ y $z=iy$, entonces: \begin{align*} \lim_{z\to 0 } f(z) & = \lim_{z\to 0 } \frac{\operatorname{Re}(z)}{z}\\ & = \lim_{x\to 0 } \frac{0}{iy}\\ & = \lim_{x\to 0 } 0\\ & = 0. \end{align*} Por lo que el $\lim_{z \to 0} f(z)$ no existe, por lo tanto en $z=0$ la función tiene una discontinuidad irremovible.

Observación 13.7.
Considerando la definición 13.2 y la proposición 13.3 notemos que podemos extender el concepto de continuidad para funciones definidas sobre el plano complejo extendido, es decir, diremos que una función $f: \mathbb{C}_\infty \to \mathbb{C}_\infty$ es continua en $\infty$ si \begin{equation*} f(\infty) = \lim_{z\to \infty} f(z) \end{equation*} y si $f(a) = \infty$, entonces $f$ es continua en $a$ si \begin{equation*} f(a) = \infty =\lim_{z\to a} f(z). \end{equation*}

Ejemplo 13.10.
Consideremos a la siguiente función: \begin{equation*} f(z) = \frac{z+i}{z-i}, \end{equation*} es claro que dicha función no está definida en $z=i$, sin embargo dado que: \begin{equation*} f(i) = \infty = \lim_{z\to i} f(z) \end{equation*} y \begin{equation*} f(\infty) = 1 = \lim_{z\to \infty} f(z), \end{equation*} entonces definiendo: \begin{equation*} f(z)= \left\{ \begin{array}{lcc} \dfrac{z+i}{z-i} & \text{si} & z \neq i, \\ 1 & \text{si} & z = \infty, \\ \infty & \text{si} & z = i, \end{array} \right. \end{equation*} es claro que $f$ es una función continua de $\mathbb{C}_\infty$ en $\mathbb{C}_\infty$.

Tarea moral

  1. Completa la demostración de las proposiciones 13.2 y 13.3.
  2. Considera a la función $f(z) = \dfrac{zi}{2}$ definida en el disco abierto $B(0,1)$. Prueba usando la definición que: \begin{equation*} \lim_{z \to 1} f(z) = \frac{i}{2} \end{equation*}
  3. Usando la definición de límite prueba que si: \begin{equation*} \lim_{z\to z_0} f(z) = w_0, \end{equation*} entonces: \begin{equation*} \lim_{z\to z_0} |\,f(z)\,| = |w_0|. \end{equation*} ¿Es cierto el recíproco?
  4. Considera la función $T:S\subset\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ dada por: \begin{equation*} T(z) = \frac{az+b}{cz+b}, \quad \text{con} \,\, ad – bc \neq 0. \end{equation*} Usando la definición, prueba que:
    a) Si $c=0$, entonces: \begin{equation*} \lim_{z \to \infty} T(z) = \infty. \end{equation*} b) Si $c\neq 0$, entonces: \begin{align*} \lim_{z \to \infty} T(z) = \frac{a}{c},\\ \lim_{z \to -\frac{d}{c}} T(z) = \infty. \end{align*}
  5. Sea $S = [a,b] = \{ x\in\mathbb{R} \, : \, a\leq x \leq b\}$. Considera a $S\subset \mathbb{C}$ y sea $f: S \to \mathbb{C}$ una función. Tomando $z=x+i0$ podemos escribir $f(z) = u(x) + i v(x)$. Prueba que $f$ es continua si y solo si $u$ y $v$ son continuas.
  6. Analiza la continuidad de la función: \begin{equation*} f(z)= \left\{ \begin{array}{lcc} \dfrac{z^3 – 1}{z-1} & \text{si} & |\,z\,| \neq 1, \\ 3 & \text{si} & |\,z\,| = 1. \end{array} \right. \end{equation*} en los puntos $z_0 = 1$, $z_1 = -1$, $z_2 = i$ y $z_3 = -i$.
  7. Considerando la definición 13.3 y la definición de $\mathbb{C}_\infty$ prueba las siguientes reglas para límites que consideran al punto al infinito. Sean $a\in\mathbb{C}$ y $f,g\in\mathcal{F}(S)$ dos funciones.
    a) Si $\lim{z\to z_0} f(z)=\infty$ y $\lim_{z\to z_0} g(z)=a$, entonces $\lim_{z\to z_0}\left( f(z) + g(z) \right)=\infty$.
    b) Si $\lim_{z\to z_0} f(z)=\infty$ y $\lim_{z\to z_0} g(z)=a\neq 0$, entonces $\lim_{z\to z_0}\left( f(z) \cdot g(z) \right)=\infty$.
    c) Si $\lim_{z\to z_0} f(z)=\infty = \lim_{z\to z_0} g(z)$, entonces $\lim_{z\to z_0}\left( f(z) \cdot g(z) \right)=\infty$.
    d) Si $\lim_{z\to z_0} f(z)=\infty$ y $\lim_{z\to z_0} g(z)=a$, entonces $\lim_{z\to z_0}\dfrac{g(z)}{f(z)}=0$.
    e) Si $\lim_{z\to z_0} f(z)=\infty$ y $\lim_{z\to z_0} g(z)=a\neq 0$, entonces $\lim_{z\to z_0}\dfrac{g(z)}{f(z)}=\infty$.
  8. Analiza la continuidad de las siguientes funciones y determina el valor de $f(z)$ en el punto $z_0$ de tal forma que la función sea continua en dicho punto.
    a) $f(z) = \dfrac{z^3 – z_0}{z – z_0}$.
    b) $f(z) = \left(\dfrac{1}{z – z_0}\right)\left( \dfrac{1}{z} \,-\, \dfrac{1}{z_0}\right)$.
    c) $f(z) = \dfrac{z – z_0}{z – z_0}$.

Más adelante…

En esta entrada hemos abordado de manera formal las definiciones de límite y continuidad desde el enfoque de la variable compleja. Mediante una serie de resultados hemos caracterizado a las funciones complejas a través del estudio de su parte real e imaginaria, ya que dichas funciones escalares las hemos estudiado a detalle en nuestros cursos de Cálculo, por lo que los resultados que conocemos sobre dichas funciones pueden emplearse al trabajar con funciones complejas.

Aunque las definiciones que hemos dado en esta entrada son muy similares a las de las funciones reales de variable real, veremos en la siguiente entrada que al trabajar con funciones complejas algunos conceptos se vuelven más restrictivos para estas funciones, el cual es el caso de la diferenciabilidad compleja, ya que como veremos la definición de diferenciabilidad que hemos estudiado en nuestros cursos de Cálculo para $\mathbb{R}^2$ no bastará para garantizar la diferenciabilidad en el sentido complejo.

