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Seminario de Resolución de Problemas: Vectores en geometría

Introducción

Anteriormente, comenzamos esta serie de entradas de geometría platicando de algunas técnicas euclideanas o sintéticas que se pueden usar para resolver problemas en el plano. Después, tomamos herramientas de la geometría analítica, las cuales nos permiten poner problemas en términos de coordenadas y ecuaciones. Lo que haremos ahora es ver varios ejemplos del uso de vectores en geometría.

A diferencia de la geometría analítica, cuando hablamos de soluciones por vectores estamos hablando de aquellas que aprovechan la estructura de espacio vectorial en \mathbb{R}^2. En otras palabras, usamos argumentos en los cuales pensamos a los puntos del plano como vectores, los cuales tienen una dirección y una magnitud. Los vectores tienen operaciones de suma y de producto por un escalar. Además, tienen producto punto, norma y transformaciones dadas por matrices. Apenas tocaremos la superficie del tipo de teoría que se puede usar. Un buen curso de álgebra lineal te puede dar más herramientas para resolver problemas geométricos.

Interpretar puntos como vectores

Pongamos un origen O en el plano. A cada punto P le corresponden ciertas coordenadas dadas por parejas de reales (x,y), que identificaremos con P. Al origen le corresponden las coordenadas (0,0). Si tenemos otro punto Q=(w,z), entonces su suma es el vector P+Q=(x+w,y+z). Si tomamos un real r, el vector rP es el vector de coordenadas (rx,ry).

Suma de vectores
Suma de vectores

La suma P+Q se puede encontrar mediante la ley del paralelogramo: los puntos O,P,P+Q,Q hacen un paralelogramo en ese orden cíclico. La resta Q-P está definida por Q+(-1)P, y la llamamos el vector PQ. Geométricamente coincide con el vector que va “de P a Q“. Observa que el orden es importante y que OP=P.

Resta de vectores
Resta de vectores

Proposición (de la razón). Si tenemos dos puntos P y Q distintos y m,n son reales, entonces podemos encontrar al único punto R en la recta por P y Q tal que

    \[\frac{PR}{RQ}=\frac{m}{n}\]

así:

    \[R=\frac{n}{m+n}P + \frac{m}{m+n} Q.\]

Punto en una recta con cierta razón
Punto en una recta con cierta razón

Veamos dos problemas en los que se usan estas ideas de vectores en geometría, en particular, la proposición de la razón.

Problema. En el triángulo ABC se toman puntos D,E,F sobre los segmentos BC,CA,AB tales que \frac{BD}{DC}=\frac{CE}{EA}=\frac{AF}{FB}=\frac{1}{4}. Muestra que ABC y DEF tienen el mismo gravicentro.

Sugerencia pre-solución. Encuentra una fórmula en términos vectoriales para el gravicentro de un triángulo ABC.

Solución. Tomemos un triángulo PQR y pensemos a sus vértices como vectores. Afirmamos que su gravicentro X es el punto correspondiente a \frac{P+Q+R}{3} Demostraremos esto.

El gravicentro está a un tercio del punto medio hacia el vértice correspondiente
Razón del gravicentro en la mediana

Primero haremos un argumento de geometría sintética. El gravicentro es por definición el punto de intersección de las medianas de un triángulo. Si L es el punto medio de QR y M es el punto medio de RP, entonces X es el punto de intersección de PL y QM. Tenemos que

    \[\frac{RL}{LQ}=1=\frac{RM}{MP},\]

así que por el teorema de Tales se tiene que la recta por L y M es paralela al lado PQ, y \frac{LM}{PQ}=\frac{1}{2}. Esto muestra que los triángulos XLM y XPQ son semejantes en razón 1 a 2. Por lo tanto, \frac{LX}{XP}=\frac{1}{2}.

Ahora hagamos el argumento vectorial, pensando a los puntos como vectores. El punto L está a la mitad de QR, así que por la proposición de la razón,

    \[L=\frac{Q+R}{2}.\]

El punto X cumple \frac{LX}{XP}=\frac{1}{2}, así que de nuevo por la proposición de la razón.

    \begin{align*}X&=\frac{2L+P}{2+1}\\&=\frac{Q+R+P}{3}\\&=\frac{P+Q+R}{3}.\end{align*}

Esto es el resultado auxiliar que queríamos mostrar. Regresemos al problema.

De acuerdo al resultado auxiliar, el gravicentro de ABC es

    \[G:=\frac{A+B+C}{3}.\]

Usando una vez más la proposición de la razón, los puntos D, E y F los podemos calcular como sigue:

    \begin{align*}D&=\frac{4B+C}{4+1}=\frac{4B+C}{5}\\E&=\frac{4C+A}{4+1}=\frac{4C+A}{5}\\F&=\frac{4A+B}{4+1}=\frac{4A+B}{5}.\end{align*}

De esta forma, el gravicentro G' de DEF lo podemos encontrar como sigue:

    \begin{align*}G'&=\frac{D+E+F}{3}\\&=\frac{\frac{4B+C}{5}+\frac{4C+A}{5}+\frac{4A+B}{5}}{3}\\&=\frac{A+B+C}{3}\\&=G.\end{align*}

Esto termina la solución del problema.

\square

Problema. En el paralelogramo ABCD el punto F es el punto medio de CD. Muestra que el segmento AF corta a la diagonal BD en un punto E tal que \frac{DE}{DB}=\frac{1}{3}.

Sugerencia pre-solución. Hay varias formas de hacer las cuentas en este problema, pero el uso de una notación adecuada te hará simplificar muchas operaciones.

Solución. Pensemos a los puntos de la figura como vectores. Coloquemos al punto A en el origen. El punto C está dado por B+D, de modo que

    \[F:=\frac{C+D}{2}=\frac{B+2D}{2}.\]

Vectores en geometría: problema de paralelogramo
Figura auxiliar para problema de paralelogramo

Para encontrar al punto E, notemos que está en las rectas AF y BD. De esta forma, deben existir reales r y s tales que

    \[E=rF\]

y

    \[E=sB+(1-s)D.\]

Expresando F en términos de B y D en la primer ecuación, tenemos que

    \[E=\frac{rB+2rD}{2}=\frac{rB}{2}+rD.\]

De ambas expresiones para E, concluimos que

    \begin{align*}s=\frac{r}{2}\\1-s=r.\end{align*}

Este sistema de ecuaciones tiene solución r=\frac{2}{3}, s=\frac{1}{3}, y por lo tanto E=\frac{B+2D}{3}. De aquí se obtiene \frac{DE}{EB}=\frac{1}{2}, o bien \frac{DE}{DB}=\frac{DE}{DE+EB}=\frac{1}{3}, como queríamos mostrar.

\square

Producto punto, norma y ángulos

Para dos vectores P=(x,y) y Q=(w,z) definimos su producto punto como la cantidad P\cdot Q = xw+yz. El productos puntos es:

  • Conmutativo: P\cdot Q = Q\cdot P
  • Abre sumas: P\cdot (Q+R)=P\cdot Q + P\cdot R
  • Saca escalares: (rP)\cdot Q = r(P\cdot Q).

