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Álgebra Superior II: Definición de la suma y sus propiedades básicas

Introducción

Para continuar con nuestra tarea de construir las operaciones más elementales de los números naturales, en esta entrada definimos la conocida operación suma. Un buen ejercicio antes de empezar con el contenido de la entrada, es pensar ¿Cómo podemos definir la suma de dos números enteros? De nuevo nos encontramos con el problema de intentar definir formalmente algo que ha sido intuitivo para nosotros durante la mayor parte de nuestra vida.

Sin embargo, todo el trabajo que hicimos en las entradas anteriores, especialmente en la demostración del teorema de Recursión, nos servirán para poder dar una definición precisa de qué es la suma. Además, usando el principio de Inducción, podremos demostrar las propiedades que nos han sido tan familiares desde hace mucho tiempo.

La idea intuitiva de la suma

La primera forma en la que aprendimos a sumar, al menos de manera intuitiva y tal vez limitada, fue usando nuestros dedos. Ocuparemos esta idea como hilo conductor, para poder llegar a la definición recursiva de la suma. Con esta forma de pensar, si queríamos sumar 3+4, poníamos frente a nosotros nuestras manos con los dedos abajo, e instantáneamente mencionábamos la palabra «tres«. Después estirábamos un primer dedo y al mismo tiempo, mencionábamos la palabra «cuatro» (a quien ahora conocemos como el sucesor de 3), después alzábamos un segundo dedo y decíamos «cinco» (el sucesor de 4) , y continuábamos de la misma manera hasta que tuviéramos cuatro dedos totalmente extendidos; momento en el cual, decíamos el resultado: «siete«.

Analicemos un poco qué es lo que queremos decir con «continuábamos de la misma manera«. Entre cada número que contábamos, varias cosas pasaban por nuestra mente. Al mencionar un número, lo primero que hacíamos era cerciorarnos que aún tuviéramos extendidos menos dedos de los que queríamos añadir. Si esta condición se satisfacía, teníamos que grabarnos el número que habíamos mencionado justo en ese instante (el olvidar dicho número, tenía como consecuencia empezar el procedimiento desde el inicio), después alzábamos el siguiente dedo, y mencionábamos el sucesor del número memorizado (es por esto que recordar ese número era tan importante). Muy a grandes rasgos esto es lo mismo que lo que haremos de manera formal.

Definición de la suma

Esperamos que en los párrafos anteriores puedas encontrar una analogía entre el algoritmo que usábamos para sumar cotidianamente, y el método recursivo que describiremos a continuación. Antes de precisar la definición de la suma, hay que aclarar que no definiremos «de golpe» qué quiere decir «sumar dos números». Más bien, lo que haremos es, para cada natural, decir qué quiere decir «sumarle otro». Lo haremos de esta manera pues esto es lo que nos permite hacer el teorema de Recursión. Así, para cada número natural m (fijo) obtendremos una función que nos sume a ese número fijo, una cantidad arbitraria.

Definición: Sea m\in\mathbb{N}. Definimos la función s_{m}:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N}, como la única función que satisface las propiedades siguientes:

  1. s_{m}(0)=m
  2. s_{m}(\sigma(n))=\sigma(s_{m}(n)).

Denotaremos s_{m}(n) como m+n.

Vale la pena hacer un par de comentarios de la definición anterior. Primero mencionamos que esta definición depende totalmente del teorema de Recursión Débil. Si regresas al enunciado del teorema, podemos notar que la función s_m se obtiene tomando X=\mathbb{N}, x_{0}=m, f=\sigma y g=s_{m}.

En segundo lugar, hay que remarcar que a pesar de nuestra intuición, los papeles de m y n en la expresión m+n, no son intercambiables. Por definición m+n=s_{m}(n), mientras que n+m=s_{n}(m). A primera vista, estos valores no tienen por qué coincidir. Veremos que en efecto esta y otras propiedades sí son válidas, para que posteriormente podamos utilizarlas de manera directa.