Entradas relacionadas

Variable Compleja I: Continuidad en un espacio métrico

Por Pedro Rivera Herrera

Introducción

La idea de continuidad es uno de los conceptos estructurales de la Topología y el Análisis Matemático. Al hablar de esta idea generalmente asociamos el concepto con la ininterrupción de la gráfica de una función, lo cual es claro cuando trabajamos con funciones reales definidas en algún intervalo, intuitivamente pensamos en la ininterrupción de una función considerando que para cualquier punto $z$ en el dominio de una función $f$, se tendrá que $f(x)$ no estará muy separada de $f(z)$ siempre que $x$ se mantenga lo suficientemente cerca de $z$ en el dominio. Pero, ¿qué pasa con las funciones que cuya gráfica no podemos visualizar? Hablar de continuidad para los espacios métricos resulta de gran importancia, ya que mediante la definición de métrica resulta posible generalizar el concepto de continuidad para funciones de $\mathbb{R}^n$ en $\mathbb{R}^m$, con lo cual podemos responder nuestra pregunta y obtener así una idea clara y general sobre lo que es la continuidad.

En esta entrada abordaremos el concepto de continuidad entre espacios métricos desde una perspectiva general, además de establecer la estrecha relación que existe entre los conceptos de sucesión, límite y continuidad, para obtener así una serie de resultados que nos permitirán caracterizar al espacio métrico $(\mathbb{C},d)$, con $d$ la métrica euclidiana, y facilitar nuestro estudio de la continuidad entre funciones complejas que estudiaremos a detalle en la siguiente unidad.

Continuidad en espacios métricos

Definición 9.1. (Continuidad.)
Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ dos espacios métricos y sea $A\subset X$. Una función $f:A \to Y$ se dice que es continua en $a\in A$ si para todo $\varepsilon>0$ existe algún $\delta>0$ (que depende de $a$ y $\varepsilon$) tal que:
\begin{equation*}
d_Y\left( f(x), f(a) \right) < \varepsilon \quad \text{si} \quad d_X(x,a)<\delta. \end{equation*} Decimos que $f$ es continua en $A$ si es continua en todo punto de $A$.

Lema 9.1.
Sea $f:X \to Y$ una función arbitraria y sean $A\subset X$ y $B\subset Y$. Entonces:
\begin{equation*}
f(A) \subset B \quad \text{si y solo si} \quad A \subset f^{-1}(B).
\end{equation*}

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Proposición 9.1
Sean $(X,d_X)$ y $(Y, d_Y)$ espacios métricos y sea $f: (X,d_X) \to (Y, d_Y)$ una función. Entonces $f$ es continua en un punto $x_0\in X$ si y solo si para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que:
\begin{equation*}
B(x_0,\delta)\subset f^{-1}\left[B(f(x_0),\varepsilon)\right],
\end{equation*} donde $B(x,r)$ denota una $r$-vecindad de $x$.

Demostración. Una función $f:X \to Y$ es continua en $x_0\in X$ si y solo si para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que:
\begin{equation*}
d_Y\left( f(x_0), f(x) \right) < \varepsilon,
\end{equation*} para toda $x\in X$ tal que $d_X(x_0,x)<\delta$, es decir:
\begin{equation*}
\text{si} \,\, x\in B\left(x_0,\delta\right) \,\, \text{entonces} \,\, f(x)\in B\left(f(x_0),\varepsilon\right),
\end{equation*} o equivalentemente: (¿por qué?)
\begin{equation*}
f\left[B\left(x_0,\delta\right)\right] \subset B\left(f(x_0),\varepsilon\right). \end{equation*} Pero por el lema 9.1 esta última condición es equivalente a:
\begin{equation*}
B\left(x_0,\delta\right) \subset f^{-1}\left[B\left(f(x_0),\varepsilon\right)\right].
\end{equation*}

$\blacksquare$

Proposición 9.2.
Sean $(X,d_X)$ y $(Y, d_Y)$ espacios métricos y sea $f: (X,d_X) \to (Y, d_Y)$ una función. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

  1. $f$ es continua en $X$.
  2. Si $A$ es abierto en $Y$, entonces $f^{-1}(A)$ es abierto en $X$.
  3. Si $B$ es cerrado en $Y$, entonces $f^{-1}(B)$ es cerrado en $X$.

Demostración.
1. $\Rightarrow$ 2.
Sea $f$ una función continua y sea $A\subset Y$ un conjunto abierto. Como queremos probar que $f^{-1}(A)$ es abierto en $X$ y dado que $X$ y $\emptyset$ son abiertos en $X$ supongamos que $f^{-1}(A)\neq X$ y $f^{-1}(A)\neq \emptyset$. Sea $x_0 \in f^{-1}(A)$, entonces tenemos que $f(x_0)\in A$ (¿por qué?). Dado que $A$ es abierto en $Y$, entonces existe $\varepsilon>0$ tal que $B(f(x_0),\varepsilon)\subset A$. Como $f$ es continua tenemos por la proposición 9.1 que existe $\delta>0$ tal que: \begin{equation*}
B(x_0,\delta)\subset f^{-1}\left[B(f(x_0),\varepsilon)\right]\subset f^{-1}(A). \end{equation*} De donde se sigue que todo punto de $f^{-1}(A)$ es un punto interior, por lo tanto $f^{-1}(A)$ es abierto en $X$.

2. $\Rightarrow$ 1.
Supongamos que $f^{-1}(A)$ es abierto en $X$ para todo conjunto $A$ abierto en $Y$. Sea $x_0\in X$. Por la proposición 6.2 sabemos que para todo $\varepsilon>0$ se cumple que la bola abierta $B(f(x_0),\varepsilon)$ es un conjunto abierto en $Y$, por lo que $f^{-1}\left[B(f(x_0),\varepsilon)\right]$, es abierto en $X$. Notemos que:
\begin{equation*}
x_0\in f^{-1}\left[B(f(x_0),\varepsilon)\right],
\end{equation*} por lo que existe $\delta>0$ tal que:
\begin{equation*}
B(x_0,\delta)\subset f^{-1}\left[B(f(x_0),\varepsilon)\right].
\end{equation*} Por lo que por la proposición 9.1 se sigue que $f$ es continua en $x_0$.

2. $\Leftrightarrow$ 3.
Se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Proposición 9.3. (Composición de funciones.)
Supongamos que $(X,d_X)$, $(Y,d_Y)$ y $(Z,d_Z)$ son espacios métricos y sean $g:X \to Y$ y $f:Y \to Z$ dos funciones. Si $f$ y $g$ son continuas, entonces la composición $f \circ g$ es continua.

Demostración. Dadas las hipótesis, supongamos que $A$ es un subconjunto abierto de $Z$. Entonces por la proposición 9.2 se sigue que $f^{-1}(A)$ es abierto en $Y$, por lo que $g^{-1}(f^{-1}(A))$ es abierto en $X$. Dado que $g^{-1}(f^{-1}(A)) = (f\circ g)^{-1}(A)$, entonces por la proposición 9.2 tenemos que la función $f \circ g$ es continua.

