Introducción
En esta entrada comenzaremos mostrando que podemos usar «la notación de siempre» para los polinomios, usando un símbolo y potencias. Después de eso, hablaremos del grado de un polinomio y de cómo se comporta con las operaciones que hemos definido. Finalmente, haremos una distinción importante entre los polinomios, y las funciones que inducen.
Como recordatorio, en la entrada anterior definimos a los polinomios y sus operaciones de suma y multiplicación. Para ello, construimos a los polinomios como sucesiones en las que casi todos los términos son . Vimos que bajo estas operaciones se obtiene un dominio entero, es decir, un anillo conmutativo con unidad multiplicativa en donde se vale la regla de cancelación.
Regresando a la notación con
y potencias
Ya dimos cimientos sólidos para construir al anillo de polinomios con coeficientes reales y sus operaciones. Es momento de regresar a la «notación usual» usando y sus potencias, pues será más práctica en lo que viene.
Para empezar, notemos que a cada real podemos asociarle el polinomio
. Esta es una asociación en la que las operaciones de suma y producto de
se corresponden con con las de
.
Observa además que tras esta asociación, el real es el polinomio
y el real
es el polinomio
, así que la asociación respeta los neutros de las operaciones. De manera similar se puede mostrar que la asociación respeta inversos aditivos y multiplicativos.
Por esta razón, para un real podemos simplemente usar el símbolo
para el polinomio
, y todas las operaciones siguen siendo válidas. Para expresar a cualquier otro polinomio, nos bastará con introducir un símbolo más, y potencias.
Definición. Definimos como el polinomio
. Para cada natural
definimos
como el polinomio
tal que
si
y
para
.
Ejemplo. La definición de arriba implica y
. El polinomio
es el polinomio
Ejemplo. Hagamos la multiplicación de los polinomios y
. Estos son, por definición,
y
. Hagamos esta multiplicación con el método de la tabla:
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El producto es el polinomio , que por definición es el polinomio
.
En general, para y
enteros no negativos se tiene que
, como puedes verificar de tarea moral.
Ya que tenemos al símbolo y sus potencias, necesitaremos también agregar coeficientes para poder construir cualquier polinomio.
Definición. Dados un polinomio y un real
, definimos al polinomio
como la sucesión


Ejemplo. Si tomamos al polinomio

Observa que es el polinomio
, que
es el polinomio
y que la suma de los dos es precisamente el polinomio
, de modo que podemos escribir
Si tomamos cualquier polinomio y al real
, tenemos que

La siguiente proposición es sencilla y su demostración queda como tarea moral.
Proposición. Para cualquier polinomio en
, los reales
son los únicos reales tales que
Todo lo que hemos discutido en esta sección permite que ahora sí identifiquemos formalmente al polinomio
y que realicemos las operaciones en «como siempre», es decir, sumando coeficientes de términos iguales y multiplicando mediante la distribución y reagrupamiento. Así, a partir de ahora ya no usaremos la notación de sucesiones y simplemente escribiremos a los polinomios con la notación de
y sus potencias. También, favoreceremos llamarles a los polinomios
en vez de
.
Ejercicio. Realiza la operación .
Solución. Por asociatividad, podemos hacer primero la primer multiplicación, que da . Luego, multiplicamos este polinomio por el tercer término. Podemos usar las propiedades de anillo para distribuir y agrupar, o bien, podemos seguir usando el método de la tabla.
Cuando hacemos lo primero, queda
Si hacemos lo segundo, tendríamos que hacer la siguiente tabla (¡cuidado con dejar el cero correspondiente al término del segundo factor!)
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![]() | ![]() | ![]() |
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Leyendo por diagonales, el resultado es
Grado de polinomios
Vamos a definir «grado» para todo polinomio que no sea el polinomio . Es muy importante recordar que el polinomio
no tiene grado.
Definición. Un polinomio en
es de grado
si es de la forma




