Álgebra Superior II: Algoritmo de la división, teorema del factor y teorema del residuo

Introducción

Tal vez te hayas dado cuenta de que ya hablamos de suma, producto y resta de polinomios, pero aún no hemos hablado de la división. Una razón es que no todos los polinomios tienen inverso multiplicativo. Sin embargo, los polinomios sí tienen un algoritmo de la división parecido al que estudiamos para el conjunto \mathbb{Z} de enteros. A partir de él podemos extender varios de los conceptos aritméticos de \mathbb{Z} a \mathbb{R}[x]: divisibilidad, máximo común divisor, factorización, etc. Luego, estos aspectos se pueden conectar a evaluación de polinomios mediante el un teorema clave: el teorema del factor.

Como recordatorio, hasta ahora, ya construimos el anillo \mathbb{R}[x] de polinomios con coeficientes reales y vimos que era un dominio entero. También, vimos que una copia de \mathbb{R} vive en \mathbb{R}[x], con lo justificamos pasar de la notación de sucesiones, a la notación usual de polinomios usando el símbolo x y sus potencias. En la entrada anterior también hablamos de del grado de un polinomio (cuando no es el polinomio cero), de la evaluación de polinomios y de raíces.

Algoritmo de la división

Recordemos que en \mathbb{Z} tenemos un algoritmo de la división que dice que para enteros a y b\neq 0 existen únicos enteros q y r tales que a=qb+r y 0\leq r < |b|.

En \mathbb{R}[x] hay un resultado similar. Pero hay que tener cuidado al generalizar. En \mathbb{R}[x] no tenemos una función valor absoluto que nos permita decir que encontramos un “residuo más chiquito”. Para la versión polinomial del algoritmo de la división tenemos que usar una función que diga “qué tan grande es un polinomio”: el grado.

Teorema (algoritmo de la división en \mathbb{R}[x]). Sean f(x) y g(x) polinomios en \mathbb{R}[x], donde g(x) no es el polinomio cero. Entonces, existen únicos polinomios q(x) y r(x) en \mathbb{R}[x] tales que

    \[f(x)=q(x)g(x)+r(x),\]

en donde r(x) es el polinomio cero, o \deg(r(x))<\deg(g(x)).

Demostración. Probaremos la parte de existencia. La parte de unicidad queda como tarea moral. Para probar la existencia, haremos inducción fuerte sobre el grado de f(x). Sin embargo, antes de poder hacer esto, necesitamos hacer el caso en el que f(x) no tiene grado, es decir, cuando es el polinomio cero.

Si f(x) es el polinomio cero, entonces g(x)=0 y r(x)=0 son polinomios que funcionan, pues 0=0\cdot 0 y r(x) es el polinomio cero.

Asumamos entonces a partir de ahora que f(x) no es el polinomio cero. Hagamos inducción sobre el grado de f(x). Si f(x) es de grado 0, entonces es un polinomio de la forma f(x)=a para a en \mathbb{R}. Hay dos casos de acuerdo al grado de g(x):

  • Si g(x) es de grado 0, es de la forma g(x)=b para un real no cero y podemos tomar q(x)=a/b y r(x)=0.
  • Si g(x) es de grado mayor a 0, entonces tomamos q(x)=0 y r(x)=f(x). Esta es una elección válida pues se cumple

        \begin{align*}\deg(r(x))&=\deg(f(x))\\& =0\\& <\deg(g(x)).\end{align*}

Esto termina la demostración de la base inductiva.