$\blacksquare$

Proposición 9.4.
Sean $(X,d_X)$ y $(Y, d_Y)$ espacios métricos, $f:A\subset X \to Y$ una función y sea $a \in A$. Entonces se cumple que:

  1. Si $a\in A\setminus A’$, es decir si $a$ es un punto aislado, entonces $f$ es continua en $a$.
  2. Si $a\in A\cap A’$, es decir si $a$ es un punto de acumulación, entonces $f$ es continua en $a$ si y solo si \begin{equation*}
    \lim_{x \to a} f(x) = f(a).
    \end{equation*}

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Proposición 9.5.
Sean $(X,d_X)$ y $(Y, d_Y)$ espacios métricos y sea $A\subset X$. Una función $f:A \to Y$ es continua en $a \in A$ si y solo si para cualquier sucesión $\{x_n\}_{n\geq1}\subset A$ convergente a $a$ la sucesión $\{f(x_n)\}_{n\geq1}$ converge a $f(a)$.

Demostración.
$\Rightarrow)$
Supongamos que $f:A\to Y$ es una función continua en $a\in A$ y sea $\{x_n\}_{n\geq1}$ una sucesión de $A$ tal que $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = a$. Veamos que la sucesión $\{f(x_n)\}_{n\geq1}$ converge a $f(a)$.

Sea $\varepsilon>0$, por la continuidad de $f$ en $a$ existe $\delta>0$ tal que para todo $x\in A$ con $d_X(x,a)<\delta$ se cumple que $d_Y(f(x),f(a))<\varepsilon$. Dado que $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = a$, entonces existe algún $N\in\mathbb{N}^+$ tal que: \begin{equation*} d_X(x_n,a)<\delta, \quad \forall n\geq N, \end{equation*} por lo que si $n\geq N$ entonces: \begin{equation*} d_Y(f(x_n),f(a))<\varepsilon, \end{equation*} es decir $\lim\limits_{n\to\infty} f(x_n) = f(a)$.

$(\Leftarrow$
Supongamos que para toda sucesión $\{x_n\}_{n\geq1}\subset A$ convergente a $a$ se cumple que $\lim\limits_{n\to\infty} f(x_n) = f(a)$. Veamos que $f$ es continua en $a$.

Por reducción al absurdo supongamos que $f$ no es continua en $a$. Entonces existe algún $\varepsilon>0$ tal que para todo $\delta>0$ existe $x_\delta \in A$ tal que $d_X(x_\delta,a)<\delta$ y $d_Y(f(x_\delta),f(a))\geq \varepsilon$. Notemos que para cada $n\in\mathbb{N}^+$ el número $\frac{1}{n}$ es positivo, por lo que debe existir $x_n\in A$ tal que $d_X(x_n,a)<\frac{1}{n}$ y $d_Y(f(x_n),f(a))\geq \varepsilon$, es decir que la sucesión $\{x_n\}_{n\geq1}$ converge a $a$, pero la sucesión $\{f(x_n)\}_{n\geq1}$ no converge a $f(a)$, lo cual contradice nuestra hipótesis, por lo que $f$ debe ser continua en $a$.

$\blacksquare$

Ejemplo 9.1.
Sea $(X,d_X)$ un espacio métrico y consideremos al espacio métrico $(\mathbb{R}^n, d)$, donde $d$ es la distancia euclidiana, es decir:
\begin{equation*}
d(x,y) = \left(\sum_{k=1}^n (x_k – y_k)^2\right)^{1/2},
\end{equation*} para todo $x=(x_1, \ldots, x_n)$, $y=(y_1, \ldots, y_n)$ en $\mathbb{R}^n$. Si $f_k : X \to \mathbb{R}$, con $k\in\{1,2, \ldots, n\}$, son funciones continuas, entonces la función $f : X \to \mathbb{R}^n$ dada por $f(x) = (f_1(x), f_2(x), \ldots, f_n(x))$ es continua.

Solución. Sea $\varepsilon>0$, entonces existen $\delta_k > 0$, tales que si $d_X(x,a) < \delta_k$ entonces:
\begin{equation*}
d(f_k(x),f_k(a)) = |\,f_k(x) – f_k(a)\,| < \frac{\varepsilon}{\sqrt{n}},
\end{equation*} para toda $k\in\{1,2, \ldots, n\}$. Por lo que tomando $\delta = \text{mín}\{\delta_1, \ldots, \delta_n\}$, tenemos que si $d_X(x,a) < \delta$, entonces: \begin{equation*}
d(f(x),f(a)) = \left(\sum_{k=1}^n (f_k(x) – f_k(a))^2\right)^{1/2} < \varepsilon, \end{equation*} de donde se sigue el resultado.

Por otra parte, considerando que toda función $f:X \to \mathbb{R}^n$ se puede expresar en términos de sus funciones componentes, es decir $f(x) = (f_1(x), f_2(x), \ldots, f_n(x))$ para toda $x\in X$, y dado que para toda $k\in\{1, 2, \ldots, n\}$ se cumple:
\begin{equation*}
|\,f_k(x) – f_k(y)\,| \leq \left(\sum_{k=1}^n (f_k(x) – f_k(y))^2\right)^{1/2} = d(f(x),f(y)), \end{equation*} por lo que si $f$ es una función continua, entonces cada función componente $f_k : X \to \mathbb{R}^n$ es continua.

Definición 9.2. (Homeomorfismo.)
Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ dos espacios métricos. Un homeomorfismo entre $X$ y $Y$ es una función $f:X\to Y$ tal que:

  1. $f$ es biyectiva.
  2. $f$ es continua en $X$.
  3. La inversa de $f$ es continua en $Y$, es decir, $f^{-1}: Y \to X$ es continua.

Si existe un homeomorfismo entre $X$ y $Y$, entonces diremos que los espacios métricos $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ son homeomorfos.

Observación 9.1.
Formalmente no hemos definido lo que es una función compleja de variable compleja, sin embargo para ejemplificar los conceptos de esta entrada podemos considerar la siguiente función sin mayor problema. En caso de existir duda de dicha definición puede consultarse la entrada 12 en la cual se aborda dicho concepto de manera formal.

Ejemplo 9.2.
Sea $D = B(0,1)\subset\mathbb{C}$. Consideremos a la función $f:\mathbb{C} \to D$ dada por:
\begin{equation*}
f(z) = \frac{z}{1+|\,z\,|}, \quad z\in\mathbb{C}.
\end{equation*} Veamos que $f$ induce un homeomorfismo entre $D$ y $\mathbb{C}$.

Solución. Primeramente verifiquemos que $f$ es biyectiva. Sean $z_1,z_2\in\mathbb{C}$, es claro que si $z_1 \neq z_2$, entonces $|\,z_1\,| \neq |\,z_2\,|$, por lo que:
\begin{equation*}
\frac{z_1}{1+|\,z_1\,|} \neq \frac{z_2}{1+|\,z_2\,|},
\end{equation*} es decir que $f(z_1) \neq f(z_2)$, por lo que $f$ es inyectiva.
Por otra parte, si $w\in D$ tenemos que $|\,w\,|<1$, por lo que $1 – |\,w\,|>0$. Entonces tomando: \begin{equation*}
z = \frac{w}{1-|\,w\,|},
\end{equation*} es claro que $w = f(z)$. Como $w\in D$ era arbitrario entonces tenemos que $f$ es sobreyectiva.
Por lo tanto, como $f$ es biyectiva tenemos que existe la función inversa de $f$, es decir $f^{-1}:D \to \mathbb{C}$ dada por:
\begin{equation*}
f^{-1}(z) = \frac{z}{1-|\,z\,|}, \quad z\in\mathbb{C}.
\end{equation*} Considerando los resultados de esta entrada es fácil probar que $f$ y $f^{-1}$ son continuas, por lo que se deja como se deja como ejercicio al lector.

