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Álgebra Superior II: Definición de la suma y sus propiedades básicas

Por Roberto Manríquez Castillo

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Introducción

Para continuar con nuestra tarea de construir las operaciones más elementales de los números naturales, en esta entrada definimos la conocida operación suma. Un buen ejercicio antes de empezar con el contenido de la entrada, es pensar ¿Cómo podemos definir la suma de dos números enteros? De nuevo nos encontramos con el problema de intentar definir formalmente algo que ha sido intuitivo para nosotros durante la mayor parte de nuestra vida.

Sin embargo, todo el trabajo que hicimos en las entradas anteriores, especialmente en la demostración del teorema de Recursión, nos servirán para poder dar una definición precisa de qué es la suma. Además, usando el principio de Inducción, podremos demostrar las propiedades que nos han sido tan familiares desde hace mucho tiempo.

La idea intuitiva de la suma

La primera forma en la que aprendimos a sumar, al menos de manera intuitiva y tal vez limitada, fue usando nuestros dedos. Ocuparemos esta idea como hilo conductor, para poder llegar a la definición recursiva de la suma. Con esta forma de pensar, si queríamos sumar $3+4$, poníamos frente a nosotros nuestras manos con los dedos abajo, e instantáneamente mencionábamos la palabra «tres«. Después estirábamos un primer dedo y al mismo tiempo, mencionábamos la palabra «cuatro» (a quien ahora conocemos como el sucesor de $3$), después alzábamos un segundo dedo y decíamos «cinco» (el sucesor de $4$) , y continuábamos de la misma manera hasta que tuviéramos cuatro dedos totalmente extendidos; momento en el cual, decíamos el resultado: «siete«.

Analicemos un poco qué es lo que queremos decir con «continuábamos de la misma manera«. Entre cada número que contábamos, varias cosas pasaban por nuestra mente. Al mencionar un número, lo primero que hacíamos era cerciorarnos que aún tuviéramos extendidos menos dedos de los que queríamos añadir. Si esta condición se satisfacía, teníamos que grabarnos el número que habíamos mencionado justo en ese instante (el olvidar dicho número, tenía como consecuencia empezar el procedimiento desde el inicio), después alzábamos el siguiente dedo, y mencionábamos el sucesor del número memorizado (es por esto que recordar ese número era tan importante). Muy a grandes rasgos esto es lo mismo que lo que haremos de manera formal.

Definición de la suma

Esperamos que en los párrafos anteriores puedas encontrar una analogía entre el algoritmo que usábamos para sumar cotidianamente, y el método recursivo que describiremos a continuación. Antes de precisar la definición de la suma, hay que aclarar que no definiremos «de golpe» qué quiere decir «sumar dos números». Más bien, lo que haremos es, para cada natural, decir qué quiere decir «sumarle otro». Lo haremos de esta manera pues esto es lo que nos permite hacer el teorema de Recursión. Así, para cada número natural $m$ (fijo) obtendremos una función que nos sume a ese número fijo, una cantidad arbitraria.

Definición: Sea $m\in\mathbb{N}$. Definimos la función $s_{m}:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N}$, como la única función que satisface las propiedades siguientes:

  1. $s_{m}(0)=m$.
  2. $s_{m}(\sigma(n))=\sigma(s_{m}(n))$.

Denotaremos $s_{m}(n)$ como $m+n$.

Vale la pena hacer un par de comentarios de la definición anterior. Primero mencionamos que esta definición depende totalmente del teorema de Recursión Débil. Si regresas al enunciado del teorema, podemos notar que la función $s_m$ se obtiene tomando $X=\mathbb{N}$, $x_{0}=m$, $f=\sigma$ y $g=s_{m}$.

En segundo lugar, hay que remarcar que a pesar de nuestra intuición, los papeles de $m$ y $n$ en la expresión $m+n$, no son intercambiables. Por definición $m+n=s_{m}(n)$, mientras que $n+m=s_{n}(m)$. A primera vista, estos valores no tienen por qué coincidir. Veremos que en efecto esta y otras propiedades sí son válidas, para que posteriormente podamos utilizarlas de manera directa.

Aprender a sumar cero

De aquí en adelante probaremos varias propiedades de la suma. Debido a la definición recursiva de esta función, la mayor herramienta que ocuparemos es el principio de Inducción.

Antes de lanzarnos a demostrar la primer propiedad, nota que directamente de las definiciones de las funciones $s_{m}$ y de la notación que estamos usando, se tiene que $m+0=s_m(0)=m$. Ahora nos gustaría ver que también $0+m=m$, pero como aún no sabemos que la suma sea conmutativa, tendremos que probarlo por inducción.

Proposición: Para todo $n\in\mathbb{N}$ se tiene que $s_{0}(n)=n$, es decir, $0+n=n$

Demostración. Como se mencionó, procedamos por inducción sobre $n$.

Base inductiva: Por el punto (1) de la definición de $s_0$, tenemos que s_{0}(0)=0.

Hipótesis inductiva: Supongamos que para algún $n\in\mathbb{N}$, se tiene que $s_{0}(n)=n$.

Paso inductivo: Demostremos que $s_{0}(\sigma(n))=\sigma(n)$.

La demostración se sigue de la siguiente cadena de igualdades, las cuales justificamos una a una abajo:

\begin{align*}
s_{0}(\sigma(n))&=\sigma(s_{0}(n)) \\&\overset{\text{H.I.}}{=}\sigma(n).
\end{align*}

La primera igualdad sucede por el punto (2) de la definición de $s_0$. La segunda igualdad sucede por la hipótesis inductiva, lo cual estamos indicando con un «H.I.» sobre el símbolo de igualdad.

Esto termina el paso inductivo y entonces la proposición se vale para todos los naturales.

$\square$

Así, ya sabemos «sumar cero».

Aprender a sumar uno

Veamos ahora que nuestra intuición de «sumar uno» en efecto coincide de manera formal con «ir al sucesor».

Observación: Tenemos la siguiente cadena de igualdades \[n+1=s_{n}(1)=s_{n}(\sigma(0))=\sigma(s_{n}(0))=\sigma(n).\]

La primera es por nuestra elección de notación. La segunda por la definición del símbolo 1, pues simplemente es el sucesor de 0. La tercera es por el punto (2) de la definición de $s_n$. Finalmente, la última es por el punto (1) de la definición de $s_n$.

$\triangle$

Proposición: Para todo $n\in\mathbb{N}$ se tiene que $s_{1}(n)=\sigma(n)$, es decir, que al juntarlo con la observación anterior obtenemos $1+n=\sigma(n)=n+1$.

Demostración. Demostremos que $s_1(n)=\sigma(n)$ por inducción sobre $n$. Tenemos que $s_{1}(0)=1=\sigma(0)$ por el punto (1) de la definición de $s_1$ y por la definición de 1. Esto muestra que la igualdad se cumple en el caso base $n=0$.

Nuestra hipótesis de inducción es suponer que $s_{1}(n)=\sigma(n)$ y a partir de ella debemos demostrar que $s_{1}(\sigma(n))=\sigma(\sigma(n))$. Esto lo logramos mediante la siguiente cadena de igualdades:

\begin{align*}
s_{1}(\sigma(n))&=\sigma(s_{1}(n))\\ &= \sigma(\sigma(n))
\end{align*}

La primera igualdad se debe al punto (2) de la definición de $s_1$. La segunda, a la hipótesis inductiva.

