Álgebra Superior II: El anillo de polinomios con coeficientes reales

Introducción

Estamos listos para la cuarta y última parte del curso, en donde construiremos el anillo de polinomios con coeficientes reales. Los elementos de este anillo son polinomios, los cuales se aparecen en numerosas áreas de las matemáticas. Tras su construcción, aprenderemos varias herramientas para trabajar con ellos.

En las tres primeras partes del curso ya trabajamos con otras estructuras algebraicas. Hasta ahora, hemos hablado de lo siguiente:

  • Naturales: Construimos a partir de teoría de conjuntos al conjunto \mathbb{N} de números naturales, sus operaciones y orden. De lo más relevante es que dentro de los naturales podemos hacer definiciones por recursión y pruebas por indución.
  • Enteros: Con \mathbb{N} construimos a los enteros \mathbb{Z}, sus operaciones y orden. Hablamos de divisibilidad y factorización. Esto dio pie a construir \mathbb{Z}_n, los enteros módulo n, junto con su aritmética. Aprendimos a resolver ecuaciones en \mathbb{Z} y sistemas de congruencias.
  • Racionales y reales: Mencionamos brevemente cómo se construye \mathbb{Q} a partir de \mathbb{Z} y cómo se construye \mathbb{R} a partir de \mathbb{Q}. Tanto \mathbb{R} como \mathbb{Q} son campos, así que ahí se pueden hacer sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.
  • Complejos: A partir de \mathbb{R} construimos el campo \mathbb{C} de los números complejos. Definimos suma, multiplicación, inversos, norma y conjugados. Luego, desarrollamos herramientas para resolver varios tipos de ecuaciones en \mathbb{C}. Finalmente, construimos las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.

Quizás a estas alturas del curso ya veas un patrón de cómo estamos trabajando. Aunque varias de estas estructuras ya las conocías desde antes, hay una primer parte importante que consiste en formalizar cómo se construyen. Luego, vimos cómo se definen las operaciones en cada estructura y qué propiedades tienen. Haremos algo muy parecido con los polinomios.

Intuición de los polinomios

La idea de esta entrada es llegar a los polinomios que ya conocemos, es decir, a expresiones como la siguiente:

    \[4+5x+\frac{7}{2}x^2-x^4+3x^5.\]

Lo que tenemos que formalizar es qué significa esa “x”, y cómo le hacemos para sumar y multiplicar expresiones de este tipo.

Intuitivamente, lo que queremos ese que en la suma “se sumen términos del mismo grado” y que en el producto “se haga la distribución y se agrupen términos del mismo grado”. Por ejemplo, queremos que la suma funcione así

    \begin{align*}(1+&x-x^2+3x^3)+(-7+3x+x^2+2x^3+x^4)\\&=(1-7)+(1+3)x+(-1+1)x^2+(3+2)x^3+(0+1)x^4\\&=-6+4x+0x^2+5x^4+x^4\\&=-6+4x+5x^3+x^4,\end{align*}

y que la multiplicación funcione así

    \begin{align*}(2&+3x)(5+x+x^2)\\&=2(5+x+x^2)+3x(5+x+x^2)\\&=(10+2x+2x^2)+(15x+3x^2+3x^3)\\&=10+(2+15)x+(2+3)x^2+3x^3\\&=10+17x+5x^2+3x^3.\end{align*}

El exponente más grande de una x puede ser tan grande como queramos, pero no se vale que los polinomios tengan una infinidad de términos. Así, queremos descartar cosas del estilo

    \[1+x+x^2+x^3+x^4+\ldots,\]

en donde sumamos indefinidamente.

Construcción de polinomios

Para construir polinomios formalmente, tenemos que elegir de dónde van a venir sus coeficientes. Puede ser \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{Z} o incluso \mathbb{Z}_7, digamos. Nosotros nos enfocaremos en construir los polinomios con coeficientes en \mathbb{R}, que tiene la ventaja de ser un campo. Algunas de las propiedades que probaremos se valen para cualquier elección de coeficientes, pero otras no. No profundizaremos en estas diferencias, pero es bueno que lo tengas en mente para tu formación matemática posterior.

Definición. Dado un conjunto X, una sucesión de elementos de X es una función a:\mathbb{N}\to X. Para n en \mathbb{N}, a a(n) usualmente lo denotamos simplemente por a_n, y a la sucesión a por \{a_n\}.