Proposición 9.6.
Sean $(X,d_X)$, $(Y,d_Y)$ y $(Z, d_Z)$ espacios métricos y sean $g:X \to Y$ y $f:Y \to Z$ dos funciones.

  1. Si $g$ es un homeomorfismo, entonces $f$ es continua si y sólo si $f \circ g$ es continua.
  2. Si $f$ es un homeomorfismo, entonces $g$ es continua si y sólo si $f \circ g$ es continua.

Demostración.

  1. Dadas las hipótesis, por la proposición 9.3 es claro que $f = (f\circ g) \circ g^{-1}$ es continua si y sólo si $f \circ g$ es continua.
  2. Dadas las hipótesis, por la proposición 9.3 es claro que $g = f^{-1}\circ(f\circ g)$ es continua si y sólo si $f \circ g$ es continua.

$\blacksquare$

Tarea moral

  1. Demuestra el lema 9.1.
  2. Completa la demostración de la proposición 9.2.
  3. Prueba que las funciones $f$ y $f^{-1}$ del ejemplo 9.2 son continuas.
  4. Sean $a, b\in\mathbb{R}\setminus{0}$. Considera a los siguientes conjuntos: \begin{align*}
    X = \{x+iy \,:\, x^2+y^2 = 1\},\\
    Y = \left\{x + iy \, : \, \left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1\right\}. \end{align*} Demuestra que $X$ y $Y$, dotados con la métrica euclidiana de $\mathbb{C}$, son homeomorfos. Hint: Considera la función $f(x+iy) = ax + iby$.
  5. Demuestra la proposición 9.4.

Más adelante…

En esta entrada hemos dado una definición clara y general del concepto de continuidad, caracterizando así a los espacios métricos mediante dicho concepto y obteniendo resultados que nos permitieron relacionar a los conceptos de sucesión y de límite con el de continuidad. Estos resultados serán de gran utilidad en las siguientes entradas al estudiar a las funciones complejas (de variable compleja).

La siguiente entrada abordaremos los conceptos de conexidad y compacidad de un espacio métrico, en particular caracterizaremos a los conjuntos de $\mathbb{C}$ mediante estos conceptos, definiremos nuevos conceptos y obtendremos nuevos resultados que relacionan a los conceptos de continuidad, conexidad y compacidad en un espacio métrico, los cuales utilizaremos a lo largo del curso al trabajar con funciones de $\mathbb{C}$ en $\mathbb{C}$.

Entradas relacionadas

Probabilidad I: Teorema de Continuidad de la Probabilidad

Por Octavio Daniel Ríos García

Introducción

En la entrada previa a esta vimos el importantísimo teorema de Bayes. Por ahora dejaremos de lado las propiedades de la probabilidad condicional. En contraste, el teorema que veremos en esta entrada es un resultado teórico que será de utilidad mucho más adelante.

El tema de esta entrada es el teorema de continuidad de las medidas de probabilidad. Esencialmente, se trata de una propiedad que satisface toda medida de probabilidad. En particular, se relaciona con la noción que tienes de continuidad en funciones. Sin embargo, se trata de una propiedad más básica de continuidad para límites de eventos, que son conjuntos.

Conceptos previos

En el contexto de cálculo y análisis, una propiedad de las funciones continuas es su capacidad de «meter» el límite. Esto es, que si $\{ a_{n} \}_{n \in \mathbb{N}^{+}} \subseteq \RR$ es una sucesión de números reales tal que existe $a \in \RR$ que satisface $\lim_{n \to \infty} a_{n} = a$, y $f\colon\RR\to\RR$ es una función continua, entonces

\[ \lim_{n\to\infty} f(a_{n}) = f{\left( \lim_{n\to\infty} a_{n} \right)} = f(a). \]

Nosotros queremos ver que cualquier medida de probabilidad satisface una propiedad similar. Sin embargo, dado un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$, el dominio de $\mathbb{P}$ no es $\RR$, ¡es $\mathscr{F}$! Es decir, ¡el argumento de una medida de probabilidad es un conjunto! Por ello, es necesario presentar una noción de límite de eventos. La manera en que lo haremos será a través de las llamadas sucesiones crecientes.


Definición. Sea $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ un espacio de probabilidad, y sea $\{A_{n}\}_{n\in\mathbb{N}^{+}} \subseteq \mathscr{F}$ una sucesión de eventos. Diremos que es una sucesión creciente de eventos si

\[ \forall n \in \mathbb{N}^{+}\colon A_{n} \subseteq A_{n+1}. \]

Esto es, que cada $A_{n}$ es un subconjunto del evento que le sigue, $A_{n+1}$. A veces esto se denota como $A_{1} \subseteq A_{2} \subseteq \ldots$ Por su parte, la unión

\[ A = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} \]

de una sucesión de este tipo es llamada el límite de la sucesión. Este hecho suele denotarse por $A_{n} \uparrow A$.


En la definición anterior, la unión $A = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}$ de una sucesión creciente de eventos es, nuevamente, un evento. Esto pasa gracias a las propiedades de un σ-álgebra y a que $\{A_{n}\}_{n\in\mathbb{N}^{+}}$ es una familia numerable de eventos.

Por otro lado, también se define la noción de sucesión decreciente de eventos como sigue.


Definición. Sea $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ un espacio de probabilidad, y sea $\{A_{n}\}_{n\in\mathbb{N}^{+}} \subseteq \mathscr{F}$ una sucesión de eventos. Diremos que es una sucesión decreciente de eventos si

\[ \forall n \in \mathbb{N}^{+}\colon A_{n} \supseteq A_{n+1}. \]

Es decir, cada $A_{n}$ contiene (como subconjunto) al evento que le sigue, $A_{n+1}$. En ocasiones, esto se denota como $A_{1} \supseteq A_{2} \supseteq \cdots$ Además, la intersección

\[ A = \bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n} \]

de una sucesión de este tipo es llamada el límite de la sucesión. Este hecho suele denotarse por $A_{n} \downarrow A$.


De la misma manera que con una sucesión creciente, la intersección $A = \bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n}$ de una sucesión decreciente de eventos también es un evento.

La continuidad de una medida de probabilidad

A continuación presentamos el teorema de continuidad de una medida de probabilidad.


Teorema. Sea $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ un espacio de probabilidad. Entonces se cumplen las siguientes propiedades.

