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Cálculo Diferencial e Integral I: Teorema del valor intermedio

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

Introducción

En la entrada anterior se revisó el concepto de continuidad en un punto, así como algunas de sus propiedades. Además, se definió la continuidad en un intervalo, concepto que se empleará en esta entrada para probar uno de los resultados más relevantes para las funciones continuas: el teorema del valor intermedio.

Idea intuitiva

Este teorema nos dice que para una función continua en determinado intervalo $[a,b]$, si $f$ es negativa al evaluarla en $a$ y es positiva al evaluarla en $b$, entonces existe algún punto $x$ tal que al evaluar la función en tal punto, toma el valor de cero. Recordemos la idea intuitiva de continuidad, una función es continua si puedes dibujarla sin soltar el lápiz; pensemos entonces que $f$ debe «iniciar» en un punto negativo en el eje vertical y «terminar» en un punto positivo del mismo eje. En la siguiente imagen se muestra una función continua que pasa por ambos.

¿Podrías dibujar una función continua que pase por ambos puntos sin pasar por $0$ en el eje horizontal? Probaremos que esto no es posible en el siguiente teorema; pero antes desarrollemos la intuición de lo que debe suceder. Para ello, recordemos el último teorema revisado en la entrada anterior.

Teorema. Supongamos que $f$ es continua en $x_0$ y $f(x_0)>0$. Entonces $f(x) >0$ para todo x en un intervalo que contiene a $x_0$, es decir, existe $\delta > 0$ tal que $f(x) >0$ para todo $x$ tal que $|x-x_0|< \delta$.

De forma análoga, si $f(x_0) <0$, entonces existe $\delta > 0$ tal que $f(x) < 0$ para todo $x$ tal que $|x-x_0|< \delta$.

Es decir, si una función continua toma un valor positivo en un punto $x_0$, entonces debe suceder que fue positiva en todo un intervalo: $(x_0-\delta, x_0+\delta)$. Análogamente, esto sucede en si la función es negativa en determinado punto. Así, podemos pensar en el intervalo más grande que captura el comportamiento negativo (o positivo), ¿en qué punto se termina? Para responder esta pregunta, haremos uso de un concepto revisado anteriormente, el supremo.

Teorema del valor intermedio

Teorema del valor intermedio. Sea $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ continua en todo el intervalo $[a,b]$. Si $f(a) < 0$ y $f(b) > 0,$ entonces existe $c$, $a<c<b,$ tal que $f(c) = 0$.

Demostración.

Como $f(a) < 0$, sabemos que existe $\delta_1$ tal que para todo $x \in (a – \delta_1, a + \delta_1) \cap [a,b]$ se tiene que $f(x) < 0$. Es decir,

$$\forall x \in [a, a+\delta_1), \quad f(x) <0. \tag{1}$$

Como $f(b) > 0$, sabemos que existe $\delta_2$ tal que para todo $x \in (b – \delta_2, b + \delta_2) \cap [a,b]$ se tiene que $f(x) > 0$. Es decir,

$$\forall x \in (b-\delta_2,b], \quad f(x) > 0. \tag{2}$$

Definamos ahora el siguiente conjunto:

$$A = \{ t \in [a,b] \quad | \quad \forall x \in [a, t], f(x) < 0 \}.$$


Es decir, el conjunto $A$ está formado por todos los números reales que forman un intervalo $[a, t]$ donde $f$ toma valores negativos. Utilizando la ilustración del inicio, se puede ejemplificar cómo se ve $t$, que estará en el eje $x$ entre $a$ y el punto rojo marcado.

Primero veamos que $A \neq \varnothing$.

Consideremos $t_0 = a + \frac{\delta_1}{2}$. Es inmediato que $a< a + \frac{\delta_1}{2} < a +\delta_1 $ y como $[a, a + \frac{\delta_1}{2}] \subset [a, a+\delta_1)$, por $(1)$ se tiene que, para todo $x \in [a, a + \frac{\delta_1}{2}]$, $f(x) < 0$.

$$\therefore t_0 \in A \Rightarrow A \neq \emptyset.$$

Notemos que el conjunto $A$ está acotado. Por definición si $t \in A$, entonces $t \in [a,b]$, es decir, $t \leq b$. Ahora, como nuestro conjunto $A$ es no vacío y está acotado, sí tiene supremo. Sea $\alpha = supA$.

Adicionalmente, notemos que

  1. $t_0 = a+\frac{\delta_1}{2} \in A$ y $a+\frac{\delta_1}{2} \leq \alpha \leq b$.
  2. Por $(2)$, para todo $x \in (b-\delta_2, b]$ se tiene que $f(x) >0$, entonces $\alpha \leq b-\delta_2$.