Aprender a sumar cero

De aquí en adelante probaremos varias propiedades de la suma. Debido a la definición recursiva de esta función, la mayor herramienta que ocuparemos es el principio de Inducción.

Antes de lanzarnos a demostrar la primer propiedad, nota que directamente de las definiciones de las funciones s_{m} y de la notación que estamos usando, se tiene que m+0=s_m(0)=m. Ahora nos gustaría ver que también 0+m=m, pero como aún no sabemos que la suma sea conmutativa, tendremos que probarlo por inducción.

Proposición: Para todo n\in\mathbb{N} se tiene que s_{0}(n)=n, es decir, 0+n=n

Demostración. Como se mencionó, procedamos por inducción sobre n.

Base inductiva: Por el punto (1) de la definición de s_0, tenemos que s_{0}(0)=0.

Hipótesis inductiva: Supongamos que para algún n\in\mathbb{N}, se tiene que s_{0}(n)=n

Paso inductivo: Demostremos que s_{0}(\sigma(n))=\sigma(n).

La demostración se sigue de la siguiente cadena de igualdades, las cuales justificamos una a una abajo:

    \begin{align*}s_{0}(\sigma(n))&=\sigma(s_{0}(n)) \\&\overset{\text{H.I.}}{=}\sigma(n).\end{align*}

La primera igualdad sucede por el punto (2) de la definición de s_0. La segunda igualdad sucede por la hipótesis inductiva, lo cual estamos indicando con un «H.I.» sobre el símbolo de igualdad.

Esto termina el paso inductivo y entonces la proposición se vale para todos los naturales.

\square

Así, ya sabemos «sumar cero».

Aprender a sumar uno

Veamos ahora que nuestra intuición de «sumar uno» en efecto coincide de manera formal con «ir al sucesor».

Observación: Tenemos la siguiente cadena de igualdades

    \[n+1=s_{n}(1)=s_{n}(\sigma(0))=\sigma(s_{n}(0))=\sigma(n).\]

La primera es por nuestra elección de notación. La segunda por la definición del símbolo 1, pues simplemente es el sucesor de 0. La tercera es por el punto (2) de la definición de s_n. Finalmente, la última es por el punto (1) de la definición de s_n.

\square

Proposición: Para todo n\in\mathbb{N} se tiene que s_{1}(n)=\sigma(n), es decir, que al juntarlo con la observación anterior obtenemos 1+n=\sigma(n)=n+1.

Demostración. Demostremos que s_1(n)=\sigma(n) por inducción sobre n. Tenemos que s_{1}(0)=1=\sigma(0) por el punto (1) de la definición de s_1 y por la definición de 1. Esto muestra que la igualdad se cumple en el caso base n=0.

Nuestra hipótesis de inducción es suponer que s_{1}(n)=\sigma(n) y a partir de ella debemos demostrar que s_{1}(\sigma(n))=\sigma(\sigma(n)). Esto lo logramos mediante la siguiente cadena de igualdades:

    \begin{align*}s_{1}(\sigma(n))&=\sigma(s_{1}(n))\\ &\overset{\text{H.I.}}{=} \sigma(\sigma(n))\end{align*}

La primera igualdad se debe al punto (2) de la definición de s_1.

\square

La suma es asociativa

Con los resultados probados en las dos secciones anteriores, continuamos ahora probando propiedades más interesantes de la suma. Aunque las aprendimos desde la educación básica, ahora será momento de justificar por qué se deducen de lo que hemos construido. Empezamos por la asociatividad.

Proposición (asociatividad): Si a, b, n, son naturales arbitrarios, entonces (a+b)+n=a+(b+n).

Como es usual, aquí los paréntesis significan «hacer esa operación primero». Si quisiéramos usar la notación formal, tendríamos que enunciar la asociatividad como

    \[s_{a+b}(n)=s_a(s_b(n)),\]

y cuando hagamos la demostración aprovecharemos la definición de estas funciones s_{a+b}, s_a y s_b.