Supongamos que el resultado es cierto para cuando f(x) tiene grado menor a n y tomemos un caso en el que f(x) tiene grado n. Hagamos de nuevo casos con respecto al grado de g(x), al que llamaremos m. Si m>n, entonces tomamos q(x)=0 y r(x)=f(x), que es una elección válida pues

    \[\deg(r(x))=n<m.\]

En el caso de que m\leq n, escribamos explícitamente a f(x) y a g(x) en términos de sus coeficientes como sigue:

    \begin{align*}f(x)&=a_0+\ldots+a_nx^n\\g(x)&=b_0+\ldots+b_mx^m.\end{align*}

Consideremos el polinomio

    \[h(x):=f(x)-\frac{a_n}{b_m}x^{n-m}g(x).\]

En h(x) justo se cancela el término con x^n, así que su grado es menor al de f(x) y por lo tanto podemos usar la hipótesis inductiva para escribir

    \[h(x)=t(x)g(x)+u(x)\]

con u(x) el polinomio 0 o \deg(u(x))<\deg(g(x)). De esta forma,

    \begin{align*}f(x)&=t(x)g(x)+u(x)+\frac{a_n}{b_m}x^{n-m}g(x)\\&=\left(t(x)+\frac{a_n}{b_m}x^{n-m}\right)g(x)+u(x).\end{align*}

Así, eligiendo q(x)=t(x)+\frac{a_n}{b_m}x^{n-m} y r(x)=u(x), terminamos la hipótesis inductiva.

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Aplicando el algoritmo de la división de forma práctica

Veamos ahora un ejemplo de cómo se puede aplicar este teorema anterior de forma práctica. A grandes rasgos, lo que podemos hacer es “ir acumulando” en q(x) a los términos \frac{a_n}{b_m}x^{n-m} que van apareciendo en la inducción, y cuando h(x) se vuelve de grado menor a q(x), lo usamos como residuo. Hagamos un ejemplo concreto.

Ejemplo. Tomemos f(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+2x+3 y g(x)=x^2+x+1. Vamos a aplicar iteradamente las ideas de la demostración del teorema anterior para encontrar los polinomios q(x) y r(x) tales que

    \[f(x)=q(x)g(x)+r(x),\]

con r(x) el polinomio 0 o de grado menor a g(x).

Como el grado de f(x) es 5, el de g(x) es 2 y 5>2, lo primero que hacemos es restar x^{5-2}g(x)=x^3g(x) a f(x) y obtenemos:

    \[h_1(x)=f(x)-x^3g(x)=x^2+2x+3.\]

Hasta ahora, sabemos que q(x)=x^3+\ldots, donde en los puntos suspensivos va el cociente que le toca a h_1(x)=x^2+2x+3. Como el grado de h_1(x) es 2, el de g(x) es 2 y 2\geq 2, restamos x^{2-2}g(x)=1\cdot g(x) a h_1(x) y obtenemos.

    \[h_2(x)=h_1(x)-g(x)=x+2.\]

Hasta ahora, sabemos que q(x)=x^3+1+\ldots, donde en los puntos suspensivos va el cociente que le toca a h_2(x)=x+2. Como el grado de h_2(x) es 1, el de g(x) es 2 y 2>1, entonces el cociente es 0 y el residuo es h_2(x)=x+2.

De esta forma, concluimos que

    \[q(x)=x^3+1\]

y

    \[r(x)=x+2.\]

En conclusión,

    \begin{align*}x^5+ & x^4+x^3+x^2+2x+3\\&= (x^3+1)(x^2+x+1) + x+2.\end{align*}

Esto se puede verificar fácilmente haciendo la operación polinomial.

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Hay una forma más visual de hacer divisiones de polinomios “haciendo una casita”. Puedes ver cómo se hace esto en el siguiente video en Khan Academy, y los videos que le siguen en la lista.

Divisibilidad en polinomios

Cuando trabajamos en \mathbb{Z}, estudiamos la noción de divisibilidad. Si en el algoritmo de la división obtenemos que r(x) es el polinomio 0, entonces obtenemos una noción similar para \mathbb{R}[x].

Definición. Sean f(x) y g(x) polinomios en \mathbb{R}[x]. Decimos que g(x) divide a f(x) si existe un polinomio q(x) tal que f(x)=q(x)g(x).

