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Cálculo Diferencial e Integral I: Raíz cuadrada y desigualdades.

Introducción

Ahora veremos el concepto de raíz cuadrada, su definición formal, resultados útiles y ejercicios de desigualdades donde se vea involucrada.

Definición de raíz cuadrada de un número real

Definición (Raíz cuadrada): Sea $x \in \r$ tal que $x \geq 0$. Definiremos a la raíz cuadrada de $x$ como sigue:
$$\sqrt{x}=y \Leftrightarrow x= y^{2}$$

Para dejar más clara la definición observemos el siguientes ejemplo:

  • Si $x =9$ tenemos que para $\sqrt{9}$
    • $\sqrt{(3)^{2}}= 3$
    • $\sqrt{(-3)^{2}}= 3$

Observaciones

  1. Para toda $x \in \r$ con $x>0$. Observamos que la raíz cuadra de $x$ tiene una rama positiva y una rama negativa, es decir, $$-\sqrt{x} \leq 0 , \sqrt{x} \geq 0$$.
  2. Para $y \in \r$ tenemos que $\sqrt{y^{2}} =|y|$
  3. $|y^{2}|=y^{2}$
    $|y^{2}|=|y|^{2}$

Demostración de 1: Si consideramos $x=y^{2}$ donde $y^{2}\geq 0$. Así al sustituir y aplicar la raíz cuadrada se sigue que:
\begin{equation*}
\sqrt{y^{2}}=
\begin{cases}
y &\text{si $y \geq 0$}\\
-y & \text{si $y< 0$}
\end{cases}
\end{equation*}

Demostración de 2: Vemos que esto se sigue de a observación anterior ya que
\begin{equation*}
|y|=
\begin{cases}
y &\text{si $y \geq 0$}\\
-y & \text{si $y< 0$}
\end{cases}
\end{equation*}
$$\therefore \sqrt{y^{2}} =|y|$$

$\square$

Algunos resultados importantes

Teorema: Para $x,y \in \r$ donde $x \geq 0$ y $y \geq 0$.
$$x \leq y \Leftrightarrow x^{2} \leq y^{2}$$

Demostración:
$\Rightarrow$): Cómo tenemos por hipótesis $x \leq y$ vemos que al multiplicar por $x$ obtendríamos
$$x \leq y \Rightarrow x^{2} \leq xy$$
Y si multiplicamos por $y$:
$$x \leq y \Rightarrow xy \leq y^{2}$$
Así por transitividad:
$$\Rightarrow x^{2} \leq y^{2}$$
$\Leftarrow$): Ahora tenemos cómo hipótesis que $x^{2} \leq y^{2}$. Y esto es equivalente a decir
$$0 \leq y^{2}-x^{2} \Leftrightarrow (y+x)(y-x) \geq 0$$

Por lo que debemos considerar los casos en que:
I. $y+x \geq 0$ y $y-x \geq 0$
De la segunda desigualdad concluimos $y \geq x$.

O el caso II.$y+x \leq 0$ y $y-x \leq 0$
Vemos que este caso no tiene sentido.
$$\therefore y \geq x$$

$\square$

Corolario: Para $x \geq 0$, $y \geq 0$.
$$x\leq y \Leftrightarrow \sqrt{x} \leq \sqrt{y}$$
Demostración:
Tomemos $a = \sqrt{x}$ y $b=\sqrt{y}$.
$\Rightarrow$):
Entonces $a^{2}=(\sqrt{x})^{2}$ y $b^{2}=(\sqrt{y})^{2}\Rightarrow a^{2}=x$ y $b^{2}=y$
Y cómo por hipótesis $x\leq y$
\begin{align*}
&\Rightarrow a^{2} \leq b^{2}\\
&\Rightarrow a \leq b\\
&\Rightarrow \sqrt{x} \leq \sqrt{y}
\end{align*}
$\Leftarrow$):
Ahora cómo por hipótesis $\sqrt{x} \leq \sqrt{y}$
\begin{align*}
&\Rightarrow a \leq b\\
&\Rightarrow a^{2} \leq b^{2}\\
&\Rightarrow x \leq y
\end{align*}

$\square$

Corolario: Para cualesquiera $x,y \in \r$.
$$|x|^{2}\leq y \Leftrightarrow |x| \leq \sqrt{y}$$
Demostración:
Aplicando el corolario anterior tenemos las siguientes equivalencias
\begin{align*}
|x|^{2}\leq y &\Leftrightarrow \sqrt{|x|^{2}} \leq \sqrt{y}\\
&\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{y}\\
&\Leftrightarrow |x| \leq \sqrt{y}\\
\end{align*}

$\square$

A continuación resolveremos ejercicios de desigualdades donde se encontraran involucrados la raíz cuadrada y el valor absoluto.

Ejercicio 1

Encuentra los valores $x$ que cumplan la desigualdad:

$$2x^{2}<|x-1|$$

Por el valor absoluto presente sabemos que debemos tomar casos, por lo que tenemos:

CASO 1: $x-1\geq 0 \Rightarrow x\geq 1$

Sustituyendo nos queda:
\begin{align*}
2x^{2}<|x-1|&\Rightarrow 2x^{2}< x-1\\
&\Rightarrow 2x^{2}- x+1<0\\
\end{align*}
Aplicando la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:
\begin{align*}
x &=\frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 -4(2)(1)}}{2(2)}\\
&=\frac{1 \pm \sqrt{1-8}}{4}\\
&=\frac{1 \pm \sqrt{-7}}{4}\\
\end{align*}
Pero cómo $\sqrt{-7}$ no tiene solución en $\r$. Tenemos que la solución de este caso es:
$$[1,\infty) \cap \emptyset= \emptyset$$

CASO 2: $x-1\leq 0 \Rightarrow x\leq 1$
Por lo que tendríamos:
\begin{align*}
2x^{2}<|x-1|&\Rightarrow 2x^{2}< -(x-1)\\
&\Rightarrow 2x^{2}+x-1<0\\
\end{align*}

Y por la fórmula general se sigue:
\begin{align*}
x&=\frac{-1\pm \sqrt{(1)^2 -4(2)(-1)}}{2(2)}\\
&=\frac{-1\pm \sqrt{9}}{4}\\
&=\frac{-1\pm 3}{4}\\
\end{align*}
$$\therefore x_{1}=\frac{1}{2}, x_{2}=-1$$
Sustituyendo lo anterior tenemos que:
$$2x^{2}+x-1<0 \Rightarrow \left(x-\frac{1}{2} \right)(x+1)<0$$

Dado lo anterior notamos que para que el producto satisfaga la desigualdad hay que considerar el siguiente par de casos:
CASO 2.1: $x-\frac{1}{2}>0$ y $ x+1<0$
De donde $x>\frac{1}{2}$ y $ x<-1$. Al considerar la intersección vemos que ocurre:
$$\left(\frac{1}{2}, \infty \right) \cap (-\infty,-1)= \emptyset$$

CASO 2.2: $x-\frac{1}{2}<0$ y $ x+1>0$
Ahora tendríamos que $x<\frac{1}{2}$ y $ x>-1$. Y la solución sería:
$$\left(-1,\frac{1}{2} \right)$$