Demostración. Procedamos por inducción. Tenemos tres variables naturales. ¿Sobre cuál hacemos inducción? Esto es una decisión importante y el hacer una elección incorrecta puede dificultar la prueba o impedir concluirla. Haremos inducción sobre n, pero te recomendamos que intentes hacerlo sobre las otras variables para detectar las dificultades que pueden surgir.

Base inductiva: (a+b)+0=a+b=a+(b+0). En el primer paso usamos el punto (1) de la definición de s_{a+b} y en el segundo usamos el punto (1) de la definición de s_b.

Hipótesis inductiva: Supongamos que (a+b)+n=a+(b+n). Recuerda que en una prueba inductiva sólo se hace la hipótesis inductiva para un valor fijo de n, pero lo que se quiere suponer es que se vale para todo valor de n. Así, no estamos suponiendo que cualquier n pueda asociarse con cualesquiera dos números, solo estamos suponiendo que una n fija puede asociarse con los valores fijos de a y de b; más aún, el orden de a y b importa, ya que no hemos demostrado aún la conmutatividad.

Paso inductivo: Demostremos que (a+b)+\sigma(n)=a+(b+\sigma(n)).

Hagamos esto mediante la siguiente cadena de igualdades:

    \begin{align*}(a+b)+\sigma(n)&=\sigma((a+b)+n)\\&\overset{\text{H.I}}{=}\sigma(a+(b+n))^\\&=a+\sigma(b+n)\\&=a+(b+\sigma(n)).\end{align*}

Aquí las igualdades se siguen, respectivamente, de la definición de s_{a+b}, de la hipótesis inductiva, de la definición de s_a y de la definición de s_b. Con esto, concluimos la prueba del paso inductivo y con ello la prueba por inducción.

\square

En la demostración anterior ya no estamos siendo tan específicos con exactamente qué parte de la definición de las funciones estamos usando. Sin embargo, te sugerimos completar estos detalles pues te ayudarán a entender mucho mejor por qué cada uno de los pasos tiene su justificación.

La suma es conmutativa

Otra de las propiedades de la suma que nos enseñan en educación básica es que «el orden de los factores no afecta el resultado». Esto tiene un nombre en matemáticas formales: conmutatividad. El objetivo de la siguiente proposición es demostrar que en efecto la suma es conmutativa.

Proposición (conmutatividad): Si, n, m son naturales, entonces n+m=m+n.

En términos de las funciones que construimos mediante el teorema de recursión esto se ve como s_n(m)=s_m(n).

Demostración. De nuevo, procedamos por inducción sobre n, por la misma razón remarcamos que entonces m es un número arbitrario pero fijo.

Base inductiva. Por la primer proposición que probamos, tenemos que 0+m=m=m+0.

Hipótesis de Inducción: Supongamos que n cumple que n+m=m+n.

Paso inductivo: Demostremos que \sigma(n)+m=m+\sigma(n).

Hagamos esto mediante la siguiente cadena de igualdades:

    \begin{align*}m+\sigma(n)&=\sigma(m+n)\\&\overset{H.I.}{=}\sigma(n+m)\\&=n+\sigma(m)\\&=n+(1+m)\\&=(n+1)+m\\&=\sigma(n)+m.\end{align*}

Como siempre, es importante justificar cada igualdad. Pero ahora es tu turno. ¿Cuáles son las justificaciones de cada una de estas igualdades? Nota que algunas serán las definiciones, algunas serán la notación que estamos usando y finalmente otras se deducen de propiedades que ya demostramos (como la asociatividad).

\square

La suma se cancela

Imagina por un momento que tenemos una igualdad del estilo x+8=y+8 en los números naturales. Nos gustaría poder concluir que x=y. Sin embargo, no podemos hacer el «truco tradicional» de «restar 8» en cada lado de la igualdad para cancelar al 8, pues en los naturales no existe la operación de resta. Nos encontraremos con ella más adelante, hasta que trabajemos con los números enteros.

Aunque no podamos restar, de cualquier forma podemos realizar cancelaciones de este estilo. La siguiente proposición formaliza este hecho.

