Introducción
Al inicio de este unidad, hablamos de las propiedades algebraicas de , cuando definimos sus operaciones y argumentamos por qué se puede usar la notación de potencias. Luego hablamos de las propiedades aritméticas de los polinomios, cuando hablamos de divisibilidad, máximo común divisor y factorización en irreducibles. Vimos una aplicación de esto a solución de desigualdades. Lo que queremos hacer ahora es pensar a los polinomios como funciones de
en
y entender las propiedades analíticas que tienen, es decir en términos de cálculo. Nos interesa qué les sucede cuando su entrada es grande, la continuidad y la diferenciabilidad de polinomios.
Estas propiedades tienen consecuencias algebraicas importantes. La continuidad de polinomios nos permite encontrar raíces reales en ciertos intervalos. La diferenciabilidad de polinomios nos ayuda a encontrar la multiplicidad de las raíces. Supondremos que manejas conocimientos básicos de cálculo y de manipulación de límites, pero de cualquier forma recordaremos algunas definiciones y daremos esbozos de la demostración de algunos resultados.
Límites a reales y límites a infinito
Recordemos dos definiciones de cálculo, que se aplican para funciones arbitrarias definidas en todos los reales.
Definición. Sea una función y
reales. Decimos que








Definición. Sea una función. Decimos que






De manera análoga se pueden definir límites cuando tiende a menos infinito, y definir qué quiere decir que el límite sea menos infinito. La siguiente proposición se prueba en textos de cálculo.
Proposición (propiedades de límites). Sean y
funciones y
,
,
reales. Si
- «El límite de la suma es la suma de los límites», en símbolos,
- «El límite del producto es el producto de los límites», en símbolos,
La proposición anterior es sólo para cuando los límites son reales. Hay resultados para cuando algunos de los límites son infinitos, pero en general hay que tener cuidado.
La primer propiedad analítica de los polinomios es saber cómo es su comportamiento cuando se hace infinito o menos infinito. Si el polinomio es constante, entonces este límite es simplemente su valor en cualquier punto. Para polinomios de grado mayor o igual a
, su comportamiento queda resumido en la siguiente proposición.
Proposición (límites a infinito). Tomemos al polinomio en
dado por


- Si
y
es de grado par entonces
- Cuando
y
es de grado impar entonces
- Si
y
es de grado par entonces
- Cuando
y
es de grado impar entonces
Demostración. Vamos a hacer una de las demostraciones. Mostraremos que para cuando y el grado es par, entonces
Tomemos entonces un polinomio de grado par y con coeficiente principal
. Intuitivamente, tenemos que mostrar que si
es muy grande, entonces
es tan grande como queramos. Tomemos un real
. Como haremos
grande, podemos suponer que
.
Como el término es positivo, basta mostrar como resultado auxiliar que si
es suficentemente grande, entonces
y de aquí, pasando todo excepto a a la izquierda, tendríamos
Para probar el resultado auxiliar, tomemos como el máximo de los valores absolutos
. Por la desigualdad del triángulo y usando
tenemos que
De esta forma, para mostrar nuestra desigualdad auxiliar basta mostrar que para suficientemente grande, tenemos que
. Pero como
, esta desigualdad es equivalente a
.
Recapitulando, para cualquier , si
, entonces
. Esto termina la demostración.
Podemos usar la proposición anterior para comparar polinomios cuando su variable tiende a infinito.
Ejemplo. Mostraremos que existe una suficientemente grande tal que si
, entonces



Continuidad de polinomios
Antes de llegar a diferenciabilidad de polinomios, haremos un paso intermedio. Recordemos otra definición de cálculo.
Definición. Sea una función y
un real. Decimos que
es continua en
si