Por lo anterior, se tiene
\begin{gather*}
& a< a+\frac{\delta_1}{2} \leq \alpha \leq b-\delta_2 < b. \\
\Rightarrow & a<\alpha<b.
\end{gather*}

Para finalizar con la prueba, demostraremos que $f(\alpha) = 0$.

Para demostrarlo procederemos por contracción, es decir, supongamos que $f(\alpha) \neq 0$, entonces existen dos casos, $f(\alpha) > 0$ ó $f(\alpha) < 0$.

  • Caso 1: $f(\alpha) < 0$.

    Se tiene que $f(\alpha) < 0$, entonces existe $\delta_3$ tal que para todo $x \in (\alpha – \delta_3, \alpha + \delta_3) \cap [a,b]$ se cumple que $f(x) < 0$.

    Dado que $\alpha = supA \quad$ y $\quad \alpha – \delta_3 < \alpha$, entonces existe $t \in A$ tal que $\alpha-\delta_3 < t \leq \alpha$. Adicionalmente, consideremos $s$ tal que $\alpha < s < \alpha + \delta_3$ y $s <b$.

    Como $[t, s] \subset (\alpha – \delta_3, \alpha + \delta_3)$, entonces

    $$\Rightarrow \forall x \in [a,s], \quad f(x) < 0.$$

    Además, por definición del conjunto A, para todo $x \in [a,t]$ se tiene $f(x) < 0$.

    $$\Rightarrow \forall x \in [a,s] = [a,t] \cup [t,s], \quad f(x) < 0.$$

    Entonces $s \in A$ y $\alpha < s$, lo cual es una contradicción pues $\alpha$ es el supremo de $A$.

    $$\therefore f(\alpha) \geq 0.$$
  • Caso 2: $f(\alpha) > 0$.

    Dado que $f$ es continua en $\alpha$, entonces existe $\delta_4 > 0$ tal que para todo $x \in (\alpha – \delta_4, \alpha + \delta_4)$, $f(x) > 0$.

    Como $\alpha – \delta_4 < \alpha$, entonces existe $t \in A$ tal que $\alpha – \delta_4 < t \leq \alpha$. Como $t \in A$, entonces $f(t) < 0$ y como $\alpha – \delta_4<t \leq \alpha < \alpha + \delta$, $f(t) >0$, lo cual es una contradicción.

    Por tanto, $f(\alpha) = 0$.

Así, consideremos $c = \alpha$, $a<c<b$ y $f(c) = 0.$

$\square$

Podemos notar que el teorema no solo vale cuando la función va de negativo ($f(a) < 0$) a positivo ($f(b) > 0$), sino también en el caso inverso ($f(a) > 0$ y $f(b) < 0$) y lo probaremos en el siguiente corolario.

Corolario. Sea $f: [a, b] \to \mathbb{R}$, continua en $[a, b]$. Si $f(a) > 0$ y $f(b) < 0$, entonces existe $c$, $a<c<b$, tal que $f(x) = c$.

Demostración.

Consideremos la función $h: [a, b] \to \mathbb{R}$, $h(x) = -f(x).$

Notemos que $h$ es continua pues $f$ lo es. Además $h(a) = -f(a) <0$ y $h(b) = -f(b) >0$. Aplicando el teorema del valor intermedio, existe $c$ que cumple $a<c<b$ tal que

\begin{gather*}
& h(c) = 0. \\
\Rightarrow & -f(c) = 0. \\
\therefore & f(c) = 0.
\end{gather*}

$\square$

Más aún, si en un intervalo $[a, b]$ se cumple que $f(a) < M$ y $f(b) > M$, entonces también existe un punto $c$ tal que $f(c) = M$.

Corolario. Sea $M \in \mathbb{R}$, si $f(a) < M$ y $f(b) > M$. Entonces existe $c$, $a<c<b$, tal que $f(c) = M$.

Demostración.

Consideremos la función $h:[a,b] \to \mathbb{R}$, con $h(x) = f(x)-M$.

Notemos que $h$ es continua. Además $h(a) = f(a)-M < 0$ y $h(b) = f(b)-M > 0$. Por el teorema del valor intermedio, existe $c$, $a<c<b$, tal que $h(c) = 0$. Entonces $f(c)-M = 0$.

$$\therefore f(c) = M.$$

$\square$

Análogamente, tenemos el siguiente resultado.