$\square$

La suma es asociativa

Con los resultados probados en las dos secciones anteriores, continuamos ahora probando propiedades más interesantes de la suma. Aunque las aprendimos desde la educación básica, ahora será momento de justificar por qué se deducen de lo que hemos construido. Empezamos por la asociatividad.

Proposición (asociatividad): Si $a, b, n$, son naturales arbitrarios, entonces $(a+b)+n=a+(b+n)$.

Como es usual, aquí los paréntesis significan «hacer esa operación primero». Si quisiéramos usar la notación formal, tendríamos que enunciar la asociatividad como $$s_{a+b}(n)=s_a(s_b(n)),$$ y cuando hagamos la demostración aprovecharemos la definición de estas funciones $s_{a+b}$, $s_a$ y $s_b$.

Demostración. Procedamos por inducción. Tenemos tres variables naturales. ¿Sobre cuál hacemos inducción? Esto es una decisión importante y el hacer una elección incorrecta puede dificultar la prueba o impedir concluirla. Haremos inducción sobre $n$, pero te recomendamos que intentes hacerlo sobre las otras variables para detectar las dificultades que pueden surgir.

Base inductiva: $(a+b)+0=a+b=a+(b+0)$. En el primer paso usamos el punto (1) de la definición de $s_{a+b}$ y en el segundo usamos el punto (1) de la definición de $s_b$.

Hipótesis inductiva: Supongamos que $(a+b)+n=a+(b+n)$. Recuerda que en una prueba inductiva sólo se hace la hipótesis inductiva para un valor fijo de $n$, pero lo que se quiere suponer es que se vale para todo valor de $n$. Así, no estamos suponiendo que cualquier $n$ pueda asociarse con cualesquiera dos números, solo estamos suponiendo que una $n$ fija puede asociarse con los valores fijos de $a$ y de $b$; más aún, el orden de $a$ y $b$ importa, ya que no hemos demostrado aún la conmutatividad.

Paso inductivo: Demostremos que $(a+b)+\sigma(n)=a+(b+\sigma(n))$.

Hagamos esto mediante la siguiente cadena de igualdades:

\begin{align*}
(a+b)+\sigma(n)&=\sigma((a+b)+n)\\
&\overset{\text{H.I}}{=}\sigma(a+(b+n))\\
&=a+\sigma(b+n)\\
&=a+(b+\sigma(n)).
\end{align*}

Aquí las igualdades se siguen, respectivamente, de la definición de $s_{a+b}$, de la hipótesis inductiva, de la definición de $s_a$ y de la definición de $s_b$. Con esto, concluimos la prueba del paso inductivo y con ello la prueba por inducción.

$\square$

En la demostración anterior ya no estamos siendo tan específicos con exactamente qué parte de la definición de las funciones estamos usando. Sin embargo, te sugerimos completar estos detalles pues te ayudarán a entender mucho mejor por qué cada uno de los pasos tiene su justificación.

La suma es conmutativa

Otra de las propiedades de la suma que nos enseñan en educación básica es que «el orden de los factores no afecta el resultado». Esto tiene un nombre en matemáticas formales: conmutatividad. El objetivo de la siguiente proposición es demostrar que en efecto la suma es conmutativa.

Proposición (conmutatividad): Si, $n, m$ son naturales, entonces $n+m=m+n$.

En términos de las funciones que construimos mediante el teorema de recursión esto se ve como $s_n(m)=s_m(n)$.

Demostración. De nuevo, procedamos por inducción sobre $n$, por la misma razón remarcamos que entonces $m$ es un número arbitrario pero fijo.

Base inductiva. Por la primer proposición que probamos, tenemos que $0+m=m=m+0$.

Hipótesis de Inducción: Supongamos que $n$ cumple que $n+m=m+n$.

Paso inductivo: Demostremos que $\sigma(n)+m=m+\sigma(n)$.

Hagamos esto mediante la siguiente cadena de igualdades:

\begin{align*}
m+\sigma(n)&=\sigma(m+n)\\
&\overset{H.I.}{=}\sigma(n+m)\\
&=n+\sigma(m)\\
&=n+(1+m)\\
&=(n+1)+m\\
&=\sigma(n)+m.
\end{align*}

Como siempre, es importante justificar cada igualdad. Pero ahora es tu turno. ¿Cuáles son las justificaciones de cada una de estas igualdades? Nota que algunas serán las definiciones, algunas serán la notación que estamos usando y finalmente otras se deducen de propiedades que ya demostramos (como la asociatividad).

$\square$

La suma se cancela

Imagina por un momento que tenemos una igualdad del estilo $x+8=y+8$ en los números naturales. Nos gustaría poder concluir que $x=y$. Sin embargo, no podemos hacer el «truco tradicional» de «restar 8» en cada lado de la igualdad para cancelar al 8, pues en los naturales no existe la operación de resta. Nos encontraremos con ella más adelante, hasta que trabajemos con los números enteros.

Aunque no podamos restar, de cualquier forma podemos realizar cancelaciones de este estilo. La siguiente proposición formaliza este hecho.

Proposición (cancelación por la derecha): Si, $a, b, n$ son naturales, tales que $a+n=b+n$, entonces $a=b$.

Demostración. Como ya esperábamos, sean $a$ y $b$ arbitrarios, y procedamos por inducción sobre $n$.

Base inductiva. Si $a+0=b+0$, por definición de $s_a$ y $s_b$ obtenemos $a=b$.

Hipótesis inductiva. Supongamos que $n$ es tal que cada vez que tengamos $a+n=b+n$, obtenemos que $a=b$.

Paso inductivo. Demostremos que si $a+\sigma(n)=b+\sigma(n)$, entonces $a=b$.

Entonces supongamos que $a+\sigma(n)=b+\sigma(n)$. Por definición $a+\sigma(n)=\sigma(a+n)$ y $b+\sigma(n)=\sigma(b+n)$. Por nuestra hipótesis tendríamos entonces que $\sigma(a+n)=\sigma(b+n)$. Usando el cuarto axioma de Peano, obtendríamos entonces que $a+n=b+n$. Finalmente, la hipótesis inductiva nos garantiza que entonces $a=b$, como buscábamos.

$\square$

Podemos enunciar el resultado anterior en una forma un poco más «funcional».

Corolario: Las funciones $s_{m}$ con $m\in \mathbb{N}$ son inyectivas.

Demostración: Con todas las herramientas que hemos desarrollado, ya no será necesario ocupar la inducción.

Si $s_{m}(a)=s_{m}(b)$, por la conmutatividad de la suma, tenemos que $s_{m}(a)=s_{a}(m)$ y $s_{m}(b)=s_{b}(m)$. Esto quiere decir que $a+m=b+m$, y por la proposición anterior, $a=b$.

$\square$

Con esto hemos demostrado las propiedades más fundamentales de la suma, a partir de las cuales podremos probar muchas más.

