Introducción
Tal vez te hayas dado cuenta de que ya hablamos de suma, producto y resta de polinomios, pero aún no hemos hablado de la división. Una razón es que no todos los polinomios tienen inverso multiplicativo. Sin embargo, los polinomios sí tienen un algoritmo de la división parecido al que estudiamos para el conjunto de enteros. A partir de él podemos extender varios de los conceptos aritméticos de
a
: divisibilidad, máximo común divisor, factorización, etc. Luego, estos aspectos se pueden conectar a evaluación de polinomios mediante el un teorema clave: el teorema del factor.
Como recordatorio, hasta ahora, ya construimos el anillo de polinomios con coeficientes reales y vimos que era un dominio entero. También, vimos que una copia de
vive en
, con lo justificamos pasar de la notación de sucesiones, a la notación usual de polinomios usando el símbolo
y sus potencias. En la entrada anterior también hablamos de del grado de un polinomio (cuando no es el polinomio cero), de la evaluación de polinomios y de raíces.
Algoritmo de la división
Recordemos que en tenemos un algoritmo de la división que dice que para enteros
y
existen únicos enteros
y
tales que
y
.
En hay un resultado similar. Pero hay que tener cuidado al generalizar. En
no tenemos una función valor absoluto que nos permita decir que encontramos un «residuo más chiquito». Para la versión polinomial del algoritmo de la división tenemos que usar una función que diga «qué tan grande es un polinomio»: el grado.
Teorema (algoritmo de la división en ). Sean
y
polinomios en
, donde
no es el polinomio cero. Entonces, existen únicos polinomios
y
en
tales que


Demostración. Probaremos la parte de existencia. La parte de unicidad queda como tarea moral. Para probar la existencia, haremos inducción fuerte sobre el grado de . Sin embargo, antes de poder hacer esto, necesitamos hacer el caso en el que
no tiene grado, es decir, cuando es el polinomio cero.
Si es el polinomio cero, entonces
y
son polinomios que funcionan, pues
y
es el polinomio cero.
Asumamos entonces a partir de ahora que no es el polinomio cero. Hagamos inducción sobre el grado de
. Si
es de grado
, entonces es un polinomio de la forma
para
en
. Hay dos casos de acuerdo al grado de
:
- Si
es de grado
, es de la forma
para un real no cero y podemos tomar
y
.
- Si
es de grado mayor a
, entonces tomamos
y
. Esta es una elección válida pues se cumple
Esto termina la demostración de la base inductiva.
Supongamos que el resultado es cierto para cuando tiene grado menor a
y tomemos un caso en el que
tiene grado
. Hagamos de nuevo casos con respecto al grado de
, al que llamaremos
. Si
, entonces tomamos
y
, que es una elección válida pues
En el caso de que , escribamos explícitamente a
y a
en términos de sus coeficientes como sigue:
Consideremos el polinomio






Así, eligiendo y
, terminamos la hipótesis inductiva.
Aplicando el algoritmo de la división de forma práctica
Veamos ahora un ejemplo de cómo se puede aplicar este teorema anterior de forma práctica. A grandes rasgos, lo que podemos hacer es «ir acumulando» en a los términos
que van apareciendo en la inducción, y cuando
se vuelve de grado menor a
, lo usamos como residuo. Hagamos un ejemplo concreto.
Ejemplo. Tomemos y
. Vamos a aplicar iteradamente las ideas de la demostración del teorema anterior para encontrar los polinomios
y
tales que



Como el grado de es
, el de
es
y
, lo primero que hacemos es restar
a
y obtenemos:
Hasta ahora, sabemos que , donde en los puntos suspensivos va el cociente que le toca a
. Como el grado de
es
, el de
es
y
, restamos
a
y obtenemos.
Hasta ahora, sabemos que , donde en los puntos suspensivos va el cociente que le toca a
. Como el grado de
es
, el de
es
y
, entonces el cociente es
y el residuo es
.
De esta forma, concluimos que
En conclusión,
Esto se puede verificar fácilmente haciendo la operación polinomial.
Hay una forma más visual de hacer divisiones de polinomios «haciendo una casita». Puedes ver cómo se hace esto en el siguiente video en Khan Academy, y los videos que le siguen en la lista.
Divisibilidad en polinomios
Cuando trabajamos en , estudiamos la noción de divisibilidad. Si en el algoritmo de la división obtenemos que
es el polinomio
, entonces obtenemos una noción similar para
.
Definición. Sean y
polinomios en
. Decimos que
divide a
si existe un polinomio
tal que
.
Ejemplo. El polinomio divide al polinomio
, pues
Ejemplo. Si es un polinomio no cero y constante, es decir, de la forma
para
un real, entonces divide a cualquier otro polinomio en
. En efecto, si