La norma de P se define como \norm{P}=\sqrt{P\cdot P}, y coincide con la distancia de P al origen. La norma de PQ es entonces \norm{PQ}=\sqrt{(Q-P)\cdot (Q-P)} y coincide con la distancia de P a Q.

El ángulo entre dos vectores PQ y RS se define como el ángulo cuyo coseno es

    \[\frac{PQ \cdot RS}{\norm{PQ}\norm{RS}},\]

y coincide precisamente con el ángulo (orientado) geométrico entre las rectas PQ y RS. De esta forma, las rectas PQ y RS son perpendiculares si y sólo si el producto punto PQ\cdot RS es cero.

Problema. Sea ABC un triángulo con sus vértices pensados como vectores. Sean H y O su ortocentro y circuncentro respectivamente. Supongamos que el circuncentro O está en el origen. Muestra que H=A+B+C.

Sugerencia pre-solución. Trabaja hacia atrás. Define al punto A+B+C y ve que las rectas que unen a los vértices con este punto en efecto son alturas. Para calcular los ángulos, usa el producto punto y sus propiedades.

Solución. Como el circuncentro equidista de A. B y C, tenemos que

    \[\norm{A}=\norm{B}=\norm{C}.\]

Tomemos el punto H'=A+B+C.

Vectores en geometría para encontrar el ortocentro
Ortocentro con vectores

Calculemos el ángulo entre las rectas BC y AH', haciendo su producto punto:

(1)   \begin{align*}BC\cdot AH' &= (C-B)\cdot (H'-A)\\&=(C-B)\cdot(C+B)\\&=C\cdot C + C\cdot B - B\cdot C - B\cdot B\\&=\norm{C}^2 - \norm{B}^2\\&=0.\end{align**}

Observa que estamos usando la linealidad y conmutatividad del producto punto. Al final usamos que A y C tienen la misma norma.

Esto muestra que la recta AH' es la altura al lado BC. De manera análoga, BH' y CH' son las alturas a los lados CA y AB respectivamente. Por lo tanto, H' es el ortocentro, así que H=A+B+C.

\square

Cualquier triángulo ABC en el plano se puede trasladar para que su circuncentro O quede en el origen. El ortocentro estará en H=A+B+C y el gravicentro, como vimos antes, en G=\frac{A+B+C}{3}, que es un múltiplo escalar de H. Por lo tanto, O, H y G están alineados. Acabamos de demostrar con vectores en geometría un clásico resultado euclideano.

Teorema (recta de Euler). En cualquier triángulo ABC, el circuncentro O, el gravicentro G y el ortocentro H están alineados. Además,

    \[\frac{OG}{GH}=\frac{1}{2}.\]

Teorema de la recta de Euler
Teorema de la recta de Euler

Si el circuncentro no está en el origen, ahora podemos usar el teorema de la recta de Euler y la proposición de la razón para concluir que G=\frac{2O+H}{3}. Usando que G=\frac{A+B+C}{3}, obtenemos el siguiente corolario

Corolario. Sea ABC un triángulo en el plano, H su ortocentro y O su circuncentro. Entonces al pensar a los puntos como vectores tenemos que

    \[A+B+C=2O+H.\]

Más problemas

Puedes encontrar más problemas del uso de vectores en geometría en la sección 8.3 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Seminario de Resolución de Problemas: Introducción a problemas de geometría y geometría euclideana

Introducción

En esta semana veremos algunas herramientas para resolver problemas de geometría. Como con otros temas que hemos visto, sería imposible tratar a profundidad el área. En vez de eso, lo que haremos es ver un poco de varias de las herramientas que se pueden usar en la solución de problemas geométricos, comenzando con geometría euclideana. Veremos ideas de lo siguiente:

  • Geometría triángulos y circunferencias
  • Geometría analítica
  • Vectores en geometría
  • Números complejos en geometría
  • Geometría discreta

En esta entrada comenzaremos con la parte de geometría euclideana. Más adelante hablaremos de las demás ideas.

Geometría euclideana

Cuando en geometría nos referimos a una solución por geometría euclideana o geometría sintética nos referimos a un argumento que no use parametrizaciones de los objetos del plano en términos de coordenadas, vectores o complejos. Simplemente usamos conceptos geométricos como ángulos, distancias, semejanza, congruencia, etc. Todas estas se pueden pensar como propiedades que se mantienen invariantes bajo movimientos rígidos del plano. Dentro de los resultados más versátiles del área tenemos los siguientes.

Teorema (de Tales). Tomemos puntos P y Q sobre los lados AB y AC de \triangle ABC. Se tiene que AP/AQ = AB/AC si y sólo si la recta PQ es paralela a la recta BC.

El teorema de Tales
Teorema de Tales

Teorema (criterios de congruencia). Sean \triangle ABC y \triangle DEF triángulos. Cualquiera de las siguientes condiciones (o sus simétricos) implican que \triangle ABC y \triangle DEF son congruentes:

  • (LLL) AB=DE, BC=EF y CA=FD
  • (LAL) AB=DE, \angle BAC = \angle EDF y CA=FD
  • (ALA) \angle BAC = \angle EDF, CA=FD y \angle BCA - \angle EFD.

Teorema (criterios de semejanza). Sean \triangle ABC y \triangle DEF triángulos. Cualquiera de las siguientes condiciones (o sus simétricos) implican que \triangle ABC y \triangle DEF son semejantes.

  • (LLL) \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}.
  • (LAL) \frac{AB}{DE}=\frac{CA}{FD} y \angle BAC = \angle EDF.
  • (AA) \angle BAC = \angle EDF y \angle BCA - \angle EFD.

Veamos un ejemplo en el que se usan estos hechos básicos.

Problema. Sobre los lados AB y AC de un triángulo ABC se construyen cuadrados ABPQ y ACRS como en la figura. Muestra que CQ=BS.

Sugerencia pre-solución. En geometría es típico modificar un problema. En vez de intentar medir los segmentos requeridos, es útil preguntarse si forman parte de triángulos que sean congruentes, o que sea pueda ver que son congruentes por algún criterio. Por supuesto, en todo problema de geometría es útil hacer muchas figuras.

Problema de geometría euclidiana con cuadrados
Figura auxiliar para problema de cuadrados en un triángulo.

Solución. Consideremos los triángulos ABS y AQC. Tenemos que AB=AQ pues ambos son lados del cuadrado ABPQ. De manera similar, AC=AS. Finalmente, tenemos que \angle BAS = \angle QAC, pues ambos ángulos son iguales a

    \[90^\circ + \angle BAC.\]

Por esta razón, podemos usar el criterio de congruencia LAL en estos triángulos para concluir que son congruentes. De aquí se concluye que CQ=BS, como queríamos.

\square

Recordatorio de puntos notables en triángulos

Otro tema relevante para la geometría euclideana es la geometría de triángulos. Tomemos un triángulo \triangle ABC. Hay algunos puntos y rectas notables en el triángulo, que se usan en varios problemas. A continuación enunciamos las más importantes.