Resumen de propiedades de la suma

Para recapitular, en esta entrada demostramos las siguientes propiedades de la suma y por lo tanto podremos usarlas directamente de aquí en adelante:

  • Para todo $n$ natural, se tiene $0+n=n=n+0$.
  • Para todo $n$ natural, se tiene $1+n=\sigma(n)=n+1$.
  • Para $m$ y $n$ naturales cualesquiera, se tiene $m+n=n+m$.
  • Para $l,m,n$ naturales cualesquiera, se tiene que $l+(m+n)=(l+m)+n$.
  • Para $l,m,n$ naturales cualesquiera, si $m+l=n+l$, entonces $m=n$.

Más adelante…

Ya que conocemos las propiedades de la suma, podemos pasar a definir el producto, y análogamente, a como lo hicimos antes, estudiaremos sus propiedades usando el principio de Inducción.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Demuestra que si $a, b\in \mathbb{N}$, y $a+b=0$, entonces $a=b=0$.
  2. Demuestra que si $a+a=b+b$, entonces $a=b$. ¡Ten cuidado! En los números naturales no se vale «dividir», así que más bien tendrás que hacer una prueba inductiva.
  3. Sean $m,n,l$ naturales cualesquiera. Demuestra, usando sólo las propiedades que ya mostramos (ya sin inducción), que todas las siguientes expresiones son iguales:
    \begin{align*}
    m+(n+l)\\
    (l+m)+n\\
    n+(m+l)\\
    (n+l)+m\\
    \end{align*}
  4. ¿Cuáles de las funciones $s_{m}$ tienen inversa? ¿Qué significa esto?
  5. Antes de dominar las tablas de multiplicar de memoria, ¿Cómo multiplicabas? Ocupa esta idea para motivar una definición recursiva del producto de números naturales.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Superior II: Problemas de operaciones con polinomios

Por Claudia Silva

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Introducción

En una entrada anterior ya construimos el anillo de polinomios con coeficientes reales. Para hacer esto, tomamos las sucesiones que consisten casi de puros ceros, después les definimos las operaciones de suma y producto. Ahora practicaremos estos nuevos conceptos, resolviendo algunos problemas de operaciones con polinomios.

Problema de suma de polinomios

Comenzamos con un ejemplo de suma de polinomios del libro de Álgebra Superior de Bravo, Rincón y Rincón.

Ejercicio 399. Haz la suma de los siguientes polinomios:
\begin{align*}
p(x)&=(-85,0,-37,-35, 97, 50, \overline{0})\\
q(x)&=(56,49,0,57,\overline{0}).
\end{align*}

En el video se hace la suma de dos formas distintas. Primero, se hace la suma directamente de la definición, es decir, sumando los polinomios entrada a entrada como sucesiones. Después, se hace la suma en la notación de $x$ y potencias, que tal vez conozcas mejor.

Es importante entender que la notación de sucesiones sirve para establecer los fundamentos de los polinomios, pero no es práctica para hacer operaciones con polinomios concretas. Dependiendo del tipo de problema que se quiere resolver, a veces hay que usar una notación u otra.

Suma de polinomios

Problemas de producto de polinomios

A continuación se resuelven dos ejercicios de producto de polinomios.

Ejercicio. Multiplicar los polinomios $(2,0,3,\overline{0})$ y $(0,1,\overline{0})$.

En el vídeo se hace la multiplicación usando directamente la definición, paso a paso. Sin embargo, los pasos para realizar la multiplicación se pueden realizar en una tabla, como la que usamos en entradas anteriores. Después del vídeo ponemos la tabla correspondiente a la multiplicación.

Para hacer la multiplicación con una tabla, ponemos a las entradas del primer polinomio en la primer fila de una tabla, y a las del segundo polinomio en la primer columna de la tabla. Luego, hacemos las multiplicaciones «en cada casilla» como sigue:

$2$$0$$3$
$0$$0$$0$$0$
$1$$2$$0$$3$

De aquí, se puede leer el producto «por diagonales». La primer diagonal es $0$, la segunda $2+0=2$, la tercera $0+0=0$ y la cuarta $3$. Concluimos que el polinomio es $$(0,2,0,3,\overline{0}).$$

Veamos un ejemplo más, usando la notación de $x$ y sus potencias.

Ejercicio. Encuentra el producto de polinomios $(1+3x)(1-2x+3x^2)$.

Problema de división de polinomios

Finalmente, hacemos un ejemplo de división de polinomios. La técnica que se hace en el vídeo es la de «dividir con casita», que es una forma visual de representar el algoritmo de la división para polinomios. Hablaremos un poco más adelante de este algoritmo, y de por qué siempre nos da un residuo cero o de grado menor.

Cuando se hace la «división con casita», hay que recordar dejar los espacios correspondientes a los términos que tengan coeficiente $0$.

Ejercicio. Divide el polinomio $x^5+x^3+3x$ entre el polinomio $x^2-x+1$.

División de polinomios

Más adelante…

Aunque esta entrada la dedicamos para que pudieras practicar tus habilidades operando polinomios, te recomendamos seguir practicando, ya que estas operaciones serán la base de la teoría. A partir de aquí veremos los teoremas importantes sobre los polinomios.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Realiza la suma $(-10,0,3,-4,1,\overline{0})+(14,0,0,0,-5,0,3,\overline{0})$.
  2. Realiza el producto $(-1,1,\overline{0})(1,1,1,1,\overline{0})$.
  3. Realiza el producto $(x^3+4x^2-3)(2x^2+x-3)$.
  4. Realiza la división $(x^5+3x^4+x^3+5x^2-5x+1)/(x^2+3x-1)$.
  5. Realiza la división $(x^4+2x^3+2x^2+11x)/(x^2+3)$.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Superior II: El anillo de polinomios con coeficientes reales

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

2 respuestas

Introducción

Estamos listos para la cuarta y última parte del curso, en donde construiremos el anillo de polinomios con coeficientes reales. Los elementos de este anillo son polinomios, los cuales aparecen en numerosas áreas de las matemáticas. Tras su construcción, aprenderemos varias herramientas para trabajar con ellos.

En las tres primeras partes del curso ya trabajamos con otras estructuras algebraicas. Hasta ahora, hemos hablado de lo siguiente:

  • Naturales: Construimos a partir de teoría de conjuntos al conjunto $\mathbb{N}$ de números naturales, sus operaciones y orden. De lo más relevante es que dentro de los naturales podemos hacer definiciones por recursión y pruebas por inducción.
  • Enteros: Con $\mathbb{N}$ construimos a los enteros $\mathbb{Z}$, sus operaciones y orden. Hablamos de divisibilidad y factorización. Esto dio pie a construir $\mathbb{Z}_n$, los enteros módulo $n$, junto con su aritmética. Aprendimos a resolver ecuaciones en $\mathbb{Z}$ y sistemas de congruencias.
  • Racionales y reales: Mencionamos brevemente cómo se construye $\mathbb{Q}$ a partir de $\mathbb{Z}$ y cómo se construye $\mathbb{R}$ a partir de $\mathbb{Q}$. Tanto $\mathbb{R}$ como $\mathbb{Q}$ son campos, así que ahí se pueden hacer sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.
  • Complejos: A partir de $\mathbb{R}$ construimos el campo $\mathbb{C}$ de los números complejos. Definimos suma, multiplicación, inversos, norma y conjugados. Luego, desarrollamos herramientas para resolver varios tipos de ecuaciones en $\mathbb{C}$. Finalmente, construimos las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.