Concluimos así que la solución del CASO 2 esta dada por:
$$\left[\emptyset \cup \left(-1, \frac{1}{2} \right) \right] \cap (-\infty, 1)=\left(-1,\frac{1}{2} \right)$$

Finalmente la solución total es:
$$\left(-1,\frac{1}{2} \right)\cup \emptyset =\left(-1,\frac{1}{2} \right)$$


Ejercicio 2

$$x^{2}-4x-1 >0$$

Factorizando:
\begin{align*}
x &=\frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2 -4(1)(-1)}}{2(1)}\\
&=\frac{4\pm \sqrt{16+4}}{2}\\
&=\frac{4\pm \sqrt{20}}{2}\\
&=\frac{4\pm 2\sqrt{5}}{2}\\
&= 2\pm 2\sqrt{5}
\end{align*}
$$\therefore x_{1}=2+\sqrt{5}, x_{2}=2-\sqrt{5}$$

Entonces la desigualdad que queremos resolver sería:
$$(x – (2+\sqrt{5}))(x-(2-\sqrt{5}))>0$$

Para que el producto cumpla con la condición de ser mayor que cero debemos considerar los casos:
CASO 1: $x-2-\sqrt{5} >0$ y $x-2+\sqrt{5} >0$
$\Rightarrow x>2+\sqrt{5}$ y $x>2-\sqrt{5}$
$\Rightarrow x>2+\sqrt{5}$

CASO 2: $x-2-\sqrt{5} <0$ y $x-2+\sqrt{5} <0$
$\Rightarrow x<2+\sqrt{5}$ y $x<2-\sqrt{5}$
$\Rightarrow x<2-\sqrt{5}$


De los casos anteriores obtenemos que nuestro conjunto solución es:
$$(-\infty, 2-\sqrt{5}) \cup (2+\sqrt{5}, \infty)$$

Ahora que ya hemos revisado estos ejercicios, te invitamos a poner en práctica los procedimientos vistos con los siguientes ejercicios.

Tarea moral

Prueba que:

  • $|y^{2}|=y^{2}$
  • $|y^{2}|=|y|^{2}$

Obtén todos los valores de $x$ que satisfagan las siguientes desigualdades:

  • $-5x^{2} + 2x +|x|-1 \leq 3$
  • $x^{2}-4x-1<0$
  • $-7x^{2}+2x+|x|<-4$

Más adelante

En la siguiente entrada veremos las cotas de un conjunto en $\r$. Definiremos formalmente los conceptos de cota superior e inferior y veremos algunos ejemplos donde los aplicaremos. Estos serán de suma importancia para comenzar a hablar de ínfimos y supremos posteriormente.

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Cálculo Diferencial e Integral I: Valor absoluto y desigualdades.

Introducción

En esta entrada nos dedicaremos a resolver desigualdades con valor absoluto. Para ello retomaremos la definición del valor absoluto de un número real y utilizaremos algunos resultados que probaremos a continuación.

Un par de resultados importantes

Lema: Para todo $a \in \r$. $a \leq |a|$ y $-a \leq |a|$
Demostración: Procederemos a revisar los siguientes dos casos.
CASO 1: Si $a \geq 0$.
Por un lado tenemos por la definición de valor absoluto $|a|=a$.
$$\therefore |a|\geq a$$.
Y por otro que $a \geq 0 \geq -a$, así por transitividad se concluye que:
$$ |a| \geq a$$

CASO 2: Si $a \leq 0$.
Así se sigue que $|-a|=a$ entonces tenemos que $|a|\geq a$.
Y análogamente al caso anterior: $-a \geq 0 \geq a \Rightarrow |a|\geq a$.

$\square$

Teorema: Consideremos $a,x \in \r$.

  1. \begin{align*}
    |x|\leq a &\Leftrightarrow -a \leq x\quad y \quad x \leq a\\
    &\Leftrightarrow x\in [-a,a]
    \end{align*}
  2. \begin{align*}
    |x|\geq a &\Leftrightarrow -a \geq x\quad o \quad x \geq a\\
    &\Leftrightarrow x\in (-\infty,-a] \cup [a, \infty)
    \end{align*}

NOTA.- «$\Leftrightarrow$» se lee cómo «si y sólo si».
Demostración:
1. $\Rightarrow$: Por hipótesis tenemos que $|x|\geq a$, aplicando el lema anterior:
$$x \geq |x|\quad y \quad -x \geq |x|$$.
Por transitividad: $$x \geq a \quad y \quad -x \geq a$$
$$\therefore x \geq a\quad y \quad x \geq -a$$.

Lo anterior nos indica lo siguiente: $x \in (-\infty, a]$ y $x \in [-a,\infty)$. Así al tomar la intersección de estos intervalos, obtenemos:
$$(-\infty, a] \cap [-a,\infty) = [-a,a]$$

$\Leftarrow$: Ahora consideremos $x \in [-a,a]$. De la implicación anterior tenemos que:
$$x\in [-a,a]=(-\infty, a] \cap [-a,\infty)$$
Aplicando la respectiva definición de intervalo e intersección:
$$x \geq a\quad y \quad x \geq -a$$
Y por el lema:
$$x \geq |x|\quad y \quad -x \geq |x|$$

$\square$

El punto 2 se quedará de ejercicio para la Tarea moral. Ahora continuaremos con ejercicios de desigualdades, en ellos deberemos encontrar todos los valores que las satisfagan.

Ejercicio 1

$$|x-3|=8$$
Recordemos que debido a la definición de valor absoluto, siempre deberemos considerar casos.
Para resolver este ejercicio deberemos considerar los siguientes:
CASO 1: $x-3 \geq 0$
Por lo que $|x-3|=x-3$ y sustituyendo tenemos:
\begin{align*}
x-3 &=8\\
x&=8+3\\
x &= 11
\end{align*}
CASO 2: $x-3 < 0$
Así $|x-3|= -x+3$, por lo que se sigue:
\begin{align*}
-x+3 &=8\\
-x&=8-3\\
-x &=5\\
x&= -5
\end{align*}

De los casos anterior obtenemos que los valores de $x$ que satisfacen la igualdad son
$x =11$ o $x=-5$

Ejercicio 2

$$|3x-3| \leq 2x+1$$
Para este ejercicio aplicando el teorema tendríamos:
$-2x-1 \leq 3x-3$ y $3x-3 \leq 2x+1$.
Comenzaremos desarrollando la primera desigualdad:
\begin{align*}
-2x-1 &\leq 3x-3\\
-2x-3x &\leq -3+1\\
-5x &\leq -2\\
5x &\geq 2\\
x &\geq \frac{2}{5}
\end{align*}
$$\therefore x \in \left[\frac{2}{5}, \infty \right)$$
Y de la segunda obtenemos:
\begin{align*}
3x-3 &\leq 2x+1\\
3x-2x &\leq 1+3\\
x&\leq 4
\end{align*}
$$\therefore x \in(-\infty,4]$$

Por lo que al tomar la intersección de ambos intervalos nos queda que los valores que satisfacen la desigualdad son:
$$ x \in (-\infty,4] \cap \left[\frac{2}{5}, \infty \right)= \left [\frac{2}{5}, 4 \right]$$


$$\therefore x \in \left [\frac{2}{5}, 4 \right]$$

Ejercicio 3

$$|2x+1|-|3x+2|<1$$
Debido a que tenemos dos valores absolutos, para resolver este ejercicio necesitaremos considerar los siguientes casos:

  1. $2x+1 \geq 0$ y $3x+2 \geq 0$
  2. $2x+1 \leq 0$ y $3x+2 \leq 0$
  3. $2x+1 \geq 0$ y $3x+2 \leq 0$
  4. $2x+1 \leq 0$ y $3x+2 \geq 0$

Nuestra solución final será la unión de todas las soluciones obtenidas en los casos anteriores.

