Inmersión de reales en polinomios, grado y evaluación

Introducción

En esta entrada comenzaremos mostrando que podemos usar “la notación de siempre” para los polinomios, usando un símbolo $x$ y potencias. Después de eso, hablaremos del grado de un polinomio y de cómo se comporta con las operaciones que hemos definido. Finalmente, haremos una distinción importante entre los polinomios, y las funciones que inducen.

Como recordatorio, en la entrada anterior definimos a los polinomios y sus operaciones de suma y multiplicación. Para ello, construimos a los polinomios como sucesiones en las que casi todos los términos son $0$ . Vimos que bajo estas operaciones se obtiene un dominio entero, es decir, un anillo conmutativo con unidad multiplicativa en donde se vale la regla de cancelación.

Regresando a la notación con $x$ y potencias

Ya dimos cimientos sólidos para construir al anillo de polinomios con coeficientes reales y sus operaciones. Es momento de regresar a la “notación usual” usando $x$ y sus potencias, pues será más práctica en lo que viene.

Para empezar, notemos que a cada real $r$ podemos asociarle el polinomio $(r,\overline{0})$ . Esta es una asociación en la que las operaciones de suma y producto de $\mathbb{R}$ se corresponden con con las de $\mathbb{R}[x]$ .

Observa además que tras esta asociación, el real $0$ es el polinomio $(\overline{0})$ y el real $1$ es el polinomio $(1,\overline{0})$ , así que la asociación respeta los neutros de las operaciones. De manera similar se puede mostrar que la asociación respeta inversos aditivos y multiplicativos.

Por esta razón, para un real $r$ podemos simplemente usar el símbolo $r$ para el polinomio $(r,\overline{0})$ , y todas las operaciones siguen siendo válidas. Para expresar a cualquier otro polinomio, nos bastará con introducir un símbolo más, y potencias.

Definición. Definimos $x$ como el polinomio $\{0,1,\overline{0}\}$ . Para cada natural $n$ definimos $x^n$ como el polinomio $\{a_n\}$ tal que $a_j=1$ si $j=n$ y $a_j=0$ para $j\neq n$ .

Ejemplo. La definición de arriba implica $x^0=1$ y $x^1=x$ . El polinomio $x^3$ es el polinomio

$(0,0,0,1,\overline{0}).$

$\square$

Ejemplo. Hagamos la multiplicación de los polinomios $x^2$ y $x^3$ . Estos son, por definición, $(0,0,1,\overline{0})$ y $(0,0,0,1,\overline{0})$ . Hagamos esta multiplicación con el método de la tabla:

	$0$	$0$	$1$
$0$	$0$	$0$	$0$
$0$	$0$	$0$	$0$
$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$0$	$1$

Multiplicación de $x^2$ y $x^3$ .

El producto es el polinomio $(0,0,0,0,0,1,\overline{0})$ , que por definición es el polinomio $x^5$ .

$\square$

En general, para $m$ y $n$ enteros no negativos se tiene que $x^mx^n = x^{m+n}$ , como puedes verificar de tarea moral.

Ya que tenemos al símbolo $x$ y sus potencias, necesitaremos también agregar coeficientes para poder construir cualquier polinomio.

Definición. Dados un polinomio $a:=\{a_n\}$ y un real $r$ , definimos al polinomio $ra$ como la sucesión

$ra:=\{ra_n\},$

es decir, aquella obtenida de multiplicar cada elemento de $a$ por $r$ .

Ejemplo. Si tomamos al polinomio

$a=\left(0,\frac{1}{2},0,\frac{1}{3},\overline{0}\right)$

y al real $r=6$ , tenemos que

$6a=\left(0,3,0,2,\overline{0}\right).$

Observa que $3x$ es el polinomio $(0,3,\overline{0})$ , que $2x^3$ es el polinomio $(0,0,0,2,\overline{0})$ y que la suma de los dos es precisamente el polinomio $6a$ , de modo que podemos escribir

$6a=3x+2x^3.$

Si tomamos cualquier polinomio $a$ y al real $0$ , tenemos que

$0a=\{0,0,0,0,\ldots\}=(\overline{0}),$

es decir, $0a$ es el polinomio cero.

$\square$

La siguiente proposición es sencilla y su demostración queda como tarea moral.

Proposición. Para cualquier polinomio $a=\{a_n\}$ en $\mathbb{R}[x]$ , los reales $a_0,a_1,\ldots$ son los únicos reales tales que

$a=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\ldots.$

Todo lo que hemos discutido en esta sección permite que ahora sí identifiquemos formalmente al polinomio

$(a_0, a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, \ldots),$

con la expresión

$a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5+\ldots$

y que realicemos las operaciones en $\mathbb{R}[x]$ “como siempre”, es decir, sumando coeficientes de términos iguales y multiplicando mediante la distribución y reagrupamiento. Así, a partir de ahora ya no usaremos la notación de sucesiones y simplemente escribiremos a los polinomios con la notación de $x$ y sus potencias. También, favoreceremos llamarles a los polinomios $p(x),q(x),r(x),\ldots$ en vez de $a,b,c,\ldots$ .