Quizás a estas alturas del curso ya veas un patrón de cómo estamos trabajando. Aunque varias de estas estructuras ya las conocías desde antes, hay una primer parte importante que consiste en formalizar cómo se construyen. Luego, vimos cómo se definen las operaciones en cada estructura y qué propiedades tienen. Haremos algo muy parecido con los polinomios.

Intuición de los polinomios

La idea de esta entrada es llegar a los polinomios que ya conocemos, es decir, a expresiones como la siguiente: $$4+5x+\frac{7}{2}x^2-x^4+3x^5.$$ Lo que tenemos que formalizar es qué significa esa «x», y cómo le hacemos para sumar y multiplicar expresiones de este tipo.

Intuitivamente, lo que queremos ese que en la suma «se sumen términos del mismo grado» y que en el producto «se haga la distribución y se agrupen términos del mismo grado». Por ejemplo, queremos que la suma funcione así

\begin{align*}
(1+&x-x^2+3x^3)+(-7+3x+x^2+2x^3+x^4)\\
&=(1-7)+(1+3)x+(-1+1)x^2+(3+2)x^3+(0+1)x^4\\
&=-6+4x+0x^2+5x^3+x^4\\
&=-6+4x+5x^3+x^4,
\end{align*}

y que la multiplicación funcione así

\begin{align*}
(2&+3x)(5+x+x^2)\\
&=2(5+x+x^2)+3x(5+x+x^2)\\
&=(10+2x+2x^2)+(15x+3x^2+3x^3)\\
&=10+(2+15)x+(2+3)x^2+3x^3\\
&=10+17x+5x^2+3x^3.
\end{align*}

El exponente más grande de una $x$ puede ser tan grande como queramos, pero no se vale que los polinomios tengan una infinidad de términos. Así, queremos descartar cosas del estilo $$1+x+x^2+x^3+x^4+\ldots,$$ en donde sumamos indefinidamente.

Construcción de polinomios

Para construir polinomios formalmente, tenemos que elegir de dónde van a venir sus coeficientes. Puede ser $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{Z}$ o incluso $\mathbb{Z}_7$, digamos. Nosotros nos enfocaremos en construir los polinomios con coeficientes en $\mathbb{R}$, que tiene la ventaja de ser un campo. Algunas de las propiedades que probaremos se valen para cualquier elección de coeficientes, pero otras no. No profundizaremos en estas diferencias, pero es bueno que lo tengas en mente para tu formación matemática posterior.

Una buena idea para formalizar el concepto de polinomio, es notar que un polinomio está determinado por la lista de sus coeficientes, con esta idea en mente, podemos relacionar nuestra búsqueda con un concepto conocido de Cálculo.

Definición. Dado un conjunto $X$, una sucesión de elementos de $X$ es una función $a:\mathbb{N}\to X$. Para $n$ en $\mathbb{N}$, a $a(n)$ usualmente lo denotamos simplemente por $a_n$, y a la sucesión $a$ por $\{a_n\}$.

Definición. El soporte de una sucesión es el conjunto de naturales $n$ tales que $a_n\neq 0$.

Podemos «visualizar» los primeros términos de una sucesión así: $$(a_0, a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, \ldots),$$ en donde podemos poner tantos términos como queramos y los puntos suspensivos indican que «sigue y sigue». Por supuesto, usualmente esta visualización no puede guardar toda la información de la sucesión, pero puede ayudarnos a entenderla un poco mejor.

Ejemplo 1. Si tomamos la función identidad $\text{id}:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$, obtenemos la sucesión $$(0,1,2,3,4,5,6,7,\ldots).$$

Al tomar la función $a:\mathbb{N}\to \mathbb{Z}$ tal que $a_n=(-1)^n$, obtenemos la sucesión $$(1,-1,1,-1,1,-1,\ldots).$$

$\triangle$

Los polinomios son aquellas sucesiones de reales que «después de un punto tienen puros ceros».

Definición. Un polinomio con coeficientes reales es una sucesión $\{a_n\}$ de reales tal que $a_n\neq 0$ sólo para una cantidad finita de naturales $n$.

En otras palabras, un polinomio es una sucesión con soporte finito. Si visualizamos a un polinomio como una sucesión, entonces es de la forma $$(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,\ldots),$$ en donde a partir de un punto ya tenemos puros ceros a la derecha. Por conveniencia, marcaremos ese punto con un $\overline{0}$.

Ejemplo 2. La sucesión $$\left(5,7,\frac{7}{2},0,-1,3,0,0,0,\ldots\right),$$ en la que después del $3$ ya todos los términos son ceros, representa a un polinomio. Con la convención de arriba, podemos escribirlo como $$\left(5,7,\frac{7}{2},0,-1,3,\overline{0}\right).$$ Su soporte consiste de aquellas posiciones en las que la sucesión no es cero, que son $0,1,2,4,5$.

La sucesión $$(1,-1,1,-1,1,-1,\ldots)$$ dada por $a_n=(-1)^n$ no es un polinomio, pues podemos encontrar una infinidad de términos no cero.

$\triangle$

Para que las definiciones de la siguiente sección te hagan sentido, puedes pensar de manera informal que la sucesión $$(a_0, a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, \ldots),$$ representa al polinomio $$a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5+\ldots.$$ La última condición en la definición de polinomio es la que garantiza que «tenemos un número finito de sumandos».

Definición. Definimos al conjunto de polinomios con coeficientes reales como $$\mathbb{R}[x]:=\{ p: p \text{ es polinomio con coeficientes reales}\}.$$

La igualdad de polinomios de define término a término, es decir.

Definición. Sean $a=\{a_n\}$ y $b=\{b_n\}$ en $\mathbb{R}[x]$. Decimos que $a=b$ si para todo natural se tiene $a_n=b_n$.

En las siguientes secciones definiremos las operaciones de suma y producto en $\mathbb{R}[x]$.

Suma y producto de polinomios

Los polinomios se suman «entrada a entrada».

Definición. Dados dos polinomios $a=\{a_n\}$ y $b=\{b_n\}$ en $\mathbb{R}[x]$, definimos su suma como el polinomio $$a+b:=\{a_n+b_n\},$$ o bien, en términos de sucesiones, como la sucesión $a+b:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$ tal que $(a+b)(n)=a(n)+b(n)$.

Observa que nos estamos apoyando en la suma en $\mathbb{R}$ para esta definición.

Ejemplo 1. Los polinomios $$\left(0,2,0,4,-1,\frac{2}{3},\overline{0}\right)$$ y $$\left(1,-2,-1,-4,-2,\overline{0}\right)$$ tienen como suma al polinomio $$\left(0+1,2-2,0-1,4-4,-1-2,\frac{2}{3}+0,0+0,\ldots\right),$$ que es $$\left(1,0,-1,0,-3,\frac{2}{3},\overline{0}\right).$$

$\triangle$

La suma de dos polinomios sí es un polinomio pues claramente es una sucesión, y su soporte se queda contenido en la unión de los soportes de los sumandos.