CASO 1: $2x+1 \geq 0$ y $3x+2 \geq 0$

Desarrollando las desigualdades:
\begin{align*}
2x+1 \geq 0\quad &y \quad 3x+2 \geq 0\\
\Rightarrow 2x \geq -1 \quad &y \quad 3x \geq -2\\
\Rightarrow x \geq -\frac{1}{2} \quad &y \quad x \geq -\frac{2}{3}\\
\end{align*}


$$\Rightarrow x \geq -\frac{1}{2}$$

Aplicando el valor absoluto obtenemos:
\begin{align*}
|2x+1|-|3x+2|<1 &\Rightarrow 2x+1-(3x+2) <1\\
&\Rightarrow 2x+1-3x-2-1<0\\
&\Rightarrow -x -2 <0\\
&\Rightarrow x+2>0\\
&\Rightarrow x> -2
\end{align*}
Por lo que al tomar la siguiente intersección tenemos que la solución de este caso es:
$$\left[-\frac{1}{2}, \infty \right) \cap (-2, \infty)= \left[-\frac{1}{2}, \infty \right)$$

CASO 2: $2x+1 \leq 0$ y $3x+2 \leq 0$
Tendríamos que:
\begin{align*}
2x+1 \leq 0\quad &y \quad 3x+2 \leq 0\\
\Rightarrow 2x \leq -1 \quad &y \quad 3x \leq -2\\
\Rightarrow x \leq -\frac{1}{2} \quad &y \quad x \leq -\frac{2}{3}\\
\end{align*}

$$\Rightarrow x \leq -\frac{2}{3}$$
Al sustituir tenemos:
\begin{align*}
|2x +1|-|3x+2|<1 &\Rightarrow -(2x+1)-(-(3x+2))<1\\
&\Rightarrow -2x-1+3x+2-1<0\\
&\Rightarrow x <0
\end{align*}

Así tenemos la solución:
$$ (-\infty, 0) \cap \left(-\infty, -\frac{2}{3} \right) = \left(-\infty, -\frac{2}{3} \right) $$

CASO 3: $2x+1 \geq 0$ y $3x+2 \leq 0$
Ahora se sigue que:
\begin{align*}
2x+1 \geq 0\quad &y \quad 3x+2 \leq 0\\
\Rightarrow 2x \geq -1 \quad &y \quad 3x \leq -2\\
\Rightarrow x \geq -\frac{1}{2} \quad &y \quad x \leq -\frac{2}{3}\\
\end{align*}
Así observamos:
$$\left(-\infty, -\frac{2}{3} \right) \cap \left[-\frac{1}{2}, \infty \right) = \emptyset$$

CASO 4: $2x+1 \leq 0$ y $3x+2 \geq 0$
Desarrollando:
\begin{align*}
2x+1 \leq 0 \quad y \quad 3x+2 \geq 0\\
\Rightarrow 2x \leq -1 \quad y \quad 3x \geq -2\\
\Rightarrow x \leq -\frac{1}{2} \quad y \quad x \geq -\frac{2}{3}\\
\end{align*}

$$\Rightarrow -\frac{2}{3} \leq x \leq -\frac{1}{2}$$
Aplicando la definición del valor absoluto:
\begin{align*}
|2x+1|-|3x+2|<1 &\Rightarrow -(2x+1) – (3x+2) < 1\\
&\Rightarrow -2x-1-3x-2-1< 0\\
&\Rightarrow -5x -4 < 0\\
&\Rightarrow 5x+4 > 0\\
&\Rightarrow 5x> -4\\
&\Rightarrow x > -\frac{4}{5}
\end{align*}
Concluimos que la solución a este caso es:
$$\left[-\frac{2}{3}, -\frac{1}{2} \right] \cap \left[-\frac{4}{5}, \infty \right)= \left[-\frac{2}{3}, -\frac{1}{2} \right]$$

Finalizamos considerando como solución total a la unión de los intervalos obtenidos en los cuatro casos:
$$\left(-\infty, -\frac{2}{3} \right) \cup\left[-\frac{2}{3}, -\frac{1}{2} \right] \cup \left[-\frac{1}{2}, \infty \right) = (-\infty, \infty)$$

Observemos que para la resolución de este tipo de desigualdades, siempre deberemos considerar los casos correspondientes a los signos del argumento de la función valor absoluto, es decir, cuando el argumento es positivo y cuando es negativo. En la sección de Tarea moral encontrarás ejercicios que te ayudarán a reforzar lo visto en esta entrada.

Tarea moral

Demuestra el punto 2 del teorema:
\begin{align*}
|x|\geq a &\Leftrightarrow -a \geq x\quad o \quad x \geq a\\
&\Leftrightarrow x\in (-\infty,-a] \cup [a, \infty)
\end{align*}

Encuentra los valores que satisfacen las siguientes desigualdades:

  • $|x-3|< 8$
  • $|3x-3| > 2x+1$
  • $|x-1||x+2|=3$
  • $|x-1|+|x-2|> 1$

Más adelante

Ahora que ya hemos visto el procedimiento para encontrar los valores que satisfacen una desigualdad con valor absoluto, en la siguiente entrada lo utilizaremos para continuar resolviendo ejercicios que lo involucren adicionando el concepto de raíz cuadrada de un número real. Veremos que el valor absoluto está relacionado con la definición formal de raíz cuadrada y algunos resultados útiles.

Entradas relacionadas

Álgebra lineal II: Repaso de producto interior

Introducción

Como mencionamos en la entrada anterior, una de las aplicaciones más útiles de las formas cuadráticas es que a base de ellas se puede definir un concepto sumamente importante, el producto interior (también llamado producto interno o producto punto en algunos casos específicos).

Utilizando esto podemos introducir otro par de conceptos igualmente importantes (si no es que más), siendo estos norma y distancia, estos sin embargo salen del interés de esta materia por lo que sólo los mencionaremos sin abundar en ellos.

Producto interior

Antes de empezar con esta definición, debemos agregar un par de condiciones extra a las formas cuadráticas.

Definición

Sea $V$ un espacio vectorial en $\mathbb{R}$, $b: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ una forma bilineal simétrica y $q: V \rightarrow \mathbb{R}$

Diremos que $b$ es positiva si
\begin{align*} \forall x \in V \text{ se tiene que } b(x,x) \geq 0. \end{align*}
Diremos que $b$ es definida positiva si
\begin{align*} \forall x \in V-\{ 0 \} \text{ se tiene que } b(x,x) > 0 \end{align*}
Dándose la igualdad únicamente si $v=0$.

De una manera semejante

Diremos que $q$ es positiva si su forma polar es positiva.

Diremos que $q$ es definida positiva si su forma polar es definida positiva.