Ejercicio. Realiza la operación $6(\frac{1}{2}+x)(1+3x^2)$ .

Solución. Por asociatividad, podemos hacer primero la primer multiplicación, que da $3+6x$ . Luego, multiplicamos este polinomio por el tercer término. Podemos usar las propiedades de anillo para distribuir y agrupar, o bien, podemos seguir usando el método de la tabla.

Cuando hacemos lo primero, queda

$\begin{align*}(3+6x)(1+3x^2)&=3+9x^2+6x+18x^3\\&=3+6x+9x^2+18x^3.\end{align*}$

Si hacemos lo segundo, tendríamos que hacer la siguiente tabla (¡cuidado con dejar el cero correspondiente al término $x$ del segundo factor!)

	$3$	$6$
$1$	$3$	$6$
$0$	$0$	$0$
$3$	$9$	$18$

Multiplicación de dos polinomios

Leyendo por diagonales, el resultado es

$3+6x+9x^2+18x^3,$

tal y como calculamos con el primer método.

$\square$

Grado de polinomios

Vamos a definir “grado” para todo polinomio que no sea el polinomio $0$ . Es muy importante recordar que el polinomio $0$ no tiene grado.

Definición. Un polinomio $p(x)$ en $\mathbb{R}[x]$ es de grado $n$ si es de la forma

$p(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n,$

para reales $a_0,\ldots,a_n$ y $a_n\neq 0$ . Al grado de $p(x)$ lo denotamos por $\deg(p(x))$ .

Por la discusión de la sección anterior, el grado está bien definido. En términos de la sucesión correspondiente al polinomio, su grado es el mayor entero que sea subíndice de una entrada no cero.

Ejemplo. El grado del polinomio $p(x)=3$ es $0$ . De hecho, todo polinomio que viene de un real tiene grado $0$ . Excepto el polinomio $0$ .

El grado del polinomio $q(x)=1+2x^3+3x^7$ es $7$ .

Sin embargo, el polinomio $r(x)=0$ no tiene grado, pues es el polinomio $0$ .

Notemos que el polinomio $s(x)=2+4x$ se escribe como $(2,4,\overline{0})$ en notación de sucesión. La entrada $0$ es $2$ , la entrada $1$ es $4$ y el resto de las entradas son $0$ . El grado de $s(x)$ es $1$ , que es precisamente la posición de la última entrada distinta de $0$ en su notación de sucesión.

$\square$

El siguiente resultado habla de cómo interactúa el grado con operaciones de polinomios.

Proposición. Si $p(x)$ y $q(x)$ son polinomios en $\mathbb{R}[x]$ distintos de cero, entonces:

El grado del producto cumple
$\deg(p(x)q(x)) = \deg(p(x))+\deg(q(x)).$
El grado de la suma cumple
$\deg(p(x)+q(x))\leq \max(\deg(p(x)),\deg(q(x))).$
Si $\deg(p(x))>\deg(q(x))$ , entonces
$\deg(p(x)+q(x))=\deg(p(x)).$

Demostración. Supongamos que los grados de $p(x)$ y $q(x)$ son, respectivamente, $m$ y $n$ , y que $p(x)$ y $q(x)$ son

$\begin{align*}p(x)&=a_0+a_1x+\ldots+a_mx^m\\q(x)&=b_1+b_1x+\ldots+b_nx^n.\end{align*}$

La demostración de la primera parte ya la hicimos en la entrada anterior. En la notación que estamos usando ahora, vimos que el coeficiente de $x^{m+n}$ en $p(x)q(x)$ es justo $a_mb_n\neq 0$ , y que este es el término de mayor exponente.

Para la segunda y tercera partes, podemos asumir que $m\geq n$ . Tenemos que $p(x)+q(x)$ es

$\left(\sum_{i=0}^n (a_i+b_i)x^i\right) + a_{n+1}x^{n+1}+\ldots+a_mx^m.$

De aquí, se ve que el máximo exponente que podría aparecer es $m$ , lo cual prueba la segunda parte.

Para la tercer parte, cuando $m>n$ tenemos que el coeficiente de $x^m$ es $a_m\neq 0$ , y que es el término con mayor exponente. Así, el grado de la suma es $m$ .

$\square$

La hipótesis adicional del tercer punto es necesaria, pues en la suma de dos polinomios del mismo grado, es posible que “se cancele” el término de mayor grado.

Ejemplo. El producto de los polinomios $1+x+x^2+x^3$ y $1-x$ es $1-x^4$ . Esto concuerda con lo que esperábamos de sus grados. El primero tiene grado $3$ , el segundo grado $1$ y su producto grado $4=3+1$ .