La siguiente definición guarda la idea de que para multiplicar queremos distribuir sumandos y agrupar términos del mismo grado. Tiene sentido si piensas en la asociación intuitiva informal que discutimos al final de la sección anterior.

Definición. Dados dos polinomios $a=\{a_n\}$ y $b=\{b_n\}$ en $\mathbb{R}[x]$, definimos su producto como el polinomio $$ab:=\{c_n\},$$ en donde $c_n$ está dado por $$c_n:=\sum_{i+j=n} a_ib_j,$$ en otras palabras, $$c_n=a_0b_n+a_1b_{n-1}+\ldots+a_{n-1}b_1+a_nb_0.$$

Aquí nos estamos apoyando en la suma y producto en $\mathbb{R}$ para definir la multiplicación de polinomios.

Una forma práctica de hacer el producto es mediante una tabla. En la primer fila ponemos al primer polinomio y en la primer columna al segundo. Las entradas interiores son el producto de la fila y columna correspondiente. Una vez que hacemos esto, la entrada $c_j$ del producto es la suma de los elementos en la $j$-ésima «diagonal».

Ejemplo 2. Multipliquemos a los polinomios $$a=(3,-2,0,1,\overline{0})$$ y $$b=(0,2,7,\overline{0}).$$

Ponemos a $a$ y $b$ en la primer fila y columna respectivamente de la siguiente tabla:

$3$$-2$$0$$1$
$0$
$2$
$7$

Luego, en cada entrada interior de la tabla ponemos el producto de los coeficientes correspondientes:

$3$$-2$$0$$1$
$0$$3 \cdot 0$$-2 \cdot 0$$0\cdot 0$$1\cdot 0$
$2$$3 \cdot 2$$-2 \cdot 2$$0\cdot 2$$1\cdot 2$
$7$$3 \cdot 7$$-2 \cdot 7$$0\cdot 7$$1\cdot 7$

Después, hacemos las operaciones:

$3$$-2$$0$$1$
$0$$0$$0$$0$$0$
$2$$6$$-4$$0$$2$
$3$$21$$-14$$0$$7$

Finalmente, para encontrar el coeficiente $c_j$ del producto, hacemos la suma de las entradas en la $j$-ésima diagonal dentro de la tabla, es decir:
\begin{align*}
c_0&=0\\
c_1&=6+0=6\\
c_2&=21-4+0=17\\
c_3&=-14+0+0=-14\\
c_4&=0+2=2\\
c_5&=7.
\end{align*}

De esta forma, el polinomio producto es $$(0,6,17,-14,2,7,\overline{0}).$$ Es muy recomendable que notes que esto coincide con el producto (por ahora informal) \begin{align*}(3-&2x+x^3)(2x+7x^2)\\&=6x+17x^2-14x^3+2x^4+7x^5.\end{align*}

$\triangle$

El anillo de polinomios con coeficientes reales

Los polinomios y los enteros se parecen, en el sentido de que como estructura algebraica comparten muchas propiedades. La idea de esta sección es formalizar esta afirmación.

Teorema. El conjunto $\mathbb{R}[x]$ con las operaciones de suma y producto arriba definidos forman un anillo.

Demostración. Por una parte, tenemos que mostrar que la suma es asociativa, conmutativa, que tiene neutro e inversos aditivos. Por otra parte, tenemos que mostrar que el producto es asociativo. Finalmente, tenemos que mostrar que se vale la ley distributiva.

Tomemos dos polinomios $a=\{a_n\}$, $b=\{b_n\}$ y un natural $n$. El término $n$ de $a+b$ es $a_n+b_n$ y el de $b+a$ es $b_n+a_n$, que son iguales por la conmutatividad de la suma en $\mathbb{R}$. De manera similar, se muestra que la suma es asociativa.

El polinomio $(\overline{0})$ es la identidad de la suma. Esto es sencillo de mostrar y se queda como tarea moral. Además, si $a=\{a_n\}$ es un polinomio, entonces $\{-a_n\}$ es una sucesión con el mismo soporte (y por lo tanto finito), que cumple que $$\{a_n\}+\{-a_n\}=(0,0,0,\ldots)=(\overline{0}),$$ así que la suma tiene inversos aditivos.

Ahora probemos la asociatividad del producto. Tomemos tres polinomios $a=\{a_n\}$, $b=\{b_n\}$, $c=\{c_n\}$ y un natural $n$. Hagamos el producto $(ab)c$. Para cada $i$, el $i$-ésimo término de $ab$ es un cierto $d_i$ dado por $$d_i = \sum_{k+l=i} a_k b_l.$$ El $n$-ésimo término de $(ab)c$ es entonces
\begin{align*}
\sum_{i+j=n}d_ic_j &= \sum_{i+j=n}\sum_{k+l=i} a_kb_lc_j\\
&=\sum_{k+l+j=n}a_kb_lc_j.
\end{align*}

Un argumento análogo muestra que el $n$-esimo término de $a(bc)$ es también \begin{align*}
\sum_{k+l+j=n}a_kb_lc_j,
\end{align*}

lo cual muestra que la multiplicación es asociativa.

Lo último que nos queda por probar es la ley distributiva. Tomemos tres polinomios $a=\{a_n\}$, $b=\{b_n\}$, $c=\{c_n\}$ y un natural $n$. Usamos las propiedades de las operaciones en $\mathbb{R}$ para ver que el $n$-ésimo término de $a(b+c)$ es
\begin{align*}
\sum_{i+j=n} a_i(b_j+c_j)&=\sum_{i+j=n} (a_ib_j+ a_i c_j)\\
&=\sum_{i+j=n} a_ib_j + \sum_{i+j=n} a_ic_j.
\end{align*}

A la derecha tenemos el $n$-ésimo término de $ab$ sumado con el $n$-ésimo término de $ac$, así que coincide con el $n$-ésimo término de la suma $ab+ac$. Esto muestra que $a(b+c)$ y $ab+ac$ son iguales término a término y por lo tanto son iguales como polinomios.

$\square$

Como de costumbre, al inverso aditivo de un polinomio $a$ le llamamos $-a$, y definimos $a-b:=a+(-b)$.

Proposición. La multiplicación en $\mathbb{R}[x]$ es conmutativa.

Demostración. Tomemos dos polinomios $a=\{a_n\}$ y $b=\{b_n\}$. Tenemos que ver que $ab$ y $ba$ son iguales término a término. Tomemos entonces un natural $n$. El término $c_n$ de $ab$ es $$c_n=\sum_{i+j=n} a_ib_j,$$ y el término $d_n$ de $ba$ es $$d_n=\sum_{i+j=n} b_ia_j.$$ Por la conmutatividad de la suma y el producto en $\mathbb{R}$, tenemos que $c_n=d_n$.

$\square$

Proposición. La multiplicación en $\mathbb{R}[x]$ tiene identidad.

Demostración. El polinomio $(1,\overline{0})$ es la identidad multiplicativa. Esto es sencillo de mostrar y se queda como tarea moral.

