Introducción
En la entrada del miércoles pasado se definió el concepto de la transpuesta de una transformación lineal. Así mismo, se probó el impresionante y muy útil hecho de que si es la matriz asociada a la transformación
con respecto a ciertas bases, entonces
es la matriz asociada de la transformación
con respecto a las bases duales. Comenzamos esta entrada con problemas de transformaciones transpuestas. Los problemas 1 y 2 de esta entrada nos servirán para repasar la teoría vista en esa clase.
Por otra parte, en la entrada del viernes pasado comenzamos con el estudio de las formas bilineales y también se definió la forma cuadrática asociada a una forma bilineal. Además, se presentó la identidad de polarización, la cuál dada una forma cuadrática nos recupera la única forma bilineal simétrica de la cuál viene
.
Para repasar esta teoría, en esta entrada se encuentran los problemas 3 y 4. El problema 4 es interesante porque introduce de manera sencilla los espacios de funciones , de los cuáles se hace un estudio mucho más profundo en un primer curso de análisis matemático. Además, para este problema hacemos uso de herramientas de convergencia de series.
Problemas resueltos
Veamos dos problemas de transformaciones transpuestas
Problema. Considera la transformación lineal dada por
Sea


Calcula




Solución. Primero observemos que para un vector cualquiera de se tiene que
entonces
Así,
Esto nos dice que .
Por otro lado,
Por lo tanto,
Problema. Encuentra la matriz de con respecto a la base canónica de
sabiendo que
Solución. Recordemos que para calcular la matriz asociada a una transformación con respecto a una base canónica sólo hace falta poner en la -ésima columna la imagen del
-ésimo vector canónico. Por esto, calculamos los siguientes valores
Entonces la matriz asociada a es
Así, por Teorema 2 visto en la entrada de ortogonalidad y transformación transpuesta, sabemos que la matriz asociada a es justamente la matriz
.
Problemas de formas bilineales y cuadráticas
Problema. Demuestra que la transformación
es una forma bilineal sobre . Describe la forma cuadrática asociada.
Demostración. Sea fijo. Queremos ver que
definida por
es lineal.
Sean .
Sea .
Así, es lineal.
Ahora veamos que dado fijo, la transformación
es lineal.
Sean y
. Tenemos que
Así, es lineal y por consiguiente
es una forma bilineal.
Ahora, tomemos definida por
Entonces


Problema. Para un real , definimos el espacio
Notemos que para ,
es un espacio vectorial sobre
con las operaciones definidas de manera natural. La demostración no es totalmente trivial, pues hay que mostrar que este espacio es cerrado bajo la suma, y esto requiere de la desigualdad del triángulo para la norma
. Puedes intentar demostrar esto por tu cuenta como tarea moral.
Ahora, considera definida por
.
Demuestra que es una forma bilineal simétrica sobre
.
Demostración. Lo primero que haremos es mostrar que la forma bilineal que definimos en efecto tiene valores reales. Para ello, tenemos que ver que converge.
Observemos que para cada se tiene que
Entonces ,
Por consiguiente,
.
Lo anterior se debe a que
ya que
y análogamente para .
Así, , pues converge absolutamente, y por lo tanto
siempre cae en
.
Ahora veamos que es bilineal. Sea
fija. Queremos ver que
Sean y
.
Entonces
Así, es lineal.
De manera análoga se ve que si fija, entonces
es lineal.
Además
Por lo tanto, es una forma bilineal simétrica sobre
.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Muestra que en efecto
es un espacio vectorial sobre
con las operaciones definidas entrada a entrada.
Entradas relacionadas
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- Entrada anterior del curso: Formas bilineales, propiedades, ejemplos y aclaraciones
- Siguiente entrada del curso: Formas cuadráticas, propiedades, polarización y teorema de Gauss