Introducción
Los números enteros tiene un teorema de factorización en primos: el teorema fundamental de la aritmética. Los polinomios en también. En esta entrada hablaremos de la irreducibilidad y factorización en polinomios reales. Lo primero lo haremos para decir «quiénes son los primos» en
. Para lo segundo usaremos el teorema del factor, que demostramos con anterioridad.
Resulta que el teorema de factorización en polinomios reales depende de un resultado importante de polinomios en , es decir, los de coeficientes complejos. Esto es algo que sucede con frecuencia: a veces para resolver un problema en los números reales, hay que dar un paso hacia los complejos y luego regresar. Por esa razón para esta entrada es importante que tengas en mente varias propiedades en los complejos, sobre todo cómo se hacen las operaciones y las propiedades de la conjugación compleja. Esto nos dará la oportunidad de enunciar (sin demostración) el teorema fundamental del álgebra.
Como recordatorio, un polinomio es irreducible en si no es un polinomio constante y no se puede escribir como producto de dos polinomios no constantes en
. Además, el teorema del factor nos dice que si
es raíz de un polinomio
, entonces
divide a
. Diremos que un polinomio es lineal si es de grado
y cuadrático si es de grado
.
El teorema fundamental del álgebra
Así como construimos a , se puede hacer algo análogo para construir a
, los polinomios de coeficientes complejos. Puedes practicar todo lo que hemos visto haciendo la construcción formal. Por el momento, para fines prácticos, puedes pensarlos como expresiones de la forma

Los polinomios en cumplen todo lo que hemos dicho de
: se vale el lema de Bézout, el algoritmo de Euclides, el teorema del factor, el teorema del residuo, etc. Una copia de
, con su estructura algebraica, «vive» dentro de
, es decir, todo polinomio con coeficientes reales se puede pensar como uno con coeficientes complejos.
Sin embargo, los polinomios en y en
son muy diferentes en términos de raíces. Esto se nota desde que el polinomio
no tiene raíces en
, pero sí en
, donde la raíz es
. Resulta que esta
hace toda la diferencia. Al agregarla no solamente hacemos que
tenga una raíz, sino que ya todo polinomio tiene raíz. Esto está enunciado formalmente por el teorema fundamental del álgebra.
Teorema (teorema fundamental del álgebra). Todo polinomio no constante en tiene al menos una raíz en
.
No vamos a demostrar este teorema durante el curso. Hay desde demostraciones elementales (como la que aparece en el bello libro Proofs from the book), hasta algunas muy cortas, pero que usan teoría un poco más avanzada (como las que se hacen en cursos de análisis complejo). Sin embargo, lo usaremos aquí para obtener algunas de sus consecuencias y, al final de esta entrada, demostrar los teoremas de irreducibilidad y factorización en polinomios reales.
Teorema de factorización en ![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbb{C}[x]](https://blog.nekomath.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2c5a3c0b17dca11ddd064233333579f1_l3.png)
En la entrada anterior ya demostramos que los polinomios lineales son irreducibles. Veremos ahora que en no hay ningún otro.
Proposición. Los únicos polinomios irreducibles en son los de grado
.
Demostración. Tomemos cualquier polinomio en
de grado al menos
. Por el teorema fundamental del álgebra,
tiene al menos una raíz
en
. Por el teorema del factor,


![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbb{C}[x]](https://blog.nekomath.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2c5a3c0b17dca11ddd064233333579f1_l3.png)

De esta forma, pudimos factorizar al polinomio en dos factores no constantes, y por lo tanto no es irreducible.
Con esto podemos mostrar que en todo polinomio es factorizable como producto de términos lineales.
Teorema (de factorización única en ). Todo polinomio
en
distinto del polinomio cero se puede factorizar de manera única como





Demostración. Mostraremos la existencia de la factorización. La parte de la unicidad es sencilla, y su demostración queda como tarea moral. Procedemos por inducción en el grado de . Si
es de grado cero, entonces es de la forma
con
un complejo, y ya está en la forma que queremos.
Tomemos ahora un entero . Supongamos que el resultado es cierto para los polinomios de grado
y consideremos un polinomio
de grado
. Por el teorema fundamental del álgebra,
tiene al menos una raíz, digamos
. Usando el teorema del factor, existe un polinomio
, que debe de ser de grado
, tal que




Ejemplo. Consideremos al polinomio
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Afortunadamente, podemos encontrarla por inspección. Una de estas raíces es , pues





El polinomio claramente tiene como raíces a
y
. A partir de todo esto concluimos que

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En el ejemplo anterior podemos agrupar los factores y
para obtener el polinomio
. De aquí obtenemos la factorización alternativa
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![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbb{R}[x]](https://blog.nekomath.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-19c3674c4bc6dbbdd04a81c7e2849e41_l3.png)
Raíces complejas de polinomios en ![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbb{R}[x]](https://blog.nekomath.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-19c3674c4bc6dbbdd04a81c7e2849e41_l3.png)
En el ejemplo de la sección anterior sucedió que era una raíz de
, y que
también. Cuando tenemos un polinomio de coeficientes reales y
es un complejo que es raíz, entonces su conjugado también.
Proposición. Tomemos un polinomio en
y
un número en
. Si
, entonces
.
Demostración. Si es el polinomio cero, la afirmación es cierta. En otro caso, sea
el grado de
y escribamos a
como




