Introducción
Estamos listos para la cuarta y última parte del curso, en donde construiremos el anillo de polinomios con coeficientes reales. Los elementos de este anillo son polinomios, los cuales se aparecen en numerosas áreas de las matemáticas. Tras su construcción, aprenderemos varias herramientas para trabajar con ellos.
En las tres primeras partes del curso ya trabajamos con otras estructuras algebraicas. Hasta ahora, hemos hablado de lo siguiente:
- Naturales: Construimos a partir de teoría de conjuntos al conjunto
de números naturales, sus operaciones y orden. De lo más relevante es que dentro de los naturales podemos hacer definiciones por recursión y pruebas por indución.
- Enteros: Con
construimos a los enteros
, sus operaciones y orden. Hablamos de divisibilidad y factorización. Esto dio pie a construir
, los enteros módulo
, junto con su aritmética. Aprendimos a resolver ecuaciones en
y sistemas de congruencias.
- Racionales y reales: Mencionamos brevemente cómo se construye
a partir de
y cómo se construye
a partir de
. Tanto
como
son campos, así que ahí se pueden hacer sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.
- Complejos: A partir de
construimos el campo
de los números complejos. Definimos suma, multiplicación, inversos, norma y conjugados. Luego, desarrollamos herramientas para resolver varios tipos de ecuaciones en
. Finalmente, construimos las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.
Quizás a estas alturas del curso ya veas un patrón de cómo estamos trabajando. Aunque varias de estas estructuras ya las conocías desde antes, hay una primer parte importante que consiste en formalizar cómo se construyen. Luego, vimos cómo se definen las operaciones en cada estructura y qué propiedades tienen. Haremos algo muy parecido con los polinomios.
Intuición de los polinomios
La idea de esta entrada es llegar a los polinomios que ya conocemos, es decir, a expresiones como la siguiente:
Intuitivamente, lo que queremos ese que en la suma «se sumen términos del mismo grado» y que en el producto «se haga la distribución y se agrupen términos del mismo grado». Por ejemplo, queremos que la suma funcione así
y que la multiplicación funcione así
El exponente más grande de una puede ser tan grande como queramos, pero no se vale que los polinomios tengan una infinidad de términos. Así, queremos descartar cosas del estilo
Construcción de polinomios
Para construir polinomios formalmente, tenemos que elegir de dónde van a venir sus coeficientes. Puede ser ,
,
o incluso
, digamos. Nosotros nos enfocaremos en construir los polinomios con coeficientes en
, que tiene la ventaja de ser un campo. Algunas de las propiedades que probaremos se valen para cualquier elección de coeficientes, pero otras no. No profundizaremos en estas diferencias, pero es bueno que lo tengas en mente para tu formación matemática posterior.
Definición. Dado un conjunto , una sucesión de elementos de
es una función
. Para
en
, a
usualmente lo denotamos simplemente por
, y a la sucesión
por
.
Definición. El soporte de una sucesión es el conjunto de naturales tales que
.
Podemos «visualizar» los primeros términos de una sucesión así:
Ejemplo. Si tomamos la función identidad , obtenemos la sucesión
Al tomar la función tal que
, obtenemos la sucesión
Los polinomios son aquellas sucesiones de reales que «después de un punto tienen puros ceros».
Definición. Un polinomio con coeficientes reales es una sucesión de reales tal que
sólo para una cantidad finita de naturales
.
En otras palabras, un polinomio es una sucesión con soporte finito. Si visualizamos a un polinomio como una sucesión, entonces es de la forma

Ejemplo. La sucesión


La sucesión

Para que las definiciones de la siguiente sección te hagan sentido, puedes pensar de manera informal que la sucesión
Definición. Definimos al conjunto de polinomios con coeficientes reales como
La igualdad se polinomios de define término a término.
Definición. Sean y
en
. Decimos que
si para todo natural se tiene
.
En las siguientes secciones definiremos las operaciones de suma y producto en .
Suma y producto de polinomios
Los polinomios se suman «entrada a entrada».
Definición. Dados dos polinomios y
en
, definimos su suma como el polinomio


Observa que nos estamos apoyando en la suma en para esta definición.
Ejemplo. Los polinomios
La suma de dos polinomios sí es un polinomio pues claramente es una sucesión, y su soporte se queda contenido en la union de los soportes de los sumandos.
La siguiente definición guarda la idea de que para multiplicar queremos distribuir sumandos y agrupar términos del mismo grado. Tiene sentido si piensas en la asociación intuitiva informal que discutimos al final de la sección anterior.
Definición. Dados dos polinomios y
en
, definimos su producto como el polinomio