  • Si L, M y N son los puntos medios de BC, CA y AB, respectivamente, entonces a cada una de las rectas AL, BM y CN se le conoce como una mediana. Las medianas de un triángulo concurren en un punto llamado el gravicentro o baricentro, que usualmente se denota por G.
Medianas de un triángulo y su gravicentro
Medianas de un triángulo y su gravicentro
  • Si D, E y F son las proyecciones desde A, B, C a los lados BC, CA y AB respectivamente, entonces a cada una de las rectas AD, BE y CF se le conoce como una altura. Las alturas de un triángulo concurren en un punto llamado el ortocentro, que usualmente se denota por H.
Alturas de un triángulo y su ortocentro
Alturas de un triángulo y su ortocentro
  • Las rectas que cortan a la mitad a cada uno de los ángulos internos de \triangle ABC se les conoce como las bisectrices internas del triángulo. Concurren en un punto llamado el incentro, usualmente denotado por I. El incentro sirve como centro para la única circunferencia que es tangente a los segmentos AB, BC y CA.
Bisectrices de un triángulo y su incentro
Bisectrices de un triángulo y su incentro
  • Las rectas perpendiculares a los lados del triángulo y que pasan por sus puntos medios se les llama mediatrices y concurren en un punto llamado el circuncentro, que se suele denotar O. Este punto sirve como centro de la única circunferencia que pasa por los tres vértices A, B y C.
Mediatrices de un triángulo y su circuncentro
Mediatrices de un triángulo y su circuncentro

Veamos las demostraciones de algunas de estas afirmaciones, para repasar algunos argumentos geométricos.

Una idea útil es caracterizar a una recta como el conjunto de puntos que satisfacen cierta propiedad. Por ejemplo, probemos primero la siguiente caracterización de las mediatrices.

Proposición. La recta perpendicular \ell a un segmento BC que pasa por su punto medio L consiste exactamente de los puntos P tales que PB=PC.

Demostración. Para ver que cualquier punto en \ell satisface esto, se puede usar el criterio LAL de congruencia en los triángulos PBL y PCL, usando el ángulo recto que comparten. Para ver que cualquier punto tal que PB=PC está en \ell, se usa que \angle PBC = \angle PCB (por el triángulo isósceles PBC), y entonces al bajar la perpendicular desde P a BC a un punto L', los triángulos PBL' y PCL' comparten dos ángulos (y por lo tanto los tres), de donde se puede usar de nuevo el criterio LAL para concluir que L=L'.

\square

Demostrar que las mediatrices concurren es entonces muy sencillo. Si P es la intersección de la mediatriz en BC y en CA, entonces por el resultado anterior tenemos PB=PC=PA, y entonces también por el resultado anterior se tiene que P está en la mediatriz de AB. De manera análoga se puede mostrar que una bisectriz consiste de los puntos que equidistan de los lados que la definen, y con ello mostrar que las bisectrices internas de un triángulo concurren.

Veamos ahora un problema de geometría euclideana que involucra a las alturas y a las medianas. Es el Problema 1 del Concurso Nacional de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas de 2009.

Problema. Sea ABC un triángulo y D el pie de la altura desde A. Con centro en D se traza una circunferencia de radio DA. Esta circunferencia corta a los lados AB y AC del triángulo en puntos P y Q respectivamente. Muestra que los triángulos AQP y ABC son semejantes.

Sugerencia pre-solución. Para mostrar que estos triángulos son semejantes, basta con mostrar que tienen ángulos iguales.

Solución. Tracemos además los pies de altura E y F desde B y C respectivamente.

Ángulos creados por alturas de un triángulo.
Ángulos creados por alturas de un triángulo.

Observemos que \triangle ABD y \triangle CBF comparten los ángulos rectos y el ángulo en B, de modo que son semejantes y por lo tanto su tercer ángulo es igual. Este y argumentos análogos muestran que

    \begin{align*}\alpha&:=\angle ABE = \angle ACF\\\beta&:=\angle BAD = \angle BCF\\\gamma&:= \angle CBE = \angle CAD.\end{align*}

De esta forma, los ángulos internos de \triangle ABC miden \angle A= \beta+\gamma, \angle B = \gamma+\alpha y \angle C = \alpha+\beta. Ya que la suma interna de los ángulos de un triángulo es 180^\circ, concluimos que \alpha+\beta+\gamma = 90^\circ.

Ahora, usando los triángulos isósceles \triangle ADP y \triangle ADQ del problema, tenemos que

    \begin{align*}\angle DPA &= \angle DAP = \beta\\\angle DQA &= \angle DAQ = \gamma.\end{align*}

Figura auxiliar para el problema
Figura auxiliar para el problema

Como \triangle PDQ también es isósceles con PD=DQ, tenemos que

    \[\alpha'=:\angle DPQ = \angle DQP.\]

Por la suma de ángulos en el triángulo APQ, tenemos que \alpha'+\beta + \gamma = 90^\circ. Así, \alpha = \alpha'. Concluimos entonces que en el \triangle PAQ los ángulos internos son \angle A = \beta+ \gamma, \angle P = \alpha+\beta y \angle Q = \gamma + \alpha.

De esta forma, los triángulos ABC y AQP son semejantes por el criterio AA.

\square

Otra técnica útil para resolver problemas de geometría consiste en mostrar que un punto está en dos rectas notables (por ejemplo, en las medianas AL y BM), deducir que entonces es el punto notable correspondiente (en este caso el gravicentro G), y usar la información de que entonces la recta por el tercer vértice y el punto es la tercer recta notable (que en el ejemplo diría que CG es la mediana).

Recordatorio de geometría del círculo

Un tercer ingrediente básico para la geometría euclideana es entender qué pasa con las circunferencias. Tomemos una circunferencia \Gamma y dos puntos fijos A y B sobre ella. Tomemos C y D otros dos puntos sobre \Gamma distintos de A y B sobre el mismo arco definido por A y B y sea E otro punto sobre \Gamma, en el arco opuesto. Entonces

  • Los ángulos \angle ACB y \angle ADB son iguales.
  • Los ángulos \angle ACB y \angle AEB son suplementarios, es decir, suman 180^\circ.
Ángulos en cuadriláteros cíclicos
Ángulos en cuadriláteros cíclicos

De hecho, este resultado es un si y sólo si. Para A, B, C, D puntos distintos en el plano:

  • Si \angle ACB y \angle ADB son iguales, entonces A, B, C, D son puntos sobre una circunferencia y C y D están en el mismo arco definido por A y B y
  • Si los ángulos \angle ACB y \angle ADB son suplementarios, entonces A, B, C, D son puntos sobre una circunferencia y C y D están en arcos opuestos definidos por A y B.

Cuando A, B, C y D son puntos distintos que yacen sobre una misma circunferencia, en ese orden, decimos que ABCD es un cuadrilátero cíclico.

Teorema (potencia de un punto). Sea P un punto y \Gamma una circunferencia. Tomemos dos rectas por P que corten a la circunferencia en puntos A, B, C y D como en alguna de las figuras. Entonces PA\cdot PB = PC \cdot PD.

Diagrama para teorema de potencia de un punto
Diagrama para teorema de potencia de un punto

Veamos un problema de la Olimpiada Matemática de la Cuenca del Pacífico en donde confluyen algunas de estas ideas. Es el problema 1 de la edición de 2016.