Proposición (cancelación por la derecha): Si, a, b, n son naturales, tales que a+n=b+n, entonces a=b.

Demostración. Como ya esperábamos, sean a y b arbitrarios, y procedamos por inducción sobre n.

Base inductiva. Si a+0=b+0, por definición de s_a y s_b obtenemos a=b.

Hipótesis inductiva. Supongamos que n es tal que cada vez que tengamos a+n=b+n, obtenemos que a=b.

Paso inductivo. Demostremos que si a+\sigma(n)=b+\sigma(n), entonces a=b.

Entonces supongamos que a+\sigma(n)=b+\sigma(n). Por definición a+\sigma(n)=\sigma(a+n) y b+\sigma(n)=\sigma(b+n). Por nuestra hipótesis tendríamos entonces que \sigma(a+n)=\sigma(b+n). Usando el cuarto axioma de Peano, obtendríamos entonces que a+n=b+n. Finalmente, la hipótesis inductiva nos garantiza que entonces a=b, como buscábamos.

\square

Podemos enunciar el resultado anterior en una forma un poco más «funcional».

Corolario: Las funciones s_{m} con m\in \mathbb{N} son inyectivas.

Demostración: Con todas las herramientas que hemos desarrollado, ya no será necesario ocupar la inducción.

Si s_{m}(a)=s_{m}(b), por la conmutatividad de la suma, tenemos que s_{m}(a)=s_{a}(m) y s_{m}(b)=s_{b}(m). Esto quiere decir que a+m=b+m, y por la proposición anterior, a=b.

\square

Con esto hemos demostrado las propiedades más fundamentales de la suma, a partir de las cuales podremos probar muchas más.

Resumen de propiedades de la suma

Para recapitular, en esta entrada demostramos las siguientes propiedades de la suma y por lo tanto podremos usarlas directamente de aquí en adelante:

  • Para todo n natural, se tiene 0+n=n=n+0.
  • Para todo n natural, se tiene 1+n=\sigma(n)=n+1.
  • Para m y n naturales cualesquiera, se tiene m+n=n+m.
  • Para l,m,n naturales cualesquiera, se tiene que l+(m+n)=(l+m)+n.
  • Para l,m,n naturales cualesquiera, si m+l=n+l, entonces m=n.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Demuestra que si a, b\in \mathbb{N}, y a+b=0, entonces a=b=0.
  2. Demuestra que si a+a=b+b, entonces a=b. ¡Ten cuidado! En los números naturales no se vale «dividir», así que más bien tendrás que hacer una prueba inductiva.
  3. Sean m,n,l naturales cualesquiera. Demuestra, usando sólo las propiedades que ya mostramos (ya sin inducción), que todas las siguientes expresiones son iguales:

        \begin{align*}m+(n+l)\\(l+m)+n\\n+(m+l)\\(n+l)+m\\\end{align*}

  4. ¿Cuáles de las funciones s_{m} tienen inversa? ¿Qué significa esto?
  5. Antes de dominar las tablas de multiplicar de memoria, ¿Cómo multiplicabas? Ocupa esta idea para motivar una definición recursiva del producto de números naturales.

Más adelante…

Ya que conocemos las propiedades de la suma, podemos pasar a definir el producto, y análogamente, a como lo hicimos antes, estudiaremos sus propiedades usando el principio de Inducción.

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Álgebra Superior II: Principio de inducción y teoremas de recursión

Introducción

Inducción y recursión son dos conceptos similares con los que seguramente te has topado en tu formación matemática, e incluso tal vez antes. Muchas veces se llegan a confundir ambos conceptos, ya que ambos tienen una fuerte relación con el 5° axioma de Peano.

Aunque lo detallaremos a lo largo de la entrada, el principio de Inducción es una propiedad de los números naturales, que nos sirve para demostrar que todos los naturales satisfacen una propiedad. Es decir, es una estrategia de demostración. En contraste, la recursión es un resultado que justifica el hecho de poder dar una definición para todos los naturales, basándonos en la definición de su antecesor. En otras palabras, es una estrategia de definición.

