La continuidad de funciones polinomiales

Introducción

En la entrada pasada demostramos que los polinomios (vistos como funciones de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$) son continuas e infinitamente diferenciables, vimos además que estas propiedades sirven para hacer un análisis más detallado de algunas de sus propiedades algebraicas.

En esta entrada, ocupamos esas propiedades y los teoremas del cálculo (como el teorema del valor intermedio) para resolver algunos ejercicios interesantes sobre los polinomios.

Ejercicios de continuidad

Comenzaremos con probar que los polinomios son acotados inferiormente, luego unos ejemplos simples de derivadas, y posteriormente un par de ejercicios que involucran emplear el Teorema del Valor Medio (TVM) y el Teorema del Valor Intermedio (TVI). En el siguiente ejercicio demostramos que si $[a,b]$ es un intervalo cerrado, y $p$ un polinomi, entonces $p$ está acotado inferiormente en $[a,b]$.

En este ejercicio probamos que todo polinomio de grado impar, tiene una raíz real

Ejercicios de diferenciabilidad

Tarea moral

  • Demuestra que si $p(x)$ es una función polinomial con al menos una raíz real y $p$ de grado par, entonces $p$ tiene al menos $2$ raíces.
  • Demuestra que si $p$ es un polinomio con dos raíces reales distintas, entonces $p’$, su derivada, tiene al menos una raíz. ¿El recíproco es verdadero?
  • Demuestra o da un contraejemplo: El número de raíces de un polinomio es mayor que el número de raíces de su derivada.
  • Deriva el polinomio $p(x)=3x^4-2x^3+5x-10$.
  • Demuestra que si $p(x)$ es un polinomio de grado par, entonces es acotado por arriba o acotado por abajo.

Más adelante

En la siguiente entrada, seguimos estudiando las propiedades analíticas de los polinomios, y encontramos una interesante relación entre las propiedades de sus raíces y la derivada de la función.

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