Definición. El soporte de una sucesión es el conjunto de naturales n tales que a_n\neq 0.

Podemos “visualizar” los primeros términos de una sucesión así:

    \[(a_0, a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, \ldots),\]

en donde podemos poner tantos términos como queramos y los puntos suspensivos indican que “sigue y sigue”. Por supuesto, usualmente esta visualización no puede guardar toda la información de la sucesión, pero puede ayudarnos a entenderla un poco mejor.

Ejemplo. Si tomamos la función identidad \text{id}:\mathbb{N}\to \mathbb{N}, obtenemos la sucesión

    \[(0,1,2,3,4,5,6,7,\ldots).\]

Al tomar la función a:\mathbb{N}\to \mathbb{Z} tal que a_n=(-1)^n, obtenemos la sucesión

    \[(1,-1,1,-1,1,-1,\ldots).\]

\square

Los polinomios son aquellas sucesiones de reales que “después de un punto tienen puros ceros”.

Definición. Un polinomio con coeficientes reales es una sucesión \{a_n\} de reales tal que a_n\neq 0 sólo para una cantidad finita de naturales n.

En otras palabras, un polinomio es una sucesión con soporte finito. Si visualizamos a un polinomio como una sucesión, entonces es de la forma

    \[(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,\ldots),\]

en donde a partir de un punto ya tenemos puros ceros a la derecha. Por conveniencia, marcaremos ese punto con un \overline{0}.

Ejemplo. La sucesión

    \[\left(5,7,\frac{7}{2},0,-1,3,0,0,0,\ldots\right),\]

en la que después del 3 ya todos los términos son ceros, representa a un polinomio. Con la convención de arriba, podemos escribirlo como

    \[\left(5,7,\frac{7}{2},0,-1,3,\overline{0}\right).\]

Su soporte consiste de aquellas posiciones en las que la sucesión no es cero, que son 0,1,2,4,5.

La sucesión

    \[(1,-1,1,-1,1,-1,\ldots)\]

dada por a_n=(-1)^n no es un polinomio, pues podemos encontrar una infinidad de términos no cero.

\square

Para que las definiciones de la siguiente sección te hagan sentido, puedes pensar de manera informal que la sucesión

    \[(a_0, a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, \ldots),\]

representa al polinomio

    \[a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5+\ldots.\]

La última condición en la definición de polinomio es la que garantiza que “tenemos un número finito de sumandos”.

Definición. Definimos al conjunto de polinomios con coeficientes reales como

    \[\mathbb{R}[x]:=\{ p: p \text{ es polinomio con coeficientes reales}\}.\]

La igualdad se polinomios de define término a término.

Definición. Sean a=\{a_n\} y b=\{b_n\} en \mathbb{R}[x]. Decimos que a=b si para todo natural se tiene a_n=b_n.

En las siguientes secciones definiremos las operaciones de suma y producto en \mathbb{R}[x].

Suma y producto de polinomios

Los polinomios se suman “entrada a entrada”.

Definición. Dados dos polinomios a=\{a_n\} y b=\{b_n\} en \mathbb{R}[x], definimos su suma como el polinomio

    \[a+b:=\{a_n+b_n\},\]

o bien, en términos de sucesiones, como la sucesión a+b:\mathbb{N}\to \mathbb{R} tal que (a+b)(n)=a(n)+b(n).

Observa que nos estamos apoyando en la suma en \mathbb{R} para esta definición.

Ejemplo. Los polinomios

    \[\left(0,2,0,4,-1,\frac{2}{3},\overline{0}\right)\]

y

    \[\left(1,-2,-1,-4,-2,\overline{0}\right)\]

tienen como suma al polinomio

    \[\left(0+1,2-2,0-1,4-4,-1-2,\frac{2}{3}+0,0+0,\ldots\right),\]

que es

    \[\left(1,0,-1,0,-3,\frac{2}{3},\overline{0}\right).\]

\square

La suma de dos polinomios sí es un polinomio pues claramente es una sucesión, y su soporte se queda contenido en la union de los soportes de los sumandos.

La siguiente definición guarda la idea de que para multiplicar queremos distribuir sumandos y agrupar términos del mismo grado. Tiene sentido si piensas en la asociación intuitiva informal que discutimos al final de la sección anterior.

