Álgebra Lineal I: Problemas de transformaciones transpuestas y formas bilineales

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Introducción

En la entrada del miércoles pasado se definió el concepto de la transpuesta de una transformación lineal. Así mismo, se probó el impresionante y muy útil hecho de que si $A$ es la matriz asociada a la transformación $T$ con respecto a ciertas bases, entonces $^tA$ es la matriz asociada de la transformación $^tT$ con respecto a las bases duales. Comenzamos esta entrada con problemas de transformaciones transpuestas. Los problemas 1 y 2 de esta entrada nos servirán para repasar la teoría vista en esa clase.

Por otra parte, en la entrada del viernes pasado comenzamos con el estudio de las formas bilineales y también se definió la forma cuadrática asociada a una forma bilineal. Además, se presentó la identidad de polarización, la cuál dada una forma cuadrática $q$ nos recupera la única forma bilineal simétrica de la cuál viene $q$.

Para repasar esta teoría, en esta entrada se encuentran los problemas 3 y 4. El problema 4 es interesante porque introduce de manera sencilla los espacios de funciones $l_p$ , de los cuáles se hace un estudio mucho más profundo en un primer curso de análisis matemático. Además, para este problema hacemos uso de herramientas de convergencia de series.

Problemas resueltos

Veamos dos problemas de transformaciones transpuestas

Problema. Considera la transformación lineal $T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ dada por $$T(x,y,z)=(x+3y, x+y-z).$$
Sea $\mathcal{B}^*=\{e_1^*, e_2^*\}$ la base dual canónica de $\mathbb{R}^2$.
Calcula $^tT(e_1^*+e_2^*)$ y $^tT(e_1^*-e_2^*)$ en términos de la base dual canónica $\{f_1^\ast, f_2^\ast, f_3^\ast\}$ de $\mathbb{R}^3$.

Solución. Primero observemos que para un vector cualquiera de $\mathbb{R}^2$ se tiene que
\begin{align*}
e_1^*(x,y)&=x\\
e_2^*(x,y)&=y.
\end{align*}

entonces
\begin{align*}
(e_1^* + e_2^* )(x,y)&=x+y\\
(e_1^* – e_2^* )(x,y)&=x-y.
\end{align*}

Así,

\begin{align*}
(^tT(e_1^*&+e_2^*))(x,y,z)\\=&(e_1^* + e_2^*)(T(x,y,z))\\
=&(e_1^* + e_2^*)(x+3y, x+y-z)\\=&x+3y+x+y-z\\
=&2x+4y-z.
\end{align*}

Esto nos dice que $^tT(e_1^*&+e_2^*)=2f_1^\ast+4f_2^\ast – f_3^\ast$.

Por otro lado,

\begin{align*}
(^tT(e_1^*&-e_2^*))(x,y,z)\\
=&(e_1^* – e_2^*)(T(x,y,z))\\
=&(e_1^* – e_2^*)(x+3y, x+y-z)\\
=&x+3y-x-y+z\\
=&2y+z.
\end{align*}

Por lo tanto, $ ^tT(e_1^*&-e_2^*)) =2f_2^\ast+f_3^\ast.$

$\square$

Problema. Encuentra la matriz de $^tT$ con respecto a la base canónica de $\mathbb{R}^3$ sabiendo que

$T(x,y,z)=(x+y, y-z,x+2y-3z).$

Solución. Recordemos que para calcular la matriz asociada a una transformación con respecto a una base canónica sólo hace falta poner en la $i$-ésima columna la imagen del $i$-ésimo vector canónico. Por esto, calculamos los siguientes valores

$T(e_1)=T(1,0,0)=(1,0,1)$
$T(e_2)=T(0,1,0)=(1,1,2)$
$T(e_3)=(0,0,1)=(0,-1,-3).$

Entonces la matriz asociada a $T$ es

$A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & -1\\
1 & 2 & -3\end{pmatrix}.$

Así, por Teorema 2 visto en la entrada de ortogonalidad y transformación transpuesta, sabemos que la matriz asociada a $^tT$ es justamente la matriz

$^tA=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 2\\
0 & -1 & -3\end{pmatrix}$.

$\square$

Problemas de formas bilineales y cuadráticas

Problema. Demuestra que la transformación

$b:\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$
$b((x,y),(z,t))=xt-yz$

es una forma bilineal sobre $\mathbb{R}^2$. Describe la forma cuadrática asociada.

Demostración. Sea $(x,y)\in \mathbb{R}^2$ fijo. Queremos ver que

$b((x,y), \cdot):\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$
definida por
$(u,v)\mapsto b((x,y),(u,v))$
es lineal.

Sean $(u,v),(z,t)\in \mathbb{R}^2$.

\begin{align*}
b(&(x,y),(u,v)+(z,t))\\&=b((x,y),(u+z, v+t))\\&=x(v+t)-y(u+z)\\&=(xv-yu)+(xt-yz)\\
&=b((x,y),(u,v))+b((x,y),(z,t)).
\end{align*}

Sea $k \in \mathbb{R}$.
\begin{align*}
b((x,y),k(u,v))&=b((x,y),(ku,kv))\\
&=kxv-kyu\\
&=k(xv-yu)\\
&=kb((x,y),(u,v)).
\end{align*}

Así, $(u,v)\mapsto b((x,y),(u,v))$ es lineal.