Aquí nos estamos apoyando en la suma y producto en para definir la multiplicación de polinomios.
Una forma práctica de hacer el producto es mediante una tabla. En la primer fila ponemos al primer polinomio y en la primer columna al segundo. Las entradas interiores son el producto de la fila y columna correspondiente. Una vez que hacemos esto, la entrada del producto es la suma de los elementos en la
-ésima «diagonal».
Ejemplo. Multipliquemos a los polinomios
Ponemos a y
en la primer fila y columna respectivamente de la siguiente tabla:
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ||||
![]() | ||||
![]() |
Luego, en cada entrada interior de la tabla ponemos el producto de los coeficientes correspondientes:
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Después, hacemos las operaciones:
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Finalmente, para encontrar el coeficiente del producto, hacemos la suma de las entradas en la
-ésima diagonal dentro de la tabla, es decir:
De esta forma, el polinomio producto es
El anillo de polinomios con coeficientes reales
Los polinomios y los enteros se parecen, en el sentido de que como estructura algebraica comparten muchas propiedades. La idea de esta sección es formalizar esta afirmación.
Teorema. El conjunto con las operaciones de suma y producto arriba definidos forman un anillo.
Demostración. Por una parte, tenemos que mostrar que la suma es asociativa, conmutativa, que tiene neutro e inversos aditivos. Por otra parte, tenemos que mostrar que el producto es asociativo. Finalmente, tenemos que mostrar que se vale la ley distributiva.
Tomemos dos polinomios ,
y un natural
. El término
de
es
y el de
es
, que son iguales por la conmutatividad de la suma en
. De manera similar, se muestra que la suma es asociativa.
El polinomio es la identidad de la suma. Esto es sencillo de mostrar y se queda como tarea moral. Además, si
es un polinomio, entonces
es una sucesión con el mismo soporte (y por lo tanto finito), que cumple que
Ahora probemos la asociatividad del producto. Tomemos tres polinomios ,
,
y un natural
. Hagamos el producto
. Para cada
, el
-ésimo término de
es un cierto
dado por


Un argumento análogo muestra que el -esimo término de
es también
lo cual muestra que la multiplicación es asociativa.
Lo último que nos queda por probar es la ley distributiva. Tomemos tres polinomios ,
,
y un natural
. Usamos las propiedades de las operaciones en
para ver que el
-ésimo término de
es
A la derecha tenemos el -ésimo término de
sumado con el
-ésimo término de
, así que coincide con el
-ésimo término de la suma
. Esto muestra que
y
son iguales término a término y por lo tanto son iguales como polinomios.
Como de costumbre, al inverso aditivo de un polinomio le llamamos
, y definimos
.
Proposición. La multiplicación en es conmutativa.
Demostración. Tomemos dos polinomios y
. Tenemos que ver que
y
son iguales término a término. Tomemos entonces un natural
. El término
de
es




Proposición. La multiplicación en tiene identidad.
Demostración. El polinomio es la identidad multiplicativa. Esto es sencillo de mostrar y se queda como tarea moral.
Proposición. Si y
son polinomios en
distintos del polinomio
, entonces su producto también.
Demostración. Para ello, tomemos el mayor natural tal que
y el mayor natural
tal que
. Estos existen pues
y
no son el polinomio
, y su soporte es finito.
Cualquier pareja de naturales y
tales que
con
cumple
. Así, si
tenemos que:
- Si
, entonces
y por lo tanto
- Si
, entonces
y por lo tanto
- Finalmente, si
, entonces
y
De esta forma, el -ésimo término de
es


Corolario. En se vale la regla de cancelación, es decir, si
son polinomios,
y
, entonces
.
Demostración. De la igualdad obtenemos la igualdad
. Como
, por la proposición anterior debemos tener
, es decir,
.
A un anillo conmutativo cuya multiplicación tiene identidad y en donde se vale la regla de cancelación se le conoce como un dominio entero.
Teorema. El anillo es un dominio entero.
Con esto terminamos la construcción de y de sus operaciones. Cuando trabajamos con los polinomios de manera práctica resulta engorroso mantener esta notación de sucesiones. En la siguiente entrada justificaremos el uso de la notación «usual» de los polinomios, en la que usamos la letra «x» y exponentes.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Justifica por qué el soporte del producto de dos polinomios es finito.
- Muestra que la suma en
es asociativa.
- Verifica que el polinomio
es la identidad aditiva en
.
- Verifica que el polinomio
es la identidad multiplicativa en
.
- Considera los polinomios
y
. Determina