Definición. Dados dos polinomios a=\{a_n\} y b=\{b_n\} en \mathbb{R}[x], definimos su producto como el polinomio

    \[ab:=\{c_n\},\]

en donde c_n está dado por

    \[c_n:=\sum_{i+j=n} a_ib_j,\]

en otras palabras,

    \[c_n=a_0b_n+a_1b_{n-1}+\ldots+a_{n-1}b_1+a_nb_0.\]

Aquí nos estamos apoyando en la suma y producto en \mathbb{R} para definir la multiplicación de polinomios.

Una forma práctica de hacer el producto es mediante una tabla. En la primer fila ponemos al primer polinomio y en la primer columna al segundo. Las entradas interiores son el producto de la fila y columna correspondiente. Una vez que hacemos esto, la entrada c_j del producto es la suma de los elementos en la j-ésima “diagonal”.

Ejemplo. Multipliquemos a los polinomios

    \[a=(3,-2,0,1,\overline{0})\]

y

    \[b=(0,2,7,\overline{0}).\]

Ponemos a a y b en la primer fila y columna respectivamente de la siguiente tabla:

3-201
0
2
7

Luego, en cada entrada interior de la tabla ponemos el producto de los coeficientes correspondientes:

3-201
03 \cdot 0-2 \cdot 00\cdot 01\cdot 0
23 \cdot 2-2 \cdot 20\cdot 21\cdot 2
73 \cdot 7-2 \cdot 70\cdot 71\cdot 7

Después, hacemos las operaciones:

3-201
00000
26-402
321-1407

Finalmente, para encontrar el coeficiente c_j del producto, hacemos la suma de las entradas en la j-ésima diagonal dentro de la tabla, es decir:

    \begin{align*}c_0&=0\\c_1&=6+0=6\\c_2&=21-4+0=17\\c_3&=-14+0+0=-14\\c_4&=0+2=2\\c_5&=7.\end{align*}

De esta forma, el polinomio producto es

    \[(0,6,17,-14,2,7,\overline{0}).\]

Es muy recomendable que notes que esto coincide con el producto (por ahora informal)

    \begin{align*}(3-&2x+x^3)(2x+7x^2)\\&=6x+17x^2-14x^3+2x^4+7x^5.\end{align*}

\square

El anillo de polinomios con coeficientes reales

Los polinomios y los enteros se parecen, en el sentido de que como estructura algebraica comparten muchas propiedades. La idea de esta sección es formalizar esta afirmación.

Teorema. El conjunto \mathbb{R}[x] con las operaciones de suma y producto arriba definidos forman un anillo.

Demostración. Por una parte, tenemos que mostrar que la suma es asociativa, conmutativa, que tiene neutro e inversos aditivos. Por otra parte, tenemos que mostrar que el producto es asociativo. Finalmente, tenemos que mostrar que se vale la ley distributiva.

Tomemos dos polinomios a=\{a_n\}, b=\{b_n\} y un natural n. El término n de a+b es a_n+b_n y el de b+a es b_n+a_n, que son iguales por la conmutatividad de la suma en \mathbb{R}. De manera similar, se muestra que la suma es asociativa.

El polinomio (\overline{0}) es la identidad de la suma. Esto es sencillo de mostrar y se queda como tarea moral. Además, si a=\{a_n\} es un polinomio, entonces \{-a_n\} es una sucesión con el mismo soporte (y por lo tanto finito), que cumple que

    \[\{a_n\}+\{-a_n\}=(0,0,0,\ldots)=(\overline{0}),\]

así que la suma tiene inversos aditivos.

Ahora probemos la asociatividad del producto. Tomemos tres polinomios a=\{a_n\}, b=\{b_n\}, c=\{c_n\} y un natural n. Hagamos el producto (ab)c. Para cada i, el i-ésimo término de ab es un cierto d_i dado por

    \[d_i = \sum_{k+l=i} a_k b_l.\]

El n-ésimo término de (ab)c es entonces

    \begin{align*}\sum_{i+j=n}d_ic_j &= \sum_{i+j=n}\sum_{k+l=i} a_kb_lc_j\\&=\sum_{k+l+j=n}a_kb_lc_j.\end{align*}

Un argumento análogo muestra que el n-esimo término de a(bc) es también

    \begin{align*}\sum{k+l+j=n}a_kb_lc_j,\end{align*}

lo cual muestra que la multiplicación es asociativa.