Notemos que para saber si una forma cuadrática NO es positiva (ni definida positiva) no siempre es necesario conocer su polar, basta encontrar un vector tal que al calcular $q(x)$ este sea negativo, ya que esto garantiza que al calcular $b(x,x)$ será igualmente negativa.

En los siguientes ejemplos sea $V=\mathbb{R}^3$ espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$.

Ejemplo

$q (x_1, x_2, x_3) = x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1$.

Notemos que esta no es positiva, ya que tomando al vector $(-1,1,0) $ tenemos que
\begin{align*} q(-1,1,0)= -1 \end{align*}
Ejemplo

$q (x_1, x_2, x_3) = x_1^2+2(x_2-x_3) ^2+3(x_3-x_1) ^2$.

Calculemos la polar de esto, para ello recordemos la identidad de polarización que vimos aquí
\begin{align*} b(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2} \end{align*}
Calculemos por separado $q(x+y)$ y $-q(x)-q(y)$
\begin{align*} q(x+y)=(x_1+y_1)^2+2(x_2+y_2-x_3-y_3)^2+3(x_3+y_3-x_1-y_1)^2 \\
-q(x)-q(y)=-x_1^2-2(x_2-x_3)^2-3(x_3-x_1)^2-y_1^2-2(y_2-y_3)^2-3(y_3-y_1)^2 \end{align*}
y notamos que por la desigualdad del triángulo tenemos que, para cualesquiera $x,y \in \mathbb{R}$
\begin{align*}(x_1+y_1)^2 \geq x_1^2 +y_1^2 \end{align*}
y también
\begin{align*}2(x_2+y_2-x_3-y_3) ^2 \geq 2(x_2-x_3)^2+2(y_2-y_3)^2 \\
3(x_3+y_3-x_1-y_1)^2 \geq 3(x_3-x_1)^2+3(y_3-y_1)^2 \end{align*}
Al juntar estas 3 desigualdades obtenemos
\begin{align*}q(x+y) \geq q(x) + q(y) \end{align*}
Por lo que
\begin{align*} b(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2} \geq 0 \end{align*}
Para cualesquiera $x,y \in \mathbb{C}$, entonces $b$ es positiva, por lo que $q$ es positiva, finalmente, revisemos si es definida positiva, para esto, veamos si hay un vector no cero tal que $q (x_1, x_2, x_3) =0$.

Sea $x \in \mathbb{C}$ tal que $q(x)=0$ esto nos arrojaría el siguiente sistema
\begin{align} x_1=0 \nonumber \\
x_2-x_3=0 \nonumber \\
x_3-x_1=0 \nonumber \end{align}
De donde se concluye que $x_1=x_2=x_3=0$ y finalmente $x=0$ por lo que el único vector que anula esta forma cuadrática es el $0$, por lo tanto $q$ es definida positiva.

Teniendo una buena idea de las formas cuadráticas, prosigamos con la definición titular de esta entrada.

Definición

Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$, llamaremos a $b: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ un producto interno si $b$ es una forma bilineal, simétrica y definida positiva.

Diremos que $V$ es un espacio euclidiano si es un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ de dimensión finita y con un producto interno.

Como una curiosidad, abundemos un poco sobre este nombre, el término espacio euclidiano originalmente se refería al espacio tridimensional con la geometría euclidiana, usado para modelar el espacio alrededor de nosotros. Tras la introducción de geometrías no euclidianas, se redefinió axiomáticamente, otra forma de definirlo es como lo hemos hecho aquí que se ha mostrado ser equivalente a su antigua definición axiomática. Fuente.

Generalmente, cuando se habla de productos internos la notación usual es $<x,y>$ en vez de $b(x,y)$.

Finalmente, definamos un concepto sumamente importante, la norma.

Definición

Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ con $b$ un producto interno en $V$, la norma de $x \in V$ es
\begin{align*} ||x||=\sqrt{b(x,x)}=\sqrt{q(x)} \end{align*}
Con $q$ la forma cuadrática con polar $b$.

Ejemplos

  • $\mathbb{R}^n$ con el producto interno canónico
    \begin{align} <x,y>= \sum_{i=1}^nx_iy_i. \nonumber \end{align}
  • Sea $V=\mathcal{C}^0[a,b]$ el espacio de funciones reales continuas en [a,b].
    \begin{align} <f,g>= \int_a^bf(x)g(x)dx. \nonumber \end{align}

Algo que vale la pena notar es que esta definición difiere un poco de la definición usual de norma, como es de esperarse, al final ambas describen el mismo objeto, pero eso lo abordaremos un poco más adelante.

Desigualdades de Cauchy-Schwarz y Minkowski

Ya con esto, procedamos a las desigualdades prometidas.

Proposición (Desigualdad de Cauchy-Schwarz)

Sea $q: V \rightarrow \mathbb{R}$ una forma cuadrática y $b$ su polar.

  • Si $b$ es positiva, entonces para cualesquiera $x,y \in V$
    \begin{align*} b(x,y)^2 \leq q(x)q(y). \end{align*}
  • Más aún, si $b$ es definida positiva y $b(x,y)^2=q(x)q(y)$ para algún par $x,y \in V$ entonces $x,y$ son linealmente dependientes.

Demostración

Definamos una nueva función como sigue
\begin{align*} F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text{ dada por } F(t)=q(x+ty) \end{align*}
Aplicando que $b$ es bilinear y simétrica
\begin{align*} F(t)=b(x+ty, x+ty)=b(x,x)+2tb(x,y)+t^2b(y,y) \end{align*}
De aquí notemos que $F(t)$ es un polinomio de segundo grado en la variable $t$, además como $b$ es positiva tenemos que
\begin{align*} F(t) \geq 0 \end{align*}
Por lo que, calculando el discriminante de $F(t)$
\begin{align*} 4b(x,y)^2 -4b(x,x)b(y,y)=4b(x,y)^2 -4q(x)q(y) \leq 0 \end{align*}
Que finalmente, pasando $4q(x)q(y)$ y dividiendo entre $4$ obtenemos la desigualdad deseada
\begin{align*} b(x,y)^2 \leq q(x)q(y). \end{align*}
Para el inciso b), si $x=0$ o $y=0$ sabemos que $x,y$ son linealmente dependientes, por lo que supongamos que $x,y \neq 0 $, por lo que $q(y)>0$ ya que $q$ es definida positiva, lo que nos asegura que $F(t)$ es una ecuación de segundo grado en $t$, así volviendo a calcular su discriminante tenemos
\begin{align*} 4b(x,y)^2 -4q(x)q(y) = 0 \end{align*}
Ya que $b(x,y)^2=q(x)q(y)$, que a su vez nos indica que $F(t)$ tiene una única solución real, sea esta $t_1$ entonces
\begin{align*} F(t_1)=q(x+t_1y)=0 \end{align*}
Finalmente, como $q$ es definida positiva se debe tener que
\begin{align*} x+t_1y = 0 \end{align*}
Que nos da una combinación lineal de $0$ con coeficientes no todos cero, por lo tanto $x,y$ son linealmente dependientes.

$\square$

Si ya has visto previamente esta desigualdad, probablemente la forma de plantearla y demostrarla no resulte muy familiar, veamos un corolario y un par de ejemplos que tal vez te ayuden a reconocer mejor esta desigualdad y sus usos.