$\square$

Proposición. Si $a$ y $b$ son polinomios en $\mathbb{R}[x]$ distintos del polinomio $(\overline{0})$, entonces su producto también.

Demostración. Para ello, tomemos el mayor natural $m$ tal que $a_m\neq 0$ y el mayor natural $n$ tal que $b_n\neq 0$. Estos existen pues $a$ y $b$ no son el polinomio $(\overline{0})$, y su soporte es finito.

Cualquier pareja de naturales $k$ y $l$ tales que $k+l=m+n$ con $k\leq m-1$ cumple $l\geq n+1.$ Así, si $k+l=m+n$ tenemos que:

  • Si $k\leq m-1$, entonces $b_l=0$ y por lo tanto $a_kb_l=0$.
  • Si $k\geq m+1$, entonces $a_k=0$ y por lo tanto $a_kb_l=0$.
  • Finalmente, si $k=m$, entonces $l=n$ y $$a_kb_l=a_mb_n\neq 0.$$

De esta forma, el $(m+n)$-ésimo término de $ab$ es $$\sum_{k+l=m+n} a_k b_l=a_mb_n\neq 0,$$ de modo que $ab$ no es el polinomio $(\overline{0})$.

$\square$

Corolario. En $\mathbb{R}[x]$ se vale la regla de cancelación, es decir, si $a,b,c$ son polinomios, $a\neq 0$ y $ab=ac$, entonces $b=c$.

Demostración. De la igualdad $ab=ac$ obtenemos la igualdad $a(b-c)=0$. Como $a\neq 0$, por la proposición anterior debemos tener $b-c=0$, es decir, $b=c$.

$\square$

A un anillo conmutativo cuya multiplicación tiene identidad y en donde se vale la regla de cancelación se le conoce como un dominio entero.

Teorema. El anillo $\mathbb{R}[x]$ es un dominio entero.

Con esto terminamos la construcción de $\mathbb{R}[x]$ y de sus operaciones. Cuando trabajamos con los polinomios de manera práctica resulta engorroso mantener esta notación de sucesiones. En la siguiente entrada justificaremos el uso de la notación «usual» de los polinomios, en la que usamos la letra «x» y exponentes.

Más adelante…

Ya que definimos el anillo de polinomios con coeficientes en los reales, y sus operaciones, el siguiente paso que haremos será practicar como operar polinomios.

Después de esto empezaremos a desarrollar la teoría sobre los polinomios. Como ya hemos mencionado, y como te podrás dar cuenta en las siguientes entradas, esta teoría será muy similar a la que desarrollamos para los números enteros cuando vimos los temas de teoría de números.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Justifica por qué el soporte del producto de dos polinomios es finito.
  2. Muestra que la suma en $\mathbb{R}[x]$ es asociativa.
  3. Verifica que el polinomio $(\overline{0})$ es la identidad aditiva en $\mathbb{R}[x]$.
  4. Verifica que el polinomio $(1,\overline{0})$ es la identidad multiplicativa en $\mathbb{R}[x]$.
  5. Considera los polinomios $a=\left(\frac{1}{3},4,\frac{5}{7},8,\overline{0}\right)$ y $b=\left(0,0,\frac{2}{5},\frac{3}{4},\overline{0}\right)$. Determina $a+b$ y $a\cdot b$.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Seminario de Resolución de Problemas: La integral

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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Introducción

Ya hemos cubierto varios temas de cálculo y resolución de problemas. Comenzamos platicando acerca de continuidad y de dos teoremas importantes para funciones continuas: el teorema del valor intermedio y el teorema del valor extremo. Después, hablamos acerca de derivadas y de dos teoremas importantes para funciones diferenciables: el teorema de Rolle y el teorema del valor medio. Luego, vimos que la diferenciabilidad también nos ayuda a encontrar límites de cocientes y potencias de formas indefinidas mediante la regla de L’Hôpital. En esta entrada y la siguiente hablaremos de la integral y cómo las ideas detrás de su construcción, así como sus propiedades, pueden ayudar a resolver problemas.

Para entender esta sección bien, es importante que conozcas la construcción de la integral de Riemann en una variable, así como sus propiedades principales. También supondremos que conoces las técnicas usuales para resolver integrales. Esto se hace durante el primer año de un curso de cálculo a nivel licenciatura. También puedes revisarlo en la literatura clásica, como el libro de Cálculo de Spivak.

Usar la integral como un área

La integral es por definición un límite de sumas superiores o inferiores. Hay problemas en los que podemos aprovechar esto para entender una suma o una sucesión. A grandes rasgos lo que hacemos es:

  • Interpretar la sucesión o serie como una suma de areas correspondiente a una suma superior o inferior de cierta integral $\int f(x) \,dx$.
  • Usar lo que sabemos de integración para poder decir algo del área dada por $\int f(x)\, dx$
  • Regresar esta información al problema original.

Veamos un ejemplo de esto.

Problema. Calcula el siguiente límite $$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\ldots+\frac{1}{2n-1}\right).$$

La cantidad de términos de este límite depende de $n$, así que no podemos hacerlos uno por uno. No hay una forma sencilla de hacer la suma. Tampoco parece que podamos usar la regla de L’Hôpital. Lo que haremos es entender a la expresión dentro del límite de manera geométrica.

Sugerencia pre-solución. Haz una figura con la que puedas relacionar el límite que buscamos con cierta área que puedas expresar en términos de una integral.

Solución. Consideremos la gráfica de la función $f(x)=\frac{1}{x}$ en el intervalo $[n,2n]$ y el área debajo de esta gráfica, que mostramos en verde a continuación.

Integral de 1/x en el intervalo de n a 2n.
Gráfica de $1/x$ en el intervalo $[n,2n]$

Notemos que la suma que aparece en el problemas corresponde a sumar las áreas de los rectángulos de base $1$ y alturas $\frac{1}{n}$, $\frac{1}{n+1}$, $\ldots$, $\frac{1}{2n-1}$, que podemos encontrar en azul en la siguiente figura.

Cota con suma superior
Dar una cota inferior para nuestra expresión.

Así, obtenemos que podemos acotar inferiormente nuestra suma de la siguiente manera:

\begin{align*}
\frac{1}{n}+\ldots+\frac{1}{2n-1} &> \int_n^{2n} \frac{1}{x}\, dx\\
&= (\log x) \Big|_n^{2n} \\
&= \log 2.
\end{align*}

De manera similar, podemos pensar ahora en rectángulos que queden por debajo de la gráfica de la función, y que en total su area es menor que el valor de la integral. Los mostramos a continuación en color rojo:

Cota con suma inferior
Dar una cota superior para nuestra expresión (un poco cambiada)

De aquí, podemos dar la siguiente cota:

\begin{align*}
\frac{1}{n+1}+\ldots+\frac{1}{2n} &< \int_n^{2n} \frac{1}{x}\, dx\\
&= (\log x) \Big|_n^{2n} \\
&= \log 2.
\end{align*}

Si juntamos ambas desigualdades, deducimos que $$\log 2< \frac{1}{n}+\ldots+\frac{1}{2n-1}<\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n}\right) + \log 2.$$

Ahora sí podemos hacer $n\to \infty$. Como ambos lados de la desigualdad convergen a $\log 2$, tenemos que la sucesión que nos interesa también debe converger a $\log 2$.