  1. Si $\{ A_{n} \}_{n\in\mathbb{N}^{+}}$ es una sucesión creciente de eventos, entonces\[ \lim_{n\to\infty} \Prob{A_{n}} = \Prob{\bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}}. \]
  2. Si $\{ A_{n} \}_{n\in\mathbb{N}^{+}}$ es una sucesión decreciente de eventos, entonces\[ \lim_{n\to\infty} \Prob{A_{n}} = \Prob{\bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n}}. \]

Demostración. Para demostrar 1, podemos utilizar un truco que usamos hace ya varias entradas. Esto es, que

\[ \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} = A_{1} \cup (A_{2} \smallsetminus A_{1}) \cup (A_{3} \smallsetminus A_{2}) \cup \cdots \]

Es decir, si para cada $i \in \mathbb{N}^{+}$ definimos $B_{i} = A_{i} \smallsetminus A_{i−1}$, con $A_{0} = \emptyset$, se tiene que

\[ \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} = \bigcup_{n=1}^{\infty} B_{n}. \]

Además, observa que los conjuntos $B_{i}$ son ajenos dos a dos, por construcción. Entonces podemos aplicar la σ-aditividad de $\mathbb{P}$ para obtener que

\begin{align*} \Prob{\bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}} &= \Prob{B_{1}} + \Prob{B_{2}} + \Prob{B_{3}} + \cdots \\ &= \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \Prob{B_{k}}. \end{align*}

Sin embargo, sabemos que para cada $i \in \mathbb{N}^{+}$ se cumple que $A_{i} \subseteq A_{i+1}$ y $B_{i} = A_{i} \smallsetminus A_{i−1}$, así que para cada $i \in \mathbb{N}^{+}$ se tiene que

\[ \Prob{B_{i}} = \Prob{A_{i} \smallsetminus A_{i−1}} = \Prob{A_{i}} − \Prob{A_{i−1}}. \]

Por lo tanto,

\begin{align*} \Prob{ \cup_{n=1}^{\infty} A_{n}} &= \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} [\Prob{A_{k}} − \Prob{A_{k−1}}] \\ &= \lim_{n\to\infty} [\Prob{A_{n}} − \Prob{A_{0}}] \\ &= \lim_{n\to\infty} [\Prob{A_{n}} − \Prob{\emptyset}] \\ &= \lim_{n\to\infty} \Prob{A_{n}}, \end{align*}

que es justamente lo que queríamos demostrar.

$\square$

Para demostrar la parte 2 del teorema puede usarse la parte 1 de manera conveniente. La manera de hacerlo viene detallada (a manera de instrucciones) en la tarea moral.

Una aplicación del teorema de continuidad

A pesar de que, de momento, no utilizaremos con profundidad el teorema que acabamos de ver, es posible hacer un ejemplo donde se aplica de manera no teórica.

Ejemplo. Es intuitivamente claro que la probabilidad de nunca obtener un «águila» en una infinidad de lanzamientos de una moneda equiprobable es $0$. Podemos demostrarlo usando el teorema anterior. En primer lugar, el espacio muestral de este experimento es

\[ \Omega = {\left\lbrace (x_{n} )_{n\in\mathbb{N}^{+}} \mid \forall i \in \mathbb{N}^{+}\colon x_{i} \in \{ \mathrm{A, B} \} \right\rbrace} \]

el conjunto de todas las sucesiones infinitas de $\mathrm{A}$’s y $\mathrm{S}$’s. Para cada $i \in \mathbb{N}^{+}$, definimos los conjuntos

\begin{align*} A_{i} &= {\left\lbrace (x_{n})_{n\in\mathbb{N}^{+}} \in \Omega \mid x_{i} = \mathrm{A} \right\rbrace}, \\ S_{i} &= {\left\lbrace (x_{n})_{n\in\mathbb{N}^{+}} \in \Omega \mid x_{i} = \mathrm{S} \right\rbrace} \end{align*}

Es decir, $A_{i}$ es el conjunto de todas las sucesiones infinitas de $\mathrm{A}$’s y $\mathrm{S}$’s tales que su $i$-ésima entrada es una $\mathrm{A}$. Por ejemplo, para $A_{1}$, se tiene que

\begin{align*} (\mathrm{A, S, S, A, A, A, A, A, \ldots}) &\in A_{1}, \\ (\mathrm{A, S, S, S, S, S, S, S, \ldots}) &\in A_{1}, \\ (\mathrm{A, S, A, S, A, S, A, S, \ldots}) &\in A_{1}, \end{align*}

etcétera. El subíndice de $A_{i}$ indica que la $i$-ésima entrada de todos sus elementos es $\mathrm{A}$. Análogamente, $S_{i}$ es el conjunto de todas las sucesiones infinitas de $\mathrm{A}$’s y $\mathrm{S}$’s tales que su $i$-ésima entrada es una $\mathrm{S}$. Ahora, considera la siguiente familia de subconjuntos de $\Omega$:

\[ \mathscr{C} = \{ A_{i} \mid i \in \mathbb{N}^{+} \} \cup \{ S_{i} \mid i \in \mathbb{N}^{+} \} \]

Esto es, $\mathscr{C} \subseteq \mathscr{P}(\Omega)$ es el conjunto cuyos elementos son todos los $A_{i}$’s y todos los $B_{i}$’s. De este modo, tomaremos a $\sigma(\mathscr{C})$ como σ-álgebra.

Ahora, definimos nuestra medida de probabilidad para los $A_{i}$’s y $B_{i}$’s como sigue: para cada $i \in \mathbb{N}^{+}$, la probabilidad de $A_{i}$ y $B_{i}$ se define como

\[ \Prob{A_{i}} = \frac{1}{2}, \]

\[ \Prob{B_{i}} = 1 − \frac{1}{2}, \]

La definimos de esta forma pues asumimos que la moneda es equiprobable, por lo que la probabilidades de que en la $i$-ésima posición salga «águila» o salga «sol» deben de ser iguales. Además, le pediremos a $\mathbb{P}$ que cualquier familia de $A_{i}$’s y $S_{i}$’s sean independientes. Esto es, que para todo $n \in \mathbb{N}^{+}$, los eventos $A_{1}$, $A_{2}$, …, $A_{n}$ son independientes. Esto asegura que también sus complementos, $S_{1}$, $S_{2}$, …, $S_{n}$ forman una familia de eventos independientes.