Corolario

Sea $V=$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ con producto interno $<,>$, entonces para cualesquiera $x,y \in V$
\begin{align*}|<x,y>| \leq ||x|| \cdot ||y||. \end{align*}

Ejemplos

Recordando el ejemplo usado arriba, tenemos que $\mathcal{C}^0[a,b]$ el espacio de funciones reales continuas en $[a,b]$ tiene un producto interno y por lo tanto una norma, así, aplicando el corolario tenemos que
\begin{align*} (\int_a^bf(x)g(x))^2 \leq (\int_a^bf(x)^2dx) \cdot (\int_a^bg(x)^2dx).\end{align*}
Que es como probablemente estudiarás esta desigualdad en cursos posteriores.

Otro ejemplo, sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ con producto interno $<,>$ por el corolario tenemos que
\begin{align*} -1 \leq \frac{<u,v>}{||u||\cdot||v||} \leq 1 \end{align*}
Para cualesquiera $u,v \in \mathbb{V} – \{0\}$, por lo que existe un único ángulo $\theta \in [0, \pi]$ tal que
\begin{align*} cos \theta =\frac{<u,v>}{||u||\cdot||v||}\end{align*}
De donde se definía a $\theta$ como el ángulo entre los vectores $u,v$.
Con esto, procedamos a la siguiente desigualdad.

Proposición (Desigualdad de Minkowski)
Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ y $q$ una forma cuadrática positiva en $V$, entonces, para cualesquiera $x,y \in V$
\begin{align} \sqrt{q(x)} + \sqrt{q(y)} \geq \sqrt{q(x+y)}. \nonumber \end{align}
Demostración

Sea $b$ la polar de $q$, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz tenemos que
\begin{align*} b(x,y)^2 \leq q(x)q(y) \end{align*}
Que sacando raíz de ambos lados y ya que $b$ es positiva, nos arroja
\begin{align*} b(x,y) \leq \sqrt{q(x)q(y)} \end{align*}
Además, recordando la identidad de polarización, sabemos que
\begin{align*} q(x+y)=q(x)+q(y)+2b(x,y) \end{align*}
Utilizando la desigualdad anterior, se tiene
\begin{align*} q(x+y)=q(x)+q(y)+2b(x,y) \leq q(x)+q(y)+2\sqrt{q(x)q(y)} \end{align*}
Factorizando el lado derecho obtenemos
\begin{align*} q(x+y) \leq (\sqrt{q(x)}+\sqrt{q(y)})^2 \end{align*}
que finalmente, despejando el lado derecho arroja
\begin{align*} \sqrt{q(x+y)} \leq \sqrt{q(x)}+\sqrt{q(y)}.\end{align*}

$\square$

Finalicemos hablando rápidamente de la otra definición de norma que seguramente ya has visto o verás proximamente.

Definición

Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ llamaremos norma a $|| \cdot ||: V \rightarrow \mathbb{R}$ una función que cumple las siguientes propiedades:

  • $||v|| \geq 0$ para todo $v \in V$, la igualdad se da si y solo si $v=0$.
  • $||av||=|a|\cdot||v||$ para todo $v \in V$ y para todo $a \in \mathbb{R}$.
  • $||v+w||\leq ||v||+||w||$ para todo $v,w \in V$.

Notemos que en nuestra definición de norma cumple estas tres propiedades, recordemos que $||v||=\sqrt{b(x,x)} $, así la primera se cumple debido a que $b$ se pidió definida positiva, la segunda debido a que $b$ es bilineal y la desigualdad de Minkowski nos garantiza la tercera propiedad.
Más aún, estas dos definiciones son equivalentes, esto de nuevo sale del interés de nuestro curso, pero no estaría de más que lo intentaras demostrar por tu cuenta.

Más adelante

Con esto concluimos nuestro pequeño repaso de producto interno y una de las grandes aplicaciones de las formas bilineales. Como probablemente sabes, los conceptos de producto interno y norma dan pie a un sin fin de teoría muy interesante y útil y poder llegar a ellos desde un enfoque puramente algebraico nos muestra el poder que tiene este campo de estudio.

Procederemos volviendo a la raíz del álgebra lineal y empezaremos a estudiar la relación entre formas bilineales y matrices, brindándonos tal vez un mejor entendimiento de ambas.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso. Sin embargo, sirven de ayuda para repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. Sea $V=\mathbb{R}^3$ espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ y definamos $q: V \rightarrow \mathbb{R}$
    \begin{align*} q(x,y,z)= x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz. \end{align*}
    ¿Es $q$ positiva? ¿Es definida positiva?
  2. Sea $V$ el espacio de polinomios con coeficientes reales cuyos grados no excedan $n \in \mathbb{N}$ prueba que
    \begin{align*} <P.Q>=\sum_{i=0}^nP(i)Q(i) \end{align*}
    Es un producto interno en $V$.
  3. Demuestra el corolario de la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
  4. Sea $V$ un $\mathbb{C}$-espacio vectorial, y $\Phi$ una forma cuadrática hermitiana en $V$, asumamos que $\Phi$ es definida positiva ($\Phi(v) >0$ para todo $v$ no cero) con $\varphi$ su polar.
    Prueba la desigualdad de Cauchy-Schwarz, es decir, para todo $x,y \in V$
    \begin{align*} |\varphi(x,y)|^2 \leq \Phi(x)\Phi(y) \end{align*}
    Y la igualdad sucede si y sólo si $x,y$ son linealmente dependientes.
  5. Con la misma notación del ejercicio anterior, prueba la desigualdad de Minkowski, es decir, para todos $x,y \in V$
    \begin{align*} \sqrt{\Phi(x+y)} \leq \sqrt{\Phi(x)} + \sqrt{\Phi(y)}. \end{align*}

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Cálculo Diferencial e Integral I:Intervalos y desigualdades en los números reales

Introducción

Ahora veremos los intervalos de los números reales, su definición y su representación en la recta real. Por ellos nos apoyaremos de varios ejemplos y ejercicios. Recordemos que al representar gráficamente a los números reales lo hacemos por medio de una recta. Donde un punto será la representación de un número y la recta todo el conjunto $\r$.

De igual manera abordaremos en esta entrada la solución de desigualdades en los reales donde los intervalos están íntimamente relacionados.