Por la discusión de la sección anterior, el grado está bien definido. En términos de la sucesión correspondiente al polinomio, su grado es el mayor entero que sea subíndice de una entrada no cero.
Ejemplo. El grado del polinomio es
. De hecho, todo polinomio que viene de un real tiene grado
. Excepto el polinomio
.
El grado del polinomio es
.
Sin embargo, el polinomio no tiene grado, pues es el polinomio
.
Notemos que el polinomio se escribe como
en notación de sucesión. La entrada
es
, la entrada
es
y el resto de las entradas son
. El grado de
es
, que es precisamente la posición de la última entrada distinta de
en su notación de sucesión.
El siguiente resultado habla de cómo interactúa el grado con operaciones de polinomios.
Proposición. Si y
son polinomios en
distintos de cero, entonces:
- El grado del producto cumple
- El grado de la suma cumple
- Si
, entonces
Demostración. Supongamos que los grados de y
son, respectivamente,
y
, y que
y
son
La demostración de la primera parte ya la hicimos en la entrada anterior. En la notación que estamos usando ahora, vimos que el coeficiente de



Para la segunda y tercera partes, podemos asumir que . Tenemos que
es

Para la tercer parte, cuando tenemos que el coeficiente de
es
, y que es el término con mayor exponente. Así, el grado de la suma es
.
La hipótesis adicional del tercer punto es necesaria, pues en la suma de dos polinomios del mismo grado, es posible que «se cancele» el término de mayor grado.
Ejemplo. El producto de los polinomios y
es
. Esto concuerda con lo que esperábamos de sus grados. El primero tiene grado
, el segundo grado
y su producto grado
.
La suma de los polinomios y
es
, que es un polinomio de grado
, como esperaríamos por la tercer parte de la proposición.
La suma de los polinomios y
es
. Es de grado
, como esperaríamos por la segunda parte de la proposición.
Sin embargo, en la suma de polinomios el grado puede disminuir. Por ejemplo, los polinomios y
tienen grado
, pero su suma es el polinomio
, que tiene grado
.
Evaluación de polinomios e introducción a raíces
Es importante entender que hay una diferencia entre un polinomio, y la función que induce. Por la manera en que definimos a los polinomios, «en el fondo» son sucesiones, incluso con la nueva notación de y potencias. Sin embargo, cualquier polinomio define una función.
Definición. Si tenemos un polinomio




Ejemplo. El polinomio induce a la función
tal que
. Tenemos, por ejemplo, que
Como las reglas de los exponentes y la multiplicación por reales funciona igual en que en
, la evaluación en un real
obtiene exactamente lo mismo a que si simplemente reemplazamos
por
y hacemos las operaciones. Por ello, usualmente no distinguimos entre
y
, su función evaluación, y para un real
usamos simplemente
para referirnos a
.
De manera totalmente análoga, podemos pensar a como una función
. También, como comentamos al inicio, podemos definir a los polinomios con coeficientes complejos, es decir a
, y pensarlos como funciones.
Es momento de introducir una definición clave para lo que resta del curso.
Definición. Sea un polinomio en
o
y sea
un real o complejo. Decimos que
es una raíz de
si
.
Ejemplo. El polinomio no tiene raíces, pues para cualquier real o complejo
se tiene
. Por otro lado, cualquier real o complejo es raíz del polinomio
.
El polinomio no tiene raíces en
pues
para cualquier real
. Pero sí tiene raíces en
, pues
El polinomio tiene como únicas raíces a
y
, lo cual se puede verificar fácilmente antes de hacer la multiplicación. Esto debería darnos la intuición de que conocer a las raíces de un polinomio nos permite factorizarlo y viceversa. Esta intuición es correcta y la formalizaremos más adelante.
Cuando hablamos de los números complejos, vimos cómo obtener las raíces de los polinomios de grado , y de los polinomios de la forma
en
. La mayor parte de lo que haremos de aquí en adelante en el curso será entender a las raíces reales y complejas de más tipos de polinomios.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Pasa el polinomio
a notación con
y potencias. Luego, pasa el polinomio
a notación de sucesión. Suma ambos polinomios y exprésalos en notación con
. Multiplícalos usando distribución y agrupamiento. Multiplícalos usando una tabla.
- Prueba usando la definición de multiplicación y de
que para
y
enteros no negativos se tiene que
.
- Toma
polinomios en
de grado
respectivamente. ¿Cuál es el grado de
? ¿Y el grado de
?
- Usando distribución y agrupamiento, muestra que para cada entero positivo
se cumple que
Para practicar la aritmética de polinomios, puedes ir a la sección correspondiente de Khan Academy.