Al final de la entrada demostraremos el teorema de recursión débil, en cuya prueba, podremos apreciar cómo es que depende directamente del Principio de inducción.

Pruebas por inducción

Recordemos el 5° axioma de Peano, el cual probamos en la entrada pasada que se satisface en nuestro modelo:

Si S\subset \mathbb{N} satisface que

  • 0\in S y
  • si n\in S, implica que \sigma(s)\in S,

entonces S=\mathbb{N}.

Como hemos mencionado en entradas anteriores, esta proposición es muy similar al principio de Inducción que probablemente hayas ocupado desde el curso de Álgebra Superior I. Más aún, en la entrada pasada, seguimos la misma estrategia que en otros cursos, a la hora de ocupar el 5° axioma. Efectivamente, la equivalencia entre ambos resultados es casi inmediata, y como ejemplo ilustrativo, probaremos el Principio de Inducción a partir del 5° axioma de Peano.

Proposición (Principio de Inducción): Sea P(n) una propiedad, es decir, una proposición matemática que depende de un entero n. Si se tiene que:

  1. P(0) es verdadera y
  2. cada vez que P(n) es cierto, también lo es P(n+1),

entonces P(n) es cierta para todos los números naturales.

Demostración. Sea P(n) una propiedad que satisface 1. y 2. y consideremos el conjunto S:=\{n\in\mathbb{N}: P(n)\text{es verdadera}\}.

Como P(0) es verdadera, entonces 0\in S.

Tomemos n\in S, entonces P(n) es verdadera, y por 2., tenemos que P(n+1) es verdadera; es decir, n+1\in S. Por el 5° Axioma de Peano, se tiene que S=\mathbb{N}, por lo que por la definición de S, se tiene que P(n) es cierta para cada n\in \mathbb{N}

\square

Definiciones por recursión

Una de nuestras primeras ideas para poder construir a \mathbb{N}, fue intentar construir a mano cada elemento. Para esto, dimos una definición de lo que significaba el 0 y el sucesor de un número. Después empezamos a iterar una y otra vez la función sucesor para obtener el sucesor del último número encontrado. Discutimos por qué es que esta idea no sería el mejor camino (sólo nos permite llegar hasta una cantidad finita de naturales), por lo tuvimos que introducir el Axioma del Infinito para resolver el problema. Veamos la analogía entre esta idea y el siguiente ejemplo intuitivo.

Ejemplo: Definamos la función factorial de un número natural, como:

  • 0!=1
  • (n+1)!=(n!)(n+1)

Entonces, 3!:=(2!)(3)=(1!)(2)(3)=(0!)(1)(2)(3)=(1)(1)(2)(3)=6.

Recordemos que al definir a los naturales, necesitábamos conocer un número para poder definir su sucesor. Aquí sucede lo mismo: en la definición de factorial necesitamos conocer quién es el factorial de un número para poder definir el factorial de su sucesor. A este tipo de definiciones se les conoce como definiciones recursivas, ya que para definir algo para un número, necesitamos tener conocimiento del valor de la función en los números anteriores.

Queda una pregunta muy importante. Si a los naturales no los pudimos definir de manera recursiva, ¿por qué podemos afirmar que la función factorial sí existe? A continuación enunciaremos algunos teoremas que nos garantizarán que sí podemos hacer este tipo de definiciones recursivas en nuestro modelo. Daremos una versión fuerte y una versión débil. Demostraremos la versión débil, pues basta para mucho de lo que queremos definir en los naturales (sumas, productos, potencias).

Las siguientes secciones son un poquito técnicas. Si las puedes seguir por completo, es fantástico. Pero incluso si no es así, basta con que en el fondo te quedes con la idea importante detrás: sí se vale definir de manera recursiva. Más adelante podrás regresar a este tema y entenderlo por completo.