Intervalos en los reales

Definición: Sean $a,b \in \r$. Definimos los siguientes intervalos en $\RR$ como sigue:

  • Intervalo cerrado:
    \[
    [a,b]=\left\{x : a \leq x \leq b\right\}
    \]
  • Intervalo abierto
    \[
    (a,b)=\left\{x : a < x < b\right\}
    \]
  • Semiabierto por la izquierda/ Semicerrado por la derecha
    \[
    (a,b]=\left\{x : a < x \leq b\right\}
    \]
  • Semiabierto por la derecha/ Semicerrado por la izquierda
    \[
    [a,b)=\left\{x : a \leq x < b\right\}
    \]

Casos especiales

Sea $a\in \r$. Para los intervalos que involucran al infinito tenemos las siguientes definiciones:

  • \[
    (-\infty ,a)=\left\{x : x < a \right\}
    \]
  • \[
    (-\infty ,a]=\left\{x : x \leq a \right\}
    \]
  • \[
    (a, \infty) =\left\{x : a < x\right\}
    \]
  • \[
    [a, \infty) =\left\{x : a \leq x\right\}
    \]
  • \[
    (- \infty, \infty) =\r
    \]

Representación gráfica

A continuación veremos la representación de cada uno de los intervalos anteriores en la recta real. Esto nos ayudará más adelante con la resolución de desigualdades. En cada una de las imágenes la sección de la recta real sombreada con amarillo «\\\» representará los valores considerados por el intervalo.

\[ [a,b] \]

Consideramos los valores de $a$ y $b$.

\[ (a,b) \]

No consideramos los valores de $a$ y $b$.

\[ (a,b] \]

No consideramos el valor de $a$.

\[ [a,b) \]

No consideramos el valor de $b$.

\[ (-\infty ,a) \]

Todos los valores estrictamente menores que $a$.

\[ (-\infty ,a] \]

Todos los valores menores o iguales que $a$.

\[ (a, \infty) \]

Todos los valores estrictamente mayores que $a$.

\[ [a, \infty) \]

Todos los valores mayores o iguales que $a$.

\[ (- \infty, \infty) \]

Toda la recta real.

Cabe mencionar que los símbolos $- \infty$ y $\infty$ son solamente notación, ya que no existe ningún número «$\infty$» tal que cumpla $\infty \geq x$ para todo $x\in \r$.

Ahora que ya hemos definido a los intervalos en los reales $\r$. Veremos algunos ejercicios de representación gráfica de intervalos.

Algunos ejemplos de intervalos

A continuación daremos la representación gráfica de los siguientes intervalos.

  • \[ (1,14 ] \]
    Aplicando la definición correspondiente obtenemos la siguiente representación:
  • \[ (-15,-2) \cup [6,10) \]
    Graficamos primero ambos intervalos en la recta real, por lo que tenemos lo siguiente:

Ya que estamos considerando la unión de los intervalos, por su definición tenemos que el conjunto resultante sería el azul:

  • \[ (-3, 0) \cap (-2, 4] \]
    Vemos que al graficar ambos intervalos obtenemos:

Cómo queremos la intersección de dichos intervalos, el intervalo resultante sería en el que encontremos elementos en común, así sería:

\[ (-3, 0) \cap (-2, 4] = [-2,0] \]
  • \[ [-6,1) \cup (-1,7] \]
    Comenzamos graficando ambos intervalos en la recta real:

Así considerando la definición de unión obtenemos el siguiente intervalo:

\[ [-6,1) \cup (-1,7] = [-6,7]\]
  • \[ [-10, 0) \cap [0, 5) \]
    Graficando los intervalos anteriores tenemos:

Debido a que queremos la intersección de ambos intervalos, observamos que por su definición no poseen ningún elemento en común, así su intersección sería vacía: $[-10, 0) \cap [0, 5) = \emptyset$

  • \[ (-\infty,-2) \cup(-3,0) \cup [-1, \infty) \]
    Si graficamos los tres intervalos anteriores vemos que tendríamos lo siguiente:

Así al aplicar la definición de unión nos percatamos que se trata de toda la recta $\r$:

Una vez que hemos visto estos ejemplos procederemos a los ejercicios de desigualdades. Cabe mencionar que todos los resultados probados anteriormente, aquellos relacionados al Orden en $\r$ los estaremos utilizando sin repetir dichas demostraciones.

Desigualdades en los reales

Encuentra todos los números reales $x$ que cumplan con las siguientes desigualdades:

  • $$4- x < 3 -2x$$

Comenzamos con restar $4$ en ambos lados de la desigualdad:
\begin{align*}
4- x-4 &< 3 -2x-4\\
-x+ (4 -4) &< -2x+(3-4)\\
-x&<-2x-1\\
-x+ 2x &< (-2x +2x)-1\\
x&<-1
\end{align*}

Así observamos que todas las $x$ que cumplen la desigualdad son aquellas que $x<-1$, es decir, las que pertenecen al intervalo:
$$(-\infty,-1)$$

  • $$(x-1)(x-3)>0$$

Cómo estamos buscando que el producto sea positivo, debemos considerar los siguientes dos casos:
CASO 1: $(x-1)>0$ y $(x-3)>0$
Por lo anterior queremos encontrar a todos los reales que satisfacen que $x>1$ y $x>3$.
Al graficar dichos intervalos observamos lo siguiente:

Ya que estamos considerando la intersección, el intervalo buscado sería:
$$(3, \infty)$$

CASO 2: $(x-1)<0$ y $(x-3)<0$

Ahora queremos a todos los números que cumplan con que $x<1$ y $x<3$, así tenemos:

Por lo que el intervalo buscado es:
$$(-\infty,1)$$

Considerando la unión de los intervalos obtenidos en los CASOS 1 y 2 tenemos que el conjunto solución es:
$$(-\infty,1) \cup (3, \infty)$$

  • $$\frac{1}{x} + \frac{1}{1-x} > 0$$

Comenzaremos realizando la suma de fracciones:
\begin{align*}
\frac{1}{x} + \frac{1}{1-x} > 0 &\Rightarrow \frac{1-x+x}{x(1-x)}>0\\
&\Rightarrow \frac{1}{x (1-x)}>0\\
\end{align*}
Cómo ya tenemos que el numerador es mayor que cero: $1>0$. La igualdad se satisface si y sólo si $x (x-1) > 0$. Por lo que debemos considerar los siguientes casos:

CASO 1: $x>0$ y $1-x >0$
Por lo que tendríamos las siguientes condiciones: $x>0$ y $1>x$.

De lo anterior vemos que los valores que cumplen ambas condiciones son aquellos que pertenecen al intervalo:
$$(0,1)$$

CASO 2: $x<0$ y $1-x < 0$
De lo anterior tenemos que: $x < 0$ y $1<x$.

Observamos que no existen valores que cumplan ambas condiciones.
De los casos vistos tenemos que los valores que cumple la desigualdad son todos aquellos que pertenecen al intervalo: $$(0,1)$$

Tarea moral

Da la representación geométrica de los siguientes intervalos:

  • \[ (-15,-2) \cap [6,10) \]
  • \[ (-3, 0) \cup (-2, 4] \]
  • \[ [-6,1) \cap (-1,7] \]
  • \[ (-\infty,-2) \cup [0, \infty) \]

Encuentra todos los números reales $x$ que cumplan con las siguientes desigualdades:

  • $$5-x^{2} < -2$$
  • $$x^{2} -2x +2 > 0$$

Más adelante

En la próxima entrada veremos la función valor absoluto. Daremos su definición formal y su interpretación geométrica. De igual manera veremos un resultado muy importante que lo involucra: la desigualdad del triángulo.

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Seminario de Resolución de Problemas: Rango de matrices y el teorema de factorización PJQ

Introducción

El algunas ocasiones es suficiente saber si una matriz es invertible o no. Sin embargo, esta es una distinción muy poco fina. Hay algunos otros problemas en los que se necesita decir más acerca de la matriz. Podemos pensar que una matriz invertible, como transformación lineal, «guarda toda la información» al pasar de un espacio vectorial a otro. Cuando esto no sucede, nos gustaría entender «qué tanta información se guarda». El rango de matrices es una forma de medir esto. Si la matriz es de $m\times n$, el rango es un número entero que va de cero a $n$. Mientras mayor sea, «más información guarda».