Ahora, para cada $n \in \mathbb{N}^{+}$, definamos el evento $C_{n}$ como el evento en el que, de los primeros $n$ lanzamientos, ninguno es un águila. Observa que, en términos de $A_{i}$’s y $S_{i}$’s, $C_{n}$ sería

\[ C_{n} = \bigcap_{k=1}^{n} S_{k}, \]

Pues $S_{1}$ son todas aquellas sucesiones cuya primera entrada está fija como un $\mathrm{S}$, $S_{2}$ son todas aquellas en donde la segunda entrada está fija como un $\mathrm{S}$, y así sucesivamente hasta llegar a $S_{n}$. Al intersecar esos eventos, el evento resultante es aquel en el que las primeras $n$ entradas están fijas como una $\mathrm{S}$, por lo que es el evento en el que ninguno de los primeros $n$ lanzamientos es un águila. Además, observa que para cada $n \in \mathbb{N}^{+}$, se cumple que $C_{n} \supseteq C_{n+1}$. Es decir, $\{ C_{n} \}_{n\in\mathbb{N}^{+}}$ es una sucesión decreciente de eventos. Entonces, por el teorema de continuidad de la medida de probabilidad, se tiene que

\[ \lim_{n\to\infty} \Prob{C_{n}} = \Prob{\bigcap_{n=1}^{\infty} C_{n}}, \]

Por un lado, observa que

\[ \lim_{n\to\infty} \Prob{C_{n}} = \lim_{n\to\infty} \Prob{\bigcap_{k=1}^{n} S_{k}} = \lim_{n\to\infty} [\Prob{S_{1}} \cdot \Prob{S_{2}} \cdots \Prob{S_{n}}] = \lim_{n\to\infty} {\left( \frac{1}{2} \right)}^{n} = 0\]

donde $\Prob{\bigcap_{k=1}^{n} S_{k}} = \Prob{S_{1}} \cdot \Prob{S_{2}} \cdots \Prob{S_{n}}$ ocurre gracias a que supusimos que para todo $n \in \mathbb{N}^{+}$ los eventos $A_{1}$, $A_{2}$, …, $A_{n}$ son independientes.

En consecuencia, tenemos que

\[ \Prob{\bigcap_{n=1}^{\infty} C_{n}} = 0. \]

En conclusión, la probabilidad del evento $\bigcap_{n=1}^{\infty} C_{n}$ es $0$. Pero, ¿qué evento es ese? Observa que $\bigcap_{n=1}^{\infty} C_{n}$ es precisamente el evento de que nunca haya un águila, pues es la intersección de todos los eventos en los que los primeros $n$ lanzamientos no hay un águila. Esto es justamente lo que dictaba la intuición al inicio de este ejemplo.


Tarea moral

Los siguientes ejercicios son opcionales. Es decir, no formarán parte de tu calificación. Sin embargo, te recomiendo resolverlos para que desarrolles tu dominio de los conceptos abordados en esta entrada.

  1. Demuestra la parte 2 del teorema de continuidad. Sugerencia: Puedes utilizar la parte 1 del teorema, pues ya la demostramos.
    1. Para hacerlo, toma $\{ B_{n} \}_{n\in\mathbb{N}^{+}}$ una sucesión decreciente de eventos. Para cada $i \in \mathbb{N}^{+}$, define $A_{i} = B_{i}^{\mathsf{c}}$, donde el complemento es relativo a $\Omega$. Demuestra que $\{ A_{n} \}_{n\in\mathbb{N}^{+}}$ es una sucesión creciente de eventos.
    2. Ahora, sabiendo que $\{ A_{n} \}_{n\in\mathbb{N}^{+}}$ es una sucesión creciente de eventos, aplica la parte 1 del teorema. ¿Qué se obtiene?
    3. Usando la parte 1 del teorema se llega a que\[ \Prob{\bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}} = \lim_{n\to\infty} \Prob{A_{n}}. \]Sabiendo que cada $A_{i} = B_{i}^{\mathsf{c}}$, sustituye en la expresión anterior.
    4. Finalmente, usa la regla de complementación para concluir.

Más adelante…

Con esta entrada concluye la primera unidad de este curso. Esto es, aquí concluye el tratamiento de propiedades generales de las medidas de probabilidad. En la siguiente entrada comenzaremos el estudio de las variables aleatorias−que no son otra cosa que funciones cuyo dominio es el espacio muestral−y la gran cantidad conceptos asociados a estas.

Un consejo… ¡No olvides lo que vimos en esta unidad! Todo lo que vimos en esta unidad será importante para el resto de este curso, y para las materias de probabilidad y estadística que cursarás más adelante.

Entradas relacionadas

Cálculo Diferencial e Integral I: Continuidad de la función inversa

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

Introducción

Esta entrada será la última referente a la funciones continuas y se hará el estudio de las condiciones necesarias para que, dada una función continua, su inversa también sea continua. Para lograr nuestro objetivo, haremos uso de los conceptos revisados en la entrada anterior e iniciaremos retomando la definición de intervalo y probaremos un teorema que nos permite caracterizarlos.

Intervalos

Anteriormente, se había dado la siguiente definición de intervalos.

Definición: Sean $a,b \in \r$. Definimos los siguientes intervalos en $\RR$ como sigue:

  • Intervalo cerrado:
    \[
    [a,b]=\left\{x : a \leq x \leq b\right\}
    \]
  • Intervalo abierto
    \[
    (a,b)=\left\{x : a < x < b\right\}
    \]
  • Semiabierto por la izquierda/ Semicerrado por la derecha
    \[
    (a,b]=\left\{x : a < x \leq b\right\}
    \]
  • Semiabierto por la derecha/ Semicerrado por la izquierda
    \[
    [a,b)=\left\{x : a \leq x < b\right\}
    \]

Ahora revisaremos un teorema que nos permite caracterizar a los intervalos y éste nos dice que si se toman cualesquiera dos puntos de un intervalo $A$, entonces el intervalo generado por tales puntos está contenido dentro de $A$.

Teorema. Si $A$ es un subconjunto de $\mathbb{R}$ que contiene al menos dos puntos y tiene la propiedad

$$\text{si } x, y \in A \quad \Rightarrow \quad [x,y] \subseteq A \tag{1}$$

Entonces $A$ es un intervalo.

Demostración.

La demostración se divide en cuatro casos de acuerdo a si está o no acotado.

  • Caso 1. $A$ está acotado
    Dado que $A$ está acotado y $A \neq \varnothing$, podemos definir el supremo y el ínfimo. Sean $a = infA$ y $b = supA$. Entonces $A \subseteq [a,b]$. Nos enfocaremos en demostrar que $(a,b) \subseteq A$.

    Si $z \in (a,b)$, es decir, $a<z<b$, entonces $z$ no es cota inferior de $A$, por lo que existe $x \in A$ tal que $x<z$. De la misma forma, $z$ no es una cota superior de $A$, por lo que existe $y \in A$ tal que $z<y.$ Por lo tanto, $z \in [x,y]$ y por $(1)$ se tiene que $z \in A$. Puesto que $z$ es un elemento arbitrario de $(a,b)$ podemos concluir que $(a,b) \subseteq A$.

    Notemos que si $a \in A$ y $b \in A$, se tiene que $A= [a,b]$ pues $a$ y $b$ son el ínfimo y supremo respectivamente. Si $a \notin A$ y $b \notin A$, entonces $A = (a,b)$. Si $a \notin A$ y $b \in A$, entonces $A = (a,b]$. Finalmente, si $a \in A$ y $b \notin A$, entonces $A = [a,b)$.

  • Caso 2. $A$ está acotado superiormente pero no inferiormente.
    Definimos $b = supA$. Entonces $A \subseteq (- \infty, b]$. Veremos que $(- \infty, b) \subseteq A$.