La suma de los polinomios $1+\pi x^3 + \pi^2 x^5$ y $1-\pi x^3$ es $2+\pi^2x^5$ , que es un polinomio de grado $5$ , como esperaríamos por la tercer parte de la proposición.

La suma de los polinomios $4x^5+6x^7$ y $6x^5+4x^7$ es $10x^5+10x^7$ . Es de grado $7$ , como esperaríamos por la segunda parte de la proposición.

Sin embargo, en la suma de polinomios el grado puede disminuir. Por ejemplo, los polinomios $1+x^3-x^7$ y $1+x^2+x^7$ tienen grado $7$ , pero su suma es el polinomio $2+x^2+x^3$ , que tiene grado $3$ .

$\square$

Evaluación de polinomios e introducción a raíces

Es importante entender que hay una diferencia entre un polinomio, y la función que induce. Por la manera en que definimos a los polinomios, “en el fondo” son sucesiones, incluso con la nueva notación de $x$ y potencias. Sin embargo, cualquier polinomio define una función.

Definición. Si tenemos un polinomio

$p(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n$

en $\mathbb{R}$ , éste define una función aplicar $p$ que es una función $f_p:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por

$f_p(r)=a_0+a_1r+a_2r^2+\ldots+a_nr^n$

para todo $r\in \mathbb{R}$ .

Ejemplo. El polinomio $p(x)=3x^2+4x^3$ induce a la función $f_p:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que $f_p(r)=3r^2+4r^3$ . Tenemos, por ejemplo, que

$f_p(1)=3\cdot 1^2 + 4\cdot 1^3 = 7$

y que

$f_p(2)=3\cdot 2^2 + 4\cdot 2^3=44.$

$\square$

Como las reglas de los exponentes y la multiplicación por reales funciona igual en $\mathbb{R}$ que en $\mathbb{R}[x]$ , la evaluación en un real $r$ obtiene exactamente lo mismo a que si simplemente reemplazamos $x$ por $r$ y hacemos las operaciones. Por ello, usualmente no distinguimos entre $p(x)$ y $f_p$ , su función evaluación, y para un real $r$ usamos simplemente $p(r)$ para referirnos a $f_p(r)$ .

De manera totalmente análoga, podemos pensar a $p(x)$ como una función $p:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ . También, como comentamos al inicio, podemos definir a los polinomios con coeficientes complejos, es decir a $\mathbb{C}[x]$ , y pensarlos como funciones.

Es momento de introducir una definición clave para lo que resta del curso.

Definición. Sea $p(x)$ un polinomio en $\mathbb{R}[x]$ o $\mathbb{C}[x]$ y sea $r$ un real o complejo. Decimos que $r$ es una raíz de $p(x)$ si $p(r)=0$ .

Ejemplo. El polinomio $p(x)=3$ no tiene raíces, pues para cualquier real o complejo $r$ se tiene $p(r)=3\neq 0$ . Por otro lado, cualquier real o complejo es raíz del polinomio $z(x)=0$ .

El polinomio $q(x)=x^2+1$ no tiene raíces en $\mathbb{R}$ pues $q(r)\geq 1$ para cualquier real $r$ . Pero sí tiene raíces en $\mathbb{C}$ , pues

$q(i)=i^2+1=-1+1=0.$

El polinomio $s(x)=x(x-1)(x-1)=x^3-2x^2+x$ tiene como únicas raíces a $0$ y $1$ , lo cual se puede verificar fácilmente antes de hacer la multiplicación. Esto debería darnos la intuición de que conocer a las raíces de un polinomio nos permite factorizarlo y viceversa. Esta intuición es correcta y la formalizaremos más adelante.

$\square$

Cuando hablamos de los números complejos, vimos cómo obtener las raíces de los polinomios de grado $2$ , y de los polinomios de la forma $x^n-a$ en $\mathbb{C}$ . La mayor parte de lo que haremos de aquí en adelante en el curso será entender a las raíces reales y complejas de más tipos de polinomios.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

Pasa el polinomio $(0,0,0,0,4,0,3,\overline{0})$ a notación con $x$ y potencias. Luego, pasa el polinomio $1-x^3+x^6-x^9$ a notación de sucesión. Suma ambos polinomios y exprésalos en notación con $x$ . Multiplícalos usando distribución y agrupamiento. Multiplícalos usando una tabla.
Prueba usando la definición de multiplicación y de $x^n$ que para $m$ y $n$ enteros no negativos se tiene que $x^{m+n}= x^m x^n$ .
Toma $P_1(x),\ldots,P_m(x)$ polinomios en $\mathbb{R}[x]$ de grado $n_1,\ldots,n_m$ respectivamente. ¿Cuál es el grado de $P_1(x)+\ldots+P_m(x)$ ? ¿Y el grado de $P_1(x)\cdot \ldots \cdot P_m(x)$ ?
Usando distribución y agrupamiento, muestra que para cada entero positivo $n$ se cumple que
$(1-x)(1+x+x^2+\ldots+x^{n-1})=1-x^n.$