Corolario. Sea $M \in \mathbb{R}$, si $f(a) >M$ y $f(b) < M$. Entonces existe $c$, $a<c<b$, tal que $f(c) = M$.

Más adelante…

En la siguiente entrada demostraremos otra propiedad fuerte respecto a las funciones continuas: si una función es continua en un intervalo, entonces está acotada. Más aún, existe un valor $x_0$ en el intervalo tal que la función alcanza su máximo en dicho punto. De forma análoga, existe un punto en el que la función alcanza su mínimo.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Sea $f$ continua en el intervalo $[0,1]$ y tal que $f(0) = f(1)$. Demostrar que existe un punto $c \in [0, \frac{1}{2}]$ tal que $f(c) = f(c + \frac{1}{2}).$
  • Sea $M \in \mathbb{R}$, si $f(a) >M$ y $f(b) < M$. Prueba que existe $c$, $a<c<b$ tal que $f(c) = M.$
  • Dado $f(x) = x^2 + 2x – 7$, demuestra que existe $c$ tal que $f(c) = 50.$
  • Para la ecuación $2x^7= x-1$, encuentra una solución en $[0,1].$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: Definición de continuidad y sus propiedades

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

Introducción

En esta entrada definiremos la continuidad de una función, es probable que hayas estudiado antes tal concepto y la manera en que se suele definir de forma intuitiva es mediante la siguiente sentencia: «Si puedes dibujar la función sin levantar el lápiz, entonces es una función continua». Nosotros revisaremos el tema con mayor formalidad, pero notarás que tal enunciado será de ayuda para interpretar la definición.

Definición de continuidad

En palabras sencillas, una función es continua en un punto $x_0$ si el límite en tal punto es igual a evaluar la función en $x_0$.

Definición. La función $f$ es continua en $x_0$ si $$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).$$ Es decir, $f$ es continua en $x_0$ si para todo $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que para todo $x$ que satisface que $0<|x-x_0|< \delta$, entonces se cumple que $|f(x)-f(x_0)|< \varepsilon$.

En la entrada de definición formal de límite se vieron algunos ejemplos de funciones continuas; específicamente se dejaron dos ejercicios como tarea moral que procederemos a probar en esta entrada.

Ejemplo 1. La función $f(x) = c$, es continua en $x_0$ para todo $x_0 \in \mathbb{R}$.

Demostración.

Sea $\varepsilon > 0$. Dado que la función es constante, cualquier valor de delta nos funciona, así consideremos $\delta = 1$.

Si $0<|x-x_0|< \delta$, entonces

\begin{align*}
|f(x)-f(x_0)| & = |c-c|\\
& = 0 \\
& < \varepsilon.
\end{align*}

$$\therefore \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).$$

$\square$

Ejemplo 2. La función $f(x) = x$ es continua en $x_0$ para todo $x_0 \in \mathbb{R}$.

Demostración.

Sea $\varepsilon > 0$. Consideremos $\delta = \varepsilon$.

Si $0<|x-x_0|<\delta$, entonces
\begin{align*}
|f(x)-f(x_0)| & = |x-x_0|\\
& < \delta \\
& = \varepsilon.
\end{align*}

$$\therefore \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).$$

Ejemplo 3. La función $f(x) = sen(x)$ es continua en $x_0$ para todo $x_0 \in \mathbb{R}.$

Demostración.

Para probar la continuidad de esta función, procederemos a calcular sus límites laterales. En esta demostración usaremos las siguientes identidades trigonométricas:

  1. $$sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b).$$
  2. $$sen(a-b) = sen(a)cos(b) – cos(a)sen(b).$$

Calculando el límite por la derecha y usando la primera identidad, tenemos

\begin{align*}
\lim_{x \to x_0^+} sen(x) & = \lim_{h \to 0^+} sen(x_0+h) \\
& = \lim_{h \to 0^+} sen(x_0)cos(h) + cos(x_0)sen(h) \text{, pues $h > 0$} \\
& = sen(x_0)cos(0) + cos(x_0)sen(0) \\
& = sen(x_0).
\end{align*}

Calculando el límite por la izquierda y usando la segunda identidad, tenemos

\begin{align*}
\lim_{x \to x_0^-} sen(x) & = \lim_{h \to 0^-} sen(x_0+h) \\
& = \lim_{h \to 0^-} sen(x_0)cos(h) – cos(x_0)sen(h) \text{, pues $h < 0$} \\
& = sen(x_0)cos(0) + cos(x_0)sen(0)\\
& = sen(x_0).
\end{align*}

Como los límites laterales existen y coinciden, se concluye que

$$\lim_{x \to x_0} sen(x) = sen(x_0).$$

Por lo tanto, la función es continua.