Los teoremas de la recursión

Antes de la demostración principal de esta entrada, enunciaremos los teoremas que nos importan y hablaremos de manera intuitiva de lo que dicen. Hay dos versiones que veremos: una fuerte y una débil. Aunque parece que dicen cosas diferentes, en realidad son equivalentes. Será muy claro que la versión fuerte «implica» a la débil. Pero luego, en los problemas de tarea moral, se esbozará cómo ver que la versión débil se puede utilizar para demostrar la fuerte.

Teorema (Recursión Fuerte): Sea X un conjunto y x_{0}\in X. Supongamos que tenemos varias funciones (una por cada natural i)

    \[\{f_{i}:X\to X\}_{i\in\mathbb{N}\setminus \{0\}.\]

Entonces existe una única función g:\mathbb{N}\to X tal que:

  • g(0)=x_{0}
  • g(\sigma(n))=f_{\sigma(n)}(g(n)).

¿Qué es lo que quiere decir este teorema? Para responder esta pregunta veamos el siguiente diagrama:

Nuestro diagrama empieza en 0, el cual queremos que sea mandado a algún x_{0}\in X, para la definición de los demás números, ocupamos la segunda característica que esperamos que g satisfaga. Por ejemplo g(1)=g(\sigma(0))=f_{1}(g(0))=f_{1}(x_{0}). Este análisis coincide con lo que nos presenta el primer cuadro de flechas del diagrama anterior, que nos presenta los dos caminos que debe satisfacer g, para que sea la función que queremos. Como da lo mismo si «primero aplicamos \sigma y luego g«, a que si «primero aplicamos g y luego f_1«, decimos que el primer cuadrado del diagrama conmuta.

Análogamente, ya que conocemos la definición de g(1) podemos fijarnos en el segundo cuadro, para poder definir g(2) (de nuevo, conmuta) y seguir «recursivamente» para cualquier número natural.

Ejemplo: ¿Qué conjunto, y qué funciones necesitamos para definir el factorial?

Consideremos X=\mathbb{N}, definiremos intuitivamente (ya que aún no lo hemos definido formalmente), f_{i}:\mathbb{N}\longrightarrow \mathbb{N}, como f_{i}(n)=i\cdot n, es decir, el producto por i.

El teorema de Recursión Fuerte, nos dice que existe una única función g tal que

  • g(0)=1
  • g(\sigma(n))=f_{\sigma(n)}(g(n))=\sigma(n)\cdot g(n)

Denotemos n!:=g(n). Entonces tenemos que \sigma(n)!=n!\cdot \sigma(n), justo como queremos.

\square

El teorema de Recursión Débil y su demostración

El teorema de Recursión Débil tiene un enunciado parecido al teorema de recursión fuerte y puede ser visto como una consecuencia directa del teorema anterior pues se obtiene de la versión fuerte tomando f_{1}=f_{2}=\ldots=f_{n}=\ldots

Teorema (Recursión Débil): Sea X un conjunto y x_{0}\in X. Supongamos que tenemos una función f:X\to X. Entonces existe una única función g:\mathbb{N}\to X tal que:

  • g(0)=x_{0}
  • g(\sigma(n))=f(g(n)).

Para concluir con esta entrada, probaremos el teorema de Recursión Débil. Antes de hacer esto introducimos un concepto auxiliar y una propiedad de los naturales.

Recordemos que como conjunto, m=\{0,1,...,m-1\}, lo que sugiere la siguiente definición.

Definición: Si n,m\in \mathbb{N}, decimos que n<m si n\in m.

Puede probarse que esta relación en \mathbb{N} es un orden total, y que sastisface la siguiente propiedad.

Teorema (Principio el Buen Orden): Sea S\subset\mathbb{N} un conjunto no vacío, es decir S\neq \emptyset. Entonces S tiene un elemento mínimo. Es decir, existe n\in S tal que n<m para todo m\in S\setminus\{n\}.

La prueba del Principio del Buen Orden y más propiedades de < serán estudiadas con mayor detalle en entradas posteriores. Con esto en mente demostramos el teorema de Recursión Débil.