Lo último que nos queda por probar es la ley distributiva. Tomemos tres polinomios a=\{a_n\}, b=\{b_n\}, c=\{c_n\} y un natural n. Usamos las propiedades de las operaciones en \mathbb{R} para ver que el n-ésimo término de a(b+c) es

    \begin{align*}\sum_{i+j=n} a_i(b_j+c_j)&=\sum_{i+j=n} (a_ib_j+ a_i c_j)\\&=\sum_{i+j=n} a_ib_j + \sum_{i+j=n} a_ic_j.\end{align*}

A la derecha tenemos el n-ésimo término de ab sumado con el n-ésimo término de ac, así que coincide con el n-ésimo término de la suma ab+ac. Esto muestra que a(b+c) y ab+ac son iguales término a término y por lo tanto son iguales como polinomios.

\square

Como de costumbre, al inverso aditivo de un polinomio a le llamamos -a, y definimos a-b:=a+(-b).

Proposición. La multiplicación en \mathbb{R}[x] es conmutativa.

Demostración. Tomemos dos polinomios a=\{a_n\} y b=\{b_n\}. Tenemos que ver que ab y ba son iguales término a término. Tomemos entonces un natural n. El término c_n de ab es

    \[c_n=\sum_{i+j=n} a_ib_j,\]

y el término d_n de ba es

    \[d_n=\sum_{i+j=n} b_ia_j.\]

Por la conmutatividad de la suma y el producto en \mathbb{R}, tenemos que c_n=d_n.

\square

Proposición. La multiplicación en \mathbb{R}[x] tiene identidad.

Demostración. El polinomio (1,\overline{0}) es la identidad multiplicativa. Esto es sencillo de mostrar y se queda como tarea moral.

\square

Proposición. Si a y b son polinomios en \mathbb{R}[x] distintos del polinomio (\overline{0}), entonces su producto también.

Demostración. Para ello, tomemos el mayor natural m tal que a_m\neq 0 y el mayor natural n tal que b_n\neq 0. Estos existen pues a y b no son el polinomio (\overline{0}), y su soporte es finito.

Cualquier pareja de naturales k y l tales que k+l=m+n con k\leq m-1 cumple l\geq n+1. Así, si k+l=m+n tenemos que:

  • Si k\leq m-1, entonces b_l=0 y por lo tanto a_kb_l=0
  • Si k\geq m+1, entonces a_k=0 y por lo tanto a_kb_l=0
  • Finalmente, si k=m, entonces l=n y

        \[a_kb_l=a_mb_n\neq 0.\]

De esta forma, el (m+n)-ésimo término de ab es

    \[\sum_{k+l=m+n} a_k b_l=a_mb_n\neq 0,\]

de modo que ab no es el polinomio (\overline{0}).

\square

Corolario. En \mathbb{R}[x] se vale la regla de cancelación, es decir, si a,b,c son polinomios, a\neq 0 y ab=ac, entonces b=c.

Demostración. De la igualdad ab=ac obtenemos la igualdad a(b-c)=0. Como a\neq 0, por la proposición anterior debemos tener b-c=0, es decir, b=c.

\square

A un anillo conmutativo cuya multiplicación tiene identidad y en donde se vale la regla de cancelación se le conoce como un dominio entero.

Teorema. El anillo \mathbb{R}[x] es un dominio entero.

Con esto terminamos la construcción de \mathbb{R}[x] y de sus operaciones. Cuando trabajamos con los polinomios de manera práctica resulta engorroso mantener esta notación de sucesiones. En la siguiente entrada justificaremos el uso de la notación “usual” de los polinomios, en la que usamos la letra “x” y exponentes.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Justifica por qué el soporte del producto de dos polinomios es finito.
  • Muestra que la suma en \mathbb{R}[x] es asociativa.
  • Verifica que el polinomio (\overline{0}) es la identidad aditiva en \mathbb{R}[x].
  • Verifica que el polinomio (1,\overline{0}) es la identidad multiplicativa en \mathbb{R}[x].
  • Considera los polinomios a=\left(\frac{1}{3},4,\frac{5}{7},8,\overline{0}\right) y b=\left(0,0,\frac{2}{5},\frac{3}{4},\overline{0}). Determina

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