Por definición, el rango de una matriz $A$ de $m\times n$ es igual a la dimensión del subespacio vectorial de $\mathbb{R}^m$ generado por los vectores columna de $A$. Una matriz de $n\times n$ tiene rango $n$ si y sólo si es invertible.

Si pensamos a $A$ como la transformación lineal de $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^m$ tal que $X\mapsto AX$, entonces el rango es precisamente la dimensión de la imagen de $A$. Esto permite extender la definición de rango a transformaciones lineales arbitrarias, y se estudia con generalidad en un curso de álgebra lineal.

En las siguientes secciones enunciaremos sin demostración algunas propiedades del rango de matrices y las usaremos para resolver problemas.

Propiedades del rango de matrices

Comenzamos enunciando algunas propiedades del rango de matrices

Teorema. Sean $m$, $n$ y $p$ enteros. Sea $B$ una matriz de $n\times p$, y $A$, $A’$ matrices de $m\times n$. Sean además $P$ una matriz de $n\times p$ cuya transformación lineal asociada es suprayectiva y $Q$ una matriz de $r\times m$ cuya transformación lineal asociada es inyectiva. Entonces:

  1. $\rank(A)\leq \min(m,n)$
  2. $\rank(AB)\leq \min(\rank(A),\rank(B))$
  3. $\rank(A+A’)\leq \rank(A) + \rank(A’)$
  4. $\rank(QA) = \rank(A)$
  5. $\rank(AP)=\rank(A)$

Consideremos el siguiente problema, tomado del libro Essential Linear Algebra de Titu Andreescu.

Problema. Las matrices $A$ y $B$ tienen entradas reales. La matriz $A$ es de $3\times 3$, la matriz $B$ es de $2\times 3$ y además $$AB=\begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.$$ Determina el valor del producto $BA$.

Sugerencia pre-solución. Un paso intermedio clave es mostrar que el producto $BA$ es invertible.

Solución. Para empezar, afirmamos que $(AB)^2=AB$. Esto se puede verificar directamente haciendo el producto de matrices.

Luego, afirmamos que el rango de $AB$ es $2$. En efecto, eso se puede hacer fácilmente por definición. Por un lado, la suma de las primeras dos columnas es igual a la tercera, así que el espacio vectorial que generan las tres es de dimensión a lo más dos. Pero es al menos dos, pues las primeras dos columnas son linealmente independientes. Esto muestra la afirmación.

Ahora, usando la propiedad (2) del teorema dos veces, tenemos que
\begin{align*}
\rank(BA)&\geq \rank (A(BA)) \\
&\geq \rank (A(BA)B)\\
&=\rank((AB)^2) \\
&= \rank (AB)\\
&=2.
\end{align*}

Así, $BA$ es una matriz de $2\times 2$ de rango $2$ y por lo tanto es invertible.

Consideremos ahora el producto $(BA)^3$. Desarrollando y usando que $(AB)^2=AB$, tenemos que

\begin{align*}
(BA)^3 &= BABABA \\
&=B(AB)^2 A\\
&=BABA\\
&=(BA)^2.
\end{align*}

Como $BA$ es invertible, entonces $(BA)^2$ tiene inversa. Si multiplicamos la igualdad $(BA)^3 = (BA)^2$ por esa inversa, obtenemos que $$BA=I_2.$$

$\square$

El teorema anterior nos permite acotar por arriba el rango del producto de dos matrices. También hay una desigualdad que nos permite acotar por abajo el rango de dicho producto, cuando las matrices son cuadradas.

Teorema (desigualdad de Sylvester). Para matrices $A$ y $B$ de $n\times n$, se tiene que $$\rank(AB)\geq \rank(A) + \rank(B) – n.$$

Problema. La matriz $A$ es de $2020 \times 2020$. Muestra que:

  • Si $A$ tiene rango $2017$, entonces la matriz $A^{673}$ no puede ser la matriz de $2020\times 2020$ de puros ceros, es decir, $O_{2020}$.
  • Si $A$ tiene rango $2016$, entonces la matriz $A^{673}$ puede ser la matriz $O_{2020}$.

Sugerencia pre-solución. Enuncia una afirmación más general relacionada con el rango que puedas probar por inducción utilizando la desigualdad de Sylvester.

Solución. Para la primer parte, probaremos primero algo más general. Afirmamos que si $M$ es una matriz de $n \times n$ de rango $n-s$ y $k$ es un entero positivo, entonces el rango de la matriz $M^k$ es por lo menos $n-ks$. Procedemos por inducción sobre $k$. Si $k=1$, el resultado es cierto pues $M$ tiene rango $n-s=n-1\cdot s$.

Supongamos el resultado para cierto entero $k$. Usando la desigualdad de Sylverster y la hipótesis inductiva, tenemos que
\begin{align*}
\rank(A^{k+1})&\geq \rank(A^k) + \rank(A) – n\\
&\geq (n-ks) + (n-s) – n\\
&=n-(k+1)s.
\end{align*}

Esto muestra la afirmación general.

Si regresamos a la primer parte del problema original y aplicamos el resultado anterior, tenemos que $A^{673}$ es una matriz de rango por lo menos $$2020 – 673 \cdot 3 = 2020 – 2019 = 1.$$ De esta forma, $A^{673}$ no puede ser la matriz $0$.

Hagamos ahora la segunda parte del problema. Para ello, debemos construir una matriz $A$ de $2020\times 2020$ de rango $2016$ tal que $A^{673}$ sea la matriz $0$. Para ello, consideremos la matriz $A$ tal que sus primeras $4$ columnas sean iguales al vector $0$, y que sus columnas de la $5$ a la $2020$ sean los vectores canónicos $e_1,\ldots, e_{2016}$.

Esta matriz claramente es de rango $2016$, pues el espacio generado por sus columnas es el espacio generado por $e_1,\ldots, e_{2016}$, que es de dimensión $2016$. Por otro lado, se puede mostrar inductivamente que para $k=1,\ldots,505$, se tiene que $A^{k}$ es una matriz en donde sus columnas de $1$ a $4k$ son todas el vector $0$, y sus columnas de $4k+1$ a $2020$ son $e_1,\ldots, e_{2020-4k}$. En particular, $A^{505}=O_{2020}$, y entonces $A^{673}$ también es la matriz de puros ceros.

$\square$

Equivalencias de rango de matrices

Hay muchas formas alternativas para calcular el rango de una matriz. El siguiente teorema resume las equivalencias más usadas en resolución de problemas.

Teorema. Sea $A$ una matriz de $m\times n$ con entradas reales. Los siguientes números son todos iguales:

  • El rango de $A$, es decir, la dimensión del espacio vectorial generado por los vectores columna de $A$.
  • La dimensión del espacio vectorial generado por los vectores fila de $A$. Observa que esto es, por definición, el rango de la transpuesta de $A$.
  • La cantidad de filas no cero que tiene la forma escalonada reducida de $A$.
  • (Teorema de rango-nulidad) $n-\dim \ker(A)$, donde $\ker(A)$ es el espacio vectorial de soluciones a $AX=0$.
  • El tamaño más grande de una submatriz cuadrada de $A$ que sea invertible.
  • La cantidad de eigenvalores complejos distintos de cero contando multiplicidades algebraicas.