Ejemplo. El polinomio x^3-1 divide al polinomio x^4+x^3-x-1, pues

    \[x^4+x^3-x-1 = (x^3-1)(x+1).\]

\square

Ejemplo. Si g(x) es un polinomio no cero y constante, es decir, de la forma g(x)=a para a\neq 0 un real, entonces divide a cualquier otro polinomio en \mathbb{R}[x]. En efecto, si

    \[f(x)=a_0+a_1x+\ldots + a_nx^n\]

es cualquier polinomio y tomamos el polinomio

    \[q(x)=\frac{a_0}{a}+\frac{a_1}{a}x+\ldots + \frac{a_n}{a}x^n,\]

entonces f(x)=g(x)q(x).

\square

El último ejemplo nos dice que los polinomios constantes y no cero se comportan “como el 1 se comporta en los enteros”. También nos dice que cualquier polinomio tiene una infinidad de divisores. Eso nos pone en aprietos para definir algo así como los “polinomios primos” en términos del número de divisores. En la siguiente sección hablaremos de cómo hacer esta definición de manera adecuada.

Polinomios irreducibles

Cuando trabajamos con enteros, vimos que es muy útil poder encontrar la factorización en términos de números primos. En polinomios no tenemos “polinomios primos”, pero tenemos un concepto parecido.

Definición. Un polinomio p(x) en \mathbb{R}[x] es irreducible en \mathbb{R}[x] si no es un polinomio constante, y no es posible escribirlo como producto de dos polinomios en \mathbb{R}[x] no constantes.

Ejemplo. El polinomio

    \[x^4+x^2+1\]

no es irreducible en \mathbb{R}[x] pues

    \[x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1).\]

Los polinomios x^2+x+1 y x^2-x+1 sí son irreducibles en \mathbb{R}[x]. Más adelante veremos por qué.

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La razón por la cual quitamos a los polinomios constantes es parecida a la cual en \mathbb{Z} no consideramos que 1 sea primo: ayuda a enunciar algunos teoremas más cómodamente.

Hay unos polinomios que fácilmente se puede ver que son irreducibles: los de grado 1.

Proposición. Los polinomios de grado 1 en \mathbb{R}[x] son irreducibles.

Demostración. Si f(x) es un polinomio de grado 1, entonces no es constante. Además, no se puede escribir a f(x) como el producto de dos polinomios no constantes pues dicho producto tiene grado al menos 2.

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Hay otros polinomios en \mathbb{R}[x] que no son de grado 1 y que son irreducibles. Por ejemplo, con la teoría que tenemos ahora te debe ser fácil mostrar de tarea moral que x^2+1 es irreducible en \mathbb{R}[x].

La razón por la que siempre insistimos en que la irreducibilidad sea en \mathbb{R}[x] es por que a veces un polinomio no se puede factorizar en polinomios con coeficientes reales, pero sí con coeficientes complejos. Aunque x^2+1 sea irreducible en \mathbb{R}[x], si permitimos coeficientes complejos se puede factorizar como

    \[x^2+1=(x+i)(x-i).\]

Más adelante seguiremos hablando de irreducibilidad. Por ahora, nos enfocaremos en los polinomios de grado 1.

Teorema del factor

Una propiedad clave de los polinomios de grado 1 es que es que es lo mismo que x-a divida a un polinomio p(x), a que a sea una raíz de p(x).

Teorema (del factor). Sea a un real y p(x) un polinomio en \mathbb{R}[x]. El polinomio x-a divide a p(x) si y sólo si p(a)=0.

Demostración. De acuerdo al algoritmo de la división, podemos escribir

    \[p(x)=(x-a)q(x)+r(x),\]

en donde r(x) es 0 o un polinomio de grado menor estricto al de x-a. Como el grado de x-a es 1, la única posibilidad es que r(x) sea un polinomio constante r(x)=r. Así, p(x)=(x-a)q(x)+r, con r un real.