$\square$

Propiedades básicas de la continuidad

A continuación revisaremos tres propiedades aritméticas de las funciones continuas.

Teorema. Si $f$ y $g$ son funciones continuas en $x_0$, entonces

  1. $f+g$ es continua en $x_0$.
  2. $f \cdot g$ es continua en $x_0$.
  3. Si además $g(x_0) \neq 0$, entonces $\frac{1}{g}$ es continua en $x_0$.

Demostración.

Como $f$ y $g$ son continuas, entonces
$$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to x_0} g(x) = g(x_0).$$
Por las propiedades del límite, tenemos lo siguiente
\begin{align*}
\lim_{x \to x_0} (f + g)(x) & = \lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] \\
& = \lim_{x \to x_0} f(x) + \lim_{x \to x_0} g(x) \\
& = f(x_0) + g(x_0) \\
& = (f+g)(x_0).
\end{align*}

$$\therefore \lim_{x \to x_0} (f + g)(x) = (f+g)(x_0).$$

Por lo tanto, $f+g$ es continua.

Podemos notar que los incisos siguientes tienen demostraciones análogas ocupando las propiedades demostradas para el límite de una función, por lo cual su prueba se omitirá.

$\square$

Gracias al teorema anterior y los ejemplos vistos, tenemos una gama de funciones continuas, las funciones polinomiales: $p(x) = \alpha_n x^n + \alpha_{n-1} x^{n-1} + \ldots + \alpha_1 x +\alpha_0$.

La siguiente propiedad que veremos hace referencia a la composición de funciones continuas.

Teorema. Si $g$ es continua en $x_0$ y $f$ es continua en $g(x_0)$, entonces la composición de funciones $f \circ g$ es continua en $x_0.$

Demostración.

Queremos probar que $$\lim_{x \to x_0} (f \circ g)(x) = (f \circ g)(x_0)$$
y para demostrarlo procederemos mediante la definición épsilon-delta.

Sea $\varepsilon > 0$.

Como $f$ es continua en $g(x_0)$, existe $\delta’ > 0$ tal que para todo $y$ que cumpla $|y-g(x_0)|< \delta’$, entonces $|f(y)-f(g(x_0))|< \varepsilon$.

Dado que estamos viendo la composición, podemos considerar particularmente $y = g(x)$, de esta manera se tiene que si $|g(x)-g(x_0)|< \delta’$, entonces
\begin{align*}|f(g(x))-f(g(x_0))| <\varepsilon. \tag{1} \end{align*}

Como $g$ es continua en $x_0$, para cualquier valor positivo arbitrario, en este caso consideraremos $\delta’>0$, existe $\delta > 0$ tal que si $0<|x-x_0|<\delta$, entonces
\begin{align*} |g(x)-g(x_0)| < \delta’. \tag{2} \end{align*}

De (1) y (2), se sigue que $$\text{si } 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |g(x)-g(x_0)| < \delta’ \Rightarrow |f(g(x))-f(g(x_0))| <\varepsilon.$$

Es decir, si $0<|x-x_0|<\delta$, entonces $|f(g(x))-f(g(x_0))| <\varepsilon$.

$\square$

El teorema anterior nos permite extender aún más el almacén de funciones continuas. Por ejemplo, sabemos que $g(x) = x^2+x-10$ es continua en $x_0$ para todo $x_0 \in \mathbb{R}$ y la función $f(x) = sen(x)$ es continua en cualquier punto, particularmente en $g(x_0)$, entonces la composición $(f \circ g) (x) = sen(x^2+x-10)$ también es continua en $x_0$.

Existen cierto tipo de funciones que no están definidas en algún punto en particular. Por ejemplo $f(x) = xsen(\frac{1}{x})$, no está definida en $x_0=0$ y, por tanto, no puede ser continua en tal punto, pero a partir de ella podemos construir una nueva función que sí sea continua en $x_0=0$. En una entrada anterior, vimos que $$\lim_{x \to 0} xsen \left( \frac{1}{x} \right) = 0.$$

De esta forma, podemos definir una nueva función:

$$f(x) = \begin{cases} xsen(\frac{1}{x}) & \text{si } x \neq 0 \\
0 & \text{si } x = 0. \end{cases}$$

Esta nueva función $f$ es continua en $x_0 = 0$. A este tipo de funciones que podemos convertirlas en funciones continuas en $x_0$ redefiniéndolas en tal punto, se dice que tienen una discontinuidad removible o evitable.