Problema. Un triángulo ABC es grandioso si para cualquier punto D en el lado BC, cuando se toman los pies de las perpendiculares P y Q de D a las rectas AB y AC, respectivamente, sucede que la reflexión de D en la recta PQ cae sobre el circuncírculo del triángulo ABC.

Muestra que un triángulo ABC es grandioso si y sólo si \angle A = 90^\circ y AB=AC.

Sugerencia pre-solución. El problema dice que cierta condición se debe cumplir para todo punto D en el lado BC. Considera algunos casos extremos de lo que puede ser D, de los que puedas obtener información de cómo debe ser el triángulo.

Solución. Para cualquier punto D en el lado BC, vamos a llamar D' a la reflexión de D en la recta PQ. Primero veremos que si ABC es grandioso, entonces es isósceles y con ángulo recto en A.

Como la hipótesis se cumple para cualquier punto D, en particular se cumple para cuando elegimos D como el punto donde la bisectriz desde A intersecta a BC. Nota que P y Q están en los rayos AB y AC. Además, P y Q son reflexiones entre sí con respecto a la recta AD, de modo que PQ es perpendicular a AD. Por esto, se tiene que D' está en la recta AD, así que o es A, o es el segundo punto de intersección de la bisectriz en A con el circuncírculo del triángulo. Como además APDQ es un cuadrilátero cíclico, se tiene que AD intersecta a PQ y por lo tanto D'=A.

Imagen auxiliar para problema APMO
Imagen auxiliar para problema APMO

Tenemos entonces las igualdades de ángulos

    \begin{align*}\angle BAC &= \angle PD'Q \\&= \angle PDQ \\&= 180^\circ - \angle BAC.\end{align*}

Concluimos entonces que \BAC = 90^\circ, que muestra que el triángulo es rectángulo en A.

Ahora tomamos a D como el punto medio de BC, lo cual hace que P y Q sean los puntos medios de AB y AC respectivamente. Pero entonces PQ es paralelo a BC y por lo tanto DD' es perpendicular a BC. La distancia de D' a BC es igual al circunradio del triángulo (pues D' debe caer en el circuncírculo), y es igual a la distancia de A a BC. Esto sólo puede suceder cuando ABC es isósceles y con ángulo recto en A, como queríamos.

Veamos ahora que si ABC es isósceles y de ángulo recto en A, entonces se cumple la propiedad para todo punto D en BC. Como D es la reflexión en PQ, tendríamos D'P=DP=BP. De manera similar, D'Q=DQ=CQ.

El cuadrilátero APDQD' es cíclico de diámetro PQ, pues todos los ángulos \angle PAQ, \angle PD'Q y \angle PDQ son de 90^\circ. De aquí, \angle APD'= \angle AQD', de donde obtenemos que \angle BPD'= \angle CQD'. Con esto concluimos que \triangle D'PB y \triangle D'QC son semejantes. De aquí se sigue que

    \begin{align*}\angle PD'Q &= \angle PD'C+ \angle CD'Q\\&=\angle PD'C + \angle BD'P\\&= \angle BD'C.\end{align*}

Como además tenemos \frac{D'P}{D'Q}= \frac{D'B}{D'C}, concluimos que también \triangle D'PQ y \triangle D'BC son semejantes. Pero como \triangle DPQ y \triangle D'PQ son congruentes, se obtiene que

    \[\angle BD'C=\angle PD'Q = \angle PDQ = 90^\circ.\]

Con esto concluimos que D' yace en la circunferencia de diámetro BC, que es precisamente el circuncírculo de \triangle ABC.

\square

Más problemas

Puedes encontrar más problemas de geometría euclideana en la sección 8.1 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson. Para tener buenos fundamentos en geometría euclideana, se pueden revisar algunos textos en el área, como los cuadernos de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas de Geometría y de Geometría: Ejercicios y problemas.

Álgebra Superior II: Desigualdades de polinomios reales

Introducción

En la entrada anterior mostramos el teorema de factorización para polinomios con coeficientes reales. Lo que haremos ahora es ver que podemos aplicarlo en la resolución de desigualdades de polinomios en \mathbb{R}[x]. El objetivo es que, al final de la entrada, entendamos cómo se pueden resolver problemas como los siguientes:

Problema. Determina todos los números x en \mathbb{R} para los cuales

    \[x^6-12x^4-49x^2-30 > 3x^5-48x^3-51x+6.\]

Problema. Determina todos los números x en \mathbb{R} para los cuales

    \[\frac{1}{x}>x^3-x^2+1.\]

Antes de hablar de resolución de desigualdades de polinomios, veremos una forma alternativa de factorizar en \mathbb{R}[x] usando potencias.

Teorema de factorización de polinomios reales con potencias

De acuerdo al teorema de factorización en \mathbb{R}[x], un polinomio p(x) se puede factorizar de manera única en factores lineales y factores cuadráticos con discriminante negativo. De ser necesario, podemos agrupar los factores lineales iguales y reordenarlos para llegar a una factorización de la forma

    \[a(x-r_1)^{\alpha_1}\cdots(x-r_m)^{\alpha_m}(x^2-b_1x+c_1)\cdots (x^2-b_{n}x+c_{n}),\]

en donde:

  • a es un real distinto de cero,
  • \alpha_1,\ldots,\alpha_m y n son enteros positivos tales que 2n+\sum_{i=1}^m \alpha_i es igual al grado de p(x),
  • para cada i en \{1,\ldots,m\} se tiene que r_i es raíz real de p(x) y r_1<r_2<\ldots<r_m
  • para cada j en \{1,\ldots,n\} se tiene que b_j,c_j son reales tales que b_j^2-4c_j<0.

Observa que los r_i son ahora distintos y que están ordenados como r_1<\ldots<r_m. De aquí, obtenemos que (x-r_i)^{\alpha_i} es la mayor potencia del factor lineal x-r_i que divide a p(x). Este número \alpha_i se usa frecuentemente, y merece una definición por separado.

Definición. Sea p(x) un polinomio en \mathbb{R}[x] y r una raíz de p(x). La multiplicidad de r como raíz de p(x) es el mayor entero \alpha tal que

    \[(x-r)^\alpha \mid p(x).\]

Decimos también que r es una raíz de multiplicidad \alpha.

Ejemplo. El polinomio k(x)=x^4-x^3-3x^2+5x-2 se factoriza como (x-1)^3(x+2). Así, la multiplicidad de 1 como raíz de k(x) es 3. Además, -2 es una raíz de k(x) de multiplicidad 1.

\square

Después hablaremos de una forma práctica en la que podemos encontrar la multiplicidad de una raíz, cuando hablemos de continuidad de polinomios y sus derivadas.

Desigualdades de polinomios reales factorizados

Supongamos que tenemos un polinomio p(x) no constante en \mathbb{R}[x] para el cual conocemos su factorización en la forma

    \[a(x-r_1)^{\alpha_1}\cdots(x-r_m)^{\alpha_m}(x^2-b_1x+c_1)\cdots (x^2-b_{n}x+c_{n}),\]

y que queremos determinar para qué valores reales r se cumple que

    \[p(r)>0.\]

Daremos por cierto el siguiente resultado, que demostraremos cuando hablemos de continuidad de polinomios.