El último ejemplo nos dice que los polinomios constantes y no cero se comportan «como el se comporta en los enteros». También nos dice que cualquier polinomio tiene una infinidad de divisores. Eso nos pone en aprietos para definir algo así como los «polinomios primos» en términos del número de divisores. En la siguiente sección hablaremos de cómo hacer esta definición de manera adecuada.
Polinomios irreducibles
Cuando trabajamos con enteros, vimos que es muy útil poder encontrar la factorización en términos de números primos. En polinomios no tenemos «polinomios primos», pero tenemos un concepto parecido.
Definición. Un polinomio en
es irreducible en
si no es un polinomio constante, y no es posible escribirlo como producto de dos polinomios en
no constantes.
Ejemplo. El polinomio
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbb{R}[x]](https://blog.nekomath.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-19c3674c4bc6dbbdd04a81c7e2849e41_l3.png)
Los polinomios y
sí son irreducibles en
. Más adelante veremos por qué.
La razón por la cual quitamos a los polinomios constantes es parecida a la cual en no consideramos que
sea primo: ayuda a enunciar algunos teoremas más cómodamente.
Hay unos polinomios que fácilmente se puede ver que son irreducibles: los de grado .
Proposición. Los polinomios de grado en
son irreducibles.
Demostración. Si es un polinomio de grado
, entonces no es constante. Además, no se puede escribir a
como el producto de dos polinomios no constantes pues dicho producto tiene grado al menos
.
Hay otros polinomios en que no son de grado
y que son irreducibles. Por ejemplo, con la teoría que tenemos ahora te debe ser fácil mostrar de tarea moral que
es irreducible en
.
La razón por la que siempre insistimos en que la irreducibilidad sea en es por que a veces un polinomio no se puede factorizar en polinomios con coeficientes reales, pero sí con coeficientes complejos. Aunque
sea irreducible en
, si permitimos coeficientes complejos se puede factorizar como
Más adelante seguiremos hablando de irreducibilidad. Por ahora, nos enfocaremos en los polinomios de grado .
Teorema del factor
Una propiedad clave de los polinomios de grado es que es que es lo mismo que
divida a un polinomio
, a que
sea una raíz de
.
Teorema (del factor). Sea un real y
un polinomio en
. El polinomio
divide a
si y sólo si
.
Demostración. De acuerdo al algoritmo de la división, podemos escribir









Si , tenemos que




Si divide a
, entonces
, de donde
, por lo que
es raíz de
.
Ejemplo. Consideremos el polinomio . ¿Podremos encontrar algunos polinomios lineales que lo dividan? A simple vista, notamos que la suma de sus coeficientes es
. Esto nos dice que
. Por el teorema del factor, tenemos que
divide a
. Tras hacer la división, notamos que
Veamos si podemos seguir factorizando polinomios lineales que no sean . Si un polinomio
divide a
, por el teorema del factor debemos tener



Usando la fórmula general cuadrática, tenemos que las raíces de son
Usando el teorema del factor, concluimos que tanto como
dividen a
. Hasta ahora, sabemos entonces que








Teorema del residuo
En realidad, la técnica que usamos para el teorema del factor nos dice algo un poco más general. Cuando escribimos


Teorema (del residuo). Sea un real y
un polinomio en
. El residuo de dividir
entre
es
.
Problema. Encuentra el residuo de dividir el polinomio entre el polinomio
.
Solución. Se podría hacer la división polinomial, pero esto es largo y no nos piden el polinomio cociente, sólo el residuo. Así, podemos resolver este problema más fácilmente usando el teorema del residuo.
Como , el residuo de la división de
entre
es
. Este número es
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Muestra que el polinomio
no tiene inverso multiplicativo.
- Demuestra la parte de unicidad del algoritmo de la división.
- Muestra que el polinomio
es irreducible en
. Sugerencia. Procede por contradicción. Una factorización tiene que ser de la forma
con
y
de grado
.
- Factoriza en términos lineales al polinomio
. Sugerencia. Intenta enteros pequeños (digamos de
a
) para ver si son raíces. Uno de ellos funciona. Luego, usa el teorema del factor para expresar a
como un polinomio lineal por uno cuadrático. Para encontrar el resto de factores lineales, encuentra las raíces del cuadrático.
- Encuentra el residuo de dividir el polinomio
entre el polinomio
.