Demostración. Recordemos que por definición, toda función con dominio A y codominio B, es un subconjunto de A\times B, por lo que una buena idea es analizar el conjunto \wp(\mathbb{N}\times X), definamos

    \[\Re:=\{R\in\wp(\mathbb{N}\times X)\mid (0,x_{0})\in R \text{ y si  }(n,x)\in R\text{, entonces }(\sigma(n),f(x))\in R\}\]

Esta definición se ve terriblemente complicada. Pero la intuición es clara: \Re tiene a todas las posibles colecciones de parejas de \mathbb{N}\times X que cumplen lo que queremos. El problema es que muchas de ellas no son funciones y tenemos que «arreglar esto».

Probablemente, notarás alguna similitud entre el conjunto \Re y el conjunto de los subconjuntos inductivos (que se menciona en La construcción de los naturales). Siguiendo esta analogía, definiremos g:=\bigcap \Re (podemos hacer esta intersección ya que \Re no es vacío pues \mathbb{N}\times X está en \Re).

  • Demostremos que g\in \Re:

Por las propiedades de la intersección, tenemos que g\subset\mathbb{N}\times X, por lo que g\in \wp(\mathbb{N}\times X). Veamos que (0,x_{0})\in g. Sea R\in\Re arbitrario, entonces (0,x_{0})\in R, por lo que (0,x_{0})\in\bigcap \Re=g. Por último, si (n,x)\in g, demostremos que (\sigma(n),f(x))\in g, para esto, sea R\in \Re arbitrario, como (n,x)\in g, entonces (n,x)\in R, por lo que (\sigma(n),f(x))\in R. Es decir, (\sigma(n), f(x))\in\bigcap \Re=g. Por todo lo anterior, g\in\Re.

  • Veamos ahora que Dom(g)=\mathbb{N}:

Usemos el quinto axioma de Peano, como (0,x_{0})\in g, entonces 0\in Dom(g). Supongamos ahora que n\in Dom(g) y demostremos que \sigma(n)\in Dom(g), por la hipótesis de inducción, existe x\in X tal que (n,x)\in g, y como g\in\Re, tenemos que (\sigma(n),f(x))\in g, pero esto quiere decir que \sigma(n)\in Dom(g). Entonces Dom(g) es inductivo, entonces Dom(g)=\mathbb{N}.

  • Demostremos ahora que g sí es función. Para esto, tenemos ver que «cada natural se va a un sólo elemento», en símbolos, si (n,x),(n,y)\in g entonces n=m

Aquí es donde ocuparemos el Principio del Buen Orden. Consideremos S:=\{n\in\mathbb{N}\mid (n,x),(n,y)\in g \text{ y } x\neq y  \}. Procedamos por contradicción, supongamos que S\neq\emptyset, entonces, S tiene un elemento mínimo, denotémoslo por n.

Si n=0, entonces existe x\in X tal que (0,x)\in X y x\neq x_{0}. Entonces consideremos g'=g\setminus\{(0,x)\}. Notemos que g'\in\Re, ya que (0,x_{0})\in g', ya que (0,x_{0})\neq (0,x). Además si (k,a)\in g', entonces (k,a)\in g, por lo que (\sigma(k),f(a))\in g, y como 0 nunca es el sucesor de otro número, tenemos que (\sigma(k),f(a))\neq(0,x), por lo tanto (\sigma(k),f(a))\in g', es decir, g'\in \Re, lo que implica que g=\bigcap \Re\subset g'=g\setminus\{(0,x)\} lo cual es absurdo, por lo que n\neq 0.

Como n\neq 0, debemos tener que existe m tal que \sigma(m)=n ¿Por qué?. Y como n es el mínimo en S, tenemos que m\not\in S, es decir, existe un único x\in X tal que (m,x)\in g, esto implica que (\sigma(m),f(x))=(n,f(x))\in g, y como n\in S, debe existir y\in X, y\neq f(x) tal que (n,y)\in g. Análogamente a como lo hicimos antes, consideremos g'=g\setminus (n,y) y veamos que g'\in \Re. Como (n,y)\neq(0,x_{0}), tenemos que (0,x_{0})\in g'. Más aún, si (k,a)\in g', demostremos que (\sigma(k),f(a))\in g', para esto supongamos que no.