Proposición. Las evaluaciones en reales de un polinomio cuadrático y mónico en \mathbb{R}[x] de discriminante negativo, siempre son positivas.

Lo que nos dice este resultado es que, para fines de la desigualdad que queremos resolver, podemos ignorar los factores cuadráticos en la factorización de p(x) pues

    \[a(x-r_1)^{\alpha_1}\cdots(x-r_m)^{\alpha_m}(x^2-b_1x+c_1)\cdots (x^2-b_{n}x+c_{n})\]

y

    \[a(x-r_1)^{\alpha_1}\cdots(x-r_m)^{\alpha_m}\]

tienen el mismo signo.

Por la miasma razón, podemos ignorar aquellos factores lineales con exponente par, y de los de exponente impar, digamos (x-r)^{2\beta +1} obtenemos una desigualdad equivalente si los remplazamos por exponente 1, pues (x-r)^{2\beta} es positivo y por lo tanto no cambia el signo de la desigualdad si lo ignoramos.

En resumen, cuando estamos resolviendo una desigualdad del estilo p(x)>0 podemos, sin cambiar el conjunto solución, reducirla a una de la forma

    \[q(x):=a(x-r_1)(x-r_2)\ldots(x-r_m)>0.\]

La observación clave para resolver desigualdades de este estilo está resumida en el siguiente resultado.

Proposición. Tomemos un polinomio q(x) en \mathbb{R}[x] de la forma

    \[q(x)=a(x-r_1)(x-r_2)\ldots(x-r_m)\]

con r_1<\ldots<r_m reales.

Si m es par:

  • Para reales r en la unión de intervalos

        \[(-\infty,r_1)\cup(r_2,r_3)\cup\ldots \cup (r_{m-2},r_{m-1})\cup (r_m,\infty),\]

    la evaluación q(r) tiene el mismo signo que a
  • Para reales r en la unión de intervalos

        \[(r_1,r_2)\cup(r_3,r_4)\cup\ldots \cup (r_{m-3},r_{m-2})\cup (r_{m-1},r_m),\]

    la evaluación q(r) tiene signo distinto al de a.

Si m es impar:

  • Para reales r en la unión de intervalos

        \[(r_1,r_2)\cup(r_3,r_4)\cup\ldots \cup (r_{m-2},r_{m-1})\cup (r_m,\infty),\]

    la evaluación q(r) tiene el mismo signo que a
  • Para reales r en la unión de intervalos

        \[(-\infty,r_1)\cup(r_2,r_3)\cup\ldots \cup (r_{m-3},r_{m-2})\cup (r_{m-1},r_m),\]

    la evaluación q(r) tiene signo distinto al de a.

Demostración. El producto (r-r_1)(r-r_2)\ldots(r-r_m) es positivo si y sólo si tiene una cantidad par de factores negativos. Si r>r_m, todos los factores son positivos, y por lo tanto q(r) tiene el mismo signo que a cuando r está en el intervalo (r_m,\infty).

Cada que movemos r de derecha a izquierda y cruzamos un valor r_i, cambia el signo de exactamente uno de los factores, y por lo tanto la paridad de la cantidad de factores negativos. El resultado se sigue de hacer el análisis de casos correspondiente.

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Veamos cómo podemos utilizar esta técnica para resolver desigualdades polinomiales que involucran a un polinomio que ya está factorizado en irreducibles.

Problema. Determina para qué valores reales x se tiene que

    \[-2(x-5)^7(x+8)^4(x+2)^3(x+10)(x^2-x+2)^3\]

es positivo.

Solución. Por la discusión anterior, podemos ignorar el polinomio cuadrático del final, pues es irreducible. También podemos ignorar los factores lineales con potencia par, y podemos remplazar las potencias impares por unos. Así, basta con encontrar los valores reales de x para los cuales

    \[q(x)=-2(x-5)(x+2)(x+10)\]

es positivo. Tenemos 3 factores, así que estamos en el caso de m impar en la proposición.

Las tres raíces, en orden, son -10, -2, 5. Por la proposición, para x en la unión de intervalos

    \[(-\infty,-10)\cup (-2,5)\]

se tiene que q(x) tiene signo distinto al de a=-2 y por lo tanto es positivo. Para x en el conjunto

    \[(10,-2)\cup (5,\infty)\]

se tiene que q(x) tiene signo igual al de a=-2, y por lo tanto es negativo. De esta forma, la respuesta es el conjunto

    \[(-\infty,-10)\cup (-2,5).\]

Puedes dar clic aquí para ver en GeoGebra las gráfica de q(x) y del polinomio original, y verificar que tienen el mismo signo en los mismos intervalos.

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Si estamos resolviendo una desigualdad y el valor de a en la factorización es positivo, es un poco más práctico ignorarlo desde el principio, pues no afecta a la desigualdad.

Problema. Determina para qué valores reales x se tiene que

    \[7(x+7)^{13}(x+2)^{31}(x-5)^{18}(x^2+1)\]

es positivo.

Solución. Tras las cancelaciones correspondientes, obtenemos la desigualdad equivalente

    \[(x+7)(x+2)>0.\]

Las raíces del polinomio que aparece son -7 y -2. De acuerdo a la proposición, estamos en el caso con m par. De esta forma, la expresión es negativa en el intervalo (-7,-2) y es positiva en la unión de intervalos

    \[(-\infty,-7)\cup (-2,\infty).\]

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Otras desigualdades de polinomios y manipulaciones algebraicas

Si tenemos otras expresiones polinomiales, también podemos resolverlas con ideas similares, solo que a veces se tienen que hacer algunas manipulaciones previas para llevar la desigualdad a una de la forma p(x)>0.

Problema. Determina todos los números x en \mathbb{R} para los cuales

    \[x^6-12x^4-49x^2-30 > 3x^5-48x^3-51x+6.\]

Solución. El problema es equivalente a encontrar los reales x para los cuales

    \[x^6-3x^5+12x^4+48x^3-29x^2+51x-36>0.\]

El polinomio del lado izquierdo se puede factorizar como (x-3)^2(x-1)(x+4)(x^2+1), así que obtenemos el problema equivalente

    \[(x-3)^2(x-1)(x+4)(x^2+1)>0,\]

que ya sabemos resolver. El resto de la solución queda como tarea moral.

Puedes ver la gráfica del polinomio

    \[(x-3)^2(x-1)(x+4)(x^2+1)\]

en GeoGebra si das clic aquí.

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Tener cuidado al multiplicar por denominadores

Hay que tener cuidado al realizar algunas manipulaciones algebraicas, pues pueden cambiar el signo de la desigualdad que estamos estudiando. Veamos un ejemplo donde sucede esto.

Problema. Determina todos los números x en \mathbb{R} para los cuales

    \[\frac{1}{x}>x^3-x^2+1.\]

Solución. La expresión no está definida en x=0, pues se anula un denominador. Supongamos entonces que x\neq 0, y recordémoslo al expresar la solución final. Vamos a multiplicar la desigualdad por x, pero tenemos que hacer casos.