Problema. Determina todos los posibles rangos que pueden tener las matrices con entradas reales de la forma $$\begin{pmatrix} a & b & c & d \\ b & a & d & c \\ c & d & a & b \\ d & c & b & a \end{pmatrix}.$$

Sugerencia pre-solución. Comienza haciendo casos pequeños. Para dar los ejemplos y mostrar que tienen el rango deseado, usa el teorema de equivalencia de rango para simplificar algunos argumentos.

Solución. El rango de una matriz de $4\times 4$ es un entero de $0$ a $4$. Debemos ver cuáles de estos valores se pueden alcanzar con matrices de la forma dada.

Tomando $a=b=c=d=0$, obtenemos la matriz $O_4$, que tiene rango $0$. Si $a=b=c=d=1$, obtenemos la matriz de puros unos, que tiene rango $1$. Además, si $a=1$ y $b=c=d=0$, obtenemos la matriz identidad, que tiene rango $4$.

Si $a=b=1$ y $c=d=0$, obtenemos la matriz $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.$$ Esta matriz tiene sólo dos columnas diferentes, así que su rango es a lo más dos. Pero tiene como submatriz a la matriz $$I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},$$ que tiene rango $2$, entonces el rango de $A$ es al menos $2$. De esta forma, el rango de $A$ es $2$.

Veamos ahora que el rango puede ser $3$. Para ello, damos un argumento de determinantes. Llamemos $s=a+b+c+d$. Sumando las tres últimas filas a la primera y factorizando $s$, tenemos que
\begin{align*}
\begin{vmatrix} a & b & c & d \\ b & a & d & c \\ c & d & a & b \\ d & c & b & a \end{vmatrix}&=\begin{vmatrix} s & s & s & s \\ b & a & d & c \\ c & d & a & b \\ d & c & b & a \end{vmatrix}\\
&=s\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ b & a & d & c \\ c & d & a & b \\ d & c & b & a \end{vmatrix}.
\end{align*}

Así, si tomamos $a=b=c=1$ y $d=-3$, entonces $s=0$ y por lo tanto la matriz $B$ que obtenemos no es invertible, así que su rango es a lo más tres. Pero además es de rango al menos tres pues $B$ tiene como submatriz a $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 1 & -3 & 1 \\ -3 & 1 & 1 \end{pmatrix},$$ que es invertible pues su determinante es $$-3-3-3-1-1+27=16\neq 0.$$

Concluimos que los posibles rangos que pueden tener las matrices de esa forma son $0,1,2,3,4$.

$\square$

El teorema de factorización $PJQ$

Existen diversos teoremas que nos permiten factorizar matrices en formas especiales. De acuerdo a lo que pida un problema, es posible que se requiera usar uno u otro resultado. El teorema de factorización más útil para cuando se están resolviendo problemas de rango es el siguiente.

Teorema (factorización $PJQ$). Sea $A$ una matriz de $m\times n$ y $r$ un entero en $\{0,\ldots,\min(m,n)\}$. El rango de $A$ es igual a $r$ si y sólo si existen matrices invertibles $P$ de $m\times m$ y $Q$ de $n\times n$ tales que $A=PJ_rQ$, en donde $J_r$ es la matriz de $m\times n$ cuyas primeras $r$ entradas de su diagonal principal son $1$ y todas las demás entradas son cero, es decir, en términos de matrices de bloque, $$J_r=\begin{pmatrix}
I_r & O_{r,n-r} \\
O_{m-r,r} & O_{m-r,n-r}
\end{pmatrix}.$$

Como evidencia de la utilidad de este teorema, sugerimos que intentes mostrar que el rango por columnas de una matriz es igual al rango por filas, usando únicamente la definición. Esto es relativamente difícil. Sin embargo, con el teorema $PJQ$ es inmediato. Si $A$ es de $m\times n$ y tiene rango $r$, entonces su factorización $PJQ$ es de la forma $$A=PJ_rQ.$$ Entonces al transponer obtenemos
\begin{align*}
^tA&= {^tQ} {^t J_r} {^tP}.
\end{align*}

Esto es de nuevo un factorización $PJQ$, con ${^t J_r}$ la matriz de $n\times m$ que indica que $^t A$ es de rango $r$.

Veamos ahora un problema clásico en el que se puede usar la factorización $PJQ$.

Problema. Sea $A$ una matriz de $m \times n$ y rango $r$. Muestra que:

  • $A$ puede ser escrita como la suma de $r$ matrices de rango $1$.
  • $A$ no puede ser escrita como la suma de $r-1$ o menos matrices de rango $1$.

Sugerencia pre-solución. Para la primer parte, usa el teorema $PJQ$. Para la segunda parte, usa desigualdades del rango.

Solución. Tomemos $A=PJ_rQ$ una factorización $PJQ$ de $A$.

Hagamos la primer parte. Para ello, para cada $i=1,\ldots,r$, consideremos la matriz $L_i$ de $m\times n$ tal que su $i$-ésima entrada en la diagonal principal es $1$ y el resto de sus entradas son iguales a $0$.

Por un lado, $L_i$ es de rango $1$, pues tiene sólo una columna distinta de cero. De este modo, $$\rank(PL_iQ)\leq \rank(PL_i) \leq \rank(L_i)=1,$$ y como $P$ y $Q$ son invertibles, $$\rank(PL_iQ)\geq \rank(L_i) \geq 1.$$ Así, para cada $i=1,\ldots, r$, se tiene que $L_i$ es de rango $1$.

Por otro lado, $$J_r = L_1 + L_2 + \ldots + L_r,$$ así que
\begin{align*}
A&=PJ_rQ\\
&=P(L_1 + L_2 + \ldots + L_r)Q\\
&=PL_1Q + PL_2Q + \ldots + PL_rQ.
\end{align*}

Esto expresa a $A$ como suma de $r$ matrices de rango $1$.

Para la segunda parte del problema, usamos repetidamente que el rango es subaditivo. Si tenemos matrices $B_1,\ldots,B_s$ matrices de $m\times n$, entonces
\begin{align*}
\rank(B_1&+B_2+\ldots+B_s) & \\
&\leq \rank(B_1) + \rank (B_2 + \ldots + B_s)\\
&\leq \rank(B_1) + \rank(B_2) + \rank(B_3+\ldots+B_s)\\
& vdots \\
&\leq \rank(B_1) + \rank(B_2) + \ldots + \rank(B_s).
\end{align*}

Si cada $B_i$ es de rango $1$, entonces su suma tiene rango a lo más $s$.

Así, la suma de $r-1$ o menos matrices de rango $1$ tiene rango a lo más $r-1$, y por lo tanto no puede ser igual a $A$.

$\square$

Más problemas

Puedes encontrar más problemas de rango de una matriz en la Sección 5.4 del libro Essential Linear Algebra de Titu Andreescu. El teorema $PJQ$, así como muchos problemas ejemplo, los puedes encontrar en el Capítulo 5 del libro Mathematical Bridges de Andreescu, Mortici y Tetiva.