Como (k,a)\in g', tenemos que (k,a)\in g, por lo que (\sigma(k),f(a))\in g, esto implica que (\sigma(k),f(a))=(n,y) ya que este es el único elemento de g que no está en g'. Como \sigma(k)=n=\sigma(m), concluimos, por la inyectividad de \sigma, que k=m. Esto quiere decir que (k,a)=(m,a)\in g, pero recordando que x es el único elemento relacionado con m, concluimos que x=a, en síntesis, (k,a)=(m,x), por lo que (\sigma(k),f(a))=(\sigma(m),f(x))=(n,f(x))\neq(n,y). Esto implica que (\sigma(k), f(a))\in g', contradiciendo nuestra suposición de que no lo estaba.

Entonces hemos probado que (0,x_{0})\in g' y que cada vez que (k,a)\in g', también lo está (\sigma(k), f(a)). Esto quiere decir que g'\in\Re, y como lo hicimos anteriormente, tendremos que g=\bigcap \Re\subset g'=g\setminus\{(n,y)\}, lo cual es una contradicción. Esto quiere decir, que suponer que S tiene un elemento mínimo, es absurdo, por lo que S=\emptyset. Lo que traducido quiere decir que para todo n\in\mathbb{N}, existe un único x\in X tal que (n,x)\in g. Es decir, que g sí es una función.

  • Demostremos que g satisface las dos propiedades del Teorema.

Ya vimos que g\in \Re, por lo que g(0)=x_{0}. Sea ahora n\in \mathbb{N} y x=g(n), de nuevo, como g\in\Re, tenemos que g(\sigma(n))=f(x)=f(g(n)).

  • Por último, demostremos la unicidad de g

Si h:\mathbb{N}\longrightarrow X es otra función que satisface las características del Teorema, consideremos A=\{n\in\mathbb{N}\mid h(n)=g(n)\}, como h(0)=x_{0}=g(0). Tenemos que 0\in A. Supongamos que n\in A. Tendríamos entonces que h(\sigma(n))=f(h(n))=f(g(n))=g(\sigma(n)), es decir que \sigma(n)\in\A, por lo que A es inductivo, y por consiguiente, A=\mathbb{N}. En resumen, h y g, coinciden en dominio, codominio y regla de correspondencia, entonces h=g, como debíamos probar.

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La demostración del teorema de Recursión Fuerte requiere de algunos detalles adicionales, pero puede deducirse del teorema de Recursión Débil. Dejamos esto como uno de los problemas de la tarea moral.

Tarea Moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Demuestra el 5° Axioma de Peano a partir del Principio de Inducción
  2. Demuestra que si n\neq 0 entonces existe m tal que \sigma(m)=n.
  3. ¿Qué función g, satisface que g(0)=1 y g(\sigma(n))=2\cdot g(n)? ¿Qué función f estamos ocupando?
  4. ¿Qué conjunto y que función nos permitiría definir la sucesión de Fibonacci a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n} usando el Teorema de Recursión?
  5. Demuestra el Teorema de Recursión Fuerte, usando el Débil. Sugerencia: Considera, F(n,x):\mathbb{N}\times X\longrightarrow \mathbb{N}\times X, como F(n,x)=(\sigma(n),f_{\sigma(n)}(x))

Más adelante…

El teorema de Recursión será la mayor herramienta que tendremos para poder darle una forma más familiar a los números naturales, ya que las operaciones de suma y multiplicación, que veremos en la siguiente entrada, tendrán una definición recursiva.

Y así como el teorema de la Recursión nos permitirá definir, usaremos continuamente el principio de Inducción para poder demostrar las numerosas propiedades que estas operaciones tienen.

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