Si x>0, entonces el signo de desigualdad no se altera y obtenemos la desigualdad equivalente

    \[0>x^4-x^3+x-1=(x-1)(x+1)(x^2-x+1).\]

El factor cuadrático es irreducible y lo podemos ignorar. Si estuviéramos trabajando en todo \mathbb{R}, el conjunto solución sería el intervalo (-1,1). Sin embargo, tenemos que restringir este conjunto solución sólo al caso en el que estamos, es decir, x>0. Así, para este caso sólo los reales en (0,1) son solución.

Si x<0, entonces el signo de la desigualdad sí se altera, y entonces obtenemos la desigualdad equivalente

    \[0<x^4-x^3+x-1=(x-1)(x+1)(x^2-x+1).\]

De nuevo podemos ignorar el factor cuadrático. La desigualdad tiene solución en todo \mathbb{R} al conjunto (-\infty,-1)\cup (1,\infty), pero en este caso debemos limitarlo adicionalmente con la restricción x<0. De este modo, las soluciones para este caso están en el intervalo (-\infty,-1).

Ahora sí, juntando ambos casos, tenemos que el conjunto solución final es

    \[(-\infty,-1)\cup(0,1).\]

Puedes ver la gráfica en GeoGebra de \frac{1}{x}-x^3+x^2-1 dando clic aquí. Ahí puedes verificar que esta expresión es positiva exactamente en el conjunto que encontramos.

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Reflexión final y lo que resta del curso

Como queda claro, resulta ser útil tener un polinomio en su forma factorizada para resolver desigualdades de polinomios reales. En los ejemplos que dimos en esta entrada, se dieron las factorizaciones de los polinomios involucrados. En el resto del curso veremos herramientas que nos permitirán encontrar la factorización de un polinomio o, lo que es parecido, encontrar sus raíces:

  • Veremos propiedades de continuidad de polinomios para mostrar la existencia de raíces para polinomios reales en ciertos intervalos.
  • El teorema del factor nos dice que si r es raíz de p(x), entonces x-r divide a p(x). Sin embargo, no nos dice cuál es la multiplicidad de r. Veremos que la derivada de un polinomio nos puede ayudar a determinar eso.
  • También veremos el criterio de la raíz racional, que nos permite enlistar todos los cantidatos a ser raíces racionales de un polinomio p(x) con coeficientes racionales.
  • Finalmente, veremos que para los polinomios de grado 3 y 4 hay formas de obtener sus raíces de forma explícita, mediante las fórmulas de Cardano y de Ferrari.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Completa la solución del problema enunciado en la sección de manipulaciones algebraicas.
  • Encuentra el conjunto solución de números reales x tales que

        \[(x+1)(x+2)^2(x+3)^3(x+4)^4>0.\]

  • Determina las soluciones reales a la desigualdad

        \[\frac{x-1}{x+2}>\frac{x+2}{x-1}.\]

    Ten cuidado con los signos. Verifica tu respuesta en este enlace de GeoGebra, que muestra la gráfica de f(x)=\frac{x-1}{x+2}-\frac{x+2}{x-1}.
  • Realiza las gráficas de otros polinomios de la entrada en GeoGebra para verificar las soluciones dadas a las desigualdades de polinomios.
  • Revisa esta entrada, en donde se hablan de aplicaciones de desigualdades polinomiales para un problema de un concurso de matemáticas.

Seminario de Resolución de Problemas: Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Introducción

Seguimos con las entradas de temas de desigualdades. Con anterioridad ya hablamos de desigualdades básicas y de desigualdades con medias. En esta ocasión estudiaremos una desigualdad muy versátil: la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

En su versión más simple, lo que dice la desigualdad de Cauchy-Schwarz es lo siguiente.

Desigualdad (de Cauchy-Schwarz). Para cualesquiera números reales a_1,\ldots,a_n y b_1,\ldots,b_n se tiene que

    \[|a_1b_1+\ldots+a_nb_n| \leq \sqrt{a_1^2+\ldots+a_n^2} \sqrt{b_1^2+\ldots+b_n^2}.\]

Primero, veremos cómo se demuestra esta desigualdad. Luego, veremos varios problemas en los que se puede aplicar. Finalmente, hablaremos un poco de sus extensiones a espacios vectoriales.

La demostración polinomial de la desigualdad de Cauchy-Schwarz

Una forma de demostrar la desigualdad de Cauchy-Schwarz es usando inducción sobre n. Hay otra demostración usando polinomios. Veamos esa demostración, pues tiene la idea útil de usar argumentos polinomiales para demostrar igualdades.

Consideremos la expresión

    \[p(t)=\sum_{i=1}^n (a_i+b_i t)^2.\]

Como es una suma de cuadrados, esta expresión es no negativa. Haciendo los cuadrados, y desarrollando la suma, podemos escribirla de la siguiente forma, que nos dice que es un polinomio cuadrático en t:

    \begin{align*}\sum_{i=1}^n (a_i+b_i t)^2&=\sum_{i=1}^n \left(a_i^2 + 2a_ib_i t + b_i^2 t^2\right)\\&=\sum_{i=1}^n a_i^2 + \left(2\sum_{i=1}^n a_ib_i \right)t + \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)t^2.\end{align*}

De esta forma p(t) es un polinomio cuadrático y siempre toma valores no negativos. Así, a lo más puede tener una raíz t, por lo que su discriminante es menor o igual a 0:

    \[\left(2\sum_{i=1}^n a_ib_i \right)^2-4\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)\leq 0\]

Al pasar el segundo término sumando al otro lado y dividir entre 4 queda

    \[\left(\sum_{i=1}^n a_ib_i \right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right).\]

Al sacar raíz cuadrada de ambos lados hay que tener cuidado de poner un valor absoluto al lado izquierdo. Al hacer esto, se obtiene el resultado deseado:

    \[\left|\sum_{i=1}^n a_ib_i \right|\leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}\cdot \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}.\]

Observa que la igualdad se da si y sólo si el discriminante es 0, lo cual sucede si y sólo si el polinomio tiene una raíz t. Cuando esto pasa, cada uno de los sumandos al cuadrado de p(t) debe ser 0. Así, existe un real t tal que a_i=-tb_i para todo i=1,\ldots,n. Esto lo podemos decir en términos vectoriales como que “la igualdad se da si y sólo si el vector (a_1,\ldots,a_n) es un múltiplo escalar del vector (b_1,\ldots,b_n) ” .

Un problema sobre acotar el valor de una variable

Problema. Sean a,b,c,d números reales tales que

    \begin{align*}a+b+c+d&=6\\a^2+b^2+c^2+d^2&=12.\end{align*}


¿Cuál es el máximo valor que puede tener d?

Sugerencia. Aplica la desigualdad de Cauchy-Schwarz a las ternas (a,b,c) y (1,1,1).

Solución. Aplicando la desigualdad a las ternas (a,b,c) y (1,1,1) obtenemos que

    \[|a+b+c|\leq \sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot{\sqrt{3}}.\]

Usando las hipótesis sobre a,b,c,d, tenemos que esta desigualdad es equivalente a |6-d|\leq \sqrt{3}\cdot {\sqrt{12-d^2}. Elevando al cuadrado de ambos lados, obtenemos las desigualdades equivalentes

    \begin{align*}36-12d+d^2&\leq 3(12-d^2)\\36-12d+d^2&\leq 36-3d^2\\4d^2-12d&\leq 0\\4d(d-3)\&leq 0.\end{align*}

Para que se satisfaga esta desigualdad, tiene que pasar o bien que simultáneamente d\leq 0 y d\geq 3 (lo cual es imposible), o bien que simultáneamente d\geq 0 y d\leq 3. En conclusión, esto acota el máximo valor posible de d con 3.