    Si $z \in (- \infty, b)$, es decir $z<b$, entonces no es cota superior, por lo que existe $y \in A$ tal que $z < y$, además dado que $A$ no está acotado inferiormente, existe $x \in A$ tal que $x < z$. De esta forma, gracias a $(1)$ se tiene que $z \in [x,y] \subseteq A$. Dado que $z$ es un elemento arbitrario de $(- \infty, b)$, entonces $(-\infty, b) \subseteq A$.

    Notemos que si $b \in A$, entonces $A = (- \infty, b]$ y si $b \notin A$, entonces $A = (- \infty, b)$.

  • Caso 3. $A$ está acotado inferiormente pero no superiormente
    La prueba es análoga al caso 2.

  • Caso 4. $A$ no está acotado inferiormente ni superiormente.
    La prueba es muy similar a la de los casos anteriores por lo cual se dejará como tarea moral.

$\square$

Notemos que el regreso también es cierto, es decir, si $A$ es un intervalo, entonces cumple $(1)$ y la demostración también quedará como tarea moral.

Continuidad de la función inversa

El siguiente teorema nos indica que una función continua mapea intervalos en intervalos, es decir, los preserva.

Teorema (Preservación de intervalos). Sea $I$ un intervalo y sea $f: I \to \mathbb{R}$ continua en $I$. Entonces el conjunto $f(I)$ es un intervalo.

Demostración.

Sean $y_1$, $y_2 \in f(I)$ tal que $y_1 < y_2$, entonces existen los puntos $x_1$, $x_2$ tal que $y_1 = f(x_1)$ y $y_2 = f(x_2)$. Por el teorema del valor intermedio, se tiene que si $y \in [y_1,y_2]$, entonces existe $x \in I$ tal que $y = f(x) \in f(I)$. Por lo tanto, se tiene que $[y_1,y_2] \subseteq f(I)$ y por el teorema de caracterización de intervalos, se concluye que $f(I)$ es un intervalo.

$\square$

Ahora veremos que la monotonía también se preserva bajo la función inversa.

Proposición. Si $f: A \to \mathbb{R}$ es una función estrictamente creciente, entonces $f^{-1}: f(A) \to \mathbb{R}$ también es estrictamente creciente. Si $f$ es estrictamente decreciente, $f^{-1}$ también lo es.

Demostración.

Sea $f$ un función estrictamente creciente y sean $y_1$, $y_2 \in f(A)$ tal que $y_1<y_2$ y sean $x_1 = f^{-1}(y_1)$, $x_2 = f^{-1}(y_2)$.

Supongamos que $x_2 < x_1$, pero $f$ es creciente lo que implica que $y_2 = f(x_2) < f(x_1) = y_1$ lo cual es una contradicción pues $y_1<y_2$. Por lo tanto, $f^{-1}(y_1)=x_1 < x_2 = f^{-1}(y_2)$. Por lo tanto $f^{-1}$ es estrictamente creciente.

La prueba es análoga para el caso donde $f$ es estrictamente decreciente.

$\square$

Los últimos dos teoremas de la entrada hacen referencia a las condiciones que deben estar presentes para que la inversa de una función continua también sea continua.

Teorema. Si $I$ es un intervalo y $f: I \to \mathbb{R}$ es estrictamente monótona, entonces $f^{-1}$ es continua.

Demostración.

Por la proposición anterior tenemos que $f^{-1}: f(I) \to \mathbb{R}$ también es estrictamente monótona y sabemos que $f(I)$ es un intervalo. Por el teorema revisado en la entrada anterior, concluimos que $f^{-1}$ también es continua.

$\square$

Teorema. Si $I$ es un intervalo y $f: I \to \mathbb{R}$ es continua e inyectiva, entonces $f^{-1}$ es continua.

Demostración.

Por lo revisado en la entrada anterior, sabemos que si $f$ es continua e inyectiva, entonces es estrictamente monótona y se sigue por el teorema anterior que $f^{-1}$ es continua.

$\square$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

  • Prueba el caso 4 para el teorema de preservación de intervalos.
  • Prueba que si $A$ es un intervalo con al menos dos puntos, entonces se cumple que
    $$\text{si } x, y \in A \quad \Rightarrow \quad [x,y] \subseteq A, \tag{1}$$
  • Sea $I$ un intervalo y sea $f: I \to \mathbb{R}$ una función inyectiva. Menciona qué relación existe entre las siguiente condiciones:
    • $f$ es continua
    • $f(I)$ es un intervalo
    • $f$ es estrictamente monótona
    • $f^{-1}$ es continua

Más adelante…

En la siguiente entrada daremos inicio a una nueva unidad y entraremos a uno de los temas más famosos del cálculo: la derivada. Dentro de esta nueva unidad, veremos a profundidad la definición de derivada así como su interpretación geométrica y sus propiedades. Una vez se conozcan los fundamentos teóricos, se verán aplicaciones que existen en diversos campos tales como la economía, la física, etc.

Entradas relacionadas

Cálculo Diferencial e Integral I: Continuidad y monotonía

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

Introducción

En esta entrada estableceremos la relación existente entre la monotonía y la continuidad. Para lo cual haremos un repaso rápido de algunos conceptos revisados previamente.

Definición. Sea $A \subseteq \mathbb{R}$ y $f: A \to \mathbb{R}$.

  • Se dice que $f$ es creciente si para cada $x_1$, $x_2 \in A$ tales que $x_1 < x_2$, entonces se tiene que $f(x_1) \leq f(x_2)$ y decimos que es estrictamente creciente si se da la desigualdad estricta, es decir, $f(x_1) < f(x_2)$.
  • Análogamente, decimos que $f$ es decreciente si para cada $x_1$, $x_2 \in A$ tales que $x_1 < x_2$, entonces se tiene que $f(x_1) \geq f(x_2)$ y decimos que es estrictamente decreciente si se da la desigualdad estricta, es decir, $f(x_1) > f(x_2)$.
  • Si una función es creciente o decreciente decimos que es monótona. Si la función es estrictamente creciente o estrictamente decreciente, decimos que es estrictamente monótona.

Tras haber retomado las definiciones anteriores, vale la pena mencionar que el hecho de que una función sea monótona en un intervalo no implica que sea continua. Podemos considerar como ejemplo:
$$f(x) = \begin{cases}
-1 & \text{ si } x < 0 \\
1 & \text{ si } x \geq 0
\end{cases}$$

Se tiene que $f$ es monótona en $\mathbb{R}$, pero no es continua en $1$.

Funciones continuas que son monótonas

En este punto estamos listos para ver la relación que existe entre la monotonía y la continuidad. Iniciaremos de viendo un resultado que va de continuidad a monotonía.

Teorema. Sea $A = [a, b]$ un intervalo y $f : A \to \mathbb{R}$ una función continua e inyectiva. Entonces $f$ es estrictamente monótona.

Demostración.

Notemos que dado que la función es inyectiva, se tiene que $f(a) \neq f(b)$. Así, tenemos dos casos.