Por otro lado, también hay funciones cuya discontinuidad es no removible. Consideremos la función $f(x) = sen\left( \frac{1}{x} \right)$, revisamos anteriormente que el límite de tal función no existe. Por lo cual, aunque la definiéramos en $x_0$, seguiría siendo discontinua en dicho punto.

Hasta ahora estuvimos empleando la definición de continuidad en un punto, sin embargo, para la mayoría de los ejemplos revisados probamos la continuidad para todo $\mathbb{R}$, puesto que consideramos un $x_0$ arbitrario. Es conveniente tener una definición para la continuidad en un intervalo. Y, como podrás imaginarlo, para que una función sea continua en un intervalo $(a,b)$, se requiere que la función sea continua en cada punto del intervalo (con una pequeña particularidad para intervalos cerrados).

Definición (Continuidad en un intervalo abierto). Si $f$ es continua en todo $x$ con $x \in (a,b)$, se dice que $f$ es continua en el intervalo $(a,b)$.

Definición (Continuidad en un intervalo cerrado). Si $f$ es continua en todo $x$ con $x \in (a,b)$ y se cumple que

$$\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to b^-} f(x) = f(b).$$

Entonces se dice que $f$ es continua en el intervalo $[a,b]$.

Terminaremos esta entrada probando un teorema que nos dice que si $f$ es continua en $x_0$ y $f(x_0)$ es mayor a cero (o menor a cero), entonces existe todo un intervalo en el que es mayor a cero (o menor a cero).

Teorema. Supongamos que $f$ es continua en $x_0$ y $f(x_0)>0$. Entonces $f(x) >0$ para todo x en un intervalo que contiene a $x_0$, es decir, existe $\delta > 0$ tal que $f(x) >0$ para todo $x$ tal que $|x-x_0|< \delta$.

De forma análoga, si $f(x_0) <0$, entonces existe $\delta > 0$ tal que $f(x) < 0$ para todo $x$ tal que $|x-x_0|< \delta$.

Demostración.

Como $f$ es continua en $x_0$, entonces para $\varepsilon = \frac{1}{2}f(x_0) > 0$, existe $\delta>0$ tal que si $|x-x_0|< \delta$, entonces
\begin{gather*}
& |f(x)-f(x_0)|< \frac{1}{2}f(x_0). \\
\Rightarrow & -\frac{1}{2}f(x_0) < f(x)-f(x_0) < \frac{1}{2}f(x_0). \\
\Rightarrow & -\frac{1}{2}f(x_0) + f(x_0) < f(x) < \frac{1}{2}f(x_0) + f(x_0). \\
\Rightarrow & f(x) > \frac{1}{2}f(x_0) > 0.
\end{gather*}

La demostración para cuando $f(x_0)< 0$ es análoga usando $\varepsilon = – \frac{1}{2}f(x_0) > 0.$

$\square$

Más adelante…

Tras revisar las propiedades básicas de las funciones continuas, estamos listos para revisar resultados muy interesantes derivados de la continuidad. En la siguiente entrada revisaremos el popular teorema del valor intermedio, que nos indica que si una función continua en un intervalo $[a,b]$ «inicia» en un punto negativo, $f(a) < 0$, y «termina» en un punto positivo, $f(b) > 0$, entonces dicha función necesariamente pasa por el cero, es decir, existe un $x_0$ en el intervalo $[a,b]$ tal que $f(x_0) = 0$. Para probar este resultado, se hará uso del último teorema revisado en esta entrada.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Prueba que la función $f(x) = cos(x)$ es continua en cualquier punto $x_0 \in \mathbb{R}$.
  • Sea $f: A \to \mathbb{R}$. Prueba que si $f$ es continua en un punto $x_0 \in A$, entonces la función $|f|(x):= |f(x)|$ también es continua en $x_0$. ¿Se cumple el regreso? Es decir, ¿si $|f|$ es continua en $x_0$ entonces $f$ también es continua en tal punto?
  • Se dice que una función $f$ es aditiva si $f(x+y) = f(x)+f(y)$ para todo $x$, $y$ en $\mathbb{R}$. Prueba que para una función aditiva $f$ tal que es continua en algún punto $x_0$, entonces es continua en todo su dominio.
  • Da un ejemplo de dos funciones $f$ y $g$ discontinuas en $x_0$ tal que la suma $f+g$ sea continua en $x_0.$
  • Da un ejemplo de dos funciones $f$ y $g$ discontinuas en $x_0$ tal que el producto $f \cdot g$ sea continuo en $x_0.$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»