Ahora veamos que dado $(u,v)\in\mathbb{R}^2$ fijo, la transformación $(x,y)\mapsto b((x,y),(u,v))$ es lineal.

Sean $(x,y),(z,t)\in\mathbb{R}^2$ y $k\in \mathbb{R}$. Tenemos que
\begin{align*}
b((x&,y)+k(z,t),(u,v))\\
=&b((x+kz,y+kt),(u,v))\\
=&(x+kz)v – (y+kt)u\\
=& xv-kzv-yu-ktu\\
=&(xv-yu)+k(zv-tu)\\
=&b((x,y),(u,v))+kb((z,t),(u,v)).
\end{align*}

Así, $(x,y)\mapsto b((x,y),(u,v))$ es lineal y por consiguiente $b$ es una forma bilineal.

Ahora, tomemos $q:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ definida por $$q(x,y)=b((x,y),(x,y)).$$
Entonces $q(x,y)=xy-yx=0$. Así, la forma cuadrática cero es la forma cuadrática asociada a la forma bilineal $b$.

$\square$

Problema. Para un real $p\geq 0$, definimos el espacio $$l_p:=\left\{(x_n)_{n\in\mathbb{N}} : x_n\in\mathbb{R} \forall n\in \mathbb{N} ; \displaystyle\sum_{i\in \mathbb{N}}|x_i| ^p < \infty \right\}.$$

Notemos que para $p\in[1,\infty)$, $l_p$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ con las operaciones definidas de manera natural. La demostración no es totalmente trivial, pues hay que mostrar que este espacio es cerrado bajo la suma, y esto requiere de la desigualdad del triángulo para la norma $|\cdot |_p$. Puedes intentar demostrar esto por tu cuenta como tarea moral.

Ahora, considera $H:l_2\times l_2 \to\mathbb{R}$ definida por

$H((x_n)_{n\in \mathbb{N}},(y_n)_{n\in \mathbb{N}})=\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}x_ny_n$.


Demuestra que $H$ es una forma bilineal simétrica sobre $l_2$.

Demostración. Lo primero que haremos es mostrar que la forma bilineal que definimos en efecto tiene valores reales. Para ello, tenemos que ver que converge.

Observemos que para cada $n\in\mathbb{N}$ se tiene que

$0\leq(|x_n|- |y_n|)^2.$

Entonces ,
\begin{align*}
0&\leq |x_n| ^2 -2|x_ny_n|+ |y_n |^2\\
|x_n y_n|&\leq \frac{1}{2}(|x_n|^2 + |y_n|^2).
\end{align*}


Por consiguiente,

$\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}|x_n y_n|\leq \frac{1}{2}\left (\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}|x_n|^2 + \displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}|y_n|^2 \right ) < \infty$.

Lo anterior se debe a que

$\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}|x_n|^2 < \infty$ ya que $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}\in l_2$

y análogamente para $(y_n)_{n\in \mathbb{N}}$.

Así, $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}x_n y_n < \infty$, pues converge absolutamente, y por lo tanto $H((x_n)_{n\in \mathbb{N}},(y_n)_{n\in \mathbb{N}})$ siempre cae en $\mathbb{R}$.

Ahora veamos que $H$ es bilineal. Sea $x=(x_n)_{n\in \mathbb{N}}\in l_2$ fija. Queremos ver que $$(y_n)_{n\in \mathbb{N}} \mapsto H((x_n)_{n\in \mathbb{N}},(y_n)_{n\in \mathbb{N}})$$ es lineal.

Sean $y=(y_n)_{n\in \mathbb{N}},z=(z_n)_{n\in \mathbb{N}}\in l_2$ y $k\in \mathbb{R}$.

Entonces

\begin{align*}
H(x,&y+kz)\\
&=\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}x_n y_n +kx_nz_n\\
&=\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}x_n y_n + k\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}x_n z_n\\
&= H(x,y) + k H(x,z).
\end{align*}

Así, $(y_n)_{n\in \mathbb{N}} \mapsto H((x_n)_{n\in \mathbb{N}},(y_n)_{n\in \mathbb{N}})$ es lineal.

De manera análoga se ve que si $(y_n)_{n\in \mathbb{N}} \in l_2$ fija, entonces $(x_n)_{n\in \mathbb{N}} \mapsto H((x_n)_{n\in \mathbb{N}},(y_n)_{n\in \mathbb{N}})$ es lineal.

Además
\begin{align*}
H(x,y)&=\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}x_n y_n\\
&=\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}y_n x_n \\
&= H(y,x).
\end{align*}

Por lo tanto, $H$ es una forma bilineal simétrica sobre $l_2$.

$\square$

Tarea moral

  • Muestra que en efecto $l_p$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ con las operaciones definidas entrada a entrada.

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