$\square$

Traducir a una integral y usar técnicas de integración

Hay varias técnicas que podemos usar para realizar integrales: cambio de variable, integración trigonométrica, integración por partes, integración por fracciones parciales, etc. En algunas ocasiones podemos transformar un problema a una integral, aplicar una de estas técnicas, y luego regresar al contexto original. Veamos un ejemplo de esto.

Problema. Demuestra que para cualquier par de enteros positivos $m$ y $n$ tenemos que $$\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k}\frac{1}{k+m+1} = \sum_{k=0}^m (-1)^k \binom{m}{k} \frac{1}{k+n+1}.$$

Sugerencia pre-solución. Intenta formular un problema equivalente aprovechando que para cualquier entero no negativo $r$ se tiene que $\frac{1}{r+1}=\int_0^1 t^r \, dt$. Tendrás que usar esto varias veces, usar la fórmula de binomio de Newton y después aprovechar una simetría para hacer un cambio de variable.

Solución. Notemos que $$\frac{1}{k+m+1}=\int_0^1 t^{k+m} \, dt.$$ Substituyendo en la expresión de la izquierda, obtenemos que la suma buscada es $$\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}\int_0^1t^{k+m}\, dt.$$ Usando la linealidad de la integral y la fórmula del binomio de Newton tenemos que esta suma es igual a
\begin{align*}
&\int_0^1 \sum_{k=1}^n (-1)^k \binom{n}{k} t^{k+m}\, dt \\
=& \int_0^1 t^m(1-t)^n \, dt.
\end{align*}

Con el cambio de variable $s=1-t$, la integral anterior es igual a $$\int_0^1 s^n(1-s)^m.$$ Pero por un argumento inverso al que hicimos para llegar a la primer integral, esta segunda integral es igual a $$\sum_{k=0}^m (-1)^k\binom{m}{k}\frac{1}{k+n+1}.$$

Esto es justo el lado derecho en la identidad que queríamos.

$\square$

El teorema de Lebesgue

No todas las funciones son integrables con la definición de Riemann (que aquí simplemente llamaremos «ser integrable»), pues puede ser que el límite de las sumas superiores no sea igual al de las sumas inferiores. Un resultado profundo en cálculo es el criterio de Lebesgue, que caracteriza aquellas funciones acotadas que tienen integral de Riemann en un intervalo.

Teorema (criterio de Lebesgue). Una función acotada $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ es integrable si y sólo si su conjunto de discontinuidades tiene medida $0$.

El teorema de Lebesgue da una prueba sencilla de que si $f$ y $g$ son integrables, entonces su producto también, lo cual no es fácil de probar a partir de la definición. A continuación esbozamos esta prueba.

Las discontinuidades de $f^2$ están contenidas en las de $f$, de modo que si $f$ es integrable, por el teorema de Lebesgue $f^2$ también. Además, suma y resta de integrables es sencillo ver que es integrable, de modo que $(f+g)^2$ también lo es. Para concluir, notamos que $$fg=\frac{(f+g)^2-f^2-g^2}{2},$$ de modo que $fg$ es integrable.

Veamos un problema que combina varias de las ideas de cálculo que hemos visto.

Problema. Si $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ es una función tal que $f+\sin(f)$ es integrable, entonces $f$ también es integrable.

Sugerencia pre-solución. Usa el criterio de Lebesgue. Necesitarás estudiar las discontinuidades con cuidado, para lo cual es útil recordar cómo interactúan las funciones continuas con las sucesiones convergentes.

Solución. Como $f+\sin(f)$ es integrable, entonces es acotada. Así, $f$ también lo es. La función $g(x)=x+\sin(x)$ tiene derivada $1+\cos(x)\geq 0$ y que es $0$ sólo en un conjunto discreto de puntos, de modo que es estrictamente creciente. Además, los límites en $-\infty$ y $\infty$ son $-\infty$ e $\infty$ respectivamente. Por el teorema del valor intermedio, pasa por todos los reales. Así, $g$ es una función biyectiva.

Mostraremos que las discontinuidades de $f$ están contenidas en las de $f+\sin(f)$, o bien, dicho de otra forma, que si $f+\sin(f)$ es continua en $x$, entonces $f$ también. Tomemos una sucesión $\{x_n\}$ que converge a $x$. Como $f+\sin(f)$ es continua en $x$, tenemos que $\{f(x_n)+\sin(f(x_n))\}$ converge a $f(x)+\sin(f(x))=g(f(x))$.

Como $f$ es una función acotada, la sucesión $\{f(x_n)\}$ es acotada, y para ver que converge a un límite, basta ver que toda subsucesión convergente converge al mismo límite. Tomemos una subsucesión convergente digamos, al límite $L$. Tendríamos que $g(L)=g(f(x))$, y como $g$ es biyectiva tendríamos que $L=f(x)$. En otras palabras, toda subsucesión convergente de $\{f(x_n)\}$ converge a $f(x)$. De esta forma, $\{f(x_n)\}$ converge a $f(x)$. Con esto concluimos que $f$ es continua en $x$.

Concluimos que el conjunto de discontinuidades de $f$ está contenido en el de $f+\sin(f)$, el cual tiene medida $0$. De este modo, el de $f$ también tiene medida $0$ y por el criterio de Lebesgue, es integrable.

$\square$

Más problemas

Hay más ejemplos de problemas relacionados con la integral en la Sección 6.8 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Álgebra Superior II: La conjugación compleja

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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Introducción

En una entrada anterior definimos el conjunto $\mathbb{C}$ de los números complejos. Vimos que sus elementos tienen la forma $a+bi$, donde $a$ y $b$ son números reales. Definimos las operaciones de suma y producto, y vimos que, con estas operaciones, $\mathbb{C}$ es un campo. En esta entrada hablaremos acerca de la conjugación compleja.

Definición. Sea $z=a+bi$ un número complejo. El conjugado de $z$ es el número complejo $a-bi$ que denotaremos como $\overline{z}$.

Ejemplo. Sea $z=5+8i$, entonces $\overline{z}=5-8i$. Si $z=\sqrt{3}-8\pi i $, entonces $\overline{z}=\sqrt{3}+8\pi i$.

En la entrada anterior justificamos que podíamos abandonar la notación de parejas, sin embargo en ocasiones seguirá siendo útil pensar al complejo $a+bi$ como el punto $(a,b)$ del plano. Si lo pensamos así, la conjugación compleja manda al punto $(a,b)$ en el punto $(a,-b)$, es decir, se comporta como una reflexión en el eje $x$.

La conjugación compleja se comporta como una reflexión en el eje x
La conjugación compleja se comporta como una reflexión en el eje $x$

Conjugación y operaciones complejas

La conjugación compleja «se comporta bien» con las operaciones definidas en $\mathbb{C}$. Este es el contenido de la siguiente proposición.

Proposición 1. Si $w$ y $z$ son números complejos, entonces:

  • El conjugado de la suma es la suma de los conjugados, es decir, $\overline{w+z}=\overline{w}+\overline{z}$.
  • El conjugado del producto es el producto de los conjugados, es decir, $\overline{wz}=\overline{w}\overline{z}$.