  • Caso 1: $f(a) < f(b)$.
    Primero veamos que si $x \in [a,b]$, entonces se tiene que
    $$f(a) \leq f(x) \leq f(b) \tag{1}$$
    Sea $x \in [a,b]$ y supongamos que $f(x) < f(a)$. Por el teorema del valor intermedio, sabemos que existe $y \in [x, b]$ tal que $f(y) = f(a)$, pero esto contradice la inyectividad, por tanto se concluye que $f(a) \leq f(x)$.

    Análogamente, si $x \in [a,b]$ y supongamos que $f(b) < f(x)$. Por el teorema del valor intermedio tenemos que existe $y \in [a,x]$ tal que $f(y) = f(b)$, pero esto contradice la inyectividad por tanto se concluye que $f(x) \leq f(b)$.

    Ahora probaremos que $f$ es estrictamente creciente. Sean $x$, $y \in [a,b]$ tal que $x<y$. Por $(1)$, se tiene que $f(x) \leq f(b)$, más aún, se tiene la desigualdad estricta $f(x) < f(b)$ dado que la función es inyectiva y $x< y \leq b$. Tomemos el intervalo $[x,b]$ donde $f$ sigue siendo continua e inyectiva y se cumple que $f(x) < f(b)$, aplicando nuevamente $(1)$, se tiene que $f(x) \leq f(y)$ y por ser $f$ inyectiva se tiene la desigualdad estricta, es decir, $f(x) < f(y)$ y por tanto $f$ es estrictamente creciente.

  • Caso 2: $f(b) > f(a)$.
    Definimos $g: [a,b] \to \mathbb{R}$ tal que $g(x) = -f(x)$ para todo $x \in \mathbb{R}$. De esta forma $g$ también es continua e inyectiva en $[a,b]$. Notemos que $g(a) = -f(a) < -f(b) = g(b)$, es decir, $g(a) < g(b)$; y por el Caso 1, se tiene que si $x$, $y \in [a,b]$ tales que $x <y$, entonces $g(x) < g(y)$, esto implica que $-f(x) < -f(y)$ por lo que se concluye que $f(y) > f(x)$. Es decir, se tiene que $f$ es estrictamente decreciente.

De ambos casos, se concluye que si $f$ es continua e inyectiva en el intervalo $[a,b]$ entonces $f$ es estrictamente monótona.

$\square$

En el teorema anterior, nos limitamos a intervalos de la forma $[a, b]$. Sin embargo, podemos extender aún más este resultado para cualquier tipo de intervalo.

Teorema. Sea $A \subseteq \mathbb{R}$ un intervalo y $f : A \to \mathbb{R}$ una función continua e inyectiva. Entonces $f$ es estrictamente monótona.

Demostración.

Procederemos a realizar esta demostración por contradicción.

Supongamos que $f : A \to \mathbb{R}$ es una función continua e inyectiva, pero no es monótona. Es decir, existen $x_1$, $x_2$, $y_1$, $y_2 \in A$ tales que

$$ x_1 < y_1, \quad x_2 < y_2 \quad \text{ y } \quad f(x_1) > f(y_1), \quad f(x_2) < f(y_2) \tag{1}$$

Sea $a = min\{x_1, x_2 \}$ y $b = max \{y_1, y_2\}$.

Haremos uso de un resultado que se probara en la siguiente entrada: Si $A$ es un intervalo, entonces para cualesquiera $x$, $y \in A$ se tiene que $[x,y] \subseteq A$.

Aplicando lo anterior, tenemos que $[a,b] \subseteq A$ y así $f$ es continua e inyectiva en el intervalo $[a,b]$. Dado que $x_1$, $x_2$, $y_1$, $y_2 \in [a,b]$ y por $(1)$ se sigue que $f$ no es monótona en el intervalo lo cual es una contradicción al teorema anterior. Por tanto, $f$ sí es monótona en $A$.

$\square$

Funciones monótonas que son continuas

Para finalizar, veremos un teorema que va de funciones monótonas hacia continuas.

Teorema. Si $f : A \to \mathbb{R}$ es una función creciente y $f(A)$ es un intervalo, entonces $f$ es continua en $A$.

Demostración.

Supongamos que $f$ es creciente. Sea $x \in A$. Para probar que $f$ es continua en $x$ haremos uso de la relación existente entre el límite de una función y el de una sucesión, de esta forma, tomaremos una sucesión monótona arbitraria $\{a_n\}$ tal que $a_n \to x$ y probaremos que $\{f(a_n)\} \to f(x)$.

Sea $\{a_n\}$ una sucesión creciente que converge a $x$. Entonces para todo $n \in \mathbb{N}$ se cumple que $a_n \leq a_{n+1} \leq x$ y debido a que $f$ es creciente se tiene que $f(a_n) \leq f(a_{n+1}) \leq f(x)$. Por lo anterior, se tiene que $\{f(a_n)\}$ es una sucesión creciente y acotada superiormente por lo que también es convergente. Sea $L = \lim_{n \to \infty} f(a_n)$, se cumple que $L \leq f(x)$.

Supongamos que $L < f(x)$ y consideremos $y \in \mathbb{R}$ tal que $L < y < f(x)$. Como $\{f(a_n)\}$ es creciente, se sigue que $f(a_1) < y < f(x)$. Dado que $f(A)$ es un intervalo, entonces existe $z \in A$ tal que $f(z) = y$. Con esto, tenemos dos casos.

  • Caso 1: $z \geq x$
    Esto genera una contradicción al hecho de que $f$ es creciente, pues $y = f(z) < f(x)$.

  • Caso 2. $z < x$
    Como $\{a_n\} \to x$, existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $z < a_{n_0} < x$ lo que implica que $y = f(z) \leq f(a_{n_0}) \leq f(x)$, lo cual es una contradicción pues estamos suponiendo que $L < y < f(x)$.

De ambos casos, se concluye que $L = f(x)$. Es decir, $\{f(a_n)\} \to f(x)$ y dado que $x$ es un punto arbitrario se $A$, se concluye que $f$ es continua en $A$.

$\square$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista

  • Demuestra que si $f$ y $g$ son funciones crecientes y positivas en un intervalo $A$, entonces su producto es creciente en $A$.
  • Prueba que si $f : A \to \mathbb{R}$ es una función decreciente y $f(A)$ es un intervalo, entonces $f$ es continua en $A$
  • Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función continua. Prueba que si $f|_{\mathbb{Q}}$ es monótona, entonces $f$ es monótona.
  • Sea $A=[a,b]$ un intervalo y $f: A \to \mathbb{R}$ una función creciente. Entonces el punto $a$ se tiene un mínimo de $f$ y en $b$ un máximo.
  • Demostrar que si $A = [a,b]$ y $f: A \to \mathbb{R}$ es creciente y continua en $A$, entonces $f$ es continua en $a$ si y sólo si $f(a) = inf\{f(x): x \in (a, b] \}$.

Más adelante…

En la siguiente entrada veremos qué sucede con la inversa de una función continua para lo cual será fundamental tener presentes los conceptos y teoremas revisados en esta entrada respecto a funciones monótonas.

Entradas relacionadas