Como , concluimos que
El resultado anterior no es cierto en general para polinomios con coeficientes en . Esto debe ser muy claro pues, por ejemplo,
es raíz de
, pero
no.
Proposición. Tomemos un polinomio en
y una raíz
de
en
. Entonces el polinomio
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Demostración. Observa que . Recordemos que
Esto muestra que los coeficientes de son reales. Usemos el algoritmo de la división en
para escribir


Evaluando en y en
, se obtiene que
. Como
no es real, entonces
y
son distintos. De este modo,
es el polinomio cero. Así,
es una factorización de
en
que usa a
.
Nuevamente, hay que tener cuidado con las hipótesis del resultado anterior. Es muy importante que usemos que es una raíz compleja y no real de un polinomio con coeficientes reales. En la tarea moral puedes encontrar un contraejemplo si no se satisfacen las hipótesis.
Ejemplo. Consideremos el polinomio


es un polinomio de coeficientes reales. Además, divide a en
pues haciendo la división polinomial, tenemos que
Irreducibilidad y factorización en polinomios reales
Con todo lo que hemos hecho hasta ahora, estamos listos para probar los resultados que queremos en . Observa que los enunciados de las secciones anteriores involucran a
, pero los de esta sección ya no. Sin embargo, para hacer las demostraciones tenemos que dar un «brinco momentáneo a los complejos».
Recuerda que para un polinomio cuadrático su discriminante es
.
Teorema (irreducibilidad en polinomios reales). Los únicos polinomios irreducibles en son los lineales y los cuadráticos de discriminante negativo.
Demostración. Ya mostramos antes que los polinomios lineales son irreducibles. Si es un polinomio cuadrático y
es una raíz real, tenemos que
De esta igualdad, obtenemos que y por lo tanto que
. Dicho de otra forma, si
, entonces
no tiene raíces reales. De esta misma equivalencia de igualdades se puede ver que si
, entonces
sí tiene por lo menos una raíz real.
Supongamos que es un polinomio cuadrático con discriminante negativo. Si existiera una factorización en
de la forma
, con ninguno de ellos constante, entonces ambos deben tener grado
. Podemos suponer que
es mónico. Pero entonces
para
un real, y por el teorema del factor tendríamos que
sería raíz de
, una contradicción a la discusión anterior. Esto muestra que
es irreducible.
Falta ver que no hay ningún otro polinomio irreducible en . Cuando
es cuadrático de discriminante no negativo, entonces por la fórmula cuadrática tiene al menos una raíz real
y por lo tanto
divide a
, mostrando que no es irreducible.
Si es de grado mayor o igual a
y tiene una raíz real
, sucede lo mismo. En otro caso, es de grado mayor o igual a
y no tiene raíces reales. Pero de cualquier forma tiene al menos una raíz compleja
. Usando la proposición de la sección anterior, tenemos que
es un polinomio de coeficientes reales que divide a
en
, lo cual muestra que no es irreducible.
Concluimos entonces que los únicos polinomios irreducibles en son los lineales y los cuadráticos de discriminante negativo.
Ahora sí podemos enunciar el resultado estelar de esta entrada.
Teorema (factorización en polinomios reales). Todo polinomio en
distinto del polinomio cero se puede factorizar de manera única como
es un real distinto de cero,
y
son enteros tales que
es igual al grado de
,
- para cada
en
se tiene que
es raíz real de
y
- para cada
en
se tiene que
son reales tales que
.
Demostración. Mostraremos la existencia de la factorización. La parte de la unicidad es sencilla, y su demostración queda como tarea moral. Si es irreducible, entonces al factorizar su coeficiente principal
obtenemos la factorización deseada. Si
no es irreducible, procedemos por inducción fuerte sobre el grado
de
. El menor grado que debe tener es
para no ser irreducible.
Si y es no irreducible, el resultado es cierto pues se puede factorizar como dos factores lineales y luego factorizar al término
los coeficientes principales de cada factor para que queden mónicos.
Sea y supongamos el resultado cierto para todo polinomio de grado menor a
. Tomemos un polinomio
de grado
. Por el teorema de irreducibilidad de polinomios reales,
no es irreducible, así que se puede factorizar como
con
y
no constantes, y por lo tanto de grado menor al de
. Por hipótesis inductiva, tienen una factorización como la del teorema. La factorización de
se obtiene multiplicando ambas. Esto termina la inducción.
Veamos cómo podemos usar todas estas ideas en un problema en concreto de factorización en polinomios reales.
Problema. Factoriza al polinomio en polinomios irreducibles en
.
Solución. Usando identidades de factorización, podemos avanzar bastante:
Hasta aquí, y
son factores lineales. Además,
,
y
son factores cuadráticos irreducibles pues sus discriminantes son, respectivamente,
.
Aún queda un factor que por ser de grado
no es irreducible. Sumando y restando
, y luego factorizando la diferencia de cuadrados, tenemos:
Cada uno de estos factores cuadráticos tiene discriminante , y por lo tanto es irreducible. Concluimos entonces que la factorización en irreducibles de
en
es
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Haz la construcción formal de
a partir de sucesiones de complejos. Muestra que se pueden expresar en la notación de
y sus potencias. Prueba los teoremas que hemos visto hasta ahora. Todo debe ser análogo y te servirá mucho para repasar los conceptos vistos hasta ahora.
- Muestra la unicidad de la factorización en
y en
.
- Sea
un complejo no real. Muestra que que
y
son polinomios primos relativos en
.
- Hay que tener cuidado en las hipótesis de los teoremas de esta entrada. Muestra que
es una raíz del polinomio
, pero que
no divide a este polinomio.
- Argumenta por qué en el teorema de factorización en polinomios reales sucede que
es el grado de
.