Si p(a)=0, tenemos que

    \[0=p(a)=(a-a)q(a)+r=r,\]

de donde r=0 y entonces p(x)=(x-a)q(x), lo que muestra que x-a divide a p(x).

Si x-a divide a p(x), entonces p(x)=(x-a)q(x), de donde p(a)=(a-a)q(a)=0, por lo que a es raíz de p(x).

\square

Ejemplo. Consideremos el polinomio p(x)=x^3-6x^2+11x-6. ¿Podremos encontrar algunos polinomios lineales que lo dividan? A simple vista, notamos que la suma de sus coeficientes es 1-6+11-6=0. Esto nos dice que p(1)=0. Por el teorema del factor, tenemos que x-1 divide a p(x). Tras hacer la división, notamos que

    \[p(x)=(x-1)(x^2-5x+6).\]

Veamos si podemos seguir factorizando polinomios lineales que no sean x-1. Si un polinomio x-a divide a p(x), por el teorema del factor debemos tener

    \[0=p(a)=(a-1)(a^2-5a+6).\]

Como a\neq 1, entonces a-1\neq 0, de modo que tiene que pasar

    \[a^2-5a+6=0,\]

en otras palabras, hay que encontrar las raíces de x^2-5x+6.

Usando la fórmula general cuadrática, tenemos que las raíces de x^2-5x+6 son

    \begin{align*}x_1&=\frac{5+\sqrt{25-24}}{2}=3\\x_2&=\frac{5-\sqrt{25-24}}{2}=2.\end{align*}

Usando el teorema del factor, concluimos que tanto x-2 como x-3 dividen a p(x). Hasta ahora, sabemos entonces que

    \[p(x)=(x-1)(x-2)(x-3)h(x),\]

donde h(x) es otro polinomio. Pero (x-1)(x-2)(x-3) ya es un polinomio de grado 3, como p(x) y su coeficiente de x^3 es 1, como el de p(x). Concluimos que h(x)=1 y entonces

    \[p(x)=(x-1)(x-2)(x-3).\]

\square

Teorema del residuo

En realidad, la técnica que usamos para el teorema del factor nos dice algo un poco más general. Cuando escribimos

    \[p(x)=(x-a)q(x)+r\]

y evaluamos en a, obtenemos que p(a)=r. Reescribimos esta observación como un teorema.

Teorema (del residuo). Sea a un real y p(x) un polinomio en \mathbb{R}[x]. El residuo de dividir p(x) entre x-a es p(a).

Problema. Encuentra el residuo de dividir el polinomio p(x)=x^8-x^5+2x^3+2x entre el polinomio x+1.

Solución. Se podría hacer la división polinomial, pero esto es largo y no nos piden el polinomio cociente, sólo el residuo. Así, podemos resolver este problema más fácilmente usando el teorema del residuo.

Como x+1=x-(-1), el residuo de la división de p(x) entre x+1 es p(-1). Este número es

    \begin{align*}p(-1)&=(-1)^8-(-1)^5+2(-1)^3+2(-1)\\&=1+1-2-2\\&=-2.\end{align*}

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Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Muestra que el polinomio x no tiene inverso multiplicativo.
  • Demuestra la parte de unicidad del algoritmo de la división.
  • Muestra que el polinomio x^2+1 es irreducible en \mathbb{R}[x]. Sugerencia. Procede por contradicción. Una factorización tiene que ser de la forma x^2+1=p(x)q(x) con p y q de grado 1.
  • Factoriza en términos lineales al polinomio p(x)=x^3-12x^2+44x-48. Sugerencia. Intenta enteros pequeños (digamos de -3 a 3) para ver si son raíces. Uno de ellos funciona. Luego, usa el teorema del factor para expresar a p(x) como un polinomio lineal por uno cuadrático. Para encontrar el resto de factores lineales, encuentra las raíces del cuadrático.
  • Encuentra el residuo de dividir el polinomio x^5-x^4+x^3-x^2+x-1 entre el polinomio x-2.

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