En efecto, existe una solución con d=3. De acuerdo al caso de igualdad de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, debe pasar cuando (a,b,c) es un múltiplo escalar de (1,1,1), es decir, cuando a=b=c. Como a+b+c+d=6 y queremos d=3, esto forza a que a=b=c=1. Y en efecto, tenemos que con esta elección

    \[a^2+b^2+c^2+d^2=1+1+1+9=12.\]

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Aplicando Cauchy-Schwarz en un problema con el circunradio

A veces podemos aprovechar información implícita en un problema geométrico y combinarla con la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Veamos un problema en el que sucede esto.

Problema. Sea P un punto en el interior del triángulo ABC y p,q,r las distancias de P a los lados BC, CA, AB respectivamente, que tienen longitudes a,b,c, respectivamente. Sea R el circunradio de ABC. Muestra que

    \[\sqrt{p}+\sqrt{q}+\sqrt{r} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2R}}.\]

Sugerencia pre-solución. Necesitarás aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz más de una vez. Haz una figura para entender la expresión ap+bq+cr. Necesitarás también la fórmula que dice que se puede calcular el área T de un triángulo mediante la fórmula

    \[T=\frac{abc}{R}.\]

Solución. Lo primero que haremos es aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz en las ternas (\sqrt{ap},\sqrt{bq},\sqrt{cr}) y (1/\sqrt{a},1/\sqrt{b},1/\sqrt{c}) para obtener

    \[\sqrt{p}+\sqrt{q}+\sqrt{r}\leq \sqrt{ap+bq+cr}\cdot\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.\]

Observa que ap es dos veces el área de \triangle BCP. De manera similar, tenemos que bq y cr son las áreas de \triangle CAP y \triangle ABP respectivamente. Así, si llamamos T al área de \triangle ABC tenemos que ap+bq+cr=2T. Otra expresión para el área de \triangle ABC en términos de su circunradio R es

    \[T=\frac{abc}{4R}.\]

En otras palabras, ap+bq+cr=\frac{abc}{2R}.

Esto nos permite continuar con la desigualdad como sigue:

    \begin{align*}\sqrt{p}+\sqrt{q}+\sqrt{r} &\leq \sqrt{\frac{abc}{2R}}\cdot\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\\&=\sqrt{\frac{abc}{2R}}\cdot\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{abc}}\\&=\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{2R}}.\end{align*}

Esto es casi la desigualdad que queremos. Para terminar, basta mostrar que

    \[ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2.\]

Esto se puede hacer de varias formas (intenta hacerlo usando la desigualdad MA-MG). Pero para continuar viendo la versatilidad de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, observa que se puede deducir de ella aplicándola a las ternas (a,b,c) y (b,c,a).

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En el problema anterior, ¿para qué puntos P se alcanza la igualdad?

Cauchy-Schwarz más allá de los números reales

Lo que está detrás de la desiguadad de Cauchy-Schwarz es en realidad la noción de producto interior en álgebra lineal. En cualquier espacio vectorial sobre los reales que tenga un producto interior \langle \cdot, \cdot \rangle se satisface una desigualdad del tipo de la de Cauchy-Schwarz. No entraremos en los detalles de la teoría que se necesita desarrollar, pues eso se estudia en un curso de álgebra lineal. Sin embargo, enunciaremos el teorema y veremos una forma de aplicarlo.

Teorema (desigualdad de Cauchy-Schwarz). Si V es un espacio vectorial con producto interior \langle \cdot, \cdot \rangle entonces para cualesquiera dos vectores u y v se satisface que

    \[|\langle u , v\rangle|\leq \sqrt{\langle u , u\rangle}\cdot \sqrt{\langle v , v\rangle}.\]

Se puede mostrar que bajo las hipótesis del teorema la función \norm{u}:=\langle u , u\rangle es una norma. Como platicamos con anterioridad, una norma satisface la desigualdad del triángulo, que en espacios vectoriales tiene un nombre especial.

Teorema (desigualdad de Minkowski). Si V es un espacio vectorial con producto interior \langle \cdot, \cdot \rangle y \norm{u}:=\langle u , u\rangle, entonces para cualesquiera dos vectores u y v se satisface que

    \[\norm{u}+\norm{v}\geq \norm{u+v}.\]

Es relativamente sencillo ver que las desigualdades de Cauchy-Schwarz y de Minkowski son “equivalentes”, en el sentido de que se puede mostrar una fácilmente suponiendo la otra y viceversa.

La desigualdad de Cauchy-Schwarz que usamos en las secciones anteriores es para el producto interior en \mathbb{R}^n dado por

    \[\langle (a_1,\ldots,a_n),(b_1,\ldots,b_n) \rangle = a_1b_1+\ldots + a_nb_n,\]

al cual le llamamos el producto punto.

Si tenemos a V el espacio vectorial de las funciones continuas reales en el intervalo [0,1], entonces

    \[\langle f,g\rangle = \int_0^1 f(x)g(x) \, dx\]

es un producto interior para V. Esto nos puede ayudar a resolver algunos problemas.

Problema. Sea f:[0,1]\to \mathbb{R}^+ una función continua. Muestra que

    \[\left ( \int_0^1 f(x)\, dx \right) \left (\int_0^1 \frac{1}{f(x)}\, dt \right) \geq 1.\]

Sugerencia pre-solución. Aplica la desigualdad de Cauchy-Schwarz con el producto interior que discutimos antes de esta entrada.

Solución. Tomemos el producto interior

    \[\langle f,g\rangle = \int_0^1 f(x)g(x) \, dx\]

en el espacio vectorial de funciones reales y continuas en [0,1]. Como la imagen de f está en los reales positivos, podemos definir la función h:[0,1]\to \mathbb{R}^+ dada por h(x)=\sqrt{f(x)}.

Tenemos que

    \begin{align*}\left \langle h, \frac{1}{h}\right \rangle &= \int_0^1 h(x)\cdot \frac{1}{h(x)}\, dx\\&=\int_0^1 1\, dx\\&=1.\end{align*}

Por otro lado,

    \begin{align*}\langle h, h \rangle &= \int_0^1 h(x)\cdot h(x)\, dx\\&=\int_0^1 f(x)\, dx.\end{align*}

y

    \begin{align*}\left\langle \frac{1}{h}, \frac{1}{h} \right\rangle&= \int_0^1 \frac{1}{h(x)}\cdot \frac{1}{h(x)}\, dx\\&=\int_0^1 \frac{1}{f(x)}\, dx\end{align*}

La conclusión se sigue entonces de manera inmediata de la desigualdad de Cauchy-Schwarz para \langle \cdot, \cdot \rangle.