Demostración. Si escribimos a $w=a+bi$ y $z=c+di$ con $a,b,c,d$ números reales. Tenemos que
\begin{align*}
\overline{w+z}&=\overline{(a+c)+(b+d)i}\\
&=(a+c)-(b+d)i\\
&=(a-bi)+(c-di)\\
&=\overline{w}+\overline{z},
\end{align*} lo cual prueba la primera parte de la proposición. Por otro lado
\begin{align*}
\overline{wz}&=\overline{(ac-bd)+(ad+bc)i}\\
&=(ac-bd)-(ad+bc)i\\
&=(ac-(-b)(-d))+(a(-d)+b(-c))i\\
&=(a-bi)(c-di)\\
&=\overline{w}\overline{z},
\end{align*} lo cual prueba la segunda parte.

$\square$

Se pueden mostrar resultados análogos para la conjugación compleja de la resta y cociente. Esto se deja en la tarea moral.

Ejemplo. Considera los números complejos $5+4i$, $3+2i$ y $1-i$. Vamos a determinar el conjugado de su suma de dos formas distintas. Por un lado, si los sumamos obtenemos el complejo $$(5+3+1)+(4+2-1)i=9+5i,$$ cuyo conjugado es $9-5i$.

Por otro lado, podemos conjugar a cada uno de los números de manera independiente para obtener $5-4i$, $3-2i$ y $1+i$. Al hacer la suma de estos complejos, obtenemos $$(5+3+1)+(-4-2+1)i=9-5i.$$ En ambos casos obtenemos lo mismo.

$\triangle$

La conjugación compleja es autoinversa

Proposición 2. La operación «conjugar» es autoinversa, y por lo tanto es biyectiva.

Demostración. En efecto, si $z=a+bi$, entonces $$\overline{\overline{z}}=\overline{a-bi}=a+bi=z.$$

Para ver que conjugar es suprayectivo, tomemos $z$ en $\mathbb{C}$. Tenemos que $\overline{\overline{z}}=z$, de modo que $z$ está en la imagen de la operación conjugación.

Para ver que conjugar es inyectivo, tomemos $w$ y $z$ en $\mathbb{C}$ tales que $\overline{w}=\overline{z}$. Aplicando conjugación a esta igualdad, y usando la primer parte de la proposición, tenemos que $w=z$.

$\square$

Operaciones de un complejo con su conjugado

Sea $z=a+bi$ un número complejo, a $a$ le llamamos la parte real de $z$ y a $b$ le llamamos la parte imaginaria. Usamos la notación $a=\text{Re}(z)$ y $b=\text{Im}(z)$, respectivamente. Cuidado: la parte imaginaria es un número real. Se llama parte imaginaria porque es la que acompaña a $i$.

Si hacemos operaciones de un complejo con su conjugado, obtenemos valores especiales.

Proposición 3. Sea $z$ un número complejo. Entonces:

  • $z+\overline{z}=2\text{Re}(z)$
  • $z-\overline{z}=2\text{Im}(z) i$
  • $z\overline{z}=\text{Re}(z)^2+\text{Im}(z)^2$

La demostración de la Proposición 3 es sencilla y se deja como tarea moral.

Ejemplo. Si tomamos el número complejo $3+4i$ y le sumamos su conjugado $3-4i$, obtenemos el número real $6$, que es dos veces la parte real de $3+4i$.

Si hacemos la multiplicación $(3+4i)(3-4i)$, obtenemos también un número real: $$3^2-(4i)^2=9-(-16)=25.$$

$\square$

Como corolario de la Proposición 3, obtenemos lo siguiente.

Corolario. Si $z=\overline{z}$, entonces $z$ es un número real.

Demostración. Por la primera parte de la Proposición 3, tenemos que $2z=z+\overline{z}=2\text{Re}(z)$, de modo que $z=\text{Re}(z)$ y por lo tanto $z$ es un número real.

$\square$

Ejercicio. Muestra que el complejo $$\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}+\frac{1-\sqrt{5}}{2} i \right) \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{1-\sqrt{5}}{2} i \right)$$ es un número real.

Solución. Podríamos hacer las cuentas y verificar que la parte imaginaria es $0$. Sin embargo, basta con notar que la expresión es el producto de un complejo con su conjugado, es decir, es de la forma $z\overline{z}$. De manera directa, por la última parte de la Proposición 3 obtenemos que es un número real.

$\square$

La conjugación compleja es (casi) el único automorfismo que fija a los reales

En las secciones anteriores vimos que la conjugación compleja deja fijos a los reales y que respeta las operaciones. En esta sección veremos que es la única operación, en $\mathbb{C}$, que hace esto sin ser la identidad.

Teorema. Si $\eta:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ es una función biyectiva. tal que:

  • $\eta$ no es la identidad.
  • $\eta(a)=a$ para todo $a$ real.
  • $\eta(w+z)=\eta(w)+\eta(z)$ para todo par de complejos $w$ y $z$.
  • $\eta(wz)=\eta(w)\eta(z)$ para todo par de complejos $w$ y $z$.

Entonces $\eta$ es la conjugación compleja.

Demostración. Sea $z=a+bi$, tenemos que

\begin{align*}
\eta(a+bi)&=\eta(a)+\eta(bi)\\
&=\eta(a)+\eta(b)\eta(i)\\
&=a+b\eta(i),
\end{align*}

así que basta determinar quién es $\eta(i)$. Por otro lado, como $-1$ es real, tenemos también que
\begin{align*}
-1&=\eta(-1)\\
&=\eta(i\cdot i)\\
&=\eta(i)\eta(i)\\
&=\eta(i)^2,
\end{align*}

de modo que $\eta(i)$ es una raíz de $-1$ y por lo tanto es $i$ o $-i$. Si $\eta(i)=i$, tendríamos que $\eta$ es la identidad, lo cual contradice nuestras hipótesis. Así, $\eta(i)=-i$ y por lo tanto $\eta$ es la conjugación compleja.

$\square$

Más adelante…

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Considera los números complejos $w_j=5+(2-j)i$, en donde $j$ es un entero en $\lbrace 0,1,2,3,4\rbrace$. Encuentra el valor de la suma $w_0+w_1+w_2+w_3+w_4$ y del producto $w_0w_1w_2w_3w_4$.
  2. Toma los números complejos $w$ y $z$. Muestra que $\overline{w-z}=\overline{w}-\overline{z}$ y que si $z\neq 0$, entonces $\overline{w/z}=\overline{w}/ \overline{z}$.
  3. Haz la demostración de la Proposición 3.
  4. ¿Cuáles números complejos satisfacen que $z^2=\overline{z}$?
  5. Sea $z$ un número complejo distinto de $0$. ¿Qué obtienes cuando realizas la división $z/\overline{z}$?

En el blog hay una entrada acerca de aplicaciones de la aritmética de números complejos a la resolución de problemas en matemáticas. No formará parte de la evaluación del curso, pero puede ayudarte a entender más profundamente lo que estamos haciendo y a motivar la teoría que desarrollamos.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»