Por la proposición de propiedades de límites, la suma o producto de funciones continuas es continua. Las funciones constantes son continuas. La función identidad dada por
es continua. Estos tres hechos nos ayudan a demostrar que todos los polinomios son funciones continuas sin tener que recurrir a la definición de límite.
Teorema. Cualquier polinomio en
pensado como una función
es una función continua.
Demostración. Supongamos que está dado por
Para toda de
a
tenemos que la función
es constante y por lo tanto es continua. Si
, la función
es producto de
veces la identidad consigo misma. Como la identidad es continua y producto de continuas es continua, entonces
es continua.
De nuevo, usando que producto de funciones continuas es continua, tenemos que es una función continua. De esta forma,
es la suma de
funciones continuas, y por lo tanto es una función continua.
El resultado anterior nos ayuda a usar teoremas versátiles de cálculo en nuestro estudio de polinomios. Recordemos el teorema del valor intermedio.
Teorema (del valor intermedio). Sea una función continua. Sean
dos reales. Entonces entre
y
, la función
toma todos los valores entre
y
.
Veamos cómo el teorema del valor intermedio nos permite encontrar raíces de polinomios.
Problema. Muestra que el polinomio tiene por lo menos una raíz en el intervalo
.
Solución. Al evaluar al polinomio en cero, obtenemos . Al evaluarlo en
, obtenemos
Como los polinomios son funciones continuas, podemos aplicar el teorema del valor intermedio. Concluimos que toma todos los valores de
a
en el intervalo
. En particular, existe un real
en
tal que
.
El teorema del valor intermedio nos ayuda a demostrar que un polinomio tiene una raíz en cierto intervalo. Sin embargo, no es de tanta utilidad para decir exactamente cuál es esa raíz. Es un resultado existencial en vez de ser constructivo. Veamos un ejemplo más, que muestra una proposición que quedó pendiente en una entrada anterior.
Problema. Sea un polinomio cuadrático, mónico e irreducible en
. Muestra que
para todo real
.
Solución. Procedamos por contradicción. Supongamos que para algún real
.
Como es mónico, su coeficiente principal es
, que es positivo. Como
es cuadrático, es de grado par. Por la proposición de límites a infinito, existe un real
tal que
. Por el teorema del valor intermedio, existiría un real
en el intervalo
tal que
. Pero esto es imposible, pues entonces por el teorema del factor
divide a
y esto contradice que
es irreducible.
Como muestra el problema anterior, se pueden combinar los límites de polinomios a infinito y menos infinito, y sus propiedades de continuidad. Otra aplicación es mostrar que todo polinomio de grado impar tiene por lo menos una raíz real. Esto se verá en otra entrada.
Por supuesto, otros resultados de continuidad también se pueden usar en todos los polinomios, como el teorema del valor extremo. Aplicándolo directamente, concluimos lo siguiente.
Proposición. Sean reales y
un polinomio en
. Entonces
está acotado en el intervalo
y existen reales
y
en dicho intervalo tales que
y
son el mínimo y máximo de
en
, respectivamente.
Diferenciabilidad de polinomios
Es momento de hablar de diferenciabilidad de polinomios. Recordemos una última definición de cálculo.
Definición. Sea una función. Decimos que
es diferenciable en
si el límite



Al igual que en el caso de continuidad, la suma y producto de funciones diferenciales es diferenciable. Si y
son diferenciables, entonces la derivada de
está dada por

Las funciones constantes son diferenciables, y su derivada es la función constante . La función identidad es diferenciable, y su derivada es la función constante
. Esto es sencillo de mostrar y queda como tarea moral.
Proposición. Sea un entero. El polinomio
es diferenciable, y su derivada es la función
.
Demostración. Haremos la prueba por inducción. Si , el polinomio es
, y su derivada es
, como queremos. Supongamos que el resultado es cierto para el entero
y tomemos
. Por hipótesis inductiva,
es diferenciable. Como
es producto de dos funciones diferenciables, entonces es diferenciable.
Usando la regla de la cadena, la hipótesis inductiva de la fórmula y la derivada de , tenemos que
Con todos estos ingredientes podemos mostrar la diferenciabilidad de todos los polinomios. Los detalles quedan como tarea moral.
Teorema (diferenciabilidad de polinomios). Sea un polinomio en
dado por



Ejemplo. El polinomio es diferenciable. Su derivada es el polinomio
.
Ya que sabemos que los polinomios son diferenciables, podemos usar todas las herramientas de cálculo diferencial, como:
- El teorema de Rolle
- El teorema de valor medio
- Que la derivada detecta puntos críticos
- Que la derivada detecta crecimiento/decrecimiento
- Series de Taylor
No profundizaremos en esto, pues es el contenido de un buen curso de cálculo, o bien de material de algún texto en el área, como el libro de Cálculo de Spivak.
A nosotros nos interesa una consecuencia algebraica de que los polinomios tengan derivada. Como la derivada de un polinomio es otro polinomio, entonces la derivada es diferenciable. Por ello, un polinomio se puede derivar iteradamente tantas veces como se quiera. Al polinomio obtenido de derivar
veces le llamamos la
-ésima derivada y lo denotamos por
. En la siguiente entrada veremos cómo la repetida diferenciabilidad de polinomios nos ayuda a detectar la multiplicidad de sus raíces.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Estudia el resto de los casos de la proposición de límites de polinomios cuando la entrada va a menos infinito y a infinito.
- Muestra usando la definición de límite que las funciones constantes y la función identidad son continuas.
- Demuestra por definición que las funciones constantes son diferenciables y que su derivada es la función constante
. Demuestra por definición que la función identidad es diferenciable y que su derivada es la función constante
.
- Muestra que existe un real
en el cual los polinomios
y
son iguales. Sugerencia. Reescribe esta igualdad en términos de encontrar una raíz de un sólo polinomio.
- Completa los detalles del teorema de diferenciabilidad de polinomios.