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Más problemas

Puedes encontrar más problemas que usan la desigualdad de Cauchy-Schwarz en la sección 7.1 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson. También puedes consultar más técnicas y problemas en el libro Desigualdades de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas.

Seminario de Resolución de Problemas: Geometría analítica

Introducción

La geometría analítica se puede considerar la fusión de las ideas de la geometría euclidiana y el álgebra. Una de las funcionalidades de la geometría analítica es resolver problemas de geometría de una manera analítica, partiendo de la ubicación de los objetos geométricos en el plano cartesiano. A continuación veremos algunos problemas de la geometría analítica.

Un problema de rectas y puntos notables de un triángulo

Problema: Dado el triangulo \triangle ABC inscrito en una circunferencias. Denotemos como P a su baricentro y como O a su circuncentro. Además, supongamos que A(0,0), B(a,0) y C(b,c).
Expresa las coordenadas de P y O en términos de a, b y c.

Solución: Tenemos que el baricentro P es la intersección de las medianas del triángulo. Basta con que encontremos las ecuaciones de dos de las medianas para establecer un sistema de ecuaciones y encontrar las coordenadas de P.

Para obtener las medianas tenemos que determinar los puntos medios de los lados del triángulo.

Consideraremos los puntos los puntos medios de AB y de AC, los cuales son P_{m_{AB}}(\frac{a}{2},0) y P_{m_{AC}}(\frac{b}{2},\frac{c}{2}) respectivamente.

Ahora, determinamos la ecuación de la mediana que pasa por el punto medio de AC y el vértice B


    \begin{equation*}\begin{align*}y-\frac{c}{2}&=\frac{-\frac{c}{2}}{\frac{2a-b}{2}}(x-\frac{b}{2})\\2y-c&=-\frac{c}{2a-b}(2x-b)\\(2a-b)(2y-c)&=-2cx+bx\\2(2a-b)y-2ac+bc&=-2cx+bc\\2cx+2(2a-b)y&=2ac\\cx+(2a-b)y&=ac\end{alig*}\end{equation*}


Para la mediana que pasa por el vértice C y por el punto medio de AB, tenemos que

    \begin{equation*}\begin{align*}y&=\frac{c}{\frac{2b-a}{2}}(x-\frac{a}{2})\\(2b-a)y&=2cx-ac\\2cx+(a-2b)y&=ac\end{align*}\end{equation*}

Establecemos el sistema de ecuaciones

    \begin{equation*}\begin{align*}cx+(2a-b)y  &=ac \\2cx + (a-2b)y &=ac\end{align*}\end{equation*}

Cuya solución es x=\frac{ac+bc}{3} y y=\frac{c}{3}

Por lo tanto el punto del baricentro está dado por

    \begin{equation*}P\left(\frac{ac+bc}{3}, \frac{c}{3}\right)\end{equation*}

Para obtener la coordenada del circuncentro tenemos que determinar las ecuaciones de las mediatrices y con ello calcular su intersección.

Tenemos que como la pendiente del segmento AB es igual a 0, tenemos entonces que la mediatriz del segmento es

    \begin{equation*}x=\frac{a}{2}\end{equation*}

Por otro lado tenemos que la pendiente del segmento AC es igual a \frac{c}{b-a} con lo que la pendiente de la mediatriz de AC es \frac{a-b}{c}, con lo que su ecuación está dada por

    \begin{equation*}\begin{align*}y-\frac{c}{2}&=\frac{a-b}{c}(x-\frac{b}{2})\\y&=\frac{2(a-b)(x-\frac{b}{2}+c^2}{2c}\end{align*}\end{equation*}

Sustituyendo x=\frac{a}{2}, tenemos que

    \begin{equation*}y=\frac{(a-b)^2+c^2}{2c}\end{equation*}

Así, podemos concluir que el punto del circuncentro está dado por O\left(\frac{a}{2},\frac{(a-b)^2+c^2}{2c}\right)

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Recta tangente a una circunferencia


Problema: Encuentra la relación entre los parámetros a, b y c tales que la línea recta l:\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 sea tangente a la circunferencia C: x^2+y^2=c^2.

Solución: Tenemos que la circunferencia está centrada el el origen O(0,0) y tiene radio r=c.

Así, se debe cumplir que la distancia de la recta al origen debe de ser igual a c para que se cumpla que sea tangente a la circunferencia.

i.e.

    \begin{equation*}\d(l,O)=\frac{|\frac{0}{a}+\frac{0}{b}-1|}{\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}}=c\end{equation*}

Tenemos entonces que

    \begin{equation*}\begin{align*}\frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}}&=c\\c^2\left(\frac{a+b}{ab}\right)&=1\\\frac{a+b}{ab}&=\frac{1}{c^2}\end{align*}\end{equation*}

Concluimos que la condición que deben de cumplir los parámetros para que se cumpla que la recta l sea tangente a la circunferencia C es

    \begin{equation*}c^2=\frac{ab}{a+b}\end{equation*}

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Circunferencia que pasa por tres puntos

Problema: Consideremos una circunferencia con centro en el origen y radio 1. Si M es un punto de la circunferencia, N un punto diametralmente opuesto a M y A(2,3) un punto fuera de la circunferencia. Determina el lugar geométrico formado por los centros de las circunferencias que pasan por M, N y A al variar M

Solución: Sea M(a,b), tenemos que N por ser diametralmente opuesto está dado por N(-a,-b). Si denotamos como C_1(x,y) al centro de la circunferencia que pasa por M, N y A, tenemos que las distancias desde los puntos dados al centro C_1(x,y) son todas iguales.

    \begin{equation*}d(C_1,M)=d(C_1,N)=d(C_1,A)\end{equation*}

Además,

    \begin{equation*}\begin{align*}&d(C_1,M)=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}\\&d(C_1,N)=\sqrt{(x+a)^2+(y+b)^2}\\&d(C_1,A)=\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2}\end{align*}\end{equation*}

Como d(C_1,M)=d(C_1,N) tenemos que

    \begin{equation*}\begin{align*}(x-a)^2+(y-b)^2&=\sqrt{(x+a)^2+(y+b)^2}\\-2ax-2by&=2ax+2by\\ax+by&=0\end{align*}\end{equation*}

Por otro lado tenemos que d(C_1,N)=d(C_1,M), entonces

    \begin{equation*}\begin{align*}(x-a)^2+(y-b)^2&=(x-2)^2+(y-3)^2\\-2ax-2by+a^2+b^2&=-4x-6y+2^2+3^2\\-2ax-2by+1&=-4x-6y+4+9\\-2ax-2by&=-4x-6y+12\\-ax-by&=-2x-3y+6\\(a-2)x+(b-3)y&=-6\end{align*}\end{equation*}

Al hacer la diferencia de esta última ecuación con la primera que obtuvimos, tenemos la ecuación:

    \begin{equation*}\begin{align*}2x+3y&=6\\2x+3y-6&=0\end{align*}\end{equation*}

Lo cual nos describe una línea recta

Por lo tanto, el lugar geométrico formado por los centros de las circunferencias que pasan por M, N y A al variar M, es la recta con ecuación general 2x+3y-6=0

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Más problemas

Puedes encontrar más problemas de Geometría